九年級(jí)秋季班-第19講：一模復(fù)習(xí)之相似三角形的存在性-教師版

1、(m相似三角形的存在性考點(diǎn)分析3 / 25相似三角形的存在性是上海初中數(shù)學(xué)中考一?？荚囍械臒狳c(diǎn)，也是難 點(diǎn)，通常會(huì)在24題和25題中出現(xiàn)，大部分題型分為以二次函數(shù)為背景的相 似三角形存在性問(wèn)題和以幾何圖形為背景相似三角形問(wèn)題.以二次函數(shù)為背景的相似三角形問(wèn)題，即在平面直角坐標(biāo)系中，通常是 用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，在求點(diǎn)的坐標(biāo)過(guò)程中需要用到相似三 角形的一些性質(zhì)，如何利用條件找到合適的點(diǎn)使得所求三角形相似是需要重 點(diǎn)突破的難點(diǎn)，而且通常不止一種情況，需注意分類討論.以幾何圖形為背景的相似三角形問(wèn)題，通常是注重考查相關(guān)的幾何定理 和性質(zhì)，有時(shí)也會(huì)涉及到圖形運(yùn)動(dòng)（翻折、旋轉(zhuǎn)和點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)）的問(wèn)

2、題.若遇 到動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，需要弄清 動(dòng)點(diǎn)有一個(gè)還是兩個(gè)？ ”、運(yùn)動(dòng)路線是線段、射線， 還是直線，或者是折線？ ”、熏的運(yùn)動(dòng)的速度是多少？ ”這幾個(gè)問(wèn)題，然后根 據(jù)題目給出的條件結(jié)合常見(jiàn)的基本圖形解題規(guī)律是解決此類問(wèn)題常用的策 略.相似三角形的存在性問(wèn)題主要考察同學(xué)們根據(jù)實(shí)際情況對(duì)題目進(jìn)行分 類討論的數(shù)學(xué)思想，分類討論的基礎(chǔ)上，利用幾何定理和性質(zhì)或者代數(shù)方法 建立方程求解是常用的方法.例題解析【例1】(2015學(xué)年 徐匯區(qū)一模 第24題)如圖，在Rt AOB中， AOB 90 ,已知點(diǎn)A3 c(1, 1),點(diǎn)B在第二象限，OB 2J2,拋物線y x2 bx c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和B.53 2(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)

3、；(2)求拋物線y -x bx c的對(duì)稱軸；5(3)如果該拋物線的對(duì)稱軸分別和邊AO、BO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) C、D ,設(shè)點(diǎn)E在直線AB上，當(dāng) BOE和 BCD相似時(shí)，直接寫出點(diǎn) E的坐標(biāo).【難度】【答案】(1) B(-2, 2); (2)對(duì)稱軸為直線x=1; (3) E點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)、( f, 8).355【解析】 解：(1)由 A(-1, -1),易知 /AOH=45°, ,/AOB=90°/ BOG =45° ,ABOG是等腰直角三角形. OB= 272 ,BG=OG =2,，B(-2, 2);(2)將 A(-1, -1)、B(-2, 2)代入 y 3x2

4、bx c,1 3 b cb得 5,解得：12 2 2b cc556145y 3x2 6x 對(duì)稱軸為直線x =1;555(3)由A(-1, -1),解得直線AO解析式為y=x,且C(1, 1), 由B(-2, 2),解得直線BO解析式為y= -x,且D(1, -1), 易證AO=CO . ZAOB= 90°,AB=BC , . . / ABO= / CBO . ABOE 和 ABCD 相似，第 1 種情況，/ BOE= / BDC= 45°,此時(shí)點(diǎn)E就在x軸上，E( - 0)；3，第 2 種情況， ZBEO= ZBDC= 45°, CD:BC= 2: J10 ,則

5、OE:BO= 2: 風(fēng),解得：OE=£75, E( 4, 8).555綜上E點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)、(8).355【總結(jié)】本題主要考查了二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，和與函數(shù)相結(jié)合的 幾何圖形中相似三角形的存在時(shí)的點(diǎn)的情況.【例2】（2015學(xué)年黃浦區(qū)一模第24題）在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，拋物線2y ax 3ax c與x軸交于 A （ 1 , 0）、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），與y軸交于點(diǎn) C （0, 2）.（1）求拋物線的對(duì)稱軸及 B點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求證：CAO BCO ;（3）點(diǎn)D是射線BC上一點(diǎn)（不與 B、C重合），聯(lián)結(jié) OD,過(guò)點(diǎn)B作BE OD ,垂 足為 BOD外一點(diǎn)E,若 BDE與

