2021年11月北京市清華大學(xué)中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷性測試測試數(shù)學(xué)(理)試題(二卷)

1、2021年11月北京市清華大學(xué)中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷性測試測試數(shù)學(xué)（理）試題（二卷）學(xué)校:姓名：班級：考號：一、單選題1 .已知集合。=-1,1,3,5,7,9, A = 1,5, 8 = -1,5,7,則Cu（AU8）=（）A. 3,9B. 1,5,7C. -14,3,9 D. -1,1,3,7,92 .已知空間三條直線/,根,，若/與加異面，且/與異面，則（）A. m與n異面C.陽與平行3 .更數(shù) Z 滿足 |z i|=|z + 3i|,則 |z|（A.恒等于1C.最小值為1,無最大值4 .某幾何體的三視圖如圖所示（單位：B.6與相交D.機(jī)與異面、相交、平行均有可能）B.最大值為1,無最小

2、值D.無最大值，也無最小值,則該幾何體的表面積（單位：。聲）是（）5 .已知x+3>0,則 “x>0” 是 “2卬+/>2卜1 + >2” 的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件6 .函數(shù)y=/川汁cos（二一2x）的圖像可能是（）2的取值范圍是（B.8 .已知隨機(jī)變量C的分布列，則下列說法正確的是（）A.存在 4, y£(0, 1), E©>gC.對任意 x, y£(0, 1),B.對任意x, ye(o, 1), E(0<44D.存在 x, y£(0, 1), D(c)&g

3、t;-4XyPyX9 .設(shè)函數(shù)/(1)=0¥3+灰2+0；+1(4。),若0 <2/(2)= 3/(3)= 4/(4)<1則f（l） + /（5）的取值范圍是（）A.(0,1)B. (1,2)C.(2,3)D.(3,4)2210 .已知K，£分別是雙曲線C:二二=1 （。0力0）的左、右焦點(diǎn)，直線/過K， cr b-且/與一條漸近線平行,若生到/的距離大于。，則雙曲線C的離心率的取值范圍為（）11 .如圖，在菱形A8CZ）中，ZABC=60°, E,尸分別是邊AB, CO的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿著對角線AC翻折，則直線所與平面AC。所成角的正切值最大值為（）A.

4、五B.叵C. 0D.叵“3321 _12 .己數(shù)列“滿足 m = l,。+1=癡”+丁+1,記 S”=g+ sHF4, 口表不不超過f的最大整數(shù)，則，。19的值為（）A, 2019B. 2018C. 4038D. 4037二、填空題13 .-2,2上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)k,則事件“直線y=kx與圓"-5)2 +寸=9相交”發(fā)生的 概率為14 .如圖，在48C 中，AB>AC, BC= 2, A = 60。，aABC 的面積等于 2 JT,則角平分線AD的長等于.15 .已知數(shù)列。滿足斯+&+i = 152，其前項(xiàng)和為S，若S£Ss恒成立，則的 取值范圍為.16 .已

5、知P為橢圓C 二+ 21 = 1上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，B、B是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，。為 4324坐標(biāo)原點(diǎn),O到橢圓。在尸點(diǎn)處的切線距離為d,若歸國歸尼卜不，則d=.三、解答題17 .已知函數(shù)人x)=s而x JTcosx(I)求函數(shù)/U)的單調(diào)遞增區(qū)間：(2)在中，角A, B,。所對的邊分別是a, b, c,若仲)="，b=3,求ABC面枳的最大值.18 .如圖，已知四棱錐PA8C。中，底面A8CO是直角梯形,AD8C,8C=2AO,AOJ_CD,PO_L平面ABC。，E為PB的中點(diǎn).(1)求證：平面POC；(2)若BC=CD=PD,求直線AC與平面P8C所成角的余弦值.19 .己知甲盒內(nèi)有大小

6、相同的2個(gè)紅球和3個(gè)黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的3個(gè)紅球和3 個(gè)黑球，現(xiàn)從甲，乙兩個(gè)盒內(nèi)各取2個(gè)球.(1)求取出的4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率；(2)設(shè)S為取出的4個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，求4的分布列和數(shù)學(xué)期望.20 .如圖，斜率為k的直線/與拋物線9=4%交于A、B兩點(diǎn)，直線PM垂直平分弦A8, 且分別交A3、大軸于M、P,己知P(4, 0).(1)求M點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(2)求面積的最大值.21 .已知函數(shù) /(X)=一 "',4/?.X(1)若。=0,求函數(shù)負(fù)刈的值域；(2)設(shè)函數(shù)負(fù)*的兩個(gè)零點(diǎn)為占，x2f且苞4,求證：巾M>".x = 4cosa22 .在平面直角坐標(biāo)系

