高中數(shù)學(xué)2.4線性回歸方程

1、2.4線性回歸方程【課標(biāo)要求】1. 通過收集現(xiàn)實(shí)問題中兩個(gè)有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn) 圖，并利用散點(diǎn)圖直觀認(rèn)識(shí)變量間的相關(guān)關(guān)系；2. 在兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系時(shí)，會(huì)用線性回歸方程進(jìn) 行預(yù)測；3. 知道最小平方法的含義，知道最小平方法的思想，能根 據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程.【核心掃描】1. 散點(diǎn)圖的畫法，回歸直線方程的求解方法.（重點(diǎn)）2. 回歸直線方程的求解方法，回歸直線方程在現(xiàn)實(shí)生活與 生產(chǎn)中的應(yīng)用.（難點(diǎn)）自學(xué)導(dǎo)引1. 與函數(shù)關(guān)系不同，相關(guān)關(guān)系是一種有關(guān)系，但不是 確定性的關(guān)系.2. 能用直線方程= %+&近似表示的相關(guān)關(guān)系叫做線性相關(guān)關(guān)系，該方程叫,給出一組數(shù)

2、據(jù)（厲，片），（兮匕），（暫，刀，線性回歸方程中的系數(shù)&，加茜足nnn吃側(cè)（2»（D）i=i= i=b=Snn9吃兀2 （°滬i=li=a= y b x上式還可以表示為n n X y （兀兀）®V）i=i=b =nn為七2_農(nóng)x 2乞（X X）2i=i=l想一想：1 相關(guān)關(guān)系是不是都為線性關(guān)系？提示不是.有些變量間的相關(guān)關(guān)系是非線性相關(guān)的.2.散點(diǎn)圖只描述具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的圖形嗎？ 提示 不是.兩個(gè)變量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的圖形都是散點(diǎn)圖.課前探究學(xué)習(xí)課堂講練互動(dòng)一活頁規(guī)范訓(xùn)練I名師點(diǎn)睛1 相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的異同點(diǎn)函數(shù)關(guān)系相關(guān)關(guān)系相同點(diǎn)兩者均

3、是指兩個(gè)變量之間的關(guān)系不同點(diǎn)是一種確定性關(guān)系是一種非確定的關(guān)系是兩個(gè)變量之間的關(guān) 系 一個(gè)為變量，另一個(gè)為隨機(jī) 變量； 兩個(gè)都是隨機(jī)變量是一種因果關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是 伴隨關(guān)系是一種理想關(guān)系模型是更為一般的情況 課前探究學(xué)習(xí)I.課堂講練互動(dòng)_活頁規(guī)范訓(xùn)練2.回歸直線方程 (1)回歸直線方程的思想方法 回歸直線：觀察散點(diǎn)圖的特征，發(fā)現(xiàn)各點(diǎn)大致分布在一 條直線的附近，就稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)的關(guān)系，這 條直線叫做回歸直線.可見，根據(jù)不同的標(biāo)準(zhǔn)可畫出不同的直線來近似表示這種 線性關(guān)系.比如，可以連接最左側(cè)點(diǎn)和最右側(cè)點(diǎn)得到一條直 線；也可以讓畫出的直線上方的點(diǎn)和下方的點(diǎn)數(shù)目相等， 這些

4、辦法，能保證各點(diǎn)與此直線在整體上是最接近的嗎？它們 雖然都有一定的道理，但總讓人感到可靠性不強(qiáng). 最小二乘法：實(shí)際上，求回歸直線方程的關(guān)鍵是如何用 數(shù)學(xué)的方法來刻畫"從整體上看各點(diǎn)與此直線的距離最小”， 即最貼近已知的數(shù)據(jù)點(diǎn)，最能代表變量兀與y之間的關(guān)系.(2)利用回歸直線對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)利用回歸直線，我們可以進(jìn)行預(yù)測，若回歸直線方程為： bx+a,則x=x0處的估計(jì)值為：y=bx0+a. 課前探究學(xué)習(xí)I.課堂講練互動(dòng)_活頁規(guī)范訓(xùn)練題型一相關(guān)關(guān)系的判斷【例1】下列兩個(gè)變量之間的關(guān)系中，角度和它的余弦 值；正方形的邊長和面積；正邊形的邊數(shù)和其內(nèi)角度數(shù)之 和；人的年齡和身高.不是函數(shù)關(guān)系的

