數(shù)列通項(xiàng)公式的求法之構(gòu)造輔助數(shù)列(教師版

1、數(shù)列通項(xiàng)公式的求法之構(gòu)造輔助數(shù)列 預(yù)習(xí)案：1數(shù)列an滿足an+1=2an-1，a1=2，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。 解：設(shè)an+1+x=2(an+x),即an+1=2an+x,對(duì)比系數(shù)有x=-1， 故由an+1=2an-1,得an+1-1=2(an-1)，即an+1-1=2，得新數(shù)列an-1是以an-1a1-1=2-1=1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，an-1=2n-1，即通項(xiàng)an=2n-1+1。整理：一階線性遞推的一般形式及其解決方法： 思路：利用待定系數(shù)法，將an+1=qan+d化為an+1+x=q(an+x)的形式，從而構(gòu)造新數(shù)列an+x是以a1+x為首項(xiàng)，以q為公比的等比數(shù)列。（待定系數(shù)法

2、，構(gòu)造等比數(shù)列） 教學(xué)案：題型一：遞推公式滿足an+1=qan+g(n)型例1. 已知數(shù)列an滿足an+1=2an+(2n-1)，且a1=2，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。設(shè)an+1+k(n+1)+b=2(an+kn+b)，解得k=2,b=1，求得an=52n-1-2n-1。 小結(jié)：當(dāng)g(n)為一次函數(shù)時(shí),思路：利用待定系數(shù)法，構(gòu)造等比數(shù)列an+kn+b設(shè)an+1+k(n+1)+b=q(an+kn+b)例2. 已知數(shù)列an滿足an+1=2an+3n2+4n+5，a1=1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。 解：設(shè)an+1+x(n+1)2+y(n+1)+z=2(an+xn2+yn+z)， 比較系數(shù)得，an+1+3(

3、n+1)2+10(n+1)+18=2(an+3n2+10n+18)， 故數(shù)列an+3n2+10n+18為以a1+312+101+18=1+31=32為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，因此an+3n2+10n+18=322n-1，則an=2n+4-3n2-10n-18小結(jié)：當(dāng)g(n)為二次函數(shù)時(shí)，思路：構(gòu)造等比數(shù)列an+xn+yn+z利用待定系數(shù)法設(shè)an+1+x(n+1)2+y(n+1)+z=q(an+xn2+yn+z) 例3. 已知數(shù)列an滿足an+1=2an+32n，a1=2，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。 解：an+1=2an+32n兩邊除以2n+1，得2an+1an3an+1an3，則， =+-=2

4、n+12n22n+12n2故數(shù)列an33an是以1為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，得， =1+(n-1)nn22223212所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=(n-)2n。例4. 已知數(shù)列an滿足a1=1，an+1=3an+2n（nN+），求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解法1：設(shè)an+1+x2n+1=3(an+x2n)x=1an+2n為等比數(shù)列從而an=3n-2n。解法2：由an+1=3an+2n知anan+13an13b=+1，令，則=+b=bn nn+1n+1nn222222b1=33 bn=()n，從而an=3n-2n。 22例5. 已知數(shù)列an滿足an+1=3an+52n+4，a1=1，求數(shù)列an的通

5、項(xiàng)公式。 解：設(shè).an+1+x2n+1+y=3(an+x2n+y)， 比較系數(shù)得，an+1+52n+1+2=3(an+52n+2)， 故數(shù)列an+52n+2是以a1+521+2=1+12=13為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，因此an=133n-1-52n-2小結(jié)：當(dāng)g(n)為類指數(shù)函數(shù)，思路：觀察g(n)的形式，如果g(n)的底數(shù)與an的系數(shù)c相同時(shí)，則把a(bǔ)n+1=can+g(n)兩邊 同時(shí)除以cn+1，從而構(gòu)造出一個(gè)等差數(shù)列；如果g(n)的底數(shù)與an的系數(shù)c不相同時(shí)，可以利用待定系數(shù)法構(gòu)造一個(gè)等比數(shù)列 例6. 已知數(shù)列an滿足a1=1,an+1=an，求an的通項(xiàng)公式。 3an+1解： an+