6、 ABC相似，求點(diǎn) D的坐標(biāo).【難度】386 . 12 16【答案】（1）對(duì)稱軸是直線x ,B4,0；略；（3） D點(diǎn)的坐標(biāo)為 -或 一，一.25 55 523a 33【斛析】（1） ,拋物線y ax 3ax c, /. x 一，對(duì)稱軸是直線 x 一，2a 22A 1 ,0 ,且 A 點(diǎn)在 B 點(diǎn)左側(cè)，B 4,0 ;一、 CO BO 一 .CO _O 2, / COA= / COB=90 , COAs BOC , . / CAO= / BCO;AO CO1（3）過(guò)點(diǎn)B 4,0 , C 0,2的直線BC表達(dá)式y(tǒng) -x 2,21一設(shè) D 點(diǎn)坐標(biāo)為 m, m 2 , CAO+/ACO=90 , /C

7、AO=/BCO, 2ACB BED 90 .CBA,EDB = /CAO,/ ACB= / BCO+ / ACO=90° ,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，. BDE 與 ABC 相似， EDB. /CAO=/BCO,又/ EDB=/CDO, :'人 BCO=/CDO,221_2CO=DO , 1- CO=2 , m2 m 222,2解得：m1 0 （舍），m2 D ,55 5當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上,BDE 與 ABC 相似，/ CAO = Z BCO, /BCO>/BDE, . / BDE=/CBA,2212DO=BO, / BO=4, 1- m m 24 ,24 （舍），

8、.二 D12 16一,一5 512,m25綜上所述，D點(diǎn)的坐標(biāo)為 8,6或5 55 5【例3】（2014學(xué)年虹口區(qū)一模 第24題）如圖,在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（2, 0）、（3, 1）,二次函數(shù)y2一-x的圖像為C1.（1）向上平移拋物線Ci,使平移后的拋物線C2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,求拋物線C2的表達(dá)式;（2）平移拋物線Ci,使平移后的拋物線 C3經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，拋物線 C3與y軸交于點(diǎn)D,求拋物線的表達(dá)式以及點(diǎn) D的坐標(biāo)；當(dāng) ABP與（3）在（2）的條件下，記OD中點(diǎn)為E,點(diǎn)P為拋物線C3對(duì)稱軸上一點(diǎn),11 / 25ADE相似時(shí)，求點(diǎn) P的坐標(biāo).【難度】y|【答案】(1) y

9、 x2 4 ； ( 2) y2(x 2) , D (0, -4);（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2, 1）或（-1 O -12,2).【解析】（1）設(shè)拋物線C2的表達(dá)式為把A （2, 0）代入上式，得：0，拋物線C2的表達(dá)式為y x24；設(shè)拋物線C3的表達(dá)式為y(2, 0)、B (3,_2(2 m) k-2(3 m) k1）分別代入上式，得:解得:，拋物線C3的表達(dá)式為y (x.點(diǎn) D (0, -4);（3）由題意知點(diǎn) 由題意，得EDAPP在x軸上方,AE或ABEDAB又可求得：ED2, AB 72可得/AEAPAEBAP= / AED=135° ,22 2、j或AP 222.272 AP &

10、#39;AP=1 或 2,點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2, 1）或（2,【總結(jié)】本題主要考查了二次函數(shù)的平移，和與函數(shù)相結(jié)合的幾何圖形中相似三角形的存時(shí)的點(diǎn)的情況.九年級(jí)同步【例4】(2015學(xué)年 閔行區(qū)一模 第24題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)2y x bx c的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(3, 0),與y軸交于點(diǎn)C(0,3),點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上的任意一點(diǎn).(1)求這個(gè)二次函數(shù)y x2 bx c的解析式;聯(lián)結(jié)PO、PC,并將 POC沿y軸對(duì)折，得到四邊形POP'C,如果四邊形POP'C為菱形，求點(diǎn)P的坐標(biāo);(3)如果點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，能使得以 P、C、B為頂點(diǎn)的三

11、角形與 AOC相似，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).【難度】 【答案】(1) y x2 2x 3； (2) P(2 710 , -); (3) P(1, -4).22【解析】(1)將 B(3, 0)、C(0, -3)代入 y x2 bx c,可得:9 3b c3 c，二次函數(shù)解析式為 y x2 2x 3；(2)二四邊形POP'C為菱形,.-.PPUOC, OH=HC . C(0, -3), .OC=3, OH=HC= 3, .點(diǎn) P 的縱坐標(biāo)為2將y=解得:3代入解析式，得： 3 x2 2x22210210第1種情況點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上的任意一點(diǎn)，.點(diǎn)p的橫坐標(biāo)大于0, p(2 而,3 )

12、； 22(3)二點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上的任意一點(diǎn)，/CBP</CBQ ,即/CBP<45°,而 AAOC 中,/ AOC=90° ,只有 / ACO< 45°,.PCB 與9OC 相似時(shí)，ZACO= ZCBP.第1種情況，當(dāng)/BCP=/AOC=90°時(shí)，在 RtABCP 中，tan CBP tan ACO CP 1 ,BP 3易求得cp=72,.-.p(i, -4)在拋物上;第2種情況，當(dāng)/BPC=/AOC=90°時(shí)，由于此時(shí)/ ACO= ZCBP依然成立， 所以圖上能看出這個(gè) P點(diǎn)不在拋物線上 所以P2 9, 18不在拋

