中考攻略專題2待定系數(shù)法應用探討含答案

1、【2013年中考攻略】專題2：待定系數(shù)法應用探討在數(shù)學問題中，若得知所求結果具有某種確定的形式，則可設定一些尚待確定的系數(shù)(或參數(shù))來表示這樣的結果，這些待確定的系數(shù)(或參數(shù))，稱作待定系數(shù)。然后根據(jù)已知條件，選用恰當?shù)姆椒?，來確定這些系數(shù)，這種解決問題的方法叫待定系數(shù)法。待定系數(shù)法是數(shù)學中的基本方法之一。它滲透于初中數(shù)學教材的各個部分，在全國各地中考中有著廣泛應用。應用待定系數(shù)法解題以多項式的恒等知識為理論基礎，通常有三種方法：比較系數(shù)法；代入特殊值法；消除待定系數(shù)法。比較系數(shù)法通過比較等式兩端項的系數(shù)而得到方程（組），從而使問題獲解。例如：“已知x2-3=（1-A）·x2BxC，

2、求A，B，C的值”，解答此題，并不困難，只需將右式與左式的多項式中對應項的系數(shù)加以比較后，就可得到A，B，C的值。這里的A，B，C就是有待于確定的系數(shù)。代入特殊值法通過代入特殊值而得到方程（組），從而使問題獲解。例如：“點（2，3）在正比例函數(shù)圖象上，求此正比例函數(shù)”，解答此題，只需設定正比例函數(shù)為y=kx，將（2，3）代入即可得到k的值，從而求得正比例函數(shù)解析式。這里的k就是有待于確定的系數(shù)。消除待定系數(shù)法通過設定待定參數(shù)，把相關變量用它表示，代入所求，從而使問題獲解。例如：“已知，求的值”，解答此題，只需設定，則，代入即可求解。這里的k就是消除的待定參數(shù)。 應用待定系數(shù)法解題的一般步驟是：

3、（1）確定所求問題的待定系數(shù)，建立條件與結果含有待定的系數(shù)的恒等式；（2）根據(jù)恒等式列出含有待定的系數(shù)的方程（組）；（3）解方程（組）或消去待定系數(shù)，從而使問題得到解決。在初中階段和中考中應用待定系數(shù)法解題常常使用在代數(shù)式變型、分式求值、因式分解、求函數(shù)解析式、求解規(guī)律性問題、幾何問題等方面。下面通過2011年和2012年全國各地中考的實例探討其應用。一.待定系數(shù)法在代數(shù)式變型中的應用：在應用待定系數(shù)法解有關代數(shù)式變型的問題中，根據(jù)右式與左式多項式中對應項的系數(shù)相等的原理列出方程（組），解出方程（組）即可求得答案。典型例題：例：（2011云南玉溪3分）若是完全平方式，則=【 】A9 B9C&#

4、177;9D±3 【答案】A。【考點】待定系數(shù)法思想的應用。【分析】設，則， EMBED Equation.DSMT4 。故選A。練習題：1.（2012江蘇南通3分）已知x216xk是完全平方式，則常數(shù)k等于【 】A64 B48 C32 D162.（2012貴州黔東南4分）二次三項式x2kx+9是一個完全平方式，則k的值是 。3.（2011江蘇連云港3分）計算 (x2) 2的結果為x 2x4，則“”中的數(shù)為【 】A2 B2 C4 D44.（2011湖北荊州3分）將代數(shù)式化成的形式為【 】 A. B. EMBED Equation.3 C. D.二.待定系數(shù)法在分式求值中的應用：在一類

