圓錐曲線面積問題試題精選

1、圓錐曲線面積問題試題精選 11、如圖，已知拋物線總八北與圓相交于厘、71匸、。四個(gè)點(diǎn)。2(I)求廣得取值范圍;(II )當(dāng)四邊形的面積最大時(shí)，求對(duì)角線、匸匸的交點(diǎn)產(chǎn)坐標(biāo)2、在平面直角坐標(biāo)系中，過定點(diǎn)-1-1作直線與拋物線-：!u- 相交于 A、B 兩點(diǎn).(I) 若點(diǎn) N 是點(diǎn) C 關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn) 0 的對(duì)稱點(diǎn)，求ANB 面積的最小值；(U)是否存在垂直于 y 軸的直線 1，使得？被以 AC 為直徑的圓截得的弦長恒為定值若存在，求出的方程；若不存在，說明理由(此題不要求在答題卡上畫圖)3、(本小題滿分 14 分)(注意：在試題卷上作答無效)過拋物線-1.的對(duì)稱軸上一點(diǎn)日，二山的直線與拋物線相交于

2、M N 兩點(diǎn)，自MN 向直線；作垂線，垂足分別為：、丁。(I)當(dāng) 1 時(shí)，求證：“，丄;(H)記 丄口山的面積分別為、,是否存在丄，使得對(duì)任意的八廠,都有一丄宀 成立。若存在，求出！的值；若不存在，說明理由。-+- 14、如圖所示，橢圓 C: 的一個(gè)焦點(diǎn)為 F(1,0)， 且過點(diǎn)(2,0)(1)求橢圓 C 的方程;已知 A、B 為橢圓上的點(diǎn)，且直線 AB 垂直于丁軸，直線:=4 與軸交于點(diǎn) N,直線 AF 與 BN 交于點(diǎn)M(i )求證：點(diǎn) M 恒在橢圓 C 上;(ii)求厶 AMNS 積的最大值.5、圓錐曲線上任意兩點(diǎn)連成的線段稱為弦。若圓錐曲線上的一條弦垂直于其對(duì)稱軸，我們將該弦 稱之為曲

3、線的垂軸弦。已知點(diǎn)二、覚亠是圓錐曲線 C 上不與頂點(diǎn)重合的任意兩點(diǎn)， B是垂直于=軸的一條垂軸弦，直線 X 三；廠分別交工軸于點(diǎn)w 和點(diǎn)-1（1）試用兒1的代數(shù)式分別表示心和心；（2）若 C 的方程為一（如圖），求證:氐冷是與 1 遼和點(diǎn)丄二位置無關(guān)的定 值；（3） 請(qǐng)選定一條除橢圓外的圓錐曲線 C,試探究乙和心經(jīng)過某種四則運(yùn)算（加、減、乘、除）， 其結(jié)果是否是與丄丁和點(diǎn) F 位置無關(guān)的定值，寫出你的研究結(jié)論并證明。（說明：對(duì)于第 3 題，將根據(jù)研究結(jié)論所體現(xiàn)的思維層次,給予兩種不同層次的評(píng)分）_ J _-I-J=丄產(chǎn)(1 丄)6、已知橢圓 a的離心率為匸，且過點(diǎn)1為其右焦點(diǎn)(I)求橢圓-：的

4、方程；(H)設(shè)過點(diǎn)1 的直線與橢圓相交于、上兩點(diǎn)(點(diǎn)二在丄兩點(diǎn)之間)，若-d 與 的面積相等，試求直線的方程.7、已知拋物線1-)和直線!廠一汁沒有公共點(diǎn)(其中桿、喇為常數(shù))，動(dòng)點(diǎn)戸是直線上的任意一點(diǎn)，過 P 點(diǎn)引拋物線匚的兩條切線，切點(diǎn)分別為、廠，且直線恒過點(diǎn)(1)求拋物線二的方程;(2)已知 I點(diǎn)為原點(diǎn)，連結(jié)二交拋物線二于以、&兩點(diǎn),證明:.(I)求雙曲線的方程;(H)若斜率為 二： 的直線與該雙曲線相交于不同的兩點(diǎn)覚、匸，且線段旨卩的垂直平分81線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為 ；，求實(shí)數(shù)：的取值范圍.9、如圖，已知曲線1 ：與曲線- ：交于點(diǎn)直線-與曲線】I 分別相交于點(diǎn)(I)寫

5、出四邊形 二的面積:與工的函數(shù)關(guān)系；：1;(%)，條漸近線方程是+= 0 .8 已知雙曲線一( )的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是xy.11、設(shè)點(diǎn)匸是橢圓 J分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，匚為廠廠：的內(nèi)心，若 ；T- ,貝 U 該橢圓的離心率是（）辺生丄（A）二（B）（C）-（D） 412、下列四個(gè)命題中不正確的是（ ）4（A） 若動(dòng)點(diǎn) F 與定點(diǎn)IL.、I.連線匸嗎、戸三的斜率之積為定值 J，則動(dòng)點(diǎn) F 的軌跡為雙 曲線的一部分（B） 設(shè)常數(shù).:，定義運(yùn)算“屮”：，1 :，J，若則動(dòng)點(diǎn) - - 的(U)討論二的單調(diào)性，并求的最大值.舊題軌跡是拋物線的一部分（C）已知兩圓圓*-，動(dòng)圓 X 與圓以外切、與圓占內(nèi)切，貝