6、1=an1111，兩邊取倒數(shù)有-=3 =+3，即3an+1an+1anan+1an111 數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列；=3n-2,an=a3n-2ann例7. 在數(shù)列an中，已知a1=2,an+1=2an，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。 an+1解：由a1=2,an+1=2an可知，對(duì)nN，an0；兩邊取倒數(shù)得an+1111111111-1= -1-1a=1,，即，又。數(shù)列-1=-=+1an+12 aaa2an+122an1nn11111-1=- 是首項(xiàng)為-，公比為的等比數(shù)列，an22222n。 an=n2-1小結(jié)：遞推公式滿足an+1=n-11=- ， 2n1an型，取倒數(shù)，構(gòu)造數(shù)列，使其為

7、等差數(shù)列。 pan+1an遞推公式滿足an+1=比數(shù)列。鞏固案： 1banan+，使其為等型或an+1=型，構(gòu)造數(shù)列can+dpan+qan1、已知數(shù)列an滿足a1=1，an+1=2an+1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。 解： an+1=2an+1(nN),an+1+1=2(an+1), *an+1是以a1+1=2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。 an+1=2n.，即an=2n-1(nN*)。2、已知數(shù)列an中，a1=1，an+1=解：在an+1=11an+()n+1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。 2211an+()n+1兩邊乘以2n+1得：2n+1an+1=(2nan)+1 22+1，所以令bn=2nan，

8、則bn+1-bn=1，解之得：bn=b1+n-1=n-an=bnn11n+-。 =nnn2221an-1+2n-1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。 211111解：設(shè)an+An+B=an-1+A(n-1)+B，an=an-1-An-A-B 222223、已知a1=1，當(dāng)n2時(shí)，an=1-A=2A=-412解得： a1=3an-4n+6是以3為首項(xiàng)，為公2B=6-1A-1B=-122比的等比數(shù)列；an-4n+6=3 ()12n-1an=3+4n-6。 2n-14、已知數(shù)列an滿足an+1=2an+35n，a1=6，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。 解：設(shè)an+1+x5n+1=2(an+x5n).，比較系數(shù)得，an

9、+1-5n+1=2(an-5n)， 則數(shù)列an-5n是以a1-51=1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，則an-5n=2n-1， 故an=2n-1+5n。5、已知數(shù)列an滿足an+1=2an+3n2+4n+5，a1=1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。 解：設(shè)an+1+x(n+1)2+y(n+1)+z=2(an+xn2+yn+z)， 比較系數(shù)得，an+1+3(n+1)2+10(n+1)+18=2(an+3n2+10n+18)， 故數(shù)列an+3n2+10n+18為以a1+312+101+18=1+31=32為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，因此an+3n2+10n+18=322n-1，則an=2n+4-3n2-1

10、0n-18。6、已知數(shù)列an滿足an+1=3an+23n+1，a1=3，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。 注：若an+1=3an+23n+1，中不含常數(shù)a=31時(shí)，則直接構(gòu)造等差數(shù)列即可，但含常數(shù)1時(shí)則需累加。解：an+1=3an+23n+1兩邊除以3n+1，得an+1an21，則=+3n+13n33n+1an+1an21，故-=+n+1nn+13333ananan-1an-1an-2an-2an-3a2a1a1=(-)+(-)+(-)+ +(-)+3n3nan-1an-13n-23n-23n-332313212121213=(+n)+(+n-1)+(+n-2)+ +(+2)+3333333332(n-

11、1)11111=+(n+n+n-1+n-2+ +2)+13333331n-1(1-3)an2(n-1)n2n11因此n=，則+1=+-n331-33223211an=n3n+3n-. 3227、已知數(shù)列an滿足an+1=3an+52n+4，a1=1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。 解：設(shè).an+1+x2n+1+y=3(an+x2n+y)，比較系數(shù)得，an+1+52n+1+2=3(an+52n+2)， 故數(shù)列an+52n+2是以a1+521+2=1+12=13為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，因此an=133n-1-52n-2。8.已知數(shù)列an中，其中a1=1，且當(dāng)n2時(shí)，an= an-1，求數(shù)列an的通項(xiàng)2an-1+1公式。解：將an=an-1111兩邊取倒數(shù)得：-=2，這說明是一個(gè)等差數(shù)列，2an-1+1anan-1an首項(xiàng)是111。 =1，公差為2，所以=1+(n-1)2=2n-1，即an=2n-1a1an9. 已知數(shù)列an+1=an2an+1n,a1=1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。 解：1an+1=1+2n，即bn+1=bn+2n，則an21-2n-1bn=b1+=1-2+2n=2n-11-2()an=1。 n2-12n+1 an10. 數(shù)列an中，an+1=n+1，a1=2，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。 2+an2n+1+an1111=