決策管理運籌學群決策

1、（決策管理）運籌學群決策2020申月上一章所研究的多屬性決策問題是由單個決策者從有限個方案中， 一個決策者認為滿意的方案。其決策行為主要表現(xiàn)在單一效用函數(shù)或單一優(yōu) 先關系的構(gòu)造和分析，這一類決策是所謂的獨斷型決策。但在現(xiàn)代社會生活 中，實際決策的形成往往不是一個人說了算的。由于各種經(jīng)濟決策問題變得 越來越復雜，在許多情況下都有必要集中一群人的智慧來共同解決決策問 題。即使是人們每天碰到的日常決策，雖然本質(zhì)上不屬于群決策的范疇，但 也會征求親友或同事們的意見，然后才作出決定。因此，根據(jù)群體各個成員 的意見和偏好來制訂統(tǒng)一的決策是人類決策的普遍形式?，F(xiàn)代群決策(GDM)理論的研究范疇已經(jīng)從早期的社

2、會選舉理論發(fā)展到 近代的多屬性群決策理論，又從多屬性群決策理論進一步推廣到現(xiàn)代的專家 系統(tǒng)理論和對策理論，并與模糊集理論結(jié)合在一起，形成了一個十分活躍而 廣泛的研究領域。多屬性決策問題從單個決策者的獨斷情形轉(zhuǎn)變到多個決策者集議的情 形，給決策分析帶來許多復雜的因素，并提出一系列的新問題。由于不同的 決策者對同一問題的理解和愿望彼此不同，甚至是相互抵觸和矛盾的，如何 根據(jù)每個成員的偏好形成整個群體的偏好，即從單一優(yōu)先關系或單一效用函 數(shù)形成群體優(yōu)先關系或群體效用函數(shù)， 進而排列方案的優(yōu)劣次序，便成為解 決多屬性群決策問題的關鍵。12.1 選舉函數(shù)和福利函數(shù)12.1.1 社會選舉理論選舉是民主社會

3、中表達民眾意愿的基本形式， 也是最典型的群決策方法 之一。當選民在投票的時候，心中對候選人的各方面條件，如資格、能力、 誠信度等， 都已經(jīng)作了綜合性的衡量與比較， 才形成自己的選擇意愿。 所以， 選舉過程實質(zhì)上是一個多屬性的群決策過程， 只是這里的決策屬性沒有以外 在的形式表現(xiàn)出來而已。社會選舉方法的形成和發(fā)展可以劃分為三個主要的歷史時期。 第一個歷 史時 期發(fā)生在十八世紀八十年代的法國，其代表人物為Borda和Condorcet。第二個歷史時期發(fā)生在十九世紀六十年代和九十年代之間的英 國，其代表人物為Dodgson和Nanson。第三個歷史時期發(fā)生在二十世紀 五十年代 至八十 年代的 美國，

4、其代 表人物 為Arrow，Gibbard選擇和Satterthwaite。選舉需要解決的根本問題是如何在充分考慮個人意愿的基礎上形成合 理的全社會的選舉結(jié)果。對于只有兩個候選人的選舉情況，簡單多數(shù)的選舉 原則被普遍認為是公正可行的。但如果有多名候選人存在時，簡單多數(shù)的選舉原則卻有可能導致 矛盾荒謬的結(jié)果。譬如，設有三個選民甲、乙、丙和三個候選人，如果甲 認為優(yōu)于，又優(yōu)于；乙認為優(yōu)于，又優(yōu)于；而丙認為優(yōu)于，又優(yōu)于。那么 兩兩比較的結(jié)果是：優(yōu)于有兩票贊成一票反對，優(yōu)于也有兩票贊成一票反 對，但是優(yōu)于只有一票贊成兩票反對。因此，按簡單多數(shù)原則得到的結(jié)果是不傳遞的， 即優(yōu)于，優(yōu)于，但卻不優(yōu)于。 這就

5、是十八世紀末由Condorcet揭示的選舉問題中的多數(shù)悖論，稱為Condorcet現(xiàn)象，或Condorcet效應。為了克服Condorcet現(xiàn)象在選舉理論上造成的極大困擾，許多不同 的群決策程序相繼提出，形成了社會選舉函數(shù)和社會福利函數(shù)兩大類別。 前者主要用于政治選舉問題，后者主要用于經(jīng)濟決策問題。當方案集為有 限集時，社會選舉函數(shù)和社會福利函數(shù)是完全等價的，只有當方案集為無 限集時，社會福利函數(shù)才有別于社會選舉函數(shù)。社 會 選 舉 函 數(shù) 基 于Condorcet倡 議 的 簡 單 多 數(shù) 原 理 ， 并 由，F(xiàn)eld及其合作者(1987)，Hartley和Kilgour(1987)，Dut

