第一課 二階矩陣與平面向量

1、第一課二階矩陣與平面向量【考點(diǎn)掃描】1 了解矩陣的相關(guān)知識在數(shù)學(xué)中，把形如，這樣的矩形數(shù)字（或字母）陣列稱做矩陣，一般地，我們用大寫黑體拉丁字母，或者（aij）來表示矩陣，其中i,j分別表示元素所在的行和列。同一橫排中按原來次序排列的一行數(shù)（或字母）叫做矩陣的行，同一豎排中按原來次序排列的一列數(shù)（或字母）叫做矩陣的列，組成矩陣的每一個(gè)數(shù)（或字母）稱為矩陣和元素，所有元素都為0的矩陣稱為零矩陣.平面上向量的坐標(biāo)和平面上的點(diǎn)P（x,y）都可以看做是行矩陣，也可以看做是列矩陣.因此我們又稱為行向量，稱為列向量，在本書中，我們把平面向量（x,y）的坐標(biāo)寫成的形式.當(dāng)兩個(gè)矩陣、，只有當(dāng)它們的行數(shù)與列數(shù)分

2、別相等，并且對應(yīng)位置的元素也分別相等時(shí)，才有.2 掌握二階矩陣與平面列向量在乘法規(guī)則行矩陣與列矩陣的乘法規(guī)則：=二階矩陣與列向量的乘法規(guī)則：=一般地兩個(gè)矩陣只有當(dāng)前一個(gè)列數(shù)與后一個(gè)矩陣的行數(shù)相等時(shí)才能進(jìn)行乘法運(yùn)算3 理解二階矩陣與平面列向量乘法的幾何意義一個(gè)列向量左乘一個(gè)2×2矩陣M后得到一個(gè)新的列向量，如果列向量表示一個(gè)點(diǎn)P（x,y）,那么列向量左乘矩陣M后的列向量就對應(yīng)平面上的一個(gè)新的點(diǎn).對于平面上的任意一個(gè)點(diǎn)（向量）（x,y）,若按照對應(yīng)法則T，總能對應(yīng)惟一的一個(gè)點(diǎn)（向量），則稱T為一個(gè)變換，簡記為：T：或T：一般地，對于平面向量變換T，如果變換規(guī)則為T：=，那么根據(jù)二階矩陣與

3、平面列向量在乘法規(guī)則可以改寫為T：=的矩陣形式，反之亦然（a、b、c、d）由矩陣確定的變換，通常記為TM,根據(jù)變換的定義，它是平面內(nèi)點(diǎn)集到自身的一個(gè)映射，平面內(nèi)的一個(gè)圖形它在TM,的作用下得到一個(gè)新的圖形.第二課幾種常見的平面變換【考點(diǎn)掃描】1理解可以用矩陣來表示平面中常見的幾何變換，掌握恒等、伸壓、反射、旋轉(zhuǎn)、投影、切變變換的矩陣表示及其幾何意義（）一般地，對于平面向量變換T，如果變換規(guī)則為T：=，那么根據(jù)二階矩陣與平面列向量在乘法規(guī)則可以改寫為T：=的矩陣形式，反之亦然（a、b、c、d）由矩陣確定的變換，通常記為TM,根據(jù)變換的定義，它是平面內(nèi)點(diǎn)集到自身的一個(gè)映射，平面內(nèi)的一個(gè)圖形它在TM

4、,的作用下得到一個(gè)新的圖形.在本節(jié)中研究的變換包括恒等變換、伸壓變換、反射變換、旋轉(zhuǎn)變換、投影變換、切變變換等六個(gè)變換（）由矩陣M=確定的變換TM稱為恒等變換，這時(shí)稱矩陣M為恒等變換矩陣或單位矩陣，二階單位矩陣一般記為E.平面是任何一點(diǎn)（向量）或圖形，在恒等變換之下都把自己變?yōu)樽约?（）由矩陣M=或M=確定的變換TM稱為（垂直）伸壓變換，這時(shí)稱矩陣M=或M=伸壓變換矩陣當(dāng)M=時(shí)確定的變換將平面圖形作沿x軸方向伸長或壓縮,當(dāng)時(shí)伸長,當(dāng)時(shí)壓縮.變換TM確定的變換不是簡單地把平面上的點(diǎn)(向量) 沿x軸方向“向下壓”或“向外伸”,它是x軸方向伸長或壓縮,以為例，對于x軸上方的點(diǎn)向下壓縮，對于x軸下方的

