42二倍角的正弦余弦正切公式

1、4.2、教學(xué)目標倍角的正弦、余弦、正切公式1.通過讓學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)并推導(dǎo)二倍角公式，了解它們之間、以及它們與和角公式之間的內(nèi)在聯(lián)系并通過強化題目的訓(xùn)練，加深對二倍角公式的理解，培養(yǎng)運算能力及邏輯推理能力，從而提高解決問題2.通過二倍角的正弦、余弦、正切公式的運用，會進行簡單的求值、化簡、恒等證明.體會化歸這一基本數(shù)學(xué)思想在發(fā)現(xiàn)中和求值、化簡、恒等證明中所起的作用.使學(xué)生進一步掌握聯(lián)系變化的觀點,自覺地利用聯(lián)系變化的觀點來分析問題，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力3.通過本節(jié)學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟?qū)ふ覕?shù)學(xué)規(guī)律的方法，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，以及善于發(fā)現(xiàn)和勇于探索的科學(xué)精神.二、教學(xué)重點二倍角公式推導(dǎo)及其

2、應(yīng)用三、教學(xué)難點如何靈活應(yīng)用和、差、倍角公式進行三角式化簡、求值、證明恒等式四、課時安排2課時五、教學(xué)過程導(dǎo)入新課（復(fù)習(xí)導(dǎo)入）請學(xué)生回憶上兩節(jié)共同探討的和角公式、差角公式，并回憶這組公式的來龍去脈，然后讓學(xué)生默寫這六個公式.教師引導(dǎo)學(xué)生：和角公式與差角公式是可以互相化歸的.當兩角相等時，兩角之和便為此角的二倍，那么是否可把和角公式化歸為二倍角公式呢？今天,我們進一步探討一下二倍角的問題，請同學(xué)們思考一下，應(yīng)解決哪些問題呢？由此展開新課推進新課，新知探究，提出問題還記得和角的正弦、余弦、正切公式嗎?（請學(xué)生默寫出來，并由一名學(xué)生到黑板默寫）你寫的這三個公式中角B會有特殊關(guān)系a =嗎？此時公式變成

3、什么形式?思考過公式的逆用嗎？想一想C2a還有哪些變形? 在得到的C2a公式中，還有其他表示形式嗎? 細心觀察二倍角公式結(jié)構(gòu)，有什么特征呢? 能看出公式中角的含義嗎？思考過公式成立的條件嗎? 讓學(xué)生填空：老師隨機給出等號一邊括號內(nèi)的角，學(xué)生回答等號另一邊括號內(nèi)的角，稍后兩人為一組，做填數(shù)游戲：sin( )=2sin( )cos( ), cos()=cos2()-sin2().請思考以下問題：sin2 a =2sin a? cos2 a =2cosa馬？ tan2 a =2tan?asin(X+ 3 )=sina cos 3 +cosin2sin =2sin a cOS2a);cos(X+ 3

4、)=cosasCoa 35in 3cos2 a =cOasin2 a (C;tan(tan(Xtan+ +1 tan tantan2 2tan2 仃2 )1 tan2活動：問題,學(xué)生默寫完后，教師打出課件，然后引導(dǎo)學(xué)生觀察正弦、余弦的和角公式，提醒學(xué) 生注意公式中的 a ,，既然可以是任意角，怎么任意的？你會有些什么樣的奇妙想法呢？并鼓勵學(xué)生大膽試一試.如果學(xué)生想到a ,會有相等這個特殊情況， 教師就此進入下一個問題，如果學(xué)生沒想到這 種特殊情況，教師適當點撥進入問題，然后找一名學(xué)生到黑板進行簡化，其他學(xué)生在自己的座位上 簡化、教師再與學(xué)生一起集體訂正黑板的書寫，最后學(xué)生都不難得出以下式子，鼓