5、分式求值問題中，已知一比例式求另一分式的值，可設定待定參數(shù)，把相關變量用它表示，代入所求分式，從而使問題獲解。典型例題：例：（2012四川涼山4分）已知，則的值是【 】A B C D【答案】D?！究键c】比例的性質?！痉治觥?，設，則b=5k， a=13k，把a，b的值代入，得，。故選D。練習題：1.（2012北京市5分）已知，求代數(shù)式的值。2.（2011四川巴中3分）若，則= 。三.待定系數(shù)法在因式分解中的應用：在因式分解問題中，除正常應用提取公因式法、應用公式法、十字相乘法、分組分解法等解題外還可應用待定系數(shù)法求解，特別對于三項以上多項式的分解有很大作用（如：x36x2+11x6，目前這類考題

6、很少，但不失為一種有效的解題方法）。典型例題：例1：（2012湖北黃石3分）分解因式： ?！敬鸢浮浚▁1）（x2）?！究键c】因式分解?！痉治觥吭O， ，解得或， 。注：本題實際用十字相乘法解題更容易，但作為一種解法介紹于此。例2：分解因式： ?！敬鸢浮??！究键c】因式分解。【分析】， 可設。 ， 。 比較兩邊系數(shù)，得。 聯(lián)立，得a=4，b=1。代入式適合。 。練習題：1. （2012四川南充3分）分解因式： = 。2. （2012山東濰坊3分）分解因式：x34x212x= 。3. （2011貴州黔東南4分）分解因式： 。四.待定系數(shù)法在求函數(shù)解析式中的應用：待定系數(shù)法是解決求函數(shù)解析式問題的常用方

7、法，求函數(shù)解析式是初中階段待定系數(shù)法的一個主要用途。確定直線或曲線方程就是要確定方程中x的系數(shù)與常數(shù)，我們常常先設它們?yōu)槲粗獢?shù)，根據(jù)點在曲線上，點的坐標滿足方程的關系，將已知的條件代入方程，求出待定的系數(shù)與常數(shù)。這是平面解析幾何的重要內容，是求曲線方程的有效方法。初中階段主要有正比例函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)這幾類函數(shù)，前面三種分別可設y=kx，y=kx+b，的形式(其中k、b為待定系數(shù)，且k0)。而二次函數(shù)可以根據(jù)題目所給條件的不同，設成一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(a、b、c為待定系數(shù))，頂點式y(tǒng)=a (xh) 2+k(a、k、h為待定系數(shù))，交點式y(tǒng)=a (xx1)(xx2)(

8、a 、x1、x2為待定系數(shù))三類形式。根據(jù)題意(可以是語句形式，也可以是圖象形式)，確定出a、b、c、k、x1、x2等待定系數(shù)，求出函數(shù)解析式。典型例題：例1：（2012江蘇南通3分）無論a取什么實數(shù)，點P(a1，2a3)都在直線l上，Q(m，n)是直線l上的點，則(2mn3)2的值等于 【答案】16?！究键c】待定系數(shù)法，直線上點的坐標與方程的關系，求代數(shù)式的值。【分析】由于a不論為何值此點均在直線l上，令a=0，則P1（1，3）；再令a=1，則P2（0，1）。設直線l的解析式為y=kx+b（k0）， ，解得 。直線l的解析式為：y=2x1。Q（m，n）是直線l上的點，2m1=n，即2mn=1

9、。(2mn3)2=（1+3）2=16。例2：（2012山東聊城7分）如圖，直線AB與x軸交于點A（1，0），與y軸交于點B（0，2）（1）求直線AB的解析式；（2）若直線AB上的點C在第一象限，且SBOC=2，求點C的坐標【答案】解：（1）設直線AB的解析式為y=kx+b，直線AB過點A（1，0）、點B（0，2），解得。直線AB的解析式為y=2x2。（2）設點C的坐標為（x，y），SBOC=2，2x=2，解得x=2。y=2×22=2。點C的坐標是（2，2）?！究键c】待定系數(shù)法，直線上點的坐標與方程的關系?！痉治觥浚?）設直線AB的解析式為y=kx+b，將點A（1，0）、點B（0，2）