5、點(diǎn)向上壓縮，對于x軸上的點(diǎn)變換前后原地不動當(dāng)M=時(shí)確定的變換將平面圖形作沿y軸方向伸長或壓縮,當(dāng)時(shí)伸長,當(dāng)時(shí)壓縮在伸壓變換之下，直線仍然變?yōu)橹本€，線段仍然變?yōu)榫€段恒等變換是伸壓變換的特例，伸壓變換多與三角函數(shù)圖象的變換聯(lián)系起來研究（）將一個(gè)平面圖形變?yōu)殛P(guān)于定直線或定點(diǎn)對稱的平面圖形的變換矩陣稱為反射變換矩陣，對應(yīng)的變換稱為反射變換，關(guān)于定直線或定點(diǎn)對稱的反射又分別稱為軸反射和中心反射，定直線稱為反射軸，定點(diǎn)稱為反射點(diǎn)反射變換是軸對稱變換、中心對稱變換的總稱.在中學(xué)里常研究的反射變換有：由矩陣M=確定的變換是關(guān)于x軸的軸反射變換，由矩陣M=確定的變換是關(guān)于y軸的軸反射變換,由矩陣M=確定的變換是

6、關(guān)于原點(diǎn)的中心反射變換由矩陣M=確定的變換是關(guān)于直線y=x的軸反射變換學(xué)習(xí)反射變換要與函數(shù)圖象的變換、解幾中二次曲線變換的知識聯(lián)系起來考慮.其實(shí)質(zhì)是變換對縱橫坐標(biāo)產(chǎn)生的影響.（）將一個(gè)平面圖形繞一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角得到另一個(gè)平面圖形的變換稱為旋轉(zhuǎn)變換，其中的角叫做旋轉(zhuǎn)角，定點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)中心當(dāng)旋轉(zhuǎn)中心為原點(diǎn)且逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角時(shí)旋轉(zhuǎn)變換的變換矩陣為旋轉(zhuǎn)變換只會改變幾何圖形的位置，不會改變幾何圖形的形狀和大小，旋轉(zhuǎn)中心在旋轉(zhuǎn)過程中保持不變，圖形的旋轉(zhuǎn)由旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角所確定繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的變換相當(dāng)于關(guān)于定點(diǎn)作中心反射變換（）將一個(gè)平面圖投影到某條直線（或某個(gè)點(diǎn)）的變換稱為投影變換，變換對應(yīng)的矩陣稱為投影變換矩陣，本

7、節(jié)中主要研究的是由矩陣M=，M= ，M=確定的投影變換需要注意的是投影變換是映射，但不是一一映射（）由矩陣M=或確定的變換稱為切變變換，對應(yīng)的矩陣稱為切變變換矩陣以為例，矩陣把平面上的點(diǎn)沿x軸方向平移ky|個(gè)單位，當(dāng)ky時(shí)沿x軸正方向移動，當(dāng)ky時(shí)沿x軸負(fù)方向移動，當(dāng)ky時(shí)原地不動，切變變換有如下性質(zhì)：（）x軸上的點(diǎn)是不動點(diǎn)；（）保持圖形面積大小不變,點(diǎn)間的距離和夾角大小可以改變且點(diǎn)的運(yùn)動是沿坐標(biāo)軸方向進(jìn)行的切變變換的實(shí)質(zhì)是橫（縱坐標(biāo)）成比例地運(yùn)動.2理解二階矩陣對應(yīng)的幾何變換是線性變換，了解單位矩陣一般地，二階非零矩陣對應(yīng)變換把直線變?yōu)橹本€，把直線變?yōu)橹本€的變換叫做線性變換，本節(jié)中所研究的6

