2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)人教A版必修5學(xué)案：第二章 數(shù)列 本章小結(jié) Word版含解析

1、本章小結(jié)一、等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念與性質(zhì)等差數(shù)列、等比數(shù)列是高中階段學(xué)習(xí)的兩類特殊數(shù)列，有關(guān)等差數(shù)列、等比數(shù)列的一些性質(zhì)的應(yīng)用在高考中經(jīng)常以選擇題、填空題出現(xiàn)，考查知識應(yīng)用的靈活性例1(1)等比數(shù)列an的各項(xiàng)為正，公比q滿足q24，則_；(2)在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列an中，若a5a69，則log3a1log3a2log3a3log3a10等于_解析在(1)中可先把變形、化簡，再把公比代入在(2)中可先把log3a1log3a2log3a10變形，再把題中條件進(jìn)行代換(1)(a3a4)qa3qa4qa4a5，.而q24，可知q2，.(2)log3a1log3a2log3a3log3a10lo

2、g3a1a2a3a8a9a10，而a1a2a3a8a9a10(a5a6)5，log3a1a2a3a8a9a10log3(a5a6)55log3a5a65log395×210.答案(1)(2)10規(guī)律總結(jié)巧用等比數(shù)列的一些性質(zhì)解題，可使得問題計(jì)算簡化例2已知a12，點(diǎn)(an，an1)在函數(shù)f(x)x22x的圖象上，其中n1,2,3，.(1)證明數(shù)列l(wèi)g(1an)是等比數(shù)列；(2)設(shè)tn(1a1)(1a2)(1an)，求tn及數(shù)列an的通項(xiàng)分析把點(diǎn)(an，an1)代入f(x)，可得an的遞推式，再變形使之形成新的等比數(shù)列來求解解(1)證明：由已知an1a2an，an11(an1)2.a1

3、2，an1>1，兩邊取對數(shù)得lg(1an1)2lg(1an)，即2.lg(1an)是公比為2的等比數(shù)列(2)由(1)知lg(1an)2n1·lg(1a1)2n1·lg3lg32n1，1an32n1.tn(1a1)(1a2)(1an)320·321·322··32n1312222n132n1.an32n11.規(guī)律總結(jié)函數(shù)與數(shù)列結(jié)合的題目是高考的熱點(diǎn)之一，做這類題目的關(guān)鍵是利用函數(shù)關(guān)系得出數(shù)列的遞推關(guān)系，再轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列等差數(shù)列、等比數(shù)列進(jìn)行求解二、數(shù)列通項(xiàng)公式的常見求法1觀察歸納法觀察歸納法就是觀察數(shù)列的特征，找出各項(xiàng)共同的構(gòu)成規(guī)

4、律，橫向看各項(xiàng)之間的關(guān)系，縱向看各項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)n的內(nèi)在聯(lián)系，從而歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式例3圖(1)、(2)、(3)、(4)分別包含1個(gè)、5個(gè)、13個(gè)、25個(gè)第十一屆濟(jì)南全運(yùn)會吉祥物“泰山童子”，按同樣的方式構(gòu)造圖形，設(shè)第n個(gè)圖形包含f(n)個(gè)“泰山童子”，則f(5)_.f(n)f(n1)_.分析本題考查邏輯歸納能力、分析問題和解決問題的能力，解法應(yīng)由特殊到一般第一問可直接計(jì)算，第二問求數(shù)列的通項(xiàng)公式，可以通過轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，轉(zhuǎn)化為遞推公式來求解解析第1個(gè)圖中“泰山童子”個(gè)數(shù)：1；第2個(gè)圖中“泰山童子”個(gè)數(shù)：131；第3個(gè)圖中“泰山童子”個(gè)數(shù)：13531；第4個(gè)圖中“泰山童子”個(gè)數(shù)：135753

5、1；第5個(gè)圖中“泰山童子”個(gè)數(shù)即f(5)41.f(2)f(1)4，f(3)f(2)8，f(4)f(3)12，f(5)f(4)16，f(n)f(n1)4(n1)答案414(n1)2累加法和累乘法對于形如an1anf(n)的式子，一般轉(zhuǎn)化為an1anf(n)，再用累加法求an.對于形如an1f(n)·an的式子，一般轉(zhuǎn)化為f(n)，再用累乘法求an.例4數(shù)列an滿足a11，ana12a2(n1)·an1(n2)，求an的通項(xiàng)公式解ana12a2(n1)an1；an1a12a2(n1)an1nan；an1annan；n1；注意n2，且a11，a21.an

6、···n(n1)··3.an(n2)an3形如：an1aand(a1，d0)的式子，構(gòu)造等比數(shù)列例5設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，已知a11，sn14an2.(1)設(shè)bnan12an，證明數(shù)列bn是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解(1)證明：由已知有a1a24a12，解得a23a125，故b1a22a13.又an2sn2sn14an12(4an2)4an14an，于是an22an12(an12an)，即bn12bn.因此數(shù)列bn是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列(2)由(1)知等比數(shù)列bn中b13，公比q2，所以an12an3×2n1

7、，于是，因此數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，(n1)×n，所以an(3n1)·2n2.4根據(jù)數(shù)列的前n項(xiàng)和sn求通項(xiàng)an.利用公式an例6(1)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn，求an.(2)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn32n，求an.解(1)當(dāng)n1時(shí)，a1s1.當(dāng)n2時(shí)，ansnsn1.當(dāng)n1時(shí)，a1，an(nn*)(2)當(dāng)n2時(shí)，ansnsn132n(32n1)2n1，當(dāng)n1時(shí)，a1s13215，上式中a12111，an規(guī)律總結(jié)已知sn，求an，即已知數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，其方法是ansnsn1(n2)，這里常常因?yàn)楹雎粤藯l件n2而出錯(cuò)，即ansnsn1求得an

8、時(shí)的n是從2開始的自然數(shù)，否則會出現(xiàn)當(dāng)n1時(shí)sn1s0而與前n項(xiàng)和的定義矛盾，可見由此求得的an不一定是它的通項(xiàng)公式，必須驗(yàn)證n1時(shí)是否也成立，否則通項(xiàng)公式只能用分段函數(shù)an來表示三、函數(shù)與方程思想的應(yīng)用例7已知an(nn*)，則在數(shù)列an的前30項(xiàng)中最大項(xiàng)和最小項(xiàng)分別是()aa1，a30ba1，a9ca10，a9 da10，a30分析數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，函數(shù)的圖象又是函數(shù)性質(zhì)的最好表現(xiàn)形式，所以借助數(shù)列的圖象研究數(shù)列的性質(zhì)是一種非常有效的方法，這也是數(shù)形結(jié)合思想的重要應(yīng)用解析由于數(shù)列中的項(xiàng)是函數(shù)anf(n)圖象上一系列孤立的點(diǎn)，可由函數(shù)圖象來看數(shù)列項(xiàng)的大小變化，an1的圖象為如圖所示的曲線，顯然a9最小，a10最大故答案為c.答案c例8已知等差數(shù)列an中，首項(xiàng)a1>0，sn是它的前n項(xiàng)和，且s3s10.問當(dāng)n等于多少時(shí)，sn的值最大？最大值是多少？解設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由s3s10，