第二章(4)相對(duì)位置A

1、2.5 直線與平面及兩平面的相對(duì)位置直線與平面及兩平面的相對(duì)位置一、平行問(wèn)題一、平行問(wèn)題 直線與平面平行直線與平面平行 平面與平面平行平面與平面平行.直線與平面平行直線與平面平行ABPmn幾何條件幾何條件: 若一直線平行于平面上若一直線平行于平面上的某一直線，則該直線與此的某一直線，則該直線與此平面平行。反之，若直線與平面平行。反之，若直線與平面平行，則在平面內(nèi)必可平面平行，則在平面內(nèi)必可以找到一條直線與已知直線以找到一條直線與已知直線平行。平行。 直線與平面及兩平面的直線與平面及兩平面的相對(duì)位置包括：相對(duì)位置包括： 平行平行、相交相交和和垂直垂直。直線與平面平行作圖問(wèn)題直線與平面平行作圖問(wèn)題

2、 判別已知線面是否平行；判別已知線面是否平行； 作直線與已知平面平行；作直線與已知平面平行； 包含已知直線作平面與另一已知直包含已知直線作平面與另一已知直線平行。線平行。 結(jié)論：直線結(jié)論：直線ABAB不平行于定平面不平行于定平面fgdgedefabba例例1：過(guò)：過(guò)M點(diǎn)作直線點(diǎn)作直線MN 平行于平面平行于平面ABC。例例2：判別直線：判別直線AB 是否是否 平行于平面平行于平面DEF。acbabcmmnn無(wú)數(shù)解！無(wú)數(shù)解！例例3：試過(guò)點(diǎn)：試過(guò)點(diǎn)D作水平線作水平線DE平行于平行于ABC平面平面 adedfcbecfba例例4.已知線段已知線段MN=30mm，點(diǎn)，點(diǎn)N在點(diǎn)在點(diǎn)M之后，且線段之后，且線

3、段MN與與ABC平行，完成平行，完成MN和和ABC的兩面投影。的兩面投影。30nc11直線與特殊位置平面平行直線與特殊位置平面平行 XOABa (b )CDEFGHcde (f)h (g )a b a (b )c cd de fe (f)g h h (g ) 當(dāng)平面為投影面的垂直面時(shí)，只要平面有積聚性的投影和直當(dāng)平面為投影面的垂直面時(shí)，只要平面有積聚性的投影和直線的同面投影平行，則直線和平面平行?；蛑本€也為該投影面的線的同面投影平行，則直線和平面平行?；蛑本€也為該投影面的垂線，則直線與平面必定平行。（直線與平面的同面投影都具有垂線，則直線與平面必定平行。（直線與平面的同面投影都具有積聚性，則直

4、線和平面平行。）積聚性，則直線和平面平行。）.兩平面平行兩平面平行PQBCAFED幾何條件：幾何條件：若一平面上的若一平面上的兩相交直線兩相交直線對(duì)應(yīng)平行于另一平面上的對(duì)應(yīng)平行于另一平面上的兩相交直線兩相交直線，則這兩平面相互平行。，則這兩平面相互平行。兩平面平行的作圖問(wèn)題兩平面平行的作圖問(wèn)題 判別兩已知平面是否相互平行；判別兩已知平面是否相互平行； 過(guò)一點(diǎn)作一平面與已知平面平行；過(guò)一點(diǎn)作一平面與已知平面平行； 已知兩平面平行，完成其中一平面的投影。已知兩平面平行，完成其中一平面的投影。 例例4: 試判斷兩平面是否平行試判斷兩平面是否平行m n mnr rss 結(jié)論：兩平面平行結(jié)論：兩平面平行

5、ab d f e dbefa cc 例例5: 已知定平面由平行兩直線已知定平面由平行兩直線AB和和CD給定。給定。 試過(guò)點(diǎn)試過(guò)點(diǎn)K作一平面平行于已知平面作一平面平行于已知平面 。em n mnf e fsr srkkab ba cdd c 若兩若兩投影面垂直面投影面垂直面相互平行，則它們相互平行，則它們具有積具有積聚性聚性的那組投影必相互平行。反之，也成立。的那組投影必相互平行。反之，也成立。abcdefghABDCEFHGabcdefghadfghecb兩特殊位置平面平行兩特殊位置平面平行c f b d e a abcdefX Xf g abcdefga b c d e X X兩特殊位置平面