6、ta(1988)，Zavist和Tideman(1989)等人圍繞著Borda(1784)，Copeland(1951)，Nanson(1883)，Dodgson(1876)，Kemeny(1959)，Cook和Seiford(1978)Fishburn(1977)，Bernardo(1981),Miller(1983)Shepsle和Weingast(1984)，Banks(1985)，Mckelvey(1986)Condorcet現(xiàn)象從不同角度對社會選舉函數(shù)進行了改進 和推廣。Black(1958)和Fishburn(1977)以及Gehrlein(1983)對早期的這些方法進 行了總結(jié)，

7、并從理論上作了詳細的比較性研究。社 會 福 利函 數(shù) 的概 念 由Bergson(1938)提 出 ， 經(jīng) 過Samuelson(1947)，Goodman-Markowits(1952)的改進和發(fā)展，并由Arrow(1963)加 以 創(chuàng) 新 和 推 廣 。此 后 ，Kirkwood(1972)，Bowman-Colantoni(1973)，Gibbard(1973)，Blin-Whinston(1974)，Satterthwaite(1975)，F(xiàn)arris-Sage(1975)，Parks(1976)，Pollak(1979)，Dyer-Sarin(1979)，Mackay(1980)，B

8、owers(1981)，Grether-Plott(1982)，F(xiàn)ishburn(1983,1987)，Nurmi(1987)，Merrill(1988)，Enelow-Hinich(1989)等人在Arrow的不可能性定理的基 礎上，提出了各種各樣的改進方法。Luce-Raiffa(1957)，Rotheberg(1961)，Kelly(1978)和Fishburn(1973,1984,1990)對各種社 會福利函數(shù)都有過精辟的論述。下面我們將扼要介紹社會選舉函數(shù)和社會福利函數(shù)的基本理論和方法。12.1.2 社會選舉函數(shù)在社會選舉問題中，候選人集合是一個非空有限集合，記為n位選民參加投票，每

9、個人將按照自己的意愿對候選人進行排隊。對于任 何兩個候選人x,yeA，采用符號#(i:xiy)表示x優(yōu)于y的票數(shù)，則有#(i：A。設有xiy)+#(i：yix)=n,?x刊。那么簡單多數(shù)原則可以被定義為：xy當且僅當#(i：xiy)#(i：yix)如果#(i：xiy)=#(i:yiX),則認為x與y無差異。Condorcet認為， 在簡單多數(shù)原則下， 如果存在某一個候選人能夠擊敗所有的對手，則該候選人必然是最能代表大多數(shù)選民意愿的選舉結(jié)果。換言之，Condorcet原則被定義為：x=x*當且僅當xA,xy,?yAx但是，當選舉結(jié)果出現(xiàn)循環(huán)現(xiàn)象時，不存在以簡單多數(shù)勝出的候選人。為此，許多學者對上

10、述簡單多數(shù)原則進行了推廣，并由此產(chǎn)生了多種多樣的社會選 舉函數(shù)。現(xiàn)選擇其中有代表性的幾種社會選舉函數(shù)分別介紹如下。(1) Co ndorcet函數(shù)當簡單多數(shù)勝出的候選人不存在時，Con dorcet提議采用下面的方法。設則候選人的優(yōu)先順序?qū)凑蘸瘮?shù)fc(x)的值來排列。這里，fc(x)的值表示x與 其它候選人比較時所處的最不利情形。因此，fc(x)是一個極大-極小型的保守函數(shù)。(2) Borda函數(shù)在包含m個候選人的選舉問題中，Borda提議對每一個候選人依據(jù)其排序名次分別記分，稱為Borda分。記分原則是排在第一位得m-1分，第二位得m-2分，這樣依次遞減，直到最后一位得0分。候選人的最終排

11、名取決于Borda總分的高低，其數(shù)學表示式為(3) Cook-Seiford函數(shù)Cook和Seiford弓I進了距離函數(shù)d以度量排序的不一致性，并將總距離最小的排序方式定義為一致性排序。設rj表示選民i對候選人j的排序結(jié)果，令rj*表示候選人j的一致性排序結(jié)果，那么選民i排序的不一致性可以表示為故排序的總偏差為因為rj*只能等于序數(shù)1,2, m,中的某一個，設rj*=k，則可定義從而假定每個候選人都有m個不同的k值，則一共要計算mxm個距離系數(shù)djk,j,k=i,2,-m。顯然，尋找使總距離最小的一致性排序問題等價于求解一個mxm的分配問題。限于本教材的撰寫目的和篇幅，其它社會選舉函數(shù)不再-列

