五年級(jí)上冊(cè)奧數(shù)試題-第2講巧求周長(zhǎng)與面積.(含答案)

1、第四講巧求周長(zhǎng)與面積教學(xué)目標(biāo)：1 .掌握巧求周長(zhǎng)與面積的基本方法；2 .理解并掌握割補(bǔ)、平移等數(shù)學(xué)思想方法。巧求周長(zhǎng)A B C D【例1】（“希望杯”第一試）右圖中的陰影部分 BCGF是 正方形，線段FH長(zhǎng)18厘米，線段AC長(zhǎng)24厘米， 則長(zhǎng)方形 ADHE的周長(zhǎng)是 厘米?！痉治觥?由于圖中陰影部分 BCGF是個(gè)正方形，其四條 邊的邊長(zhǎng)都相等，且等于長(zhǎng)方形ADHE的寬。FH AC的和應(yīng)為長(zhǎng)方形 ADHE的長(zhǎng)加上正方形BCGF的邊長(zhǎng)，所以等于長(zhǎng)方形 ADHE的長(zhǎng)與寬之和。所以長(zhǎng)方形 ADHE的周長(zhǎng)為: （18 24） 2 84 厘米。【例2】 如右圖所示，在一個(gè)正方形內(nèi)畫(huà)中、小兩個(gè)正方形，使三 個(gè)

2、正方形具有公共頂點(diǎn)，這樣大正方形被分割成了正方形 區(qū)域甲，和 L形區(qū)域乙和丙。甲的邊長(zhǎng)為 4厘米，乙的邊 長(zhǎng)是甲的邊長(zhǎng)的1.5倍，丙的邊長(zhǎng)是乙的邊長(zhǎng)的 1.5倍，那 么丙的周長(zhǎng)為多少厘米？EF長(zhǎng)多少厘米？【分析】 乙的周長(zhǎng)實(shí)際上是正方形 AHJE的周長(zhǎng)（我們可將乙與甲重合的兩條線段分別向左、 向下平移），同樣的，丙的周長(zhǎng)也就是正方形ABCD的周長(zhǎng)。由于 AE 4 1.5 6,AD 6 1.5 9,所以丙的周長(zhǎng)為 9 4 36厘米，EF AE AF 6 4 2 （厘米）?！纠?】用若干個(gè)邊長(zhǎng)都是 2厘米的平行四邊形與三角形（如右圖）拼接成一個(gè)大的平行四邊形，已知大平行四邊形的周長(zhǎng)是 244厘米,

3、 那么平行四邊形和三角形各有多少個(gè)？【分析】 大平行四邊形上、下兩邊的長(zhǎng)為（244 2 2） 2 120厘米，觀察上邊，每 6厘米有兩個(gè)平行四邊形的邊， 所以共有小平行四邊形 120 6 2 40個(gè)，三角形的數(shù)量與小平行 四邊形的數(shù)量相等，也是 40個(gè)。拓展用若干個(gè)邊長(zhǎng)都是 2厘米的平行四邊形與三角形 （如右圖）拼接成一個(gè)大的平行四邊形,已知大平行四邊形的周長(zhǎng)是236厘米，那么平行四邊形和三角形各有多少個(gè)？分析大平行四邊形上、下兩邊的長(zhǎng)為 （236 2 2） 2 116厘米，觀察上邊，每 6厘米有兩 個(gè)平行四邊形的邊，116 6 19L 2 ,所以有三角形 19 2 38個(gè)，小平行四邊形38

4、1 39 個(gè)?！纠?】 有9個(gè)小長(zhǎng)方形，它們的長(zhǎng)和寬分別相等，用這9個(gè)小長(zhǎng)方形拼成白大長(zhǎng)方形 （如圖）的面積是45平方厘 米，求這個(gè)大長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)?！痉治觥客卣狗治觥纠?】從圖上可以知道，小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)的4倍等于寬的5倍，所以長(zhǎng)是寬的 5 4 1.25倍。每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積為 45 9 5平方厘米，所以1.25寬 寬 5,所以寬為2厘米, 長(zhǎng)為2.5厘米。大長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為 （2.5 4 2 2,5） 2 29厘米。右圖的長(zhǎng)方形被分割成 5個(gè)正方形，已知原長(zhǎng)方形的面積為 120平方厘米，求原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬。大正方形邊長(zhǎng)的2倍等于小正方形邊長(zhǎng)的 3倍，所以大正方形的邊長(zhǎng)是小正方形邊長(zhǎng)的1.5倍，大正