10、分別代入解析式即可組成方程組，從而得到AB的解析式。（2）設點C的坐標為（x，y），根據(jù)三角形面積公式以及SBOC=2求出C的橫坐標，再代入直線即可求出y的值，從而得到其坐標。例3：（2012湖南岳陽8分）游泳池常需進行換水清洗，圖中的折線表示的是游泳池換水清洗過程“排水清洗灌水”中水量y（m3）與時間t（min）之間的函數(shù)關系式（1）根據(jù)圖中提供的信息，求整個換水清洗過程水量y（m3）與時間t（min）的函數(shù)解析式；（2）問：排水、清洗、灌水各花多少時間？【答案】解：（1）排水階段：設解析式為：y=kt+b，圖象經過（0，1500），（25，1000），解得：。排水階段解析式為：y=20t+

11、1500。清洗階段：y=0。灌水階段：設解析式為：y=at+c，圖象經過（195，1000），（95，0），解得：。灌水階段解析式為： y=10t950。（2）排水階段解析式為：y=20t+1500，令y=0，即0=20t+1500，解得：t=75。排水時間為75分鐘。清洗時間為：9575=20（分鐘），根據(jù)圖象可以得出游泳池蓄水量為1500 m3，1500=10t950，解得：t=245。故灌水所用時間為：24595=150（分鐘）?！究键c】一次函數(shù)的應用，待定系數(shù)法，直線上點的坐標與方程的關系?！痉治觥浚?）根據(jù)圖象上點的坐標利用待定系數(shù)法分別得出排水階段解析式，以及清洗階段：y=0和灌水

12、階段解析式即可。（2）根據(jù)（1）中所求解析式，即可得出圖象與x軸交點坐標，即可得出答案。例4：（2012湖南婁底3分）已知反比例函數(shù)的圖象經過點（1，2），則它的解析式是【 】A B C D 【答案】B?！究键c】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，曲線上點的坐標與方程的關系?！痉治觥吭O反比例函數(shù)圖象設解析式為，將點（1，2）代入得，k=1×2=2。則函數(shù)解析式為。故選B。例5：（2012江蘇連云港12分）如圖，拋物線yx2bxc與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點O為坐標原點，點D為拋物線的頂點，點E在拋物線上，點F在x軸上，四邊形OCEF為矩形，且OF2，EF3，(1)求拋物線所對應

13、的函數(shù)解析式；(2)求ABD的面積；(3)將AOC繞點C逆時針旋轉90°，點A對應點為點G，問點G是否在該拋物線上？請說明理由【答案】解：(1)四邊形OCEF為矩形，OF2，EF3，點C的坐標為(0，3)，點E的坐標為(2，3)把x0，y3；x2，y3分別代入yx2bxc，得，解得。拋物線所對應的函數(shù)解析式為yx22x3。(2)yx22x3(x1)24，拋物線的頂點坐標為D(1，4)。ABD中AB邊的高為4。令y0，得x22x30，解得x11，x23。AB3(1)4。ABD的面積×4×48。(3)如圖，AOC繞點C逆時針旋轉90°，CO落在CE所在的直線

14、上，由（1）(2)可知OA1，OC=3，點A對應點G的坐標為(3，2)。當x3時，y322×3302，點G不在該拋物線上?！究键c】二次函數(shù)綜合題，矩形的性質，曲線圖上點的坐標與方程的關系，解一元二次方程，二次函數(shù)的性質，旋轉的性質?！痉治觥?1)在矩形OCEF中，已知OF、EF的長，先表示出C、E的坐標，然后利用待定系數(shù)法確定該函數(shù)的解析式。(2)根據(jù)(1)的函數(shù)解析式求出A、B、D三點的坐標，以AB為底、D點縱坐標的絕對值為高，可求出ABD的面積。(3)根據(jù)旋轉條件求出點A對應點G的坐標，然后將點G的坐標代入拋物線的解析式中直接進行判定即可。例6：（2012江蘇無錫2分）若拋物線y