13、物線上.55綜上，滿足條件的點(diǎn) P的坐標(biāo)為(1,-4).第2種情況【總結(jié)】本題綜合性較強(qiáng)，主要考查二次函數(shù)與面積的結(jié)合以及二次函數(shù)背景下的相似問(wèn)題.【例5】(2015學(xué)年 閘北區(qū)一模 第24題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與 x 軸交于點(diǎn)A ( 1,0)和點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C (0, 2),對(duì)稱軸為直線x 1,對(duì) 稱軸交x軸于點(diǎn)E.(2)設(shè)點(diǎn)F在拋物線上，如果四邊形AEFD是梯形，求點(diǎn)F的坐標(biāo);(3)聯(lián)結(jié)BD,設(shè)點(diǎn)P在線段BD上,EBP與ABD相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo).(3) P的點(diǎn)的坐標(biāo)為4 f 39 48（2 , 一）或（一，一）.32525【解析】(1) QA 1,0 ,對(duì)稱軸為直線,

14、81,一 ；3(1)求該拋物線的表達(dá)式，并寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo);B 3,0 .設(shè)拋物線的解析式為y ax x2 4 x 2,頂點(diǎn)坐標(biāo)為D 1,-; 33 bx c,2a34則將A、B、C坐標(biāo)代入計(jì)算，可得：b f3拋物線的解析式為：yc 2(2)當(dāng)AE/DF時(shí)，不存在，舍去 ；44當(dāng)AD/EF時(shí)，因?yàn)橹本€AD的解析式為：y x ,3344直線EF的解析式為:y -x -, 3344聯(lián)立，*,解得，f技44 ；2 3y x 1 x 33(3)由題意可知，PBE DBA,故當(dāng) EBP與 ABD相似時(shí)，分兩種情況討論:當(dāng)空 BE時(shí)，解得：bp 5 ,此時(shí)可求得P點(diǎn)坐標(biāo)為(2 ,-)；BD BA33BP

15、BA1239 48當(dāng)空 BA時(shí)，解得：Bp 12,此時(shí)可求得P點(diǎn)坐標(biāo)為(39,竺)；BD BE525 25綜上所述，滿足條件的 P的點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,4)或(物，竺).325 25【總結(jié)】本題主要考查了二次函數(shù)背景下的梯形存在性問(wèn)題以及相似問(wèn)題，解題時(shí)注意認(rèn) 真分析.【例6】(2014學(xué)年徐匯區(qū)一模 第24題)已知：如圖，拋物線 Ci： y ax2 4ax c的圖像開(kāi)口向上，與 x軸交于點(diǎn)A、B (A在B的左邊)，與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為P,AB = 2,且 OA = OC.(1)求拋物線Ci的對(duì)稱軸和函數(shù)解析式;m個(gè)單位得到拋物線 C2,C2的函數(shù)解析式；FMG相似時(shí)，求點(diǎn)G的坐(2)把拋物線C

16、1的圖像先向右平移 3個(gè)單位，再向下平移 記頂點(diǎn)為M,并與y軸的交于點(diǎn)F (0,1),求拋物線(3)在(2)的基礎(chǔ)上，點(diǎn) G是y軸上一點(diǎn)，當(dāng) APF與 標(biāo).【難度】【答案】(1)直線x 2 , y x2 4x 3 ；一2(2) y x 2x 1 ； (3)G (0, 1)、(0, 0).【解析】解：(1)拋物線對(duì)稱軸：直線 x4a2,2aAB=2,且A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線 x2對(duì)稱，A (-3, 0), B (-1, 0), OA=OC .C (0, 3),把A、C兩點(diǎn)代入 y ax2 4ax c中，17 / 25得:9a 12ac 3拋物線Ci的函數(shù)解析式是y x2 4x 3；22(2) y x

17、 4x 3 (x 2)1 ,. . P (2, 1).設(shè)平移后的函數(shù)解析式是y (x 1)2 1 m,.拋物線與y軸交于F (0, 1),把F的坐標(biāo)代入得：m 1,2平移后的拋物線、C2的解析式是：y x 2x 1 ,M (1, 2).(3) F (0, 1), M (1 , -2) , P ( 2, 1),當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的上方時(shí)，有/ APF = /MFG=135°若9PF與FMG相似，當(dāng)里也時(shí)，噌2,FMFG. 2FGFG=2,.G (0,1);出APPF22當(dāng)時(shí)，,FGFM ，F(xiàn)G2FG= 1 , G (0, 0).當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的下方時(shí)，根據(jù)題意不存在，當(dāng)G點(diǎn)坐標(biāo)為(0, 1)或