12、舉，有興趣的讀者可參閱書后所列的參考文獻。例12.1假設某班級60位學生擬從3名任課教師中評選1名優(yōu)秀教師， 投票結(jié)果為：23票:abc17票：bca2票:bac10票：cab8票:cba(1)C on dorcet函數(shù)：兩兩比較結(jié)果為#（i：ab）=33,#（i：bia）=27,#（i：aic）=25#（i：cia）=35,#（i:bc）=42,#（i：cib）=18顯然，這里不存在能以簡單多數(shù)勝出的候選人。采用Con dorcet算結(jié)果可表示為如下矩陣形式：,a,b,c,fca,33,25,25b,27, - ,42,27c,35,18, ,18結(jié)論：baco（2）Borda函數(shù)：,a,b

13、,c,fBa, ,33,25,58b,27, ,42,69c,35,18, ,53結(jié)論：baco（3）CookSeiford函數(shù)：已知i=1,2,，60j=,a,b,c,k=1,2,3函數(shù)的計(1)C on dorcet函數(shù)：兩兩比較結(jié)果為類似地，可算出:以上距離系數(shù)被總結(jié)在下面的矩陣表中:kj，1,2,3a,62,48,58b,51,29,69C,67,43,53這是一個使總偏差達到最小的分配問題，其求解過程為：62.48.58. 14.0.10., 0,0,051.29.69. 22.0.40.8,甘3067.43.53. 24.0.10.10.0, 0|結(jié)論：abc。12.1.3 社會福

14、利函數(shù)福利經(jīng)濟學是西方的一種經(jīng)濟學派，主要研究社會資源和商品的分配理論與方法，旨在發(fā)現(xiàn)某種合理的社會結(jié)構(gòu)，以使由資源和商品產(chǎn)生的社會福 利達到最大。福利經(jīng)濟學家從社會福利的觀點去評價各種可能的社會結(jié)構(gòu)， 并用一個反映社會狀況的實值函數(shù)一一福利函數(shù)去度量和判斷每種社會結(jié) 構(gòu)的優(yōu)劣。早期的社會選舉函數(shù)和社會福利函數(shù)對候選人或事所處狀態(tài)的描述采用的都是序數(shù)型變量，即排序比較方法。針對這種情形，Arrow提出了滿足一致性要求的兩條公理和五項條件，并在此基礎上證明了著名的Arrow不可能性定理，即在一般情形下不可能找到一種程序或方法將所有社會成員的個 人偏好集成為整個社會的群體偏好而不違背一致性原則。為

15、此，其它學者作 出了種種假設，旨在將序數(shù)型的社會福利函數(shù)改寫成基數(shù)型的效用函數(shù)，從 而發(fā)展為現(xiàn)代的多屬性群決策理論與方法。在介紹Arrow的不可能性定理之前，我們先引進二元關系和社會福利函 數(shù)的定義與性質(zhì)：定義12.1集合A上的一個二元關系R是域A XA上的一個子集，定義 為A上全部有序?qū)?x,y)的集合，記作xRy，并用符號？，？和分別表示x,y之間的強序關系，弱序關系和無差異關系，記作x?y,x?y和xy。定義12.2設R是集合A上的一個二元函數(shù)。則：(1)R是自反的當且僅當：xRx,?xA。(2)R是連通的當且僅當：。式中V是邏輯或”的符號，即對于集合A中 的任何x,y不是xRy，就是y

16、Rx。(3)R是不循環(huán)的當且僅當：不存在，使得式中人是邏輯與的符號。(4)R是可傳遞的當且僅當：，即如果，而且yRz，則xRz。R是一個弱序關系當且僅當：R是連通的和可傳遞的。定義12.3設有一組方案和決策群體D=(DI,D2, Dm)。社會福利函數(shù)f是將決策者個人在方案集A上的獨立序關系合成為決策群體D在A上的總 序關系R的法則，亦即f是從積空間Rm到空間R的一個映射，記為？，？或定義12.4對于A中的任意方案x,y,當決策者Di認為x?iy,xiy和x?iy時，分別記Ri=l,0和-1。則由社會福利函數(shù)f確定的群決策法則具有以 下性質(zhì)：(1)可決策性：；公正性：；(3)平等性：如果o是1,

17、m上的任一排列，則(4)正相關性：；(5)均分性：對于任意正整數(shù)m,；(6)弱Pareto最優(yōu)性：；(7)強Pareto最優(yōu)性：如果中的某些值等于1,而其它值等于0,則如果中的全部值等于0,則。對定義10.4中的有關性質(zhì)可作如下解釋，(1)可決策性：指由社會福利函數(shù)產(chǎn)生的群決策法則對于選民的每一種選擇意向都應該能得到一個有意義的、唯一的決策結(jié)果。（2）公正性：如果所有的人都改變原來的選擇意向,則原決策的結(jié)果將會被推翻，其作用是防止任何候選人或候選方案被外部勢 力內(nèi)定為決策的必然結(jié)果。（3）平等性：避免某一個決策成員享有高于其它決 策成員的權(quán)力，體現(xiàn)了一人一票的選舉原則。（4）正相關性：如果一個