15、=ax2+bx+c的頂點是A（2，1），且經過點B（1，0），則拋物線的函數(shù)關系式為 【答案】y=x2+4x3?！究键c】待定系數(shù)法，曲線上點的坐標與方程的關系?！痉治觥繏佄锞€y=ax2+bx+c的頂點是A（2，1），可設拋物線的解析式為y=a（x2）2+1。 又拋物線y=a（x2）2+1經過點B（1，0），（1，0）滿足y=a（x2）2+1。 將點B（1，0）代入y=a（x2）2得，0=a（12）2即a=1。 拋物線的函數(shù)關系式為y=（x2）2+1，即y=x2+4x3。例7：（2012浙江寧波12分）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象交x軸于A（1，0），B（2，0），交y軸于C（0，2

16、），過A，C畫直線（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）點P在x軸正半軸上，且PA=PC，求OP的長；（3）點M在二次函數(shù)圖象上，以M為圓心的圓與直線AC相切，切點為H若M在y軸右側，且CHMAOC（點C與點A對應），求點M的坐標；若M的半徑為，求點M的坐標【答案】解：（1）二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象交x軸于A（1，0），B（2，0）設該二次函數(shù)的解析式為：y=a（x+1）（x2）， 將x=0，y=2代入，得2=a（0+1）（02），解得a=1。拋物線的解析式為y=（x+1）（x2），即y=x2x2。（2）設OP=x，則PC=PA=x+1，在RtPOC中，由勾股定理，得x2+22=（x+1）

17、2，解得，x=，即OP=。（3）CHMAOC，MCH=CAO。（i）如圖1，當H在點C下方時，MCH=CAO，CMx軸，yM=2。x2x2=2，解得x1=0（舍去），x2=1。M（1，2）。（ii）如圖2，當H在點C上方時，MCH=CAO，PA=PC。由（2）得，M為直線CP與拋物線的另一交點，設直線CM的解析式為y=kx2，把P（，0）的坐標代入，得k2=0，解得k=。y=x2。由x2=x2x2，解得x1=0（舍去），x2=。此時y=。M（）。在x軸上取一點D，如圖3，過點D作DEAC于點E，使DE=，在RtAOC中，AC=。COA=DEA=90°，OAC=EAD，AEDAOC，即

18、，解得AD=2。D（1，0）或D（3，0）。過點D作DMAC，交拋物線于M，如圖則直線DM的解析式為：y=2x+2或y=2x6。當2x6=x2x2時，即x2+x+4=0，方程無實數(shù)根，當2x+2=x2x2時，即x2+x4=0，解得。 點M的坐標為（）或（）?！究键c】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標與方程的關系，勾股定理，平行的判定和性質，相似三角形的判定和性質，解一元二次方程?！痉治觥浚?）根據(jù)與x軸的兩個交點A、B的坐標，故設出交點式解析式，然后把點C的坐標代入計算求出a的值，即可得到二次函數(shù)解析式。 （2）設OP=x，然后表示出PC、PA的長度，在RtPOC中，利用勾股定理列式，

19、然后解方程即可。（3）根據(jù)相似三角形對應角相等可得MCH=CAO，然后分（i）點H在點C下方時，利用同位角相等，兩直線平行判定CMx軸，從而得到點M的縱坐標與點C的縱坐標相同，是2，代入拋物線解析式計算即可；（ii）點H在點C上方時，根據(jù)（2）的結論，點M為直線PC與拋物線的另一交點，求出直線PC的解析式，與拋物線的解析式聯(lián)立求解即可得到點M的坐標。在x軸上取一點D，過點D作DEAC于點E，可以證明AED和AOC相似，根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式求解即可得到AD的長度，然后分點D在點A的左邊與右邊兩種情況求出OD的長度，從而得到點D的坐標，再作直線DMAC，然后求出直線DM的解析式，與拋物線