18、(0, 0)時(shí)，AAPF與4FMG相似.【總結(jié)】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合問(wèn)題，利用相似三角形的性質(zhì)，分類討論是解決 本題的關(guān)鍵.【例7】（2014學(xué)年 金山區(qū)一模第24題）如圖，已知直線y2x 6與x軸、y軸分別交于A、D兩點(diǎn)，拋物線2 axbx 2 ( a 0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A 和點(diǎn) B (1, 0).（1）求拋物線的解析式;（2）在線段AD上取一點(diǎn)F不與點(diǎn)A重合），過(guò)點(diǎn)F作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)G、交x軸于點(diǎn)H .當(dāng) （3）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與直線FGGH時(shí)，求點(diǎn)H的坐標(biāo);AD交于點(diǎn)E ,拋物線與AB上，當(dāng)【難度】AEM與BCM相似時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo).【解析】（1）由y把A(3,0)、2；，、1(

19、2) H(萬(wàn)，0);2x6得,A(3,0),D(0,6)B(1,0)，代人 y9a 3b 2aa b 2解得:，拋物線的解析式為:2 :-x 3(2)設(shè) H (m,0),則 F(m,2mFG2m 6 ( FG解得:m1（3）因?yàn)閥22 :-x3m2所以拋物線的對(duì)稱軸是直線E( 1,4),設(shè) M(n,0), A( 3,0) , B(1,0), AE 2后，BC在Rt ADO中,tan在Rt BCO中,tanDAOCBO.2axbx2,23434-x 36),2)，2；G(m,y軸的交點(diǎn)為C ,點(diǎn)M在線段2),mGH2)（舍去）， H (1P0)23(x1)2C(0,2),DAOCBOAMDOAO

20、COBO63213,2,2,BM當(dāng)AEM與BCM相似時(shí),AE由CBAM /曰BM '信:由需AM /日話,得:化簡(jiǎn)彳導(dǎo):n2 2n 7 0 ,因?yàn)?24 0,所以無(wú)實(shí)數(shù)解.1綜上滿足條件的 M點(diǎn)坐標(biāo)為M ( -，0).3【總結(jié)】本題主要考查了二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式, 并且利用兩點(diǎn)距離公式表示線段的長(zhǎng)度，然后根據(jù)相似三角形的分類討論求出相應(yīng)的值.【例8】(2014學(xué)年普陀區(qū)一模 第24題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A ( m , 0)和點(diǎn)B (0, 2m) (m > 0),點(diǎn)C在x軸上(不與點(diǎn) A重合).(1)當(dāng) BOC與 AOB相似時(shí)，請(qǐng)直

21、接寫出點(diǎn) C的坐標(biāo)(用m表示)；(2)當(dāng) BOC與 AOB全等時(shí)，二次函數(shù)y x2 bx c的圖像經(jīng)過(guò) A、B、C三點(diǎn)，求m的值，并求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(3) P是(2)的二次函數(shù)的圖像上一點(diǎn)，APC 90 ,求點(diǎn)P的坐標(biāo)及 ACP的度數(shù).【難度】【答案】(1) 4m,0 或 m, 0 或 4m,0 ; (2) 2,0 ; (3) ACP 75° 或 15°.【解析】 解：(1)點(diǎn)C的坐標(biāo)是 4m , 0或m , 0或4m , 0 .(2) BOC與 AOB全等，點(diǎn)C的坐標(biāo)是 m,0 .解法一：由題意可知二次函數(shù)y x2 bx c的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)B 0,2m是二次函數(shù)圖像的

22、頂點(diǎn)，設(shè)二次函數(shù)的解析式為 y x2 2m.把x=m, y=0代入，解得： m 2 .點(diǎn)C的坐標(biāo)為 2,0.九年級(jí)同步解法二：二次函數(shù)bx c的圖像經(jīng)過(guò)A、 B、C三點(diǎn),20m得0m2bmbm解得:2m c點(diǎn)C的坐標(biāo)為2,0(3)已知(2)中的二次函數(shù)解析式是y設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)x, x2 4 .聯(lián)結(jié) OP ,APC 90°, O 是 AC 的中點(diǎn),OP-AC 22 .x2 44.解得:2 (不合題意，舍去)73,1 或 pV3,1 .p的坐標(biāo)為點(diǎn)，1時(shí)，作PHx軸于點(diǎn)H ,則 OH 格,PH 1 .在 RtAPOH 中,得 POC 300 .又 OPACP 750 .當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為J3,

23、i時(shí)，同理可得:_°ACP 15 .綜上所述：ACP 75°或15°.【總結(jié)】本題主要考查了二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),結(jié)合三角形的外角性質(zhì)求出角的度數(shù).#/25B圖1CD【例9】(2014學(xué)年 嘉定區(qū)一模 第25題)已知在 ABC中，AB AC 8, BC 4,點(diǎn)P是邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，APD ABC , ADBC ,聯(lián)結(jié) DC .(1)如圖1,如果DC /AB ,求AP的長(zhǎng)；(2)如圖2,如果直線DC與邊BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) E ,設(shè)AP x , AE y ,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域;(3)如圖3,如果直線DC與邊BA的反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn) F,聯(lián)結(jié)BP,