5、是.(填序號(hào))思路探索函數(shù)關(guān)系是一種變量之間確定性的關(guān)系.而相 關(guān)關(guān)系是非確定性關(guān)系.解析 選項(xiàng)都是函數(shù)關(guān)系，可以寫出它們的函數(shù)表 達(dá)式：= cos 0, g(a) = °2,力(“)=兀-2兀，不是函數(shù)關(guān)系, 對(duì)于相同年齡的人群中，仍可以有不同身高的人.答案規(guī)律方法(1)兩變量間主要有兩種關(guān)系：一是確定的函數(shù) 關(guān)系，另一是不確定的相關(guān)關(guān)系.同時(shí)要注意，兩變量間也可 能無相關(guān)關(guān)系，數(shù)學(xué)中只有統(tǒng)計(jì)部分研究不確定的相關(guān)關(guān)系.(2)函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系的區(qū)別的關(guān)鍵是“確定性”還是 “隨機(jī)性".課前探究學(xué)習(xí)課堂講練互動(dòng)一活頁規(guī)范訓(xùn)練【變式1】下列兩個(gè)變量中具有相關(guān)關(guān)系的是（填寫相應(yīng)的

6、序號(hào)）.正方體的棱長和體積；角的弧度數(shù)和它的正弦值； 單產(chǎn)為常數(shù)時(shí)，土地面積和總產(chǎn)量；日照時(shí)間與水稻的畝產(chǎn) 量.解析 正方體的棱長兀和體積"存在著函數(shù)關(guān)系卩=力；角的 弧度數(shù)a和它的正弦值V存在著函數(shù)關(guān)系歹=sin a;單產(chǎn)為常數(shù)a公 斤/畝土地面積兀（畝）和總產(chǎn)量y（公斤）之間也存在著函數(shù)關(guān)系y = a 九日照時(shí)間長，則水稻的畝產(chǎn)量高，這只是相關(guān)關(guān)系，應(yīng)選.答案題型二線性回歸方程的求法【例2】假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限班年）和所支出的維修 費(fèi)用y（萬元）有如下統(tǒng)計(jì)資料：使用年限兀（年）23456維修費(fèi)用y（萬元）2.23.85.56.57.0若由資料知y對(duì)兀呈線性相關(guān)關(guān)系，求線性回歸

7、方程=加+a.思路探索本題已知兀與y具有線性相關(guān)關(guān)系，故無需畫散 點(diǎn)圖進(jìn)行判斷，可直接用公式求解.課前探究學(xué)習(xí)課堂講練互動(dòng)一活頁規(guī)范訓(xùn)練解制表.112345合計(jì)xi2345620>/2.23.85.56.57.025V/4.411.422.032.542.0112.3491625369055A x =4, y=5, 2xz2=90, 丫切,=1123i=i=112.3-5X4X590-5 X421.23,=5-1.23X4=0.08所求線性回歸方程為y=1.23x+0.08.規(guī)律方法 求線性回歸方程的一般步驟：(1) 畫散點(diǎn)圖，看兩個(gè)變量是不是存在線性相關(guān)關(guān)系. nn(2) 列表計(jì)算八

8、八2匕兀必(建議用列表方法計(jì)算)i= 1i= 1利用的結(jié)果計(jì)算°、4得出線性回歸方程.課前探究學(xué)習(xí)課堂講練互動(dòng)一活頁規(guī)范訓(xùn)練【變式2】某商店統(tǒng)計(jì)了近6個(gè)月某商品的進(jìn)價(jià)兀與售價(jià)y（單 位：元），對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下：X3528912y46391214求y對(duì)兀的回歸直線方程.g 3+5+2 + 8+9+12解 J x =石=6.5,4+6+3+9 + 12+14y =a=&662>?=327, 2>y=396,i=li=l6 6x yi=l_.b =1.143, a=y b x0.571,6 6x2i=回歸直線方程為y=1.143x+0.571. 課前探究學(xué)習(xí)I.課堂講練互動(dòng)

9、_活頁規(guī)范訓(xùn)練題型三利用回歸直線對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)【例3】(14分)下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲 產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量兀(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的兒 組對(duì)照數(shù)據(jù).X3456y2.5344.5(1) 請畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；(2) 請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小平方法求出y關(guān)于乂的線 性回歸方程；(3) 已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn) 煤.試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn) 能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？(參考數(shù)值：3X2.5 + 4X3 + 5X4+6X4.5 = 66.5) 課前探究學(xué)習(xí)I.課堂講練互動(dòng)_活頁規(guī)范訓(xùn)練審題指導(dǎo) 本題考

10、查線性回歸方程的求解及利用回歸直線對(duì)n;-1總體進(jìn)行估計(jì).1 1利用公式：b, a y - b兀來求出n匸 22乙¥一 n x系數(shù).【解題流程】規(guī)范解答（1）由題設(shè)所給數(shù)據(jù)，可得散點(diǎn)圖，如右圖所示.（3分）y（能耗：噸標(biāo)準(zhǔn)煤）54 35 4 2課前探究學(xué)習(xí)課堂講練互動(dòng)一活頁規(guī)范訓(xùn)練課前探究學(xué)習(xí)課堂講練互動(dòng)一活頁規(guī)范訓(xùn)練°|量：噸）（2）由對(duì)照數(shù)據(jù)，計(jì)算得：9 一 3+4+5+6=86，X = t =4.5，i=（6分）汗2.5+3+4.5 = 3.5,已知£心=66.5i=課前探究學(xué)習(xí)課堂講練互動(dòng)一活頁規(guī)范訓(xùn)練所以由最小平方法確定的線性回歸方程的系數(shù)為4_ _為心