18、或幾個決策成員的選擇意向朝著對方案x有利的方面轉(zhuǎn)化，而對其它方案的選擇意向保持不變，則方案x所處的選舉地位只會變好，不會變差。（5）均分性：當某一個決策者認為方案x和方案y無差異時，可設想該決策者被一分為二， 其中的半個人投票贊成x，另外半個人投票贊成y。如果有多個方案被認為無差異時，也可用類似的方式進行處理。（6）Pareto最優(yōu)性（也稱為全體一致性）:當所有的人都選擇x時，則x勝，當所有的人都選擇y時，則y勝。容易想見，滿足上述定義的社會福利函數(shù)很多，有些是可以接受的，有 些是不能接受的。Arrow在群決策理論上的重大貢獻之一是為社會福利函數(shù) 規(guī)定了一組看起來非?？尚诺墓砗蜅l件，從而導出

19、了群決策理論上著名的不可能性定理”。它們是：公理1連通性：設有方案集和決策群，決策者對于A中任意方案的偏好，不是，就是，或者。公理2傳遞性：對于方案集中的任意方案，如果決策者認為，則必有。條件1 （完備性）方案集A中至少有三個方案， 決策群D中至少有二個決 策人，由社會福利函數(shù)產(chǎn)生的群決策法則必須考慮每一個決策者的選擇意愿。條件2(正相關性)如果社會福利函數(shù)f給出x優(yōu)于y的結(jié)果，則當決策者對x以外的方案進行兩兩比較的結(jié)果不變，且對x與其它方案之間的比較結(jié)果對x而言沒有任何不利時，社會福利函數(shù)的結(jié)果將維持不變。條件3(無關方案獨立性)設A為方案集A中的一個子集，如果每一個決策者都保持對A中方案兩

20、兩比較的結(jié)果不變，而只改變A以外方案的比較結(jié)果，則對A中的方案來說，兩種情況下的決策次序是一樣的。條件4(Pareto最優(yōu)性)對于A中的任意方案，必須有某些決策者認為優(yōu) 于時，才有可能導致群體的選擇結(jié)果是優(yōu)于。條件5(非獨裁性)對于A中的任意方案，沒有任何一個決策者可以為群體指定一個優(yōu)劣次序，或者，而不管其它決策者的意見如何。定理12.1沒有任何一個社會福利函數(shù)能同時滿足上面的兩條公理和五個條件。在Arrow之后，許多其它形式的不可能性定理相繼提出。其中最有代表性的幾種形式是：Mass-Colell和Sonnenschein(1972),Gibbard(1973)和Satterthwaite(

21、1975),Parks(1976)和Pollak(1979)以 及Grether和Plott(1982)。每一條不可能性定理的后面都伴隨著相應的可能性定理和一系列相互可比的條件，這些條件都是通過松弛或弱化Arrow定理中的一個或多個條件以達成一致而得到的。感興趣的讀者可以查閱后面的參考文獻或Kelly(1978)和Fishburn(1987)對此所作的精辟論述。社會福利函數(shù)之所以不能同時滿足Arrow定義的兩條公理和五個條件，有原理和方法兩方面的原因。從條件本身來說，Goodman和Markowitz(1952)曾用下面的例子說明了Arrow條件的局限性。設主人擬用茶或咖啡中的一種同時招待兩位

22、客人， 如果主人只知道客人甲對咖啡的喜好勝于茶，而客人乙對茶的喜好勝于咖 啡，則主人會認為以茶或咖啡待客是沒有區(qū)別的。但如果主人還進一步知道 甲的喜好是咖啡勝于茶，茶勝于可可，可可勝于牛奶；但乙的喜好是不僅茶 勝于咖啡，而且可可、牛奶甚至白水都勝于咖啡。在這種情況下，主人要招 待這兩位客人顯然是以茶為好。這說明表面上看起來似乎無關的方案(在此為 可可、牛奶和白水)對于群決策的集成法則并不是完全無關的，因而Arrow定義的條件3對社會福利函數(shù)而言并非絕對適當。同時，F(xiàn)ishburn(1970)已經(jīng)證明，當問題的決策集是無限集合時，Arrow定義的五個條件將可以被滿足。這里，決策集有限和無限的差別

23、在于，原不可能性定理中獨裁者的角 色可以從幕前轉(zhuǎn)到幕后。從方法上來看， 序數(shù)型的社會福利函數(shù)僅僅給出了個人和群體對不同方 案的偏好順序，但忽略了他們對不同方案的偏愛程度，因而缺乏對事物的分 辨力。以Goodman和Markowitz的例子來說，如果客人甲和乙各自對咖 啡和茶的喜愛程度可以被量化，即用某種統(tǒng)一的尺度去衡量的話，譬如甲對咖啡的喜愛是8個單位，對茶的喜愛是6個單位，而乙對茶的喜愛是10個單位，對咖啡的喜愛是2個單位，則主人不難決定待客的飲料以茶為宜。這樣得到的社會福利函數(shù)被稱為基數(shù)型的社會福利函數(shù)。只要經(jīng)過簡單的變換，基數(shù)型的社會福利函數(shù)很容易轉(zhuǎn)化成所謂的的效用函數(shù)。容易證明，在個人