7、xOv中，曲線C的參數(shù)方程為.(。為參數(shù))，在以坐y = 2sma標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(4,?),直線/的極坐標(biāo)方程為2Psm =9. o(1)求直線/的直角坐標(biāo)方程與曲線。的普通方程；(2)若。是曲線。上的動(dòng)點(diǎn)，M為線段P。的中點(diǎn)，直線/上有兩點(diǎn)A, B,始終滿足|4用=4,求aMAB面積的最大值與最小值.23 .已知a, b, c為正實(shí)數(shù)，且滿足a+b+c=3.證明：(l)ab+bcac<3；/ b2 c2(2) + + > 3 .b c a參考答案1. A【分析】 根據(jù)集合并集的定義求出AU8，根據(jù)集體補(bǔ)集的定義求出Cv （A U 5

8、）.【詳解】因?yàn)锳 = 1,5, 5 = -1,5,7,所以Ad6=-1,L5,7,又因?yàn)榧蟄 = -1,1,3,5,7,9,所以C0（AU5） = 3,9,故本題選A.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的并集、補(bǔ)集運(yùn)算，掌握集合的并集、補(bǔ)集的定義是解題的關(guān)鍵.2. D【分析】根據(jù)題意作出圖形，進(jìn)行判斷即可;【詳解】解：空間三條直線/、叭心 若/與?異面，且/與異面，則可能平行（圖1）,也可能相交（圖2）,也 ?與可能異面（如圖3）,故選【點(diǎn)睛】 本題考查空間直線的位置關(guān)系，著重考查學(xué)生的理解與轉(zhuǎn)化能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于 基礎(chǔ)題.3. C【分析】 設(shè)復(fù)數(shù)z = x+yi,其中x, ye/?,由題意

9、求出y = -1,再計(jì)算|z|的值.【詳解】解：設(shè)復(fù)數(shù)z = x+yi,其中x, ye/?,由|z-4=|z + 3"，得|x+(y-l)i|=|x+(y+3)i|,/. x2 + (y _ 1)2 = x2 + (y + 3)2,解得y=-1；: z |= yx2 + y2 =，x2 +121，即I ZI有最小值為1,沒有最大值.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的概念與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.4. B【分析】由三視圖還原原幾何體如圖，該幾何體為三棱錐，底面是直角三角形，尸A_L底面A5C.然 后由直角三角形面積公式求解.【詳解】解：由三視圖還原原幾何體如圖，該幾何體為三棱錐，底面是直角

10、三角形，尸4_L底面A6c.則 8C_LPC.，該幾何體的表面積S = #3x4 + 5x4 + 3x4 + 4x5) = 32.故選：B .【點(diǎn)睛】本題考查由三視圖求面積、體積，關(guān)鍵是由三視圖還原原幾何體，是中檔題.5. B【分析】首先判斷由x > 0,能不能推出2, + V > 21'1 +寸，而后再看由2H +x2> 2|V| + y2，能不能 推出x>0,然后通過充分性、必要性的定義得出答案.【詳解】由不等式2®+/>2“+)尸，可以構(gòu)造一個(gè)函數(shù)：/«) = 2“ +產(chǎn)，可以判斷該函數(shù)為偶函 數(shù)且，>0時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.當(dāng)

11、x>0時(shí)，而x+)>0,這時(shí)可以為負(fù)數(shù)、正數(shù)、零，因此 蒼)'的大小關(guān)系不確定，因此由“x>0”不一定能推出“2，+/>21" 十寸”.當(dāng)2,+/>21" +產(chǎn)成立時(shí)，利用偶函數(shù)的性質(zhì)，可以得到：|x| > y =>x2 > y2 =>(x+ y)(x-y) > 0,而x+y>°,因此有x-y > 0,所以有“>一。且 x>y,如果x0,則有y<o,所以x+y<0,這與x+y>。矛盾，故x>0，故本題選B.【點(diǎn)睛】本題考查了必要不充分條件的判斷，構(gòu)造