11、一4x y/=166.5-4X4.5X3.5b=86-4X4.52=05，&2-4 %2i=ay b 兀=3507><45=035因此，所求的線性回歸方程為=0.7x4-0.35.(10分)(3) 由(2)的回歸方程及技改前生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗，可得 降低的生產(chǎn)能耗為90(0.7X 100+0.35) = 19.65(噸標(biāo)準(zhǔn)煤).(14 分)【題后反思】 解決此類問題首先根據(jù)所給數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn) 圖，根據(jù)散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系，如果兩 個(gè)變量之間不具有相關(guān)關(guān)系，或者說，它們之間的關(guān)系不顯 著，即使求得了線性回歸方程也是毫無意義的，而且用其估計(jì) 和預(yù)測的結(jié)

12、果也是不可信的. 課前探究學(xué)習(xí)I.課堂講練互動(dòng)_活頁規(guī)范訓(xùn)練【變式3】以下是某地搜集到的新房屋的銷售價(jià)格y和新房 屋的面積兀的數(shù)據(jù)：新房屋面積(m?)11511080135105銷售價(jià)格(萬元)24.821.618.429.222(1) 畫出數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖；(2) 求線性回歸方程，并在散點(diǎn)圖中加上回歸直線；(3) 據(jù)(2)的結(jié)果估計(jì)當(dāng)新房屋面積為150 m2時(shí)的銷售價(jià)格.解數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖如圖所示. 55 5x = w丫兀=1 °9，(o茫i (Xj x)2= 1 570，y =23.2, £茴(X Z=13025 -20八1510570 90 110 130 150 先

13、兀)®y) = 308，0.196 2,。= 了一5匚=23.2109><設(shè)所求回歸直線方程為$=以+2, (JI 嶺=5 = 3°人仏 lxx 1 5701.8166.故所求回歸直線方程為f=0196 2x+18166據(jù)(2),當(dāng)x=150m2時(shí)，銷售價(jià)格的估計(jì)值為: $=0.196 2X 150+1.816 6 = 31.246 6(萬元).課前探究學(xué)習(xí)課堂講練互動(dòng)一活頁規(guī)范訓(xùn)練誤 區(qū)警示 最小二乘法的 原理不清而 出 錯(cuò)【示例】已知兀、y之間的一組數(shù)據(jù)如下表:X13678y12345對(duì)于表中數(shù)據(jù)，甲、乙兩同學(xué)給出的擬合直線分別為y=x + 1與試?yán)米钚《?/p>

14、乘法思想判斷哪條直線擬合程度 更好.課前探究學(xué)習(xí)課堂講練互動(dòng)一活頁規(guī)范訓(xùn)練錯(cuò)解乂、y作為點(diǎn)的坐標(biāo)，作出所給數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖.用作為擬合直線時(shí)，散點(diǎn)圖上的點(diǎn)到擬合直線的距離之和為1 1I 1c r,:1+1：X3 2 +11 31 3I 1了r,11，予I1clx6 3 +1r x7 4 +1c X 85 + 11 31 31 37T 7 VTo- 二市二 10 ;3用y=Tx+T作為擬合直線時(shí)，散點(diǎn)圖上的點(diǎn)到擬合直線 的距離之和為|t_1+t|tx3_2+t|2 D2 <D1.用直線y二*% +*擬合程度更好. 課前探究學(xué)習(xí)I.課堂講練互動(dòng)_活頁規(guī)范訓(xùn)練思維突破 題目要求利用最小二乘法思想判斷哪條直線擬合 程度更好，不是用散點(diǎn)圖上的點(diǎn)到擬合直線的距離之和最小來 判斷.正解用歹=際值的差的平方和為S1 =rii )用 y=Y'差的平方和為2_Z3'1作為擬合直線時(shí)，所得y估計(jì)值與y的實(shí)412 + (2-2)2 + (3-3)2+壬作為擬合直線時(shí)，所得y估計(jì)值與y的實(shí)際值的52=(1-1)2+(2-2)2 + 彳一3 2+(44尸+ 只一5 2=|； 12丿°S2<Si，:用直線y=x2擬合程度更好.課前探究學(xué)習(xí)2'課堂講練互動(dòng)一活頁規(guī)范訓(xùn)練追本溯源 最小二乘法思想是：計(jì)算散點(diǎn)圖上的各散