6、平行兩特殊位置平面平行 兩一般位置平面平行兩一般位置平面平行 ABKPMFKNL直線與平面相交直線與平面相交其其交點(diǎn)交點(diǎn)是兩者的共有點(diǎn)是兩者的共有點(diǎn)平面與平面相交平面與平面相交其其交線交線是兩者的共有線是兩者的共有線要討論的問(wèn)題：要討論的問(wèn)題：求交點(diǎn)、交線并判別可見(jiàn)性。求交點(diǎn)、交線并判別可見(jiàn)性。二、相交問(wèn)題二、相交問(wèn)題由于特殊位置平面的某個(gè)投影有積聚性，交點(diǎn)可直接求出。由于特殊位置平面的某個(gè)投影有積聚性，交點(diǎn)可直接求出。(1)(1)一般位置一般位置直線與特殊位置平面相交直線與特殊位置平面相交 求交點(diǎn)并判別可見(jiàn)性求交點(diǎn)并判別可見(jiàn)性利用平面具有積聚性的投影，可直接判別可見(jiàn)性利用平面具有積聚性的投影

7、，可直接判別可見(jiàn)性 bbaaccmmnnkkanmcbnabcm思考思考1:1: 一般位置直線與正垂面相交一般位置直線與正垂面相交( )k21k21(2)特殊位置直線與特殊位置直線與一般位置一般位置平面相交平面相交 求交點(diǎn)并判別可見(jiàn)性求交點(diǎn)并判別可見(jiàn)性利用重影點(diǎn)判斷可見(jiàn)性利用重影點(diǎn)判斷可見(jiàn)性1 (2)aAbKk abBkffecFCEed思考題思考題2:2: 求求正垂線與一般位置平面相交的交點(diǎn)正垂線與一般位置平面相交的交點(diǎn)am ncbabnmcnlmmlnbaccabfkfkMmnlPBCacbPHAFKNLkf(3)(3)一般位置一般位置平面與特殊位置平面相交平面與特殊位置平面相交 求交線并

8、判別可見(jiàn)性求交線并判別可見(jiàn)性 將一般位置平面視為兩相交直線，分別求一般位置直線與特殊位置將一般位置平面視為兩相交直線，分別求一般位置直線與特殊位置平面的交點(diǎn)，交點(diǎn)相連即為交線平面的交點(diǎn)，交點(diǎn)相連即為交線判斷可見(jiàn)性：判斷可見(jiàn)性：(4).(4).兩特殊位置平面相交兩特殊位置平面相交 求交線并判斷可見(jiàn)性求交線并判斷可見(jiàn)性fcaebdefcbdam nmnACFBDENM(5)(5)一般位置一般位置直線與一般位置平面相交直線與一般位置平面相交 求交點(diǎn)并判別可見(jiàn)性求交點(diǎn)并判別可見(jiàn)性 一般位置線面相交由于直線和平面的投影都沒(méi)有積聚性，一般位置線面相交由于直線和平面的投影都沒(méi)有積聚性，求交點(diǎn)時(shí)無(wú)積聚性投影可

9、以利用，因此通常要采用輔助平面求交點(diǎn)時(shí)無(wú)積聚性投影可以利用，因此通常要采用輔助平面法求一般位置線面的交點(diǎn)。一般位置線、面相交求交點(diǎn)的步法求一般位置線面的交點(diǎn)。一般位置線、面相交求交點(diǎn)的步驟：驟：（1 1）含已知直線作特殊位置輔助平面；）含已知直線作特殊位置輔助平面；（2 2）求輔助平面與已知平面的交線；）求輔助平面與已知平面的交線；（3 3）求交線與已知直線的交點(diǎn)，交點(diǎn)即為所求。）求交線與已知直線的交點(diǎn)，交點(diǎn)即為所求。CABNMPEFK12以正垂面為輔助平面求線面交點(diǎn)以正垂面為輔助平面求線面交點(diǎn)QV21kk步驟步驟：1過(guò)過(guò)EF作正作正垂平面垂平面Q。2求求Q平面與平面與ABC的交線的交線。3求