24、效用函數(shù)基礎上建立的群效用函數(shù)可以滿足Arrow提出的全部條件和公理。12.2 群效用函數(shù)基于群效用函數(shù)作出的決策并不是一種簡單的多數(shù)規(guī)則，它包含了更多個人效用的信息和人與人之間的效用的比較。群效用函數(shù)的一般形式為：式中代表第i個決策者對方案x的個人效用函數(shù)值。如果群效用函數(shù)為已知，則群決策問題就可以寫成下面的數(shù)學規(guī)劃問題：為了便于構(gòu)造群效用函數(shù)，Keeney和Raiffa(1976)為群效用函數(shù)的存在提出了某些必要的條件，并在此基礎上定義了群效用函數(shù)的加法模型和乘法模型?，F(xiàn)將這兩種模型分別介紹如下：(1)加法模型條件1個人效用函數(shù)和群效用函數(shù)均應滿足關于效用的Neumann-Morgenst

25、ern公理系統(tǒng)，即方案集A上的二元關系是完備的、傳遞的、獨立的、和連續(xù)的。條件2如果群中每個決策成員都認為某兩個方案是無差異的，則決策群也認為這兩個方案是無差異的。條件3個人效用函數(shù)的效用值是獨立可加的。定理12.2滿足上述條件的群效用函數(shù)可以表示為：式中是群中第i個成員的個人效用函數(shù)，而是的權(quán)值。(2)乘法模型條件1個人效用函數(shù)和群效用函數(shù)均應滿足關于效用的Neumann-Morgenstern公理系統(tǒng)，即方案集A上的二元關系是完備的、傳遞的、獨立的、和連續(xù)的。條件2如果群中所有的決策成員除第i個成員外都認為所有方案無差異，則群效用函數(shù)是第i個個人效用函數(shù)的正線性變換。換言之，此時的群偏好

26、等價于第i個成員的偏好。條件3如果群中所有的決策成員除第i個和第j個成員外都認為所有方案無差異，則決策群體對這些方案的偏好僅取決于第i和第j個成員的偏好。定理12.3滿足上述條件的群效用函數(shù)可以表示為: 式中為標度常數(shù)，i=1,2,m,Keen ey(1974)已經(jīng)證明：當時，群效用函數(shù)應采用加法模型；當時，群效用函數(shù)應采 用乘法模型。群效用函數(shù)的存在性表明，可以由群中每個成員的偏好形成整個群體的偏好，并根據(jù)群 體的偏好排列方案的順序。這為解決群決策問題提供了重要的理論基礎。但在實際決策中， 直接構(gòu)造群效用函數(shù)有諸多不便，故很少應用。我們在下一節(jié)將介紹如何將已經(jīng)學習過的多 屬性決策方法移植過來

27、，用以解決群決策問題。12.3 多屬性群決策方法在前面討論的群決策模式中，事物的屬性并沒有以外在的形式表現(xiàn)出來。群效用函數(shù)的 集成對象是所有個人效用函數(shù)的效用值，但個人效用的獲取過程并沒有涉及。這里，我們將 在本書第九章的基礎上，介紹有多個決策者存在時多屬性決策問題的解決方法。設有方案集A=A1A2, -Am和決策群體D=Dl,D2,.,Dn。每一位決策者將依據(jù)自己選 定的一組屬性C=Cl,C2,Cl對每一個方案獨立地進行評價，并用權(quán)向量W=W1,W2,Wl表示各屬性的重要程度，符合歸一化條件W1+W2+-+Wn=1O不同決策者考察的屬性及采用的權(quán)值可以相同，也可以不同。其決策模式寫為：C1C

28、?. C|與多屬性決策一樣，決策者采用的評價方式有序數(shù)型和基數(shù)型兩種：前者只給出每一屬性上各方案的排列順序；后者則度量各方案每一屬上的實際水平，并以數(shù)值形式表明其結(jié)果。不同之處在于多屬性決策的決策矩陣是唯一的，它反映了決策者對多個屬性的偏好結(jié)構(gòu)；而 群決策的決策矩陣有許多個，分別代表了不同決策者的決策意愿，其偏好結(jié)構(gòu)互不相同，但 都應受到尊重，不能厚此薄彼，或有所偏廢。為了使問題簡化，假定個人效用函數(shù)的效用值是獨立可加的。那么，求解群決策問題的關鍵在于：（1）如何表示每一位決策者的個人優(yōu)先關系；（2）如何將個人優(yōu)先關系合成為群優(yōu)先關系；（3）是先合成、后評價，還是先評價、后合成？這里，前者是先

