1999年全國初中數(shù)學聯(lián)賽(Ⅰ)試題答案

1、1999年全國初中數(shù)學聯(lián)賽（I ）試題第一試選擇題1.計算-4十二十二的值是 1-V3 1+V3 ' + #A. 1 B. -1 C. 2 D. -22 . ZXABC的周長是24, M是AB的中點，MC=MA=5 ,則AABC的面積 是A. 12 B. 16 C. 24 D. 303 .設b>a,將一次函數(shù)y=bx+a與y=ax+b的圖象畫在同一平面直角坐標 系內，則有一組a、b的取值，使得下列4個圖中的一個為正確的是CD4 . 若函數(shù)y =微e-1 OOx + 196 + |x2 - 100入 + 19電 貝U當自變量1, 2, 3,，100這100個自然數(shù) 時，函數(shù)值的和是

2、A. 540B. 390 C. 194 D. 975 .如圖，在等腰梯形 ABCD 中，AB/DC, AB=998 , DC=1001, AD=1999, 點P在線段AD上，則滿足條件/ BPC=90°的點P的個數(shù)為a. 0 B. 1 C. 2 D.不小于3的整數(shù)666.有下列三個命題：Lj（甲）若a、B是不相等的無理數(shù)，則 a B + a - BD ,是無理數(shù)；工乙：替d 力是不于目等的壬速類m .u 3 一 Ct T- （3cmy 音。, /是不于目等的壬型士，貝+ 無王里琴。A. 0 B. 1 C. 2D. 3填空題1 .< 1 1務口 - < t" 匚：

3、a =0 N 匕）匚 eO . Bl R C1. 貝 I+ 02.如圖，在 ABC 中，/ B=36° , A ACB=128° , / CAB 的平分線交BC于M, 4ABC的外接圓的切線AN交BC的延長線于N,則4ANM的最小角3.已知a、b為整數(shù)，且滿足F 111a+b=.4.在正方形ABCD中，N是DC的中點，M是AD上異于D的點，且/ NMB= /MBC, WJtg/ABM=.第二試1 .某班參加一次智力競賽，共a、b、c三題.每題或者得滿分或者得0 分，其中題a滿分20分，題b、題c滿分分別為25分，競賽結果，每個學生至 少答對了一題，三題全答對的有1個，答對其

4、中兩道題的有15人，答對題a的 人數(shù)與答對題b的人數(shù)之和為29;答對題a的人數(shù)與答對題c的人數(shù)之和為25; 答對題b的人數(shù)與答對題c的人數(shù)之和為20.問這個班的平均成績是多少分？2 .如圖，設八ABC是直角三角形，點D在斜邊BC上，BD=4DC.已知 圓過點C且與AC相交于F,與AB相切于AB的中點G.求證：ADXBF.3 . a是大于零的實數(shù)，已知存在唯一的實數(shù) k,使得關于x的二次方程 x2+(k2+ak)x+1999+k2+ak=0的兩個根均為質數(shù)，求a的值.1999年全國初中數(shù)學聯(lián)賽(I )參考答案、選擇題一旃 座次=I= 1 + K =一之C3Z5>2 .解 VMA=MB=MC

5、=5 , 丁. / ACB=90 °已知周長是24,則AC+BC=14, AC2+BC2=102, .2AC BC=(AC+BC) 2-(AC2+BC2) =142-102=4 X 24-3口網(wǎng)仁=告AU HQ = 2有= <C>3 .每7田方程組J ¥匕工十:附侍7送口在就直通的五點，為d'十to .圖(A)中交點橫坐標是負數(shù)，故圖(A)不對.圖(C)中交點橫坐標是2*1,故圖(C)不對.圖(D)中交點縱坐標是大于a小于b的數(shù)，不等于a+b,故圖(D)不對，故選 (B).答：(B)4 .解 . x2-100x+196=(x-2)(x-98), .當 2

6、&x&98時，|x2-100x+196|=-(x2-100x+196)當自變量x取2, 3,，98時函數(shù)值都為0.而當x取1, 99, 100時， |x2-100x+196|=x2-100x+196故所求的和為(1-2)(1-98)+(99-2)(99-98)+(100-2)(100-98)=97+97+196=390 答：(B)5.解 AD的中點M,對BC張成90°角；又在AD上，取點N ,使AN=998 , 則ND=1001.由 ABN和ADCN都為等腰三角形推知，/ BNC=90° .注意 到以BC為直徑的圓與AD至多有兩個交點，可知所求點的個數(shù)為2.

7、答：(C).右 .閂 » a白一."tfp » a 0 1 * 1a 1>< p * _> + 1儀要令0 =1+¥= 1 +貝11«13+ ot 戶»有在里委營.工七款二w、QnmI Q 一 £力TTT里翅,d-t- p-chd 不不r，" p1 、F* 見$ 4d o至支* 二兩3不對n 菖.二、填空題1.解 :(b-c)2=4(a-b)(c-a), 即 b2-2bc+c?=4ac-4bc+4ab-43,4a2+b2+c2-4ac-4ab+2bc=Q. . (b+c)2-4a(b+c)+4a2

8、=0, . 2a2-(b+c)2=0,2a = b + c, t±£- 2 a2. Z B=36o ,/ACB=128° , AM 為/CAB 的平分線, 丁. / CAM= / MAB丁. / AMC=44 0又AN為切線，丁. / NAC= / B=360 , / NAM=44 ° , ./N=180° -440 -440 =920 ,.ANM的最小角為4403.解左邊二祟ab 2rTb = 3(3b-2)(3a-2)=4,而a、b為整數(shù)且不相等，故3b-2, 3a-2H可能取值1, 4或-1, -4.f兆-2 = 1不妨設則:產(chǎn)-2=4-

9、3b - 2 - -4或 ：?。?無整數(shù)解，由，得 b=1 , a=2,a+b=3.4.解 延長MN交BC的延長線于T,設MB的中點為O,連TO,則4BAM“tob.所以Alvl _ OBW= BT即MB2=2AM - BT 令DN=1 , CT=MD=k ,貝(jAM=2-k ,EM = j4 + (2-lc)* , BT = 2+k)代入, 得 4 +(2-上尸=2(2 - k)(2 + k),'.tgZABMAMAB注意到kwO,解得13AM = |,三、解答題1-解設4、%、分別表示答對題本題 從題c的人數(shù)，% + %=29 則有4 4 + / = 25% +“ = 20X.

10、= 171* 9+ Xb + x。 = 37 p ，笈匕=12x- = 8 L L答對一題的人數(shù)為37-1x3-2x15 = 1,全班人數(shù)為1+4+ 15= 20,故平均成績?yōu)? 20 + C25 =20等 這個班的平均成績是42分.2 .證作DE 1 ACTE則 AC = - AE,AG =三 ED A2由切割線定理AGa AC,ED2 = AT. -AE, 4d.FED* = AF * AE,ED = AF* AE, ,AB _ AT ' AE - ED ?二bafs/iaed, ,-,ZABF=ZEAD而/EAD + NDAB = 90 口， ，/ABF +/DAB = 90， .AD1BF3 .解設方程的兩個質數(shù)根為p、q,由一元二次方程根與系數(shù)的關系, 有p+q=-k2-ak pq=1999+k2+ak +，得 p+q+pq=1999 . .(p+1)(q+1)=24X 53 由知，p、q顯然均不能為