20、解析式聯(lián)立求解即可得到點M的坐標。練習題：1. （2012上海市10分）某工廠生產一種產品，當生產數(shù)量至少為10噸，但不超過50噸時，每噸的成本y（萬元/噸）與生產數(shù)量x（噸）的函數(shù)關系式如圖所示（1）求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；（2）當生產這種產品的總成本為280萬元時，求該產品的生產數(shù)量（注：總成本=每噸的成本×生產數(shù)量）2. （2012山東菏澤7分）如圖，一次函數(shù)的圖象分別與軸、軸交于點A、B，以線段AB為邊在第一象限內作等腰RtABC，BAC=90°求過B、C兩點直線的解析式3. （2012甘肅蘭州4分）近視眼鏡的度數(shù)y(度)與鏡片焦距x(m)成反比例

21、，已知400度近視眼鏡鏡片的焦距為0.25m，則y與x的函數(shù)關系式為【 】A B C D4. （2012廣東佛山8分）(1)任選以下三個條件中的一個，求二次函數(shù)y=ax2bxc的解析式； y隨x變化的部分數(shù)值規(guī)律如下表：x10123y03430 有序數(shù)對（1，0），（1，4），（3，0）滿足y=ax2bxc； 已知函數(shù)y=ax2bxc的圖象的一部分（如圖） (2)直接寫出二次函數(shù)y=ax2bxc的三個性質5. （2012山東萊蕪12分）如圖，頂點坐標為(2，1)的拋物線yax2bxc(a0)與y軸交于點C(0，3)，與x軸交于A、B兩點(1)求拋物線的表達式；(2)設拋物線的對稱軸與直線BC交

22、于點D，連接AC、AD，求ACD的面積；(3)點E為直線BC上一動點，過點E作y軸的平行線EF，與拋物線交于點F問是否存在點E，使得以D、E、F為頂點的三角形與BCO相似？若存在，求點E的坐標；若不存在，請說明理由6. （2012山東濰坊11分）如圖，已知拋物線與坐標軸分別交于A(2，O)、B(2，0)、C(0，l)三點，過坐標原點O的直線y=kx與拋物線交于M、N兩點分別過點C、D(0，2)作平行于x軸的直線、 (1)求拋物線對應二次函數(shù)的解析式； (2)求證以ON為直徑的圓與直線相切； (3)求線段MN的長(用k表示)，并證明M、N兩點到直線的距離之和等于線段MN的長五.待定系數(shù)法在求解規(guī)

23、律性問題中的應用： 近幾年中考數(shù)學中常會出現(xiàn)一種尋找規(guī)律的題型，其中有一類實際是高中數(shù)學中的等差數(shù)列或二階等差數(shù)列，由于初中沒有學習它們的通項公式和遞推法求二階等差數(shù)列的通項，因此中考學生在確定數(shù)列的通項時有一定的困難。對于等差數(shù)列的通項公式 (其中a1為首項，d為公差，n為正整數(shù))，若將n看成自變量， an看成函數(shù)，則an是關于n的一次函數(shù)；若一列數(shù)a1,a2,an滿足 (其中k,b為常數(shù))，則這列數(shù)是二階等差數(shù)列，即每一后項減去前項得到一新的數(shù)列，這一新數(shù)列是等差數(shù)列。它的通項是關于n的二次函數(shù)。前面，我們講過用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，由于數(shù)列是特殊的函數(shù)，因此我們可以用待定系數(shù)法來確定

24、等差數(shù)列和二階等差數(shù)列的通項。典型例題：例1：（2012湖北孝感3分）2008年北京成功舉辦了一屆舉世矚目的奧運會，今年的奧運會將在英國倫敦舉行，奧運會的年份與屆數(shù)如下表所示：年份1896190019042012屆數(shù)123n表中n的值等于 【答案】30。【考點】分類歸納（數(shù)字的變化類），待定系數(shù)法?！痉治觥繉ふ乙?guī)律：設奧運會的屆數(shù)為x，年份為y，二者之間的關系為。 將（1，1896），（2，1900）代入，得，解得。 。檢驗：（3，1904）符合。奧運會的屆數(shù)與年份之間的關系為。 當y=2012時，解得x=30。 n=30。例2：（2012山西省3分）如圖，是由形狀相同的正六邊形和正三角形鑲嵌