6、 u動(dòng)圓的圓心的軌跡是橢圓（D） 已知-，：二，橢圓過兩點(diǎn)且以匚為其一個(gè)焦點(diǎn)，則橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn) 的軌跡為雙曲線參考答案一、綜合題1、分析：（I）這一問學(xué)生易下手。將拋物線?- 與圓y h I:的方程聯(lián)立,消去丁，整理得- -1 r.（*）拋物線與圓-1相交于止、五、匸、匸；四個(gè)點(diǎn)的充要條件是：方程也可以.（II）考綱中明確提出不考查求兩個(gè)圓錐曲線的交點(diǎn)的坐標(biāo)。因此利用設(shè)而不求、整體代入的方法處理本小題是一個(gè)較好的切入點(diǎn).g二21勺一無I（J云+J可）斗也-6 I （J無+J石）S3二（西十J2）2- 4 兀込（並十x2十 2 寸）二（7 十 21/16- ra）4-15）.考生利用設(shè)四個(gè)交點(diǎn)

7、的坐標(biāo)分別為丄（皆應(yīng)、盼廠屆）、U（心-握）、Dg込）則由（I ）根據(jù)韋達(dá)定理有亠；!，-，_（*）有兩個(gè)不相等的正根即可令 J 疋-丿H，則 0=(?亠 20%7-迺F 面求 r的最大值。方法一：利用三次均值求解。三次均值目前在兩綱中雖不要求，但在處理一些最值問題有時(shí)很方便。它的主要手段是配湊系數(shù)或常數(shù)，但要注意取等號(hào)的條件，這和二次均值類似。 = (7 + 2 訝(7 -2/) = |(7 + 2QC? + 21)(14 -電)1/7+因+7+2(+14-4 心 1込3-2s3 =-心(2_ .4)當(dāng)且僅當(dāng)_即卩一時(shí)取最大值。經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)1滿足題意。方法二：利用求導(dǎo)處理，這是命題人的意圖。具

8、體解法略。下面來處理點(diǎn)丄二的坐標(biāo)。設(shè)點(diǎn)匸的坐標(biāo)為：二以下略。2、本小題主要考查直線、圓和拋物線等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問題的能力.解法 1:( I)依題意，點(diǎn)工的坐標(biāo)為；-，可設(shè)，； r-，由韋達(dá)定理得-；，-.論加7=07十鼻閱-可一叫|于是-直線丿衣的方程為，與宀如聯(lián)立得消去丁二討可一吧丨二去Jdi十乃尸一4軌 =血如尸十涉=2,腫十2當(dāng)上二0(匚衛(wèi)倔)聞=2/2p(U)假設(shè)滿足條件的直線存在，其方程為二-；,設(shè)的中點(diǎn)為?與匚為直徑的圓相交于點(diǎn) F , , _仃則呂=禹忌= 2叭兔+金丿=心+研禺二*舟二、計(jì)算題4、方法一：(1)解：由題設(shè)lL

9、 2-】，從而 丁 -，x2 y2所以橢圓 C 的方程為 4 + 1 二 1. . 3 分(i)證明：由題意得 F(1,0)、N(4,0).122 _12二 + - 1設(shè)- :，則 I. ,.AF 與 BN 的方程分別為：棺（忙 一4） +郴一4）y = 0I 伽-D出-1）為二4設(shè) M 氐必），則有“仙-4）40-4）%二 0_ 5權(quán)一8_3由上得 L：JLj -.蘭述=（帥_裁（劃y卿_8+12以 由于I :所以點(diǎn) M 恒在橢圓 C 上.x（ii）解：設(shè) AM 的方程為； - m，代入二得-.八 ks5u_ 9設(shè)（迪皿、Mg必，則有廠壽:血,以”尹血,- 12 - +1八=二：丨 4令耀口

10、（仁 1）,則(5 飆一蜀+ 36-9 網(wǎng)=1.4(2m-5)（3）第一層次:因?yàn)楹瘮?shù)1- +在L為增函數(shù),所以當(dāng)即.-時(shí)，函數(shù)_+有最小值 4.-NF AMN 勺面積5、解.（1）因?yàn)?D 是垂直于二軸的一條垂軸弦，所以”-嘶一吒用 =令貝 y1-同理可得:/ （定值）冷陽-V）0由可琨可分V-%.&分:甌卩在橢區(qū)|：v +務(wù) T 上a b=護(hù)（1工血護(hù)11-片）% - &是與泗和點(diǎn)卩位直先關(guān)的定值12分即-】時(shí) 有最大值 3,此時(shí) AM 過點(diǎn) F.11 分12 分并.2 分來源：學(xué)科y(i-點(diǎn)丄二是圓 C: ： ”一 1 上不與坐標(biāo)軸重合的任意一點(diǎn)，二是垂直于工軸的垂軸弦，