10、交線求交線與與EF的交的交點(diǎn)點(diǎn)K。12以鉛垂面為輔助平面求線面交點(diǎn)以鉛垂面為輔助平面求線面交點(diǎn)。PH1步驟步驟：1過(guò)過(guò)EF作鉛作鉛垂平面垂平面P。2求求P平面與平面與ABC的交線的交線。3求交線求交線與與EF的交的交點(diǎn)點(diǎn)K。kk2fee直線EF與 ABC相交，判別可見(jiàn)性。利用重影點(diǎn)判別可見(jiàn)性124 kk34( )21 3 （ ） 求兩平面交線的問(wèn)題求兩平面交線的問(wèn)題可以看作是求兩個(gè)共有點(diǎn)可以看作是求兩個(gè)共有點(diǎn)的問(wèn)題的問(wèn)題, 因而可利用求一因而可利用求一般位置線面交點(diǎn)的方法找般位置線面交點(diǎn)的方法找出交線上的兩個(gè)點(diǎn)，將其出交線上的兩個(gè)點(diǎn)，將其連線即為兩平面的交線。連線即為兩平面的交線。(6)(6)

11、兩兩一般位置平面相交一般位置平面相交 求交線并判斷可見(jiàn)性求交線并判斷可見(jiàn)性MBCAFKNL 兩一般兩一般位置平面相位置平面相交，求交線交，求交線步驟：步驟：求兩平面的交線llnmmnPVQV1 2 21kkee2連接兩個(gè)共連接兩個(gè)共有點(diǎn)，畫(huà)出交有點(diǎn)，畫(huà)出交線線KE。示意圖1用求直線與用求直線與平面交點(diǎn)的方平面交點(diǎn)的方法，作出兩平法，作出兩平面的兩個(gè)共有面的兩個(gè)共有點(diǎn)點(diǎn)K、E。利用重影點(diǎn)判別可見(jiàn)性?xún)善矫嫦嘟?，判別可見(jiàn)性3 4 ( )3 4 21( )1 2例題例題6 試過(guò)K點(diǎn)作一直線平行于已知平面ABC，并與直線EF相交 。分析 過(guò)已知點(diǎn)K作平面P平行于 ABC；直線EF與平面P交于H；連接KH

12、，KH即為所求。FPEKH作圖mnhhnmPV11221過(guò)點(diǎn)K作平面KMN/ ABC平面。2求直線EF與平面KMN的交點(diǎn)H 。3連接KH，KH即為所求。小結(jié)小結(jié) 特殊位置求交（交點(diǎn)或交線）：特殊位置求交（交點(diǎn)或交線）：三判斷三判斷積聚投影或重影點(diǎn)判斷。積聚投影或重影點(diǎn)判斷。2.2.一般位置求交（交點(diǎn)或交線）：一般位置求交（交點(diǎn)或交線）：輔助平面法三步驟輔助平面法三步驟作垂面，求輔助交線，求作垂面，求輔助交線，求交點(diǎn)并判斷可見(jiàn)性。交點(diǎn)并判斷可見(jiàn)性。一看一看一面投影（積聚性）可知；一面投影（積聚性）可知；二作二作從屬性作圖；從屬性作圖；二、平面上的點(diǎn)與直線二、平面上的點(diǎn)與直線 平面上的點(diǎn)平面上的點(diǎn)