12、函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)是解題的關(guān) 鍵.6. D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，和特殊值，可判斷?！驹斀狻拷猓簐/(x) = ln|x|cosf-2xl ./(x) = hi|x|sm2x./（一%）二111卜小111（一2五）=一/（工）所以函數(shù)/（工）是奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對稱，故排除A8 ：當(dāng) x -0（x>0）時(shí)必岡f-oo, sin2x f0 （sin2x>0）ife/（x） = lnNsin2x<0故排除C故選：D【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性及已知函數(shù)解析式確定其函數(shù)圖象問題，屬于基礎(chǔ)題。7. D【分析】設(shè)Ag=4，AC = b由已知與b一3的夾角為60。

13、可得45C = 120。，由正弦定理_d_= " 得B=3L>I,從而可求B的取值范圍siiiC sin 12002sinC【詳解】解：設(shè) 4g=4, AC = /?»>如圖所示：則由前二尼一而 又"與的夾角為60。,/. ZABC = 120°又由M=M=i由正弦定理且=MsinC sin 1200/ C I 0,I 3J二 sin C g 0.2 /. |5| = ' e (1,+co)1 1 2smC ')故選：D.【點(diǎn)睛】本題主考查了向量的減法運(yùn)算的三角形法則，考杳了三角形的正弦定理及三角函數(shù)的性質(zhì)， 屬于中檔題.8.

14、 C【分析】表示出期望與方差，利用基本不等式證明不等關(guān)系?！驹斀狻拷猓阂李}意可得£(4) = 2£)(g) =(1-2外)-y+ (),-2母)-x = (l-2y)"y + (l-2x)- y、= (l-2y)- x + (l-2x yyx 因?yàn)閤+= l所以2孫=；即七故A，8錯(cuò)誤；。(4) = (2一1x+(l -yJyx = (1 -2x)2 (x+ y)yx = (l-2x)2 yx/0<x<l1 v 2x 1 v 1.-.0<(2x-l)2 <1.£>©盧即。)/£：管),故C成立;。=(1

15、一 2x) yx v Ay «(' ：')=；故。錯(cuò)誤故選：C【點(diǎn)睛】本題考查簡單隨機(jī)變量的分布列中期望和方差的運(yùn)算，屬于難題。9. A【解析】【分析】由題意構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合所給條件和函數(shù)的性質(zhì)確定/。)+/(5)的取值范圍即可.【詳解】,(x)-Z = o(x-2)(x-3)(jf-4)(x-/w),其中 Ovf vl,取x = 0可得一I = 24?a取 x = l 可得/(l)-r = -6(l-77?)r/.取 x = 5 可得 5/(5)-= 6(5-根”.由可得：5/(1) + /(5)-6, = 一30(1?)。+ 6(57)。，將代入可得：/(l)+/

16、(5)= re(O,l).故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查構(gòu)造函數(shù)解題的方法，整體代換的數(shù)學(xué)思想等知識，屬于比較困難的試題.10. C【分析】設(shè)直線/： y = g(x+c),由8到/的距離大于4,咨出，的范圍，再由e = Jl + ()2計(jì)算 即可.【詳解】設(shè)過及與漸近線y =平行的直線/為y=-(x+c),aa由題知尸2到直線/的距離a,.bc + bcb 1即d= 廠，=2ba,可得一 ，M +。-a 2故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查計(jì)算雙曲線離心率的范圍，熟知公式6 =2可使計(jì)算變得簡便，屬于?？碱}.11. D【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)二面角8 為e，用含e的式子表示8點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量法表

17、示出線面角。的正弦值的平方，構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性求出（suf。）皿即可求 出線面角。的正切值的最大值?！驹斀狻拷猓喝鐖D,以AC的中點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)二面角6 AC-。為9,可證 ZBOD = e,設(shè)棱形的邊長為4,則4（0、一2,0）, 8（2jJcosaO,2jJsm8）, E（>/3cos-l,>/3sm（9）, C（0,2,0）, D（2#,0,0）,產(chǎn)（國,0）易知平面AC。的法向量3 = （O,O）設(shè)直線旅與平面AC。所成角為。，則. 2 I ,vFE |3siife3sin* 3（l-cos2 0）s xul a = I ，=，=，|4|fe|3