11、直線f 車 砰分別交 H 軸于點(diǎn)尸和點(diǎn)，則* 土廠。.16 分在圓 C=護(hù)上,二或腫宓二0-瘁- r 是與 U 和點(diǎn)產(chǎn)位置無關(guān)的定值弦，直線蚯、匸匸分別交攔軸于點(diǎn)和點(diǎn)廠，則冷卜-。. 16 分證明如T；由門）知;p-召二1上./冷耳-1）川二護(hù)（備 7*a datf則xs xF“ *卩是與 EM和點(diǎn)產(chǎn)位置無關(guān)的定值 第二層次:點(diǎn)匸是拋物線 c： 一-上不與頂點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)，二是垂直于兀軸的垂軸弦，直線苦托分別交馬由于點(diǎn)=h(x-4x-.i:-=0設(shè)橢圓方程為.:，又點(diǎn)丄+丄二在橢圓上,所以=1消去 7 整理,由題意知-!：!:-17 分_ _関疋12設(shè)則小，心.因?yàn)榕c-HFJ 的面積相等，所

12、以 2:，所以 I .10 分_ 4 + 1腫由消去勺得1 :-.將代入一一宀一十 I：一一7、解：（1）如圖，設(shè) 一 -，l -mm同理得-32k耳（糾一4）=64112刁十 4 屮整理化簡得二:一，解得經(jīng)檢驗(yàn)成立.12 分所以直線的方程為13 分6卅_兀_1二十耳必-心與 ：聯(lián)立化簡-設(shè)代入上式得x _即二，一一滿足方程故 4 的方程為y- rn =（X-f J、上式可化為，過交點(diǎn);MN過交點(diǎn) Q3,1） ,.朋上二上,擁二1A -的方程為h-:. 6 分丨閏1 的（2）要證衍啦用翊=渤如訕竝，即證 I 丹?丨QBI設(shè)&碼書）,鞏和耳）| PA | | QA| _ 25 - 上一延

13、 2 馬百一七斗心乂屯+兀+ 2 饑貝 q I ：；：-（1）；玖“）Qd. ?尹_1三西二丄（工一疋）.-直線方程為上把代入（I）式中，則分子2陸心一住+心+殆+2q二丁+近嗎一七坯一七4 兀上-2(y0- 1)伙+嗎)+ 2 阮-2x0-4(2)砧二2込乞吟-疋2仙 -1)10 分得:| 邑！41 I QHI 2k 2ixj + 2jjg 2+ QJc+ 2仃P(guān)BQBV7故得證.14 分(1)如圖，設(shè)八一 -,- -1-1 皿的斜率為陽二 S-丹同理得八卅_兀_1二十耳必-心與 ：聯(lián)立化簡-又匸點(diǎn)在直線；-”上，代入 U 中即二，一一滿足方程3-1上式可化為，過交點(diǎn)MN過交點(diǎn)Q（k,）,

14、.朋上二上,擁二 1的方程為一 ILISI（2）要證衍啦叼翊=聞如訕竝，即證|F 糾QB |設(shè)丿（也山），鞏和齊）| PA |24|_理-心 上一延 2 馬百一七+心（也+工+ 2 饑則“尹_1 三西二丄（工一疋）.-直線方程為上設(shè)代入上式得故沌 J 的方程為，二西工-片二匹工-（后口-熬）mm必=亠鬲一”整理得 - ! . 宀:-把代入（I）式中，則分子2陸心一住+心）匡+殆+2q二丁+近嗎一七坯一七_(dá) 4片上-2（口一1）伙+嗎）+2&；_ 2疋旺-4毛旺一上又匸點(diǎn)在直線；-”上，代入 U 中| 尸蟲 | | Q |2心 6 2 2XQ+ 2x0 2 心 +2.1c+ 2 比了工.

15、二小丨14 分a二 q，解得 L =5,所以雙曲線方程為丁一孑（U）設(shè)直線的方程為， （h ）.點(diǎn) 1 , 二 -的坐標(biāo)滿足方程組1X3（抵十規(guī)）1-1L4 5將直線的方程代入雙曲線方程得 45,故得10 分得:呵一9、解:（I）因?yàn)殡p曲線的方程為-”（小上沁）.由題設(shè)得旦上此方程有兩個(gè)不等實(shí)根，于是-4 :,且一 ：* ； 一 I I.-：1.整理得； .由根與系數(shù)的關(guān)系可知線段的中點(diǎn)坐標(biāo)r-. -滿足5血 _1Akm從而線段止匸的垂直平分線方程為-0+該不等式等價(jià)于心:或-“1解得二或計(jì)丄10、解：（I）由題意得交點(diǎn) O A 的坐標(biāo)分別是（0, 0）,（1, 1）. . （ 2 分）（一個(gè)坐標(biāo)給 1 分）此直線與,軸軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為 O所以的取值范圍是（-叫-u（卑 u）u 嚴(yán)）=+ 觀二丄11f (t) =SABD+SQB=-|BD| |1-0|=匸 |BD|= 1 (-3t3