29、將不同決策者就方案 屬性作出的評價綜合到一起，然后選用已知的多屬性決策方法統(tǒng)一求解，其實質(zhì)是將一個群 決策問題整體轉(zhuǎn)化為一個獨裁決策問題，它要求所有的決策者采用相同的屬性和屬性權(quán)值以 方便合成；后者是由每一位決策者先按照自己的意愿分別對相應的多屬性決策問題進行求 解，其結(jié)果歸結(jié)為社會選舉問題，然后采用本章討論的社會選舉函數(shù)作出最終的選擇，其實 質(zhì)是將一個群決策問題分解成若干個獨裁決策問題，該方法對不同決策者考察的屬性和采用 的屬性權(quán)值不強求一致。綜上所述，求解一個效用值獨立可加的群決策問題，關鍵在于怎樣合成和什么時候合成。因為涉及兩種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)（序數(shù)型和基數(shù)型）和兩種合成順序（先合成和后合成），

30、兩兩組合共有四 種不同的決策程序，現(xiàn)通過實例分別介紹如下。例12.2 NASA為宇宙飛船的科學實驗擬定了六個可能的實驗方案，它們分別是：通訊與航行實驗（Ai），地面觀測實驗（A2），物理化學實驗（A3），微生物實驗（A4）,系統(tǒng)檢測實驗（A5）和環(huán)境效應實驗（A6）。對每一實驗都要從需要性（Ci）、研究性（C2）和發(fā)展性（C3）三個方面進行 評價。NASA組織了六位專家（Di,D2,D3,D4,D5,D6）對方案實施考察，后因?qū)嶒灂r間和條件的 限制，通訊航行實驗的方案被先行淘汰而退出了選擇程序。其評定結(jié)果為：Di,Cl,C2,C3,D2,Cl,C2,C3,D3,Cl,C2,C3A2,5,3,3

31、,A2,3,4,4,A2,3,4,4A3,2,1,2,A3,2,2,1,A3,1,1,2A4,3,4,4,A4,5,3,5,A4,5,3,5A6,1,1,2,1,2,2A5,4,5,5”A5,4,5,2”A5,4,5,1A6,1,2,1”A6,1,1,3,A6,2,2,3D4,Cl,C2,C3,D5,Cl,C2,C3,D6,Cl,C2,C3A2,4,1,3,A2,4,4,4,A2,1,5,5A3,2,3,1,A3,1,2,2,A3,3,1,2A4,5,4,5,A4,5,5,5,A4,5,4,4A5,3,2,4,A5,3,3,2,A5,4,3,3A6,1,5,2,A6,2,1,3,A6,2,2,

32、1顯然，這是一個序數(shù)型的多屬性群決策問題，下面是兩種不同的決策程序。(1)先綜合意見，后統(tǒng)一求解對于被考察的每一種屬性Cj,j=1,2,;卜，我們有以下序列矩陣其中矩陣元素1,2,n表示決策者k對方案Ai在屬性j上所排的名次。 選舉方法，如Borda方法，可確定各方案關于屬性j的優(yōu)劣次序。本例中，屬性C1的序列矩陣為：C1,D1,D2,D3,D4,D5,D6A2,5,3,3,4,4,1A3,2,2,1,2,1,3A4,3,5,5,5,5,5A5,4,4,4,3,3,4采用任何一種社會A6,1,1,2,1,2,2現(xiàn)采用Borda記分法求解，令排名第一至第五位的分值分別為4,3,2,1,0，可得分

33、值矩陣CI,DI,D2,D3,D4,D5,D6, ,Ci,DA2,0,2,2,1,1,4,A2,10A3,3,3,4,3,4,2,A3,19A4,2,0,0,0,0,0,A4,2A5,1,1,1,2,2,1,A5,8A6,4,4,3,4,3,3,A6,21故各方案關于屬性C1的優(yōu)劣次序為：。類似地，可求得各方案關于屬性C2和C3的優(yōu)劣次序分別為：。故各方案的綜合序列矩陣為：,C1,C2,C3A2,3,3,4A3,2,1,1A4,5,4.5,5A5,4,4.5,3A6,1,2,2矩陣中的分值4.5表示方案4和方案5在屬性C2上并列第四和第五的位置。然后計算加權(quán)的一致性矩陣，式中當方案排在第j位時