18、（cos<9-l）2+4 + 3sin2 10-6cos/9 2（5 - 3cos8）令/(x) =1-x25 3xra)=3xz-10x + 3(31)(1)(3x-5i/1 A則/(x)>0時(shí)一l<x<士即/(尤)在 上單調(diào)遞增; 313r(x)vO時(shí)(vx<l即f(x)在仁,1)上單調(diào)遞減;/.(sin2 a = -fflfcos2 a)max 3'max/.(tan2 a)sm2 a _ 1cos2 a 2(tana)max=也r故選：D【點(diǎn)睛】本題考查利用空間向量法求線面角的最值問題，綜合性比較強(qiáng)，難度比較大。12. D【分析】首先求出數(shù)列的前幾

19、項(xiàng)，猜想之3時(shí)£(2,3)構(gòu)造函數(shù)證明猜想是正確的，即可求出S”.【詳解】113解：依題意得。1 = 1,%=Inq 4f 1 = 2 , % = In。2 Hf 1 = 1112 + g (2,3)d-y/%+1 =山4+5 + 1(之3)可猜想之3時(shí)凡2,3)證明：令/(x) = lnx+L + lA11r_1則r（x）±= X 廠 廠可得/（X）在（0）單調(diào)遞減，在（1，帝）單調(diào)遞增./</(x)<3)3,、4即 1112 + / < /(X)<1113 + y3 5 74v2<hi2 + -<-,<ln3 + 7<3滿

20、足條件，故猜想正確;2 2 33S” =© + & + &+&二 $2019 =同 + 。2 + 。3 + + %019 = 1+2 + 2hf2= 1 + 2x2018= 4037故選：D【點(diǎn)睛】本題考查由遞推公式求數(shù)列的和，綜合性較強(qiáng)，難度比較大。13 - .8【解析】/、網(wǎng)、3 z 3由直線 y=kx與圓（x5）- +），- = 9相交得 ,；/ <3.一</<3_f3> 所以概率為一一1_3 .2-（-2）-8【分析】 由已知利用三角形的面積公式可求A8.AC = 8,由余弦定理可得A3+AC = 6,聯(lián)立解得:AB = 4AR

21、 RD 4A。，根據(jù)余弦定理可求8s6的值，利用角平分線可得就二比方結(jié)合BD+DC = 26解得50的值，在AAS。中，由余弦定理可得AO的值.【詳解】解:V BC = 2J3 , A = 60°, AA5C的面積等于26=，A8ACsinA = LA8MC史， 222解得：AB-AC = 8f 由余弦定理 BC- = AB2 + AC2- 2AB.AC.cosA ,可得：12 = AB2 + AC2- A8 AC = (AB + AC)2- 3A&AC = (AB + AC)2-3xS,.解得：A8 + AC = 6,(AB = 4 (AB = 2由聯(lián)立解得：.廠一，或，(

22、由于A6>AC,舍去).AC = 2 AC = 4/. cos 8 =AB" + BC AC 16 + 12-42AB.BC -2x4x2>/3 "TA3為角平分線，可得喋=累=，AC DC 2L BD + DC = 2>/3，.二在中，由余弦定理可得:AD = yjAB2 + BD1 - 2 ABBDecos B =L 48、，466 4番J16 4 2 x 4 xx =V 9323故答案為：也I.3【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的面積公式，余弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.15. (8,7【分析

23、】根據(jù)題意設(shè)q=工，由遞推式表示出。s、。9,要使S“Ss恒成立則八解得。也0【詳解】解：設(shè)q = X ,因?yàn)? +。+1 =15 2，則，生=13 x , % =%一2 , % = 11-X，。5 =1一4， a6 = 9-x 9 %=1-6, a3 = 7-x 9 a9 = x-8 ；可知數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是遞減的，且偶數(shù)項(xiàng)也是遞減的.且當(dāng) < 7 時(shí) += 15 2 > 0當(dāng)之 8 時(shí)an +。葉=15_2n < 0a = 7-x>0/.則o c 解得x<7即q£(8,7% = XO <0故答案為：(8,7【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式及數(shù)列的前

24、項(xiàng)和的性質(zhì)，屬于中檔題。2【分析】 計(jì)算1尸EI的值得出戶點(diǎn)坐標(biāo)，再求出切線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算4.【詳解】解：設(shè)|PKI=m, |尸尼|=，則<m + = 424，mn =722不妨設(shè)尸在第一象限，則|=2 + 3，|尸尼|=2-下，故以為圓心以尸石為半徑的圓為：。+爐+爐=(2 +%)2,以A為圓心以尸心為半徑的圓為：(xT + )?=(2 %)2,43一得：x=s，代入橢圓方程可得：y = -y=當(dāng)>>0時(shí)，由4三=1 得 y = (3 故 y = ；(3-v)".(-|x),3 16 -13 4，橢圓在尸處的切線的斜率H萬)55.)一.切線方程為