24、當(dāng)CPD與 CBF相似時(shí)，試判斷線段 BP與線段CF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明你的理由.【難度】8x1【答案】(1) AP 2; (2) y (0 x 2); (3) BP -CF .2 x223 / 25【解析】(1)解：: AD / BC ,DAP ACB .AP ADAPD ABC,DPAA ABC,4BC AC DC / AB , AD / BCABCD是平行四邊形. AB AC2；(2)解：由1)得：”處,BC AC AP4AD8 ADAD/ BC.ADBCAEEBAPx ， AEAD 2x, EB y8,8x(0 x 2);2 x(3)線段BP與線段CF的數(shù)量關(guān)系是：BPAPDDPC FB

25、C .PCDACPD s、CBF又CPD與CBF相似,.PD CPBF BCAB AC ,ABCAPDDAPDAP ADPD設(shè)APBF則ADPD2x, AFAD/ BC.BCADBFAF APPC4,ABBPy42xBP>AACF的中位線,【總結(jié)】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、及函數(shù)解析式的求法，利用相似寫出比例的形式是此題的關(guān)鍵.APCDAPD,x 4三角形的中位線九年級(jí)同步【例10】(2014學(xué)年崇明縣一模 第25題)已知在 ABC中，AB AC 5 , BC 6 , O為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)(不與 A、B重合)，以O(shè)為圓心OB為半徑的圓交 BC于點(diǎn)D, 設(shè) OB

26、 x , DC y .(1)如圖1,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及定義域;(2)當(dāng)e O與線段AC有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求 x的取值范圍;DE,(3)如圖2,若e O與邊AC交于點(diǎn)E (有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)取靠近 C的交點(diǎn))，聯(lián)結(jié)當(dāng) DEC與ABC相似時(shí)，求x的值.6x 6 (0V xv 5) ; (2) x5國(guó)或勺vx<5; (3) x 492125 或 x39【解析】(1)如圖1,聯(lián)結(jié)OD AB=AC, OB=OD,.OD / AC,BOBABDBCB=Z C,x 一5/ B=/ODB , BD.BD=-x ,5./ C=Z ODB, 6(0 V x< 5).A(圖2)(2)如圖2,當(dāng)。O與線

27、段AC有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)當(dāng)。與AC相切時(shí)，作OHXAC, BK± AC, AMXBC,垂足分別為H、 K、M,易得 OH / BK, AM=4. S ABCBC AM AC BKBK=24 .5 OH / BK,AOABOHBKx245120二 x ;49當(dāng)點(diǎn)A在。內(nèi)，點(diǎn)C不在O O內(nèi)時(shí),. A 在OO 內(nèi)， .1.OB>OA, 即 x> 5-x,. C 不在OO 內(nèi)， .-.OB<AB, 即 xv 5,綜上當(dāng)x 儂或5 V xv 5時(shí)O O與線段AC有且只有一個(gè)交點(diǎn); 492（3）（圖3）（圖4）（圖5）當(dāng)/ EDC=/ B時(shí)，方法1:如圖3,作OGXBC, EF

28、XBC, EPXOG,垂足分別為 G、F、P易求得:OG=4x, EF=4 5 x , GF=3, 55在 R3PE 中，OP=OG-EF = 8x 4 OE=x5''一一 2222125- OE OP PE , . 39x320x 625 0, 解得：x1 ，x2 5 （舍）；39方法2:如圖4,易求得四邊形 AODE為平行四邊形，DE=AO=5-x,作OJDE, DI LAB,垂足分別為 J、I, 15 x DJ= DE, OI = DJ,OI =-22在 RtABID 中，BI = BO-OI = 3x 5 , BD=Cx25 'BI3125 cosB- ,. x

29、 ;BD 539如圖 5,當(dāng)/ EDC=/A 時(shí)， ，/DEC = /B. OD / AC,. DEC=/ODE, . / ODE = Z B,6、,八OD DExc x 6 .ODEsabc, OD DE,- -5,解得:AB BC56綜上所述，當(dāng) DEC與 ABC相似時(shí)，x的值為125或5.392【總結(jié)】本題主要考查了圓和幾何的相結(jié)合的知識(shí)點(diǎn)，以及再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解，綜合性較強(qiáng)，注意認(rèn)真分析.隨堂檢測(cè)【習(xí)題1】(2015學(xué)年 普陀區(qū)一模 第24題)如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)yax27x c的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,8)、B (6,2),C(9,m),延長(zhǎng) AC3交x軸