34、，；否則。從而有：i,第一位，第二位，第三位，第四位，第五位A5,0,0, 0.5, 0.35,0.15G= ,A2,0,0,W1+W2,W3,0,A3,W2+W3,W1,0,0,0,A4,0,0,0,0.5 W2,WI+0.5W2+W3,A5,0,0,W3,Wl+0.5W2,0.5W2,A6,W1,W1+W2,0,0,0設W=(0.2,0.3,0.5)，貝yi,第一位，第二位，第三位，第四位，第五位G=,A2,0,0,0.5,0.5,0,A3,0.8,0.2,0,0,0,A4,0,0,0,0.15,0.85,A5,0,0,0.5,0.35,0.15,A6,0.2,0.8,0,0,0采用匈牙利

35、方法可解得其最大分配為:ji,第一位，第二位，第三位，第四位，第五位A2,0,0,0.5, 0.5, 0A3,0.8,0.2,0,0,0A4,0,0,0,0.15, 0.85A6,0.2,0.8, 0,0,0A2,0,0, 0.8, 0,0.2結(jié)論：A3A6A5A2A4。(2)先個別求解，后綜合決策每一位決策者Dk將采用自己選定的考察屬性(Ci,C2, -Cik)和屬性權(quán)值(W1,W2, - wik)對方案進行獨立評價。本例中考察屬性已被確定為(Cl,C2,C3)，但權(quán)向量可以自由設計。設決策者Di選用的權(quán)向量為wi=(0.2,0.3,0.5)，則其個人的序列矩陣、加權(quán)一致性矩陣和排序結(jié)果分別

36、為：Di,Ci,C2,C3A2,5,3,3A3,2,1,2A4,3,4,4A5,4,5,5A6,1,2,1ji,第一位，第二位，第三位，第四位，第五位G= ,A2,0,0,W2+W3,0,W1,A3,W2,W1+W3,0,0,0,A4,0,0,W1,W2+W3,0,A5,0,0,0,W1,W2+W3,A6,W1+W3,W2,0,0,0ji,第一位，第二位，第三位，第四位，第五位A3,0.3,0.7, 0,0,0A4,0,0,0.2, 0.8, 0A5,0,0,0,0.2, 0.8標準為10分制：非常好計10分，優(yōu)秀計9分，良好計7分，一般計5分，較差計3分，A6,0.7,0.3,0,0,0故決

37、策者Di的排序結(jié)果為：A6A3A2A4A5。類似地，我們有D2:w2=(0.3,0.3,0.4)TA6A3A2A5A4或A6A3A4A2A5。D3：w3=(0.2,0.4,0.4)TA3A6A4A2A5D4：w4=(0.3,0.4,0.3)TA2A5A3A4A6D5：W5=(1/3,1/3,1/3)TA3A6A5A2A4D6:W6=(0.3,0.2,0.5)TA6A3A5A4A2因為決策者D2給出了兩個不同的排隊順序，故分別綜合如下(a)故方案的排列順序為：A3A6A2A5 A4O(b)故方案的排列順序為：A3A6A2A4A5O例12.3某專家組正負責優(yōu)秀論文的審評與選拔工作。該專家組由三位專

38、家組成，記為D1,D2,D3，待審的論文為五篇，記為A1,A2,A3,A4A5。評選工作分兩步進行：第一步由每一位專家對論文獨立考核，考核指標為理論價值、實用價值和難易程度三個方面，記為Cl,C2,C3,其相對重要性商定為0.4,0.4,0.2?？己私Y(jié)果以計分的形式(而不是以排序的形式)給出。計分很差計1分，非常差計0分。第二步由專家組集中各位專家的意見，以形成最后的決議。專 家的計分結(jié)果如下表所示：Di,Cl,C2,C3,D2,CI,C2,C3”D3,CI,C2,C3Ai,5,7,9,Ai,5,5,9,Ai,7,7,7A2,7,10,7”A2,9,7,7,A2,9,10,5A3,7,5,3,

39、A3,5,3,5,A3,5,3,5A4,3,5,5,A4,1,5,7,A4,5,5,9A5,9,9,7,A5,9,7,5,A5,9,7,7規(guī)范方式為：規(guī)范矩陣為：A4,0.3095,0.3283,0.5947D1,C1,C2,C3,D2,C1,C2,C3A1,0.3426,0.4183,0.6167,A2,0.4796,0.5976,0.4796,A3,0.4796,0.2988,0.2056,A4,0.2056,0.2988,0.3426,A5,0.6167,0.5378,0.4796,D3,C1,C2,C3A1,0.4333,0.4596,0.4626A2,0.5571,0.6565,0.

