(完整word版)一級(jí)倒立擺的Simulink仿真

1、單級(jí)倒立擺穩(wěn)定控制直線-級(jí)倒立擺系統(tǒng)在忽略了空'(阻力及各種摩擦Z后，町抽象成小車和勻質(zhì)擺桿組 成的系統(tǒng)，如圖1所示。圖2控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)假設(shè)小車質(zhì)量M=0.5kg,勻質(zhì)擺樸質(zhì)量m=0.2kg,擺樸長(zhǎng)度21 =0.6m, x(t)為小車的水半 位移，為擺桿的角位移，g = 9.8m/s2o控制的目標(biāo)是通過外力u使得擺直立向上(即&(t) = 0) o該系統(tǒng)的非線性模型為:其中J二一ml(J +inl)典(nilcos)&= niglsin (ml cos。)翼(M + m)&= (mlsin0)6 + u一、非線性模型線性化及建立狀態(tài)空間模型因?yàn)樵诠ぷ鼽c(diǎn)附近(&am

2、p; = 0.必0)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行線竹:化，所以可以做如下線性化處理:03Q1sin0« 0、cos&q 13!2!當(dāng)e很小時(shí)，由COS0V sine的幕級(jí)數(shù)展開式可知，忽略高次項(xiàng)后, 可得 cos0l, sin0=0, 0Z 2=0：因此模型線性化后如下：(J+nilA2)0r z +mlxz z =mgl0 (a)ml0f r + (M+m) x''二u(b)其中J = -ml3取系統(tǒng)的狀態(tài)變量為 = x,x2 =儀X3 =x4 =灰輸出y = x OF包扌舌小車位移和擺桿的角位移. xl Xx2x1x30x4&Y=xlx3由線性化后運(yùn)動(dòng)方程組得X1/

3、二x'=x2沁冊(cè)4(M + m) 一 3m44(M + m) - 3m u3(M +m)g4(M + m)l 一 3ni-34(M + m)l 一 31111故空間狀態(tài)方程如下:91 00 ''xlM00-3mg0am xlx2 _4(M + m) 一 3mx2x3* 0001x3x4J003(M + m)g0_x44(M + m)l - 3ml044(M + m) - 3m0一34(M + m)l - 3nil010 0 xT 0x2*00-2.6727 0x211.8182x3f =000 1x3+0_x4J|_x40031.1818 0-4.5455u'x

4、l''1 0 0 0'x30 0 10xlx2x3x4二. 通過Matlab仿真判斷系統(tǒng)的可控與可觀性，并說明其物理意義。(1)判斷可控性代碼：A=010 0;0026270;000 1;0031.18180;B=0;1.8182;0;-4.5455;P=ctrb(A.B);n-rank(P);運(yùn)行了得n=4所以P為滿秩，系統(tǒng)能控(2)判斷可觀性代碼：A=0 100;00 -2.6270;0 0 0 1;0 0 31.18180;B=0;1.8182;0;-4.5455;C=l 00 0;0 0 10;P=obsv(A,C);n=rank(P);運(yùn)行了得n=4所以P為滿

5、秩，系統(tǒng)能觀。三、能否通過狀態(tài)反饋任意配置系統(tǒng)的極點(diǎn)？若能，通過Matlab仿真確定反饋控制規(guī)律K (如圖2),使得閉環(huán)極點(diǎn)配置在 人=_1人=_2,心=-1士 j上。并給出系統(tǒng)在施加一個(gè)單位脈沖輸入時(shí)狀態(tài)響應(yīng)曲線；答：因?yàn)橄到y(tǒng)完全能控，所以能通過狀態(tài)反饋任意配置系統(tǒng)的極點(diǎn)。要將閉環(huán)極點(diǎn)配置在人=-l，A =-2,A34=-l± j上，所以期墊特征方程為|AI(A-BK)|= (A+l) (A+2) (入+1)人2+1)=Aa4+5Aa3+10Aa2+10X+4Matlab求解K如下：A=010 0;00-2.6270;000 1；0031.18180;B=0;1.8182;0;-4

6、.5455;J=-l -2 -l+i -1-i;K=place(A.BJ);運(yùn)行得：K= -0.089378 -0.22345 -9.0957 -1.1894; 未加入極點(diǎn)配置。仿真圖：Gain未進(jìn)行極點(diǎn)配置仿真電路圖（1 X的響應(yīng)圖：的響應(yīng)圖:配置后:Step?CTStt:加入極點(diǎn)配置仿真圖（2）X的響應(yīng)圖:0 0 31. 18180;O的響應(yīng)圖:用MatLab中的lqr函數(shù)，可以得到最優(yōu)控制器對(duì)應(yīng)的K。要求用LQR控制算法控制倒立擺擺動(dòng)至豎直狀態(tài)，并可以控制倒立擺左移和右移；欲對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行最優(yōu)狀態(tài)反饋設(shè)計(jì)，及小化性能指標(biāo)為:J=*JTXTQX+UTRUdt編寫mat a lab程序如卜：A=

7、0 100;00 -2.6270;0 0 0 1;B二0; 1.8182;0;-4. 5455;C=l 0000 0 10D二0;0 x二 1; y=l;0;0;0;01;Q二x 0 00 0 00 0 y0 0 0R二 1;G=lqr(A, B, Q, R);A1=(A-B*G)J： B1=B1;C1=C;D1=D1;t=0:0. 01:5;U=zeros(size(t);x0=0. 1 0 0. 1 0;Y, X=lsim(Al, Bl, Cl, DI, U, t, xO); plot (t, Y);legend小車'，'倒立擺');運(yùn)行可得：G二-1 -1. 54

8、95 -18. 68 -3. 4559由圖分析可得調(diào)節(jié)時(shí)間很長(zhǎng)，所以增加Q的比重，將 上程序中的X, y改為x=150, y=150.運(yùn)行可得：G二-12. 247 -9.3413 -41. 934 -7. 7732比較可得，控制效果明顯改善。但反饋增益變大，意味著控制作用變強(qiáng)，消耗 能量變大。將G放入系統(tǒng)中，進(jìn)行simulink仿真可得：仿真電路圖：仿真結(jié)果： X的響應(yīng)圖:的響應(yīng)圖:Scope,! x|孕自I ppp盹lani口 &奇Time offset 0五、寫出本次仿真實(shí)驗(yàn)的心得體會(huì)。本實(shí)驗(yàn)，從數(shù)學(xué)建模到仿真系統(tǒng)的搭建，再到加進(jìn)控制環(huán)節(jié)進(jìn)行實(shí)時(shí)控制， 最后得出結(jié)果的過程中，參考了大最的資料，通過對(duì)比整合，設(shè)計(jì)出了適合白己 的一套實(shí)驗(yàn)方法：倒立擺數(shù)學(xué)模型推導(dǎo)部分：首先用線性化數(shù)學(xué)模型，接著用動(dòng) 態(tài)系統(tǒng)空間狀態(tài)方程法導(dǎo)出狀態(tài)方程系數(shù)矩陣，然后用MATLAB對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行可 控可觀判斷及進(jìn)行兒點(diǎn)配置，加入配置后在Sumiliiik軟件上進(jìn)行系統(tǒng)仿真。最 后通過matlab求解線性二次型最優(yōu)控制的G矩陣，然后加入形同進(jìn)行Simulmk 仿真。通過本實(shí)驗(yàn)，掌握了倒立擺仿真的整個(gè)過程，熟悉了 MATLA