8、種變換均為線性變換，在研究平面上多邊形或直線在矩陣的變換作用后的圖形時(shí)，只需考察頂點(diǎn)（或端點(diǎn)）的變化結(jié)果即可3.了解恒等、伸壓、反射、旋轉(zhuǎn)、投影、切變變換這六個(gè)變換之間的關(guān)系如恒等變換可以看做伸壓、旋轉(zhuǎn)、切變變換的特殊情形;關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的中心反射變換可以看做是繞原點(diǎn)作了角度的旋轉(zhuǎn)變換，它還可以看做是先作關(guān)于x軸的反射再作關(guān)于y軸的反射的復(fù)合; 繞原點(diǎn)作了角度的旋轉(zhuǎn)變換可以看做是先繞原點(diǎn)作了角度的旋轉(zhuǎn)變換再繞原點(diǎn)作了角度的旋轉(zhuǎn)變換等等.第三課變換的復(fù)合與矩陣的乘法【考點(diǎn)掃描】 熟練掌握二階矩陣與二階矩陣的乘法（） 兩個(gè)二階矩陣相乘的結(jié)果仍然是一個(gè)矩陣，其乘法法則如下：（） 兩個(gè)二階矩陣的乘法滿足

9、結(jié)合律，但不滿足交換律和消去律即 (AB)C=A(BC), ABBA, 由 AB=AC不一定能推出B=C.2. 理解矩陣的乘法運(yùn)算與變換的復(fù)合之間的內(nèi)在聯(lián)系（1）兩個(gè)二階矩陣相乘的結(jié)果從幾何的角度來看它表示的是原來兩個(gè)矩陣對應(yīng)的連續(xù)兩次變換.（2）一般地兩個(gè)變換之間是不能隨意交換位置的，只有在特殊情況下才可以交換位置（3）矩陣AB對應(yīng)的復(fù)合變換順序是先進(jìn)行矩陣B對應(yīng)的變換再進(jìn)行矩陣A對應(yīng)的變換.如果連續(xù)對一個(gè)向量實(shí)施n次矩陣A對應(yīng)的變換可以記為的形式.（4）在數(shù)學(xué)中，一一對應(yīng)的平面幾何變換都可以看是伸壓、反射、旋轉(zhuǎn)、切變變換的一次或多次復(fù)合，而伸壓、反射、切變等變換通常叫做初等變換，對應(yīng)的矩陣

10、叫做初等變換矩陣. 第四課 逆矩陣與逆變換1.若逆矩陣存在，則可以證明其具有唯一性。應(yīng)了解幾個(gè)常見結(jié)論A可逆，條件為, 是唯一的, 條件AB=BA=E,可以只要一個(gè),即AB=E.，則，其中A，B，C為二階矩陣若矩陣A存在可逆矩陣,AB=AC則 B=C；BA=CA，則 B=C2.用幾何變換的觀點(diǎn)求解逆矩陣A= ，B ，C ，D 3.用代數(shù)方法求解逆矩陣4.從幾何變換的角度求解二階矩陣乘法的逆矩陣若二階矩陣A，B均可逆，則AB也可逆，且(AB)1B1A1 第五課 二階矩陣與二元一次方程組一、消元法二求解元一次方程組當(dāng)adbc0時(shí)，方程組的解為二、二階行列式：定義：det(A) adbc因此方程組的

11、解為記：D，Dx，Dy，所以，方程組的解為第六課 特征值與特征向量考點(diǎn)：（1）掌握矩陣特征值與特征向量的定義，能從幾何變換的角度說明特征向量的意義。（2）會求二階方陣的特征值與特征向量（只要求特征值是兩個(gè)不同實(shí)數(shù)的情形）。特征向量與特征值設(shè)二階矩陣A ，對于實(shí)數(shù)，存在一個(gè)非零向量，使得A，那么稱為A的一個(gè)特征值，而稱為A的屬于特征值的一個(gè)特征向量。幾何觀點(diǎn)：特征向量的方向經(jīng)過變換矩陣A的作用后，保持在同一直線上。0方向不變；0方向相反；0，特征向量就被變換成零向量。代數(shù)方法：特征多項(xiàng)式例1 求矩陣M= 的特征值和特征向量：解：矩陣M的特征值滿足方程 =(+1)(-3)-(-)(-2)=2-2-