40、3304A3,0.3095,0.1969,0.3304A1,0.3426,0.3990,0.5947A2,0.6167,0.5587,0.4626A3,0.3426,0.2394,0.3304A4,0.0685,0.3990,0.4626A5,0.6167,0.5587,0.3304A5,0.5571,0.4596,0.4626(1)先綜合意見，后統(tǒng)一求解首先計算綜合的規(guī)范性決策矩陣：其結(jié)果為D,Cl,C2,C3AI,0.3728,0.4256,0.5580A2,0.5511,0.6042,0.4927A3,0.3772,0.2450,0.2888A4,0.1945,0.3420,0.4666

41、A5,0.5968,0.5187,0.4242然后計算加權(quán)的規(guī)范性決策矩陣：D 二dij=Wjdj，w=(0.4,0.4,0.2)，其結(jié)果為D :C1,C2,C3A1,0.1491,0.1702,0.1116A2,0.2204,0.2417,0.0985A3,0.1508,0.0980,0.0578A4,0.0778,0.1368,0.0933A5,0.2387,0.2075,0.08481簡單加權(quán)平均法：D ,C1,C2,C3,A1,0.1491,0.1702,0.1116,0.4309A2,0.2204,0.2417,0.0985,0.5606A3,0.1508,0.0980,0.0578

42、,0.3066A4,0.0778,0.1368,0.0933,0.3079A5,0.2387,0.2075,0.0848,0.5310結(jié)論：A2A5AlA4 A3O2折衷算法：理想解：A+=()=(0.2390,0.2417,0.1116);反理想解：A-=()=(0.0778,0.0980,0.0578);與理想解距離：=(0.1149,0.0228,0.1770,0.1932,0.0434);與反理想解距離：=(0.1149,0.2065,0.0730,0.0526,0.1965);綜合效用值：=(0.5000,0.9005,0.2920,0.2140,0.8191)。結(jié)論：A2A5A1A

43、3 A4O(2)先個別求解，后綜合決策1簡單加權(quán)平均法：首先由每位專家獨立評價，其中對D1而言，其評價過程為D1,C1(0.4),C2(0.4),C3(0.2),A1,0.3426,0.4183,0.6167,0.4277A2,0.4796,0.5976,0.4796,0.5268A3,0.4796,0.2988,0.2056,0.3525A4,0.2056,0.2988,0.3426,0.2703A5,0.6167,0.5378,0.4796,0.5577TD1:A5A2A1A3A4類似地，可以求出與反理想解距離：=(0.1097,0.1711,0.1096,0.0274,0.1980)D2

44、：A2A5AlA3A4D3：A2A5AlA4A3然后采用社會選舉方法，如Borda方法，求出專家組綜合排序結(jié)果。其過程為D,D1D2D3,XAI,2,2,2,6A2,3,4,4,11A3,1,1,0,2A4,0,0,1,1A5,4,3,3,10結(jié)論：A2A5A1A3A42折衷算法：專家D1的加權(quán)規(guī)范矩陣及評價過程為D1,C1,C2,C3A1,0.1370,0.1673,0.1233A2,0.1918,0.2390,0.0959A3,0.1918,0.1195,0.0411A4,0.0822,0.1195,0.0685A5,0.2467,0.2151,0.0959理想解：A+=(0.2467,0

45、.2390,0.1233);反理想解：A=(0.0822,0.1195,0.0411);與理想解距離：=(0.1311,0.0584,0.1551,0.2106,0.0364);綜合效用值：=(0.4556,0.7455,0.4140,0.1151,0.8447)。Di：A5A2AlA3A4。類似地，可以求出專家D2和D3的排序結(jié)果為：D2:A2A5AlA3A4；D3：A2A5 AIA4 A3O然后采用Borda的記分法綜合三位專家的意見，其決策過程為：D,D1D2D3,XAi,2,2,2,6A2,3,4,4,11A3,1,1,0,2A4,0,0,1,1A5,4,3,3,10故導致結(jié)論：A2A

46、5A1A3A4O顯然，上述方法在本例中表現(xiàn)出良好的一致性，其共同結(jié)論為：A2A5A1A3 A4O練習(1)在西方的選舉制度中，常見的選舉方法有以下幾種。1。簡單多數(shù)原則：無論有多少候選人，每個選民只投一票，得票最多的候選人不管是否超過半數(shù)都將勝出。2。絕對多數(shù)原則：對選民來說，還是每人只投一票，但候選人得票必須超過半數(shù)才能勝出。如果第一輪投票無人得票超過半數(shù)，則需改用多輪投票或兩輪投票方式來決出勝利者。其中，多輪投票方式是每一輪將得票最小的候選人淘汰，投票一直繼續(xù)到產(chǎn)生得票超過半數(shù)的候選人為止。而兩輪投票方式則是由第一輪投票中得票數(shù)最多的兩名候選人參加第二輪的投票選舉。Dodgson通過以下的三個例子指出了上述選舉方法的不合理性。假定 位候選人按照優(yōu)劣次序排隊如下：例 1,選民序列,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,1,A,A,A,B,B,B,B,C,C,C,D,2,C,C,C,A,A,A,A,A,A,A,A,3,D,D,D,C,C,C,C,D,D,D,C,4,B,B,B,D,D,D,D,B,B,B,B例