25、：y-= = -(x-=),即x+y-V7 = 0,原點(diǎn)O到切線的距離d =里=姮.>/22故答案為：巫.2【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的性質(zhì)，切線的求法，點(diǎn)到直線的距離應(yīng)用，屬于中檔題.17. (1) + 2k, + 2k7T , (k eZ)； (2) 士后.L 66 J4【分析】(1)利用輔助角公式將函數(shù)化簡，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)由(1)可求8利用余弦定理及重要不等式，可求面積最大值?！驹斀狻拷猓?(A)= smx->/3cosx = 2smA-yj(1)令一 + 2k乃<、+2女萬，(AwZ)解得+2k7r<x< + 2k7r, (k

26、eZ)66故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為一+2攵/，¥ + 2&萬，(keZ)66 由6) = 2sm(5 gb3 )B. = 2ki*或 B* = 2k 兀 T,(keZ).6 = 2k)+4或5 = 2攵4+乃，(keZ) .，8是三角形的內(nèi)角,:.B = 3 b2 = a2 +c2 - 2ac cos B:.a2 +c2 +ac = 9lacac < 9 即 0 < K 333S i a »r = - cic sin B <u 24當(dāng)且僅當(dāng) =C =時(shí)，AA5C的面積取最大值是S.=【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于一般

27、題。18. (1)證明見解析；(2)晅5【分析】(1)取PC的中點(diǎn)尸，連結(jié)0F、旅，推導(dǎo)出四邊形ADFE是平行四邊形，從而AE/DF , 由此能證明AE/平面POC.(2)推導(dǎo)出3F_LPC,由 A£7/O尸，得 AEJ_PC,再推導(dǎo)出 PD_L6C, BC1CD, 從而8C_L平面POC, BCVDF, BCA.AE, AE1PC,進(jìn)而在J_平面P6C,連結(jié) EC, AC,則/AEC就是直線AC與平面尸6c所成角，由此能求出直線AC與平面尸6c 所成角的余弦值.【詳解】解：(1)證明：取PC的中點(diǎn)尸，連結(jié)OF、EF , .E是尸6的中點(diǎn)，.瓦V/6C，且BC = 2EF , ： A

28、D/BC, BC = 2AD，:AD!/EF、且 A£)= £F, 四邊形AO尸石是平行四邊形，.4石/。尸，又 DF u 平面 PDC , :.AE/平面 PDC.s.DFLPC,又 AEIIDF , :.AE1PC,PD _L 平面 ABCD, 6C u平面 ABCD,;.PDLBC,又8C_LC3,.BC，平面POC,.ObU平面尸DC，6C_LOF, .5C_L4E,又4E_LPC, .AE，平面6C,連結(jié)EC, AC,則NAEC就是直線AC與平面尸5c所成角,設(shè) PD = CD=BC = 2,在RtAPCB中，解得PC = 2jI，PB = 2"，EC

29、= B在RtAADC 中，解得 AC = JJ,在 RtAAEC 中,cosZEC/ = = = ,AC yfs 5直線AC與平面P6c所成角的余弦值為史.B【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明，考查線面角的余弦值的求法，考杳空間中線線、線面、面面間的 位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.3919. （1） ； （2）分布列見解析，E = -【分析】（1）設(shè)事件4 “從甲盒內(nèi)取出的1個(gè)紅球；事件當(dāng)為“從乙盒內(nèi)取出的，個(gè)紅球”，表示出事件的概率，取出的4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的，包含兩個(gè)基本事件，利用互斥事件和概率 計(jì)算公式計(jì)算；（2 ） J為取出的4個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，則J可能的取值為0, 1