13、一定位于平面內(nèi)的某條直線上一定位于平面內(nèi)的某條直線上 平面上的直線平面上的直線 過(guò)平面上的兩個(gè)點(diǎn)。過(guò)平面上的兩個(gè)點(diǎn)。 過(guò)平面上的一點(diǎn)并平行于該平面上的某條直線。過(guò)平面上的一點(diǎn)并平行于該平面上的某條直線。三、平行問(wèn)題三、平行問(wèn)題 直線與平面平行直線與平面平行 直線平行于平面內(nèi)的一條直線。直線平行于平面內(nèi)的一條直線。 兩平面平行兩平面平行 必須是一個(gè)平面上的一對(duì)相交直線對(duì)應(yīng)平行必須是一個(gè)平面上的一對(duì)相交直線對(duì)應(yīng)平行 于另一個(gè)平面上的一對(duì)相交直線。于另一個(gè)平面上的一對(duì)相交直線。四、相交問(wèn)題四、相交問(wèn)題 求直線與平面的交點(diǎn)的方法求直線與平面的交點(diǎn)的方法 一般位置直線與特殊位置平面求交點(diǎn)，利用一般位置直

14、線與特殊位置平面求交點(diǎn)，利用 交點(diǎn)的共有性和平面的積聚性直接求解。交點(diǎn)的共有性和平面的積聚性直接求解。 投影面垂直線與一般位置平面求交點(diǎn)，利用投影面垂直線與一般位置平面求交點(diǎn)，利用 交點(diǎn)的共有性和直線的積聚性，采取平面上交點(diǎn)的共有性和直線的積聚性，采取平面上 取點(diǎn)的方法求解。取點(diǎn)的方法求解。 求兩平面的交線的方法求兩平面的交線的方法 兩特殊位置平面相交，分析交線的空間位置，兩特殊位置平面相交，分析交線的空間位置， 有時(shí)可找出兩平面的一個(gè)共有點(diǎn)，根據(jù)交線有時(shí)可找出兩平面的一個(gè)共有點(diǎn)，根據(jù)交線 的投影特性畫(huà)出交線的投影。的投影特性畫(huà)出交線的投影。 一般位置平面與特殊位置平面相交，可利用一般位置平面

15、與特殊位置平面相交，可利用 特殊位置平面的積聚性找出兩平面的兩個(gè)共特殊位置平面的積聚性找出兩平面的兩個(gè)共 有點(diǎn)，求出交線。有點(diǎn)，求出交線。本章結(jié)束a abd( (e) )ebdh( (f) )cfch求兩平面的交線并判別可見(jiàn)性求兩平面的交線并判別可見(jiàn)性mn空間及投影分析：空間及投影分析： 平面平面DEFH是一鉛垂面，是一鉛垂面，它的水平投影有積聚性，其它的水平投影有積聚性，其與與ac、bc的交點(diǎn)的交點(diǎn)m 、n 即為即為兩個(gè)共有點(diǎn)的水平投影，故兩個(gè)共有點(diǎn)的水平投影，故mn即為交線即為交線MN的水平投影。的水平投影。 求交線求交線 判別可見(jiàn)性判別可見(jiàn)性 點(diǎn)點(diǎn)在在MC上，點(diǎn)上，點(diǎn)在在FH上，點(diǎn)上，點(diǎn)

16、在前，點(diǎn)在前，點(diǎn)在在后，故后，故mc 可見(jiàn)。可見(jiàn)。作圖作圖X X211 1(2(2) )mn可通過(guò)正面投影可通過(guò)正面投影直觀地進(jìn)行判別。直觀地進(jìn)行判別。abcdefc f db e a m (n )空間及投影分析空間及投影分析 平面平面ABC與與DEF都都為為正垂面正垂面，它們的正面投，它們的正面投影都積聚成直線。影都積聚成直線。交線必交線必為一條正垂線為一條正垂線，只要求得只要求得交線上的一個(gè)點(diǎn)便可作出交線上的一個(gè)點(diǎn)便可作出交線的投影。交線的投影。 求交線求交線 判別可見(jiàn)性判別可見(jiàn)性作作 圖圖 從正面投影上可看出，從正面投影上可看出，在交線左側(cè)，平面在交線左側(cè)，平面ABC在上，其水平投影可見(jiàn)