5、勵學(xué)生嘗試一下, 對得出的結(jié)論給出解釋.這個過程教師要舍得花時間，充分地讓學(xué)生去思考、去探究，并初步地感受3a或3 B等角的探究附設(shè)類比聯(lián)想的源二倍角的意義.同時開拓學(xué)生的思維空間，為學(xué)生將來遇到的這時教師適時地向?qū)W生指出，我們把這三個公式分別叫做二倍角的正弦，余弦，正切公式，并指導(dǎo)學(xué)生閱讀教科書，確切明了二倍角的含義，以后的 倍角”專指二倍角”、教師適時提出問題,點撥學(xué)生結(jié)合sin2 a +C025a =1思考，因此二倍角的余弦公式又可表示為以下右表中的公式.SI ii2ct2siiiacostt( S?之)Cus2ct = cos" u si a( I 2 口 :.倍角公式給出了

6、a的三角函數(shù)與2a-Sill a這時教師點出，這些公式都叫做倍角公式（用多媒體演示） 的三角函數(shù)之間的關(guān)系問題，教師指導(dǎo)學(xué)生，這組公式用途很廣，并與學(xué)生一起觀察公式的特征與記憶，首先公式左 邊角是右邊角的2倍；左邊是2a的三角函數(shù)的一次式，右邊是 a的三角函數(shù)的二次式，即左到右升幕縮角，右到左 7降幕擴角、二倍角的正弦是單項式，余弦是多項式，正切是分式.問題，因為還沒有應(yīng)用，對公式中的含義學(xué)生可能還理解不到位，教師要引導(dǎo)學(xué)生觀察思考并 初步感性認識到：（I ）這里的 倍角”專指 二倍角”遇到 三倍角”等名詞時，三”字等不可省去；（n ）通 過二倍角公式，可以用單角的三角函數(shù)表示二倍角的三角函數(shù)

7、；（川）二倍角公式是兩角和的三角函數(shù)公式的特殊情況；（W）公式（S2a），（C2a）中的角 a沒有限制，都是a R.但公式（T2a）需在a*1 k n +和24aM k n+k Z）時才成立，這一條件限制要引起學(xué)生的注意.但是當a =k n+,k Z時，雖然tan a不存在，此時不能用此公式，但 tan2 a是存在的，故可改用誘導(dǎo)公式.問題，填空是為了讓學(xué)生明了二倍角的相對性，即二倍角公式不僅限于其他如4a是2a的二倍，？是-的二倍,3 a是 3a的二倍，色是-的二倍,2423這些都可以應(yīng)用二倍角公式 .例女0 :sin a =2sin a cos? ,cos =cos2a -sin2?等等.

8、244366問題，本組公式的靈活運用還在于它的逆用以及它的變形用，的注意.如:sin3 a cos3 Gsin6, 4sin cos =2(2sincos)=2sin ,2444422a是a的二倍的形式,-a是一-的二倍等所有24 2這點教師更要提醒學(xué)生引起足夠2tan 40222 .2=tan80 ° cos22 o-sin22 a =cos4,atan2 a =2tan da(if a 籌等. 1 tan 40問題，一般情況下:si n2 aM 2sin a ,cos2 a* 2cos a ,tan2 a* 2tan a.若 sin2 a =2sin 則,2sin a cos a

9、 =2sirifesin a =或 cos a =此時 a =kn 低 Z).1 j'31 J3若 cos2 a =2cos 則 2cos2 a-2cos -1=0,即 cos a (COS a 舍去).2 2若 tan2 a =2tan 則,2ta n a2 =2tan n a =即 a =k(n Z). tan a解答：一（略）應(yīng)用示例5例1已知sin2 a =13<a<，求 sin4 a ,cos4 a ,t的値.a42活動：教師引導(dǎo)學(xué)生分析題目中角的關(guān)系，觀察所給條件與結(jié)論的結(jié)構(gòu)， 注意二倍角公式的選用,領(lǐng)悟倍角”是相對的這一換元思想.讓學(xué)生體會 倍”的深刻含義，它

10、是描述兩個數(shù)量之間關(guān)系的.本題中的已知條件給出了 2a的正弦值由于4a是2 a的二倍角，因此可以考慮用倍角公式.本例是直接應(yīng)用二倍角公式解題，目的是為了讓學(xué)生初步熟悉二倍角的應(yīng)用，理解二倍角的相對性,教師大膽放手,可讓學(xué)生自己獨立探究完成解：由一< av，得一<2 a < n.4225又sin2 a ,13 cos2a=寸1 sin2 2a = J15 21213于是sin4 a =sin2 x (2 a )=2sin2cos4a =cos2 x (2 -2s=l12 a =123 J2120a cos2a =2 X )=13131695 2 119=)2=;13129tan