5、方形的面積是小正方形面積的1.5 1.5 2.25倍，所以小正方形面積為 120 （2.25 2 3） 16平方厘米，所以小正方形的邊長(zhǎng)為4厘米，大正方形的邊長(zhǎng)為 6厘米，原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為 4 3 12厘米，寬為4 6 10厘米。（希望杯培訓(xùn)題） 如右圖所示，在一個(gè)正方形上先截去寬 11 分米的長(zhǎng)方形，再截去寬7分米的長(zhǎng)方形，所得圖形的面積比 原正方形減少301平方分米。原正方形的邊長(zhǎng)是 分米。11【分析】 把截去的兩個(gè)長(zhǎng)方形拼在一起，如右下圖所示，再補(bǔ)上長(zhǎng)11分米、寬7分米的小長(zhǎng)方形，所得長(zhǎng)方形的面積是 301 11 7 378平方分米，這個(gè) 長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于原正方形的邊長(zhǎng)，寬為 11 7 18

6、分米，所 以原正方形邊長(zhǎng)為： 378 18 21分米。四升五競(jìng)賽班第四講教師版 Page44巧求面積:【例6】如圖，一個(gè)矩形被分成八個(gè)小矩形，其中有五個(gè)矩形的面積如圖中所示（單位：平方厘米），問(wèn)大矩形的面積是多少平方厘米？36 C16B20E3012GF【分析】通過(guò)分析題目中的已知條件可以看出，面積為16平方厘米和面積為 20平方厘米的兩個(gè)長(zhǎng)方形的寬相等，即 BC相等，不妨假設(shè) BC 2厘米，可以算得：AC 8厘米，CD 10厘米。于是可以算得：GC 36 8 4.5厘米，BE 30 10 3厘米， EF 12 8 1.5厘米。于是大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為 10 8 18厘米，寬為4.5 2 3 1.5

7、 11厘 米，因此大長(zhǎng)方形的面積為18 11 198平方厘米。【例7】【分析】一塊正方形的苗圃（如右圖實(shí)線所示），若將它的邊長(zhǎng)各增加30米（如圖虛線所示），則面積增加9900平；方米，問(wèn)原來(lái)這塊正方形苗圃的面積是多少平方：米？：小正方形的面積為：30 30 900平方米。用增加的 k面積減去小正方形的面積就得到增加的兩個(gè)長(zhǎng)方形卜。的面積和，為： 9900 900 9000平方米。而增加30的兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積相等，于是其中一個(gè)長(zhǎng)方形的.面積為9000 2 4500平方米。長(zhǎng)方形的寬為 30米，那么長(zhǎng)為：4500 30 150米，這就是原來(lái)這塊正方形苗圃的邊長(zhǎng)，原來(lái)這塊正方形苗圃的面積為150 1

8、50 22500（平方米）【例8】 長(zhǎng)方形ABCD的周長(zhǎng)是30厘米，以這個(gè)長(zhǎng)方形的每一條邊為邊長(zhǎng)向外畫(huà)正方形。已知這四個(gè)正方形的面積之和為290平方厘米，那么長(zhǎng)方形ABCD的面積是多少平方厘米？【分析】 從圖形我們可以看出，AiB的長(zhǎng)度恰好為長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬之和，即為長(zhǎng)方形 ABCD周長(zhǎng)的一半，可以看出若以 A1B和BCi為邊能構(gòu)成大正方形 AiBCiEi （如右圖b所示），其中包含兩個(gè)長(zhǎng)方形和兩個(gè)正方形，而且兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積是相等的， 兩個(gè)正方形的面積剛好是 290平方厘米的一半。這樣我們?nèi)菀浊蟪觯捍笳叫?AiBCiEi的邊長(zhǎng)為30 2 15厘米，面積為：15 i5 225平方厘米，正方形

9、CDDiG與正方形 ADEAi的面積之和為：290