30、于點(diǎn)D.(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式及 m的值;(2)求 ADO的余切值;(3)過(guò)點(diǎn)B的直線分別與y軸的正半軸、x軸、線段AD交于點(diǎn)P (點(diǎn)A的上方)、M、Q,使以點(diǎn)P、A、Q為頂點(diǎn)的三角形與MDQ相似，求此時(shí)點(diǎn) P的坐標(biāo).(1) y8,的值為5;(2) 3; (3) P(0, 20).(1)因?yàn)槎魏瘮?shù)2 axc的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(0, 8)、B(6, 2),c 82 36a 14 c'解得:2a -9 ,c 8y*所以二次函數(shù)解析式為將C(9, m)代入,解得:m 18(2)過(guò)點(diǎn)C作y軸垂線，垂足為H,AHDO第(2)小問(wèn)y由(1)得，C(9, 5),.CH=9,HO=5 ZADO=

31、 ZACH ,CH .cot/ADO = cot/ACH = CHAH9-3;3(3) ZPQA= ZDQM ,而/APQ與/QMD互為內(nèi)錯(cuò)角,不可能相等.所以當(dāng)4MDQ與4PAQ相似時(shí),則 cot / APQ=cot / ADO =3.過(guò)B作y軸垂線，垂足為G,B(6, 2)BG=6, GO=2,在 RtAPGB 中，cot/APQ=3,PG=18, PO=20,P(0, 20).第(3)小問(wèn)【總結(jié)】本題主要考查了二次函數(shù)與銳角三角比的結(jié)合，以及二次函數(shù)背景下相似三角形的存在性問(wèn)題.【習(xí)題2】（2015學(xué)年 長(zhǎng)寧區(qū)、金山區(qū)一模 第24題）如圖，直角坐標(biāo)平面內(nèi)的梯形 OABC ,OB上，點(diǎn)D在

32、OC上，直O(jiān)A在x軸上，OC在y軸上，OA BC ,點(diǎn)E在對(duì)角線線DE與x軸交于點(diǎn)F,已知OE 2EB, CB3, OA（1）求經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式;（2）求證：ODE s（3）在y軸上找一點(diǎn)OBC ；G ,使得 OFG【答案】（1） y 1x2 3x 6; (2)略;(3) (0,5)或(0, 5)或(0,20)或(0,【解析】（1）設(shè)二次函數(shù)解析式為：y ax2 .bx代入點(diǎn) A(6,0)、B(3,6)、C(0,6),解得:G點(diǎn)的坐標(biāo).直接寫出c ,ab故經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式為:6；（2）過(guò)點(diǎn)B作BQx軸于點(diǎn)Q,在 RtVOBQ 中，OB2 OQ2 BQ2,所以O(shè)B

33、由OE得:OE3OB.OEOCOHOGOD OB EHBG OE OB3OEOB23，DOE. EH OH3 2,故可求得直線OE的解析式為: F(10,0), OF10.ODE s OBC ,ODE s OBC .E(2,4),D(0,5).OED 90°.OFG sOF BCOG OCODE , 1 - OF 2 OGVOFG :VOBC2, . OG 5 或 OG 20,.G 點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,5）或（0, 5）或（0 ,20）或（0, 20）.【總結(jié)】本題主要考查二次函數(shù)與相似的結(jié)合，注意多種情況的分類討論.九年級(jí)同步【習(xí)題3】(3)(2014學(xué)年 崇明區(qū)一模 第24題)如圖，

34、已知拋物線 y - x2 bx c經(jīng)過(guò)直線81-x 1與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn) A、B,點(diǎn)C為拋物線上的一點(diǎn)，且 ABC 90 . 2求拋物線的解析式;求點(diǎn)C坐標(biāo)；1出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(1) y7-x 1 ；4(2) (4, 4)(3)P(0,1)或 P(4,(1)把x=0代入1P(1y 2x6,4)或 P(10,1 得,y=i, A(0, 1),把y=0代入y1 得，x=2 ,直線y -x 1上是否存在點(diǎn)P,使得 BCP與 OAB相似，若存在，請(qǐng)直接寫25/250).(0,1)、(2,0)代入ybx5 2b2解得:拋物線的解析式為:(2)作CHx軸，交x軸于點(diǎn)H,設(shè) C (t,5

35、 2則 OH=t , CH=-t 8BH=t-2. / OBC=/OBA+/ABC,/ OBC=Z BCH+Z又. / ABC=Z BHC=90o, 在 CHB與 BOA中， ./ OBA=/BCH .5-t 8BCHBHCOABAOBCHBA BOA,.CHBOBHAO5t2即87t4242 (舍).點(diǎn)C坐標(biāo)為(4, 4);(3) OA=1 , OB=2, AB J5 B(2 , 0),C(4,4) ， BC 275 .當(dāng)VAOB: VPBC時(shí)，則吧毀，OAOB解得:作PE，x軸于點(diǎn)E,則VAOB:VPEB, _PEOAPBAB即早PE，P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，代入yP(0,1)或 P(4, 1)