25、而成的一組有規(guī)律的圖案，則第n個圖案中陰影小三角形的個數(shù)是 【答案】4n2?！究键c】分類歸納（圖形的變化類），待定系數(shù)法?！痉治觥坑蓤D可知：第一個圖案有陰影小三角形2個，第二圖案有陰影小三角形6個，第三個圖案有陰影小三角形10個，即形成數(shù)對（1，2），（2，6），（3，10），。 設陰影小三角形的個數(shù)與圖案的次序之間的關系為， 將（1，2），（2，6）代入，得，解得。 。檢驗：（3，10）符合。陰影小三角形的個數(shù)與圖案的次序之間的關系為。 當x= n時，。 第n個圖案中陰影小三角形的個數(shù)是。例3：（2012湖南永州3分）我們把按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，如1，3，9，19，33，就是一個

26、數(shù)列，如果一個數(shù)列從第二個數(shù)起，每一個數(shù)與它前一個數(shù)的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做這個等差數(shù)列的公差如2，4，6，8，10就是一個等差數(shù)列，它的公差為2如果一個數(shù)列的后一個數(shù)與前一個數(shù)的差組成的新數(shù)列是等差數(shù)列，則稱這個數(shù)列為二階等差數(shù)列例如數(shù)列1，3，9，19，33，它的后一個數(shù)與前一個數(shù)的差組成的新數(shù)列是2，6，10，14，這是一個公差為4的等差數(shù)列，所以，數(shù)列1，3，9，19，33，是一個二階等差數(shù)列那么，請問二階等差數(shù)列1，3，7，13，的第五個數(shù)應是 【答案】21?！究键c】新定義，分類歸納（數(shù)字的變化類），待定系數(shù)法?！痉治觥坑梢阎A等差數(shù)列1，3，

27、7，13，與次序之間形成數(shù)對（1，1），（2，3），（3，7），（4，13）。 設二階等差數(shù)列與次序之間的關系為， 將（1，1），（2，3），（3，7）代入，得，解得。 。檢驗：（4，13）符合。二階等差數(shù)列與次序之間的關系為。 當x= 5時，。 二階等差數(shù)列1，3，7，13，的第五個數(shù)應是21。練習題：1. （2012山東濟寧6分）問題情境：用同樣大小的黑色棋子按如圖所示的規(guī)律擺放，則第2012個圖共有多少枚棋子？建立模型：有些規(guī)律問題可以借助函數(shù)思想來探討，具體步驟：第一步，確定變量；第二步：在直角坐標系中畫出函數(shù)圖象；第三步：根據(jù)函數(shù)圖象猜想并求出函數(shù)關系式；第四步：把另外的某一點代入驗

28、證，若成立，則用這個關系式去求解解決問題：根據(jù)以上步驟，請你解答“問題情境”2.（2012江蘇宿遷3分）按照如圖所示的方法排列黑色小正方形地磚，則第14個圖案中黑色小正方形地磚的塊數(shù)是 .3.（2012廣西桂林3分）下圖是在正方形網格中按規(guī)律填成的陰影，根據(jù)此規(guī)律，則第n個圖中陰影部分小正方形的個數(shù)是 4.（2012青海省2分）觀察下列一組圖形：它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第n個圖形中共有 個5.（2012浙江寧波6分）用同樣大小的黑色棋子按如圖所示的規(guī)律擺放：（1）第5個圖形有多少黑色棋子？（2）第幾個圖形有2013顆黑色棋子？請說明理由六.待定系數(shù)法在幾何問題中的應用： 在幾何問題