11、4sin 4a120 169120a =() X=.cos4a169 119119點評：學(xué)生由問題中條件與結(jié)論的結(jié)構(gòu)不難想象出解法，但要提醒學(xué)生注意，在解題時注意優(yōu)化問題的解答過程，使問題的解答簡捷、巧妙、規(guī)范，并達到熟練掌握的程度.本節(jié)公式的基本應(yīng)用是變式訓(xùn)練1.不查表，求值:sin 15 +°os15 . , j6 解:原式 _J(sin15 如5)2 如15 2sin15cos2152點評：本題在兩角和與差的學(xué)習(xí)中已經(jīng)解決過，現(xiàn)用二倍角公式給出另外的解法，讓學(xué)生體會它們之間的聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)變化的魅力2.下列各式中，值為¥的是()A.2sin 15 -cos15B.co

12、s215 °-s in 215 °C.2si n215。-1D.si n215 °cos215答案:B例 2 證明 1 sin2一一_tan e.1 sin 2 cos2cos 2活動：先讓學(xué)生思考一會，鼓勵學(xué)生充分發(fā)揮聰明才智，戰(zhàn)勝它，并力爭一題多解.教師可點撥學(xué)生想一想，到現(xiàn)在為止，所學(xué)的證明三角恒等式的方法大致有幾種：從復(fù)雜一端化向簡單一端；兩邊化簡，中間碰頭；化切為弦；還可以利用分析綜合法解決，有時幾種方法會同時使用等.對找不到思考方向的學(xué)生，教師點出：可否再添加一種，化倍角為單角？這可否成為證明三角恒等式的一種方法？再適時引導(dǎo)，前面學(xué)習(xí)同角三角函數(shù)的基本

13、關(guān)系時曾用到“1的代換，對“ 1的妙用大家深有體會,這里可否在“ 1”做做文章?待學(xué)生探究解決方法后，可找?guī)讉€學(xué)生到黑板書寫解答過程，以便對照點評及給學(xué)生以啟發(fā).點評時對能夠善于運用所學(xué)的新知識解決問題的學(xué)生給予贊揚;對暫時找不到思路的學(xué)生給予點撥、勵.強調(diào)“ 1的妙用很妙，妙在它在三角恒等式中一旦出現(xiàn)，在證明過程中就會起到至關(guān)重要的作用,在今后的證題中，萬萬不要忽視它證明：方法左 _sin2 (1 cos2 ) sin2 (1 cos2 )22sin cos(1 1 2cos )2sin cos(1 2cos1). 2Sin cos 1 cos2cossin cos 2Sin cos sin

14、2cossin cossin (cossin )=tan e右.cos (sincos )所以，原式成立.方法二：.2卄 Sin左sin2. 2. 2COSsinsincossin 2cos2COS.2sin2si n22si nsin 22cos22sin (Sincos ) 亠2cos (sincos )=ta n 0 右.方法三：左=(1 sin2 )(1 sin2 ) cos2cos2(sin2222cos2 sin?cos )(cossin)222cos2 sin?cos )(cossin)2(sin cos ) (cos2sin )(cos sin )(sin cos ) (cos sin )(cos sin )(sincos )(sincossincos)(sincos )(sincoscossin)(sincos)?2sin =tan 0右.(sin cos ) ? 2 cos“ 1的代換的妙用，請同學(xué)們在探究中點評：以上幾種方法大致遵循以下規(guī)律：首先從復(fù)雜端化向簡單端；第二，化倍角為單角，這是 我們今天剛剛學(xué)習(xí)的；第三，證題中注意對數(shù)字的處理，尤其 仔細體會這點.在這道題中通常用的幾種方法都用到了，不論用哪一種方法，都要思路清晰，書寫規(guī)六、課堂小結(jié)1.先由學(xué)生回顧本節(jié)課都學(xué)到了什么？有哪些收獲？對