30、, 2, 3, 4,結(jié)合（1）中信息分別求出相應(yīng)的概率，寫出分布列即可.【詳解】（1）設(shè)事件4 “從甲盒內(nèi)取出的1個(gè)紅球；事件鳥為“從乙盒內(nèi)取出的，個(gè)紅球”則P(A) =胃，P=cBcr3 96 33=.+ .=10 15 10 15 10設(shè)事件C為“取出的4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球”，p(c)= pGVJ+p(9°)=胄辛+巖.巖555 C63二取出的4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率為正,（2） J可能的取值為0, 1, 2, 3, 4.由(1)得，尸仁=0)=P(4紇)=方，P(=1)=P(C)=A,I IQ尸(”2)=P(4昆)+P(48J+P(480) = =, P& = 3)=

31、P(ABJ+P(4瓦)=/,PC=4）=p（44）=t則4的分布列為：401234P35031011259501503311919造= 0x + lx + 2x + 3x + 4x = 501025505059即石4=5【點(diǎn)睛】 本題考查互斥事件、相互獨(dú)立事件、離散型隨機(jī)變量的分布列，考查運(yùn)用概率知識解決實(shí)際 問題的能力.20. (1) 2： (2) 8【分析】（1）設(shè)A（內(nèi)，弘），8（七，乃），M。，兒），運(yùn)用點(diǎn)差法和直線的斜率公式和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，解方程可得所求坐標(biāo);（2）設(shè)直線= 心，-y0） + 2即=與拋物線y?=4x聯(lián)立，運(yùn)用韋 達(dá)定理和弦長公式，以及點(diǎn)到直線的距離公式，化簡整理，運(yùn)

32、用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，可得最大 值.【詳解】 解：（1）設(shè)從（8，州），解士，刈），“（，%），x + x y, + y, , 4則)i = 4*，先= 4天,k_y-y2_ 4 _2% 一 &) + K >o而與 由 k，k.Mp = T 得 % - 4 = -2 ,即 = 2 ；(2)設(shè)直線 =>o) + 2 即 AB :x = my-myQ+2 9與拋物線y2 = 4x聯(lián)立得- 4my + 4/ny0 -8 = 0,則弘 + y2 = 4m， K%=4緲。- 8 ,所以 | AB =yjl + nr y y21= yl + nr 16m2 - l6niyQ + 32 ,f

33、 I 用 + 2 I而P到直線AB的距離為d = r-，VW +1所以 S"A8 = gd | A81= 21"叫 + 21一7yo + 2 ,又由于T號 所以 S"Q8 = 2(2，- + 2)y/2 nr = 4(廠 +1)，2 】-令-加=t，則/>0且/ =2-尸，所以 S”A8=4(3T2)f =一4戶,令 g(f) = 12/ 4/(/>0),則 g") = 12 12 = 12(1 )(1 + f),當(dāng)g'(f)>0,當(dāng)/>1 時(shí)，gt)<0, 故 g(f) =- 4Pwg(l) = 8 ,即面積的最大

34、值為8.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，直線和拋物線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，考查化 簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題.21. (1) (to,： ； (2)證明見解析【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即可計(jì)算出函數(shù)的最大值，即可求出函數(shù)的值域。c 不111 X. In、/ + 1(2)因?yàn)?(xj =/(&)可得= 一=，設(shè)與則山為+山工=山， X x2/ 1要證±士 > e2 即證 In X + In & = 11111 > 2 構(gòu)造函數(shù) g (r) = liir- 2：；), (f1)證明其恒大于零即可?！驹斀狻縄n X解(1)當(dāng)。=0時(shí)，/(X

35、)=X3="令/'(x)=-上。=0解得工=e x-當(dāng);(x)>0時(shí)，0cxee,./(1)在(O,e)上單調(diào)遞增, 當(dāng)廣。)<0時(shí)，x>e.f(x)在(e,+8)上單調(diào)遞減，即函數(shù)/*)的值域?yàn)?口,：(2)不妨設(shè)Ie% <e<x2y111 X. Ill X, X, 111 X,L =二gp1=二X x2 X1 111 X11"5 _ Inf + lnX t =hi x1 111 X1 t-li i / i i i liir rhirvlnx. =ln(/xJ = lnf + lnX = lnr + -=-. t + 1liix. + Ln x, =Inr-t-l要證±招>e2 即證 In演 + In x2 = t > 22(/ 1即 hit一一->0 r + 12(1)t + 1，。>1)WO；-4 _ e-i)2>0，g在(1,m)單調(diào)遞增,，g(l) = O liix. +hiA > 2 一即 4 x2 > e2得曲線C的普通方程為三+二=1；164(2)設(shè)。(4cosa,2sin