17、。在上，其水平投影可見(jiàn)。nm能否不用重能否不用重影點(diǎn)判別？影點(diǎn)判別？能能!如何判別？如何判別？例：求兩平面的交線例：求兩平面的交線MN并判別可見(jiàn)性。并判別可見(jiàn)性。km(n)bm n c b a ac 直線為特殊位置直線為特殊位置空間及投影分析空間及投影分析: 直線直線MN為鉛垂線，其為鉛垂線，其水平投影積聚成一個(gè)點(diǎn)，水平投影積聚成一個(gè)點(diǎn)，故交點(diǎn)故交點(diǎn)K的水平投影也積聚的水平投影也積聚在該點(diǎn)上。在該點(diǎn)上。 求交點(diǎn)求交點(diǎn) 判別可見(jiàn)性判別可見(jiàn)性 點(diǎn)點(diǎn)位于平面上，在位于平面上，在前，點(diǎn)前，點(diǎn)位于位于MN上，在上，在后，故后，故k 1 1 為不可見(jiàn)為不可見(jiàn)。k 2 11 (2 )X Xc d e f a

18、 b abcdef投影分析投影分析 N點(diǎn)的水平投影點(diǎn)的水平投影n位于位于def的外面，說(shuō)的外面，說(shuō)明點(diǎn)明點(diǎn)N位于位于DEF所確所確定的平面內(nèi)，但不位定的平面內(nèi)，但不位于于DEF這個(gè)圖形內(nèi)。這個(gè)圖形內(nèi)。 所以所以ABC和和DEF的交線應(yīng)為的交線應(yīng)為MK。nn m kmk 互交互交bc d e f a b acdef投影分析投影分析 N點(diǎn)的水平投影點(diǎn)的水平投影n位于位于def 的外面，說(shuō)明點(diǎn)的外面，說(shuō)明點(diǎn)N位于位于DEF所確定的平面所確定的平面內(nèi)，但不位于內(nèi)，但不位于DEF這個(gè)這個(gè)圖形內(nèi)。圖形內(nèi)。 所以所以ABC和和DEF的的交線應(yīng)為交線應(yīng)為MK。mkk nn 求交線求交線 判別可見(jiàn)性判別可見(jiàn)性作

19、圖作圖m DEF的正面投影積聚的正面投影積聚求兩平面的求兩平面的交線交線并判別可見(jiàn)性并判別可見(jiàn)性要要 點(diǎn)點(diǎn)一、各種位置平面的投影特性一、各種位置平面的投影特性 一般位置平面一般位置平面 投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面三個(gè)投影為邊數(shù)相等的類(lèi)似多邊形三個(gè)投影為邊數(shù)相等的類(lèi)似多邊形類(lèi)似性類(lèi)似性。在其垂直的投影面上的投影積聚成直線在其垂直的投影面上的投影積聚成直線 積聚性積聚性。另外兩個(gè)投影類(lèi)似。另外兩個(gè)投影類(lèi)似。 在其平行的投影面上的投影反映實(shí)形在其平行的投影面上的投影反映實(shí)形 實(shí)形性實(shí)形性。 另外兩個(gè)投影積聚為直線。另外兩個(gè)投影積聚為直線。 小小 結(jié)結(jié)重點(diǎn)掌握：重點(diǎn)掌握：二、如

20、何在平面上確定直線和點(diǎn)。二、如何在平面上確定直線和點(diǎn)。三、兩平面平行的條件一定是分別位于兩平面三、兩平面平行的條件一定是分別位于兩平面 內(nèi)的內(nèi)的兩組相交直線對(duì)應(yīng)平行。兩組相交直線對(duì)應(yīng)平行。四、直線與平面的交點(diǎn)及平面與平面的交線是四、直線與平面的交點(diǎn)及平面與平面的交線是 兩者的共有點(diǎn)或共有線。兩者的共有點(diǎn)或共有線。解題思路：解題思路：空間及投影分析空間及投影分析 目的是找出交點(diǎn)或交線的已知投影。目的是找出交點(diǎn)或交線的已知投影。判別可見(jiàn)性判別可見(jiàn)性 尤其是尤其是如何利用重影點(diǎn)判別。如何利用重影點(diǎn)判別。一、平面的投影特性，一、平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的尤其是特殊位置平面的 投影特性。投影特