36、;一PB當(dāng) VAOB: VCBP時(shí)，則-PBOBBCOA解得:PB 445 作PEx軸于點(diǎn) 巳 則VAOB:VPEB,PEOAPBABPE，即工PE4,.P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 4,代入y6或 x 10P( 6,4)或P(1或 4)；綜上，滿足條件的點(diǎn) P的坐標(biāo)為P(0,1)或 P(4, 1)或 P( 6,4)或 P(10, 4).【總結(jié)】本題主要考查了二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，和與函數(shù)相結(jié)合的幾何圖形中相似三角形的存在時(shí)的點(diǎn)的情況.【習(xí)題4】(2013學(xué)年黃浦區(qū)一模 第25題)如圖，在 ABC中， ACB 90 ,AC8,35 / 25PD4sinB D為邊AC中點(diǎn)，P為邊AB上一點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重

37、合)，直線 5交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)E ,設(shè)線段BP長(zhǎng)為x ,線段CE長(zhǎng)為y .(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并寫出定義域；(2)過(guò)點(diǎn)D作BC平行線交AB于點(diǎn)F ,在DF延長(zhǎng)線上取一點(diǎn) Q ,使得QF DF ,聯(lián)結(jié)PQ、QE , QE交邊AC于點(diǎn)G .當(dāng) EDQ與EGD相似時(shí)，求PD DE求證： = .PQQE30 3x (5 xx 510); (2) x 8 ,C九年級(jí)同步【解析】（1）在Rt9CB中，AC 8,BC6 ， AB10.過(guò)點(diǎn)P作PHXBE,垂足為H,4 在 Rt4PHB 中，PH -x,5CE CD CD / HP, EH PH 'BH4Tx5解得：y312x (5 x x 5

38、10)；（2）聯(lián)結(jié)QB, . DQ=BC=6, DQ/ BC,，四邊形QBCD是平行四邊形，BQ=4.又. / ACB=90°, EBQ =90°.當(dāng)4EDQ與AEGD相似時(shí),AQDGC E /EDG </EDQ, ./ EDC = / DQE . DQ/CE, . DQE =ZQEB, . / EDC =/QEB.又. / EBQ = /DCE=90° ,EBQ DCE .CEBQCD y 4BE,即:4 c解得:y18 （舍），y 2,代入y(3)延長(zhǎng)PQ,交EB延長(zhǎng)線于 M,QF PF FD. DQ/ME,MB PB BE '又. QF FD

39、, MB=BE.又由得QBXME, 一 ,一PD. DQ/ME,PD又 QE=QM ,DEPDDE.QE=QM .PQ.QMPQ 日口 PDQE PQDEQE【總結(jié)】本題主要考查了二次函數(shù)背景下的線段間的函數(shù)關(guān)系式，以及與相似的簡(jiǎn)單結(jié)合.【習(xí)題5】(2013學(xué)年 虹口區(qū)一模 第25題)已知：正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，沿PE翻折 BPE得到 FPE ,直線PF交CD邊 于點(diǎn)Q ,交直線 AD于點(diǎn)G ,聯(lián)結(jié)EQ .(1)如圖，當(dāng)BP 1.5時(shí)，求CQ的長(zhǎng);(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)G在射線AD上時(shí)，設(shè)BP = x, DGy ,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出x的取值范

40、圍；(3)延長(zhǎng)EF交直線AD于點(diǎn)H ,若 CQE s FGH ,求BP的長(zhǎng).【答案】(1) CQ 8； (2) y 16x26 (1vxv2); (3)34 xBP的長(zhǎng)是【解析】(1)由題意，得：BE=EF , /PFE=/B=90° ,/ BEP = /FEP.點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),BE=EC =2, EF=EC=2.又/ EFQ=/C=90° , EQ=EQ , EFQ ECQ . ./ FEQ=/CEQ, BEP+Z CEQ= 90°.又 / BPE+ ZBEP = 90°, ./ BPE=Z CEQ. / B =/C =90BP BE, , ,EC

41、CQ . BPEACEQ ,22 CQCQ(2)由(1)知:BPEA CEQ,BPEC83，BECQ 'DQ 4 QD /AP ,DGAGDQAP，又AP 4 x, y16x416 /(1vxv2); x(3)由題意知：/C=90° = Z GFH .當(dāng)點(diǎn)G在線段AD的延長(zhǎng)線上時(shí),由題意知：/ G =/CQE. / CQE=ZFQE,.Z DQG = / FQC= 2 / CQE=2 / G. ./DQG+/G=90°,./ G=30° ,. . / BEP=/CQE= / G=30°.0 BP BE tan30當(dāng)點(diǎn)G在線段DA的延長(zhǎng)線上時(shí)，由題

42、意知：/ G=ZQEC,同理可得：/ G=30°BP BE cot30° 2 3綜上述知，BP的長(zhǎng)是2阮或2芯.3課后作業(yè)【作業(yè)1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知直線y x 4與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A和點(diǎn)C,拋物線y x2 kx k 1圖像過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)C,拋物線與x軸的另一交點(diǎn)是 B.(1)求出此拋物線的解析式、對(duì)稱軸以及B點(diǎn)坐標(biāo);(2)若在y軸負(fù)半軸上存在點(diǎn) D,能使得以A、C、D為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似,請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo).【難度】25【答案】(1) y x 5x 4,對(duì)稱軸：直線x 萬(wàn)，B (-1, 0) 20(2)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0, 一) .3【解析】(1)直線y