12、8=0解得，矩陣M的兩個(gè)特征值1=4，2=-2設(shè)屬于特征值1=4的特征向量為，則它滿足方程：(1+1)x+(-2)y=0 即：(4+1)x+(-2)y=0 也就是 5x-2y=0 ,則可取為屬于特征值1=4的一個(gè)特征向量。設(shè)屬于特征值1=-2的特征向量為，則它滿足方程：(2+1)x+(-2)y=0 即：(-2+1)x+(-2)y=0 也就是x+2y=0 則可取為屬于特征值2=-2的一個(gè)特征向量。綜上所述：M= 有兩個(gè)特征值1=4，2=-2，屬于1=4的一個(gè)特征向量為，屬于2=-2的一個(gè)特征向量為。例2 已知：矩陣M= ，向量 = 求M3解：由上題可知1 =,2 =是矩陣M= 分別對應(yīng)特征值1=

13、4，2=-2的兩個(gè)特征向量，而1與2不共線。又=3+=31+2M3= M3(31+2)=3 M31+ M32 =3131+232=3×43+(-2)3× =192×-8×=例3已知M，N，試計(jì)算M50N坐標(biāo)系與參數(shù)方程知識要點(diǎn)：（一）直角坐標(biāo)系背景： 為了確保宇宙飛船能在預(yù)定軌道上運(yùn)行，完成各項(xiàng)任務(wù)，飛船控制中心需要隨時(shí)測定飛船在空中的位置和其運(yùn)動的軌跡.偵查兵如何向我方炮兵提供敵人的火力點(diǎn)的位置？這都涉及到如何刻畫一個(gè)幾何圖形的位置：1、數(shù)軸 2、直角坐標(biāo)系 3、空間直角坐標(biāo)系（二）極坐標(biāo)系1、上述問題若采用直角坐標(biāo)系，不僅坐標(biāo)軸難以選擇，而且點(diǎn)的坐標(biāo)

14、也不便測定.為了簡便地表示上面問題中點(diǎn)的位置，應(yīng)如何創(chuàng)建坐標(biāo)系？一般地：在平面上取一個(gè)定點(diǎn)O，自點(diǎn)O引一條射線OX，同時(shí)確定一個(gè)長度單位和計(jì)算角度的正方向（通常取逆時(shí)針方向?yàn)檎较颍?，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系，其中O點(diǎn)稱為極點(diǎn)，射線OX稱為極軸設(shè)M是平面上任一點(diǎn)，表示OM的長度，表示以射線OX為始邊，射線OM為終邊所成的角，那么有序數(shù)對M（，）稱為點(diǎn)M的極坐標(biāo)，稱為點(diǎn)的極徑，稱為點(diǎn)的極角由點(diǎn)的極徑的幾何意義知： ，點(diǎn)的極角的范圍為，我們約定極點(diǎn)的極坐標(biāo)是極徑，極角可取任意值為了研究方便，在極坐標(biāo)系中，極徑允許取負(fù)值，極角也可以取任意的正角或負(fù)角， 當(dāng)0時(shí)，點(diǎn)M（，）位于極角終邊的反向延長線上，

15、且OM|一般地，如果（，）是點(diǎn)M的極坐標(biāo)，那么（，2k）或（，（2k1），kZ都可以作為點(diǎn)M的極坐標(biāo).但這樣建立的極坐標(biāo)系，平面上的點(diǎn)與它的極坐標(biāo)之間就不是一一對應(yīng)關(guān)系.2、曲線的極坐標(biāo)方程（1）定義：如果極坐標(biāo)系中的曲線C和方程f（，0）0之間建立了如下關(guān)系：曲線C上任一點(diǎn)的無窮多個(gè)極坐標(biāo)中至少有一個(gè)適合方程f（，）0；坐標(biāo)滿足f（，）0的點(diǎn)都在曲線C上，那么方程f（，）0叫做曲線C的極坐標(biāo)方程（2）求曲線極坐標(biāo)方程的步驟：用（，）表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)；寫出適合條件的點(diǎn)M的集合PM|p（M）；用坐標(biāo)表示條件（M），列出方程f（，）0；化方程f（，）0為最簡形式（3）直線的極坐標(biāo)方程若直線l經(jīng)過點(diǎn)，且極軸到此直線的角為，則直線l的極坐標(biāo)方程為（4）圓心是A（，），半徑r的圓的極坐標(biāo)方程為特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程圖323：2rcos； 圖324：2rcos； 圖325：2rsin； 圖326：2rsin2、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的