21、性。 直線與平面相交，其交點(diǎn)是直線與平面的直線與平面相交，其交點(diǎn)是直線與平面的共有點(diǎn)。共有點(diǎn)。1. 直線與平面相交直線與平面相交要討論的問(wèn)題：要討論的問(wèn)題：(1) (1) 求直線與平面的交點(diǎn)。求直線與平面的交點(diǎn)。 (2) (2) 判別兩者之間的相互遮判別兩者之間的相互遮 擋關(guān)系，即判別可見(jiàn)性。擋關(guān)系，即判別可見(jiàn)性。 我們將分別討論直線與平面至少有一我們將分別討論直線與平面至少有一個(gè)處于特殊位置的情況。個(gè)處于特殊位置的情況。2. 兩平面相交兩平面相交 兩平面相交其交線兩平面相交其交線為直線，交線是兩平面為直線，交線是兩平面的共有線，同時(shí)交線上的共有線，同時(shí)交線上的點(diǎn)都是兩平面的共有的點(diǎn)都是兩平面

22、的共有點(diǎn)。點(diǎn)。要討論的問(wèn)題：要討論的問(wèn)題： 求兩平面的交線求兩平面的交線方法：方法： 確定兩平面的確定兩平面的兩個(gè)兩個(gè)共有點(diǎn)。共有點(diǎn)。 確定確定一個(gè)共有點(diǎn)一個(gè)共有點(diǎn)及交線的方向。及交線的方向。 判別兩平面之間的相互遮擋關(guān)系，即：判別兩平面之間的相互遮擋關(guān)系，即： 判別可見(jiàn)性。判別可見(jiàn)性?；疽螅ㄒ唬┢叫袉?wèn)題（一）平行問(wèn)題 1 1熟悉線、面平行，面、面平行的幾何條件；熟悉線、面平行，面、面平行的幾何條件； 2 2熟練掌握線、面平行，面、面平行的投影特性及作圖方法。熟練掌握線、面平行，面、面平行的投影特性及作圖方法。（二）相交問(wèn)題（二）相交問(wèn)題 1 1熟練掌握特殊位置線、面相交（其中直線或平面的

23、投影具有積聚熟練掌握特殊位置線、面相交（其中直線或平面的投影具有積聚性）交點(diǎn)的求法和作兩個(gè)面的交線（其中一平面的投影具有積聚性）。性）交點(diǎn)的求法和作兩個(gè)面的交線（其中一平面的投影具有積聚性）。 2 2掌握利用重影點(diǎn)判別投影可見(jiàn)性的方法。掌握利用重影點(diǎn)判別投影可見(jiàn)性的方法。（四）點(diǎn)、線、面綜合題（四）點(diǎn)、線、面綜合題 1 1熟練掌握點(diǎn)、線、面的基本作圖方法；熟練掌握點(diǎn)、線、面的基本作圖方法； 2 2能對(duì)一般畫(huà)法幾何綜合題進(jìn)行空間分析，了解綜合題的一般解題能對(duì)一般畫(huà)法幾何綜合題進(jìn)行空間分析，了解綜合題的一般解題步驟和方法。步驟和方法。5.2.3 直線與一般位置平面相交以正垂面為輔助平面求線面交點(diǎn)

24、示意圖以鉛垂面為輔助平面求線面交點(diǎn) 示意圖判別可見(jiàn)性 示意圖(5)(5)一般位置一般位置直線與一般位置平面相交直線與一般位置平面相交 求交點(diǎn)并判別可見(jiàn)性求交點(diǎn)并判別可見(jiàn)性CABNMPEFK12以正垂面為輔助平面求線面交點(diǎn)QV21kk步驟：1過(guò)EF作正垂平面Q。2求Q平面與ABC的交線。3求交線與EF的交點(diǎn)K。12以鉛垂面為輔助平面求線面交點(diǎn)。PH1步驟：1過(guò)EF作鉛垂平面P。2求P平面與ABC的交線。3求交線與EF的交點(diǎn)K。kk2fee直線EF與 ABC相交，判別可見(jiàn)性。利用重影點(diǎn)判別可見(jiàn)性124 kk34示意圖( )21 3 （ ）直線EF與平面 ABC相交，判別可見(jiàn)性示意圖1 (2)(4)