43、x 4與x軸、y軸分別相交于點(diǎn) A和點(diǎn)C,所以A (-4, 0), C (0, 4),代入拋物線y x2 kx k 1 ,可得：k 5,25所以拋物線的解析式為：y x 5x 4 ,對(duì)稱軸為：直線 x 3, B (-1, 0)；(2) QA( 4,0), C(0,4), OA OC 4, OCA OAC .Q AOC 90 , OB 1, OC OA 4 ,AC OA2 OC24*5, AB OA OB 4 1 3.Q點(diǎn)D在y軸負(fù)半軸上,ADC AOC ,即 ADC 90又 Q ABCBOC ,即 ABC 90 ,ABC ADC .Q CADs ABC,CD CA 目 CD 4.2，即=AC

44、AB 4 23解得：CD323OD CD CO323203點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,20、)3【總結(jié)】本題主要考查了二次函數(shù)背景下的相似三角形的存在性，注意認(rèn)真分析.【作業(yè)2】(2015學(xué)年 楊浦區(qū)一模 第24題)已知在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線1 2y -x bx c與x軸父于點(diǎn) A、B,與y軸父于點(diǎn) C,直線y x 4經(jīng)過(guò)A、C2兩點(diǎn).(1)求拋物線的表達(dá)式;(2)如果點(diǎn)P、Q在拋物線上(P點(diǎn)在對(duì)稱軸左邊)，且PQ / AO, PQ = 2AO.求點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)；(3)動(dòng)點(diǎn)M在直線y x 4上，且 ABC與 COM相似，求點(diǎn) M的坐標(biāo).x 4; ( 2) P( 5,8 4八(3) ( 3,-)或(3

45、,1).【解析】(1) :直線y x 4經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn), .A (-4, 0), C (0, 4),;拋物線y 1x2 bx 2c過(guò)點(diǎn)A、C,拋物線的表達(dá)式是y72)，(2)二.拋物線的表達(dá)式是4,對(duì)稱軸為直線xPQ=2AO,PQ=8.點(diǎn)P、Q在拋物線上且PQ/AO, 設(shè)P (m, y), Q(n, y),由拋物線的對(duì)稱性可知P、Q關(guān)于直線x1對(duì)稱，又 PQ=8,n-m=8,此時(shí) y1(5)2 ( 5)2m=-5, n=3.pg 2),Q(3,(3)二.拋物線y4交x軸于點(diǎn)A、B,而A (-4, 0) ,，B點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),. A (-4, 0), C(0,4),ABCA COM,6476

46、即一方或一尸4.2 CM 4,2.ABACCM4 ， ./ A=ZACO=45° .CO f AB CM 或,CM AC CO得:CM過(guò)點(diǎn)M作MH，y軸，88當(dāng) CM - J2 時(shí)，點(diǎn) MH=CH=一,33 M (8 4、一，一)；3 3當(dāng)CM 30時(shí)，點(diǎn) MH=CH = 3, M (3,1).【總結(jié)】本題主要考查二次函數(shù)背景下相似三角形的存在性問(wèn)題.【作業(yè)3】(2015學(xué)年 浦東新區(qū)一模第24題)如圖，拋物線y ax2 2ax c (a 0)與x軸交于A ( 3, 0)、B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn) C (0, 3),拋物 線的頂點(diǎn)為M.(1)求a、c的值;(2)求 tan

47、 MAC 的值;(3)若點(diǎn)P是線段AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié) OP.問(wèn)：是否存在點(diǎn) P,使得以點(diǎn)0、C、得:P為頂點(diǎn)的三角形與由.(1)將 A(ABC相似？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理1；(2)-3；(3)占八、P坐標(biāo)(-2,-1)或(3,0)、C(0,-3)代入2 ax2ax3 c09a 6b c '解得:13；O BAC(2)解得拋物線解析式為2x 2x 34,則 M(-1, -4).過(guò)M作y軸垂線，垂足為,. A(-3, 0)、C(0, -3)、M(-1 ,-4),易證AAOC和AMHC均為等腰直角三角形,且 AC 3叵,MC 亞， -/ ACM=900 .在 RtA ACM 中，tan/ MAC=MC - AC 3 '°C24(3)-yp第24題圖A45(3)由(2)知，/ OAC=/ACO=45° , AOCP與ABC相似.第種情況：當(dāng)PC： AB=OC： AC時(shí),即 PC:4 3應(yīng):3,解得：CP 2丘,此時(shí) P(-2, -1);第種情況：當(dāng) PC： AC=OC： AB時(shí)，即 PC: 3質(zhì) 3:4，解得：CP 92,此時(shí) P(