29、中，常有一些比例問題（如相似三角形對應邊成比例，平行線截線段成比例，銳角三角函數(shù)等），對于這類問題應用消除待定系數(shù)法，通過設定待定參數(shù)，把相關變量用它表示，代入所求，從而使問題獲解。典型例題：例1：（2012江蘇南京2分）如圖，菱形紙片ABCD中，A=600，將紙片折疊，點A、D分別落在A、D處，且AD經過B，EF為折痕，當DFCD時，的值為【 】A. B. C. D. 【答案】A?！究键c】翻折變換（折疊問題），菱形的性質，平行的性質，折疊的性質，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥垦娱LDC與AD，交于點M，在菱形紙片ABCD中，A=60°，DCB=A=60°，A

30、BCD。D=180°A=120°。根據(jù)折疊的性質，可得ADF=D=120°，F(xiàn)DM=180°ADF=60°。DFCD，DFM=90°，M=90°FDM=30°。BCM=180°BCD=120°，CBM=180°BCMM=30°。CBM=M。BC=CM。設CF=x，DF=DF=y， 則BC=CM=CD=CF+DF=x+y。FM=CM+CF=2x+y，在RtDFM中，tanM=tan30°=，。故選A。例2：（2012江蘇揚州3分）如圖，將矩形ABCD沿CE折疊，點B恰

31、好落在邊AD的F處，如果，那么tanDCF的值是【答案】?！究键c】翻折變換(折疊問題)，翻折對稱的性質，矩形的性質，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義?！痉治觥克倪呅蜛BCD是矩形，ABCD，D90°，將矩形ABCD沿CE折疊，點B恰好落在邊AD的F處，CFBC，。設CD2x，CF3x，。tanDCF。例3：（2012貴州銅仁10分）如圖，定義：在直角三角形ABC中，銳角的鄰邊與對邊的比叫做角的余切，記作ctan，即ctan=，根據(jù)上述角的余切定義，解下列問題：（1）ctan30°= ；（2）如圖，已知tanA=，其中A為銳角，試求ctanA的值例4：（2012江蘇鎮(zhèn)江11分）等邊

32、ABC的邊長為2，P是BC邊上的任一點（與B、C不重合），連接AP，以AP為邊向兩側作等邊APD和等邊APE，分別與邊AB、AC交于點M、N（如圖1）。（1）求證：AM=AN；（2）設BP=x。若，BM=，求x的值；記四邊形ADPE與ABC重疊部分的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關系式以及S的最小值；連接DE，分別與邊AB、AC交于點G、H（如圖2），當x取何值時，BAD=150？并判斷此時以DG、GH、HE這三條線段為邊構成的三角形是什么特殊三角形，請說明理由?！敬鸢浮拷猓海?）證明：ABC、APD和APE都是等邊三角形， AD=AP，DAP=BAC=600，ADM=APN=600。DAM=P

33、AN。 ADMAPN（ASA），AM=AN。（2）易證BPMCAP， BN=，AC=2，CP=2x，即。 解得x=或x=。 四邊形AMPN的面積即為四邊形ADPE與ABC重疊部分的面積。 ADMAPN，。如圖，過點P作PSAB于點S，過點D作DTAP于點T，則點T是AP的中點。在RtBPS中，P=600，BP=x，PS=BPsin600=x，BS=BPcos600=x。AB=2，AS=ABBC=2x。當x=1時，S的最小值為。連接PG，設DE交AP于點O。若BAD=150，DAP =600，PAG =450。APD和APE都是等邊三角形，AD=DP=AP=PE=EA。四邊形ADPE是菱形。DO垂直平分AP。GP=AG。APG =PAG =450。PGA =900。設BG=t，在RtBPG中，B=600，BP=2t，PG=。AG=PG=。，解得t=1。BP=2t=22。當BP=22時，BAD=150。猜想：以DG、GH、HE這三條線段為邊構成的三角形是直角三角形。四邊形ADPE是菱形，AODE，ADO=AEH=300。BAD=150，易得AGO=450，HAO=150，EAH=450。設AO=a，則AD=AE=2 a，OD=a。DG=DOGO=（1）a。又B