25、3利利用用重重影影點(diǎn)點(diǎn)判判別別可可見(jiàn)見(jiàn)性性 求兩平面交線的問(wèn)題求兩平面交線的問(wèn)題可以看作是求兩個(gè)共有點(diǎn)可以看作是求兩個(gè)共有點(diǎn)的問(wèn)題的問(wèn)題, 因而可利用求一因而可利用求一般位置線面交點(diǎn)的方法找般位置線面交點(diǎn)的方法找出交線上的兩個(gè)點(diǎn)，將其出交線上的兩個(gè)點(diǎn)，將其連線即為兩平面的交線。連線即為兩平面的交線。(6)(6)兩兩一般位置平面相交一般位置平面相交 求交線并判斷可見(jiàn)性求交線并判斷可見(jiàn)性MBCAFKNL 兩一般兩一般位置平面相位置平面相交，求交線交，求交線步驟：步驟：求兩平面的交線llnmmnPVQV1 2 21kkee2連接兩個(gè)共連接兩個(gè)共有點(diǎn)，畫(huà)出交有點(diǎn)，畫(huà)出交線線KE。示意圖1用求直線與用求

26、直線與平面交點(diǎn)的方平面交點(diǎn)的方法，作出兩平法，作出兩平面的兩個(gè)共有面的兩個(gè)共有點(diǎn)點(diǎn)K、E。利用重影點(diǎn)判別可見(jiàn)性?xún)善矫嫦嘟?，判別可見(jiàn)性3 4 ( )3 4 21( )1 2例題例題6 試過(guò)K點(diǎn)作一直線平行于已知平面ABC，并與直線EF相交 。分析 過(guò)已知點(diǎn)K作平面P平行于 ABC；直線EF與平面P交于H；連接KH，KH即為所求。FPEKH作圖mnhhnmPV11221過(guò)點(diǎn)K作平面KMN/ ABC平面。2求直線EF與平面KMN的交點(diǎn)H 。3連接KH，KH即為所求。直線與平面垂直的幾何條件：直線與平面垂直的幾何條件： 若一直線垂直于一平面，則必垂直于屬于若一直線垂直于一平面，則必垂直于屬于 該平面的

27、一切直線。該平面的一切直線。4.3 直線與平面垂直、兩平面垂直直線與平面垂直、兩平面垂直定理定理1 若一直線垂直于一平面、則直線的水平投影必垂直于屬若一直線垂直于一平面、則直線的水平投影必垂直于屬于該平面的水平線的水平投影；直線的正面投影必垂直于屬于于該平面的水平線的水平投影；直線的正面投影必垂直于屬于該平面的正平線的正面投影。該平面的正平線的正面投影。knkn定理定理2（逆）（逆） 若一直線的水平投影垂直于屬于平面的水平線若一直線的水平投影垂直于屬于平面的水平線的水平投影；直線的正面投影垂直于屬于平面的正平線的正的水平投影；直線的正面投影垂直于屬于平面的正平線的正面投影，則直線必垂直于該平面

28、。面投影，則直線必垂直于該平面。例題例題7 平面由 BDF給定，試過(guò)定點(diǎn)K作平面的法線。acacnnkkh例題例題8 試過(guò)定點(diǎn)K作特殊位置平面的法線。hhhhh（a）（c）（b）例題例題9 平面由兩平行線平面由兩平行線AB、CD給定，試判斷直線給定，試判斷直線MN是否垂是否垂直于該平面。直于該平面。efef結(jié)論：不垂直結(jié)論：不垂直兩平面垂直的幾何條件兩平面垂直的幾何條件 若一直線垂直于一定平面，則包含這條直線的所有平面若一直線垂直于一定平面，則包含這條直線的所有平面都垂直于該平面。都垂直于該平面。AD 反之，兩平面相互垂直，則由屬于第一個(gè)平面的任意一反之，兩平面相互垂直，則由屬于第一個(gè)平面的任

29、意一點(diǎn)向第二個(gè)平面作的垂線必屬于第一個(gè)平面。點(diǎn)向第二個(gè)平面作的垂線必屬于第一個(gè)平面。兩平面垂直兩平面不垂直g例題例題12 平面由平面由 BDF給定，試過(guò)定點(diǎn)給定，試過(guò)定點(diǎn)K作已知平面的垂面。作已知平面的垂面。ghacach例題例題13 試判斷 ABC與相交兩直線KG和KH所給定的平面是否 垂直。ffdd結(jié)論：因?yàn)锳D直線不在 ABC平面上，所以?xún)善矫娌淮怪薄? 1PV1 2kk例題例題14 試過(guò)定點(diǎn)試過(guò)定點(diǎn)A作直線與作直線與 已知直線已知直線EF正交。正交。QEFAK直線與特殊位置平面相交直線與特殊位置平面相交判斷直線的可見(jiàn)性判斷直線的可見(jiàn)性特殊位置直線與一般位置平面相交特殊位置直線與一般位置

30、平面相交E(5).(5).一般位置直線與一般位置平面相交一般位置直線與一般位置平面相交 求求交點(diǎn)交點(diǎn)并判別并判別可見(jiàn)性可見(jiàn)性一般位置直線一般位置直線 一般位置平面一般位置平面 投影均無(wú)積聚性，投影均無(wú)積聚性，交點(diǎn)不能直接求出交點(diǎn)不能直接求出相交相交輔助平面法輔助平面法一般位置線、面求交點(diǎn)的作圖步驟：一般位置線、面求交點(diǎn)的作圖步驟： 包含直線包含直線MNMN作輔助平面作輔助平面P P 求輔助平面求輔助平面P P與一般位置平面的交線與一般位置平面的交線 EFEF 求交線求交線EFEF與已知直線的交點(diǎn)與已知直線的交點(diǎn)K K ，即為所求，即為所求ABCPNMFK12PH1步驟：步驟：1包含包含EF作鉛

31、垂面作鉛垂面P。2求求P平面與平面與ABC的的 交線交線。3求交點(diǎn)求交點(diǎn)與與EF的的 交點(diǎn)交點(diǎn)K。kk2例例1 1 求一般位置平面求一般位置平面ABCABC和一般位置直線和一般位置直線EFEF的交點(diǎn)，并判斷可見(jiàn)性的交點(diǎn)，并判斷可見(jiàn)性fee直線直線EFEF與與 ABCABC相交，判別可見(jiàn)性。相交，判別可見(jiàn)性。利用重影點(diǎn)判別可見(jiàn)性12 24 4 kk( )2 21 3 3 4 43( )PvC12DABKNaabbccddkkn12n例例2 2 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)K K作直線與交叉兩直線作直線與交叉兩直線ABAB和和CDCD相交。相交。mmM 求兩平面交線的問(wèn)求兩平面交線的問(wèn)題可以看作是求兩個(gè)共題可以看作是

32、求兩個(gè)共有點(diǎn)的問(wèn)題有點(diǎn)的問(wèn)題, 因而可利因而可利用求一般位置線面交點(diǎn)用求一般位置線面交點(diǎn)的方法找出交線上的兩的方法找出交線上的兩個(gè)點(diǎn)，將其連線即為兩個(gè)點(diǎn)，將其連線即為兩平面的交線。平面的交線。(6).(6).兩一般位置平面相交兩一般位置平面相交 求交線并判斷可見(jiàn)性求交線并判斷可見(jiàn)性MBCAFKNL 兩一般兩一般位置平面相位置平面相交，求交線交，求交線步驟：步驟：求兩平面的交線llnmmnPVQV1 2 21kkee2連接兩個(gè)共連接兩個(gè)共有點(diǎn)，畫(huà)出交有點(diǎn)，畫(huà)出交線線KE。1用求直線與用求直線與平面交點(diǎn)的方平面交點(diǎn)的方法，作出兩平法，作出兩平面的兩個(gè)共有面的兩個(gè)共有點(diǎn)點(diǎn)K、E。利用重影點(diǎn)判別可見(jiàn)性?xún)善矫嫦嘟?，判別可見(jiàn)性3 4 ( )3 4 21( 2 )1 例題例題3 3 試過(guò)K點(diǎn)作一直線平行于已知平面ABC， 并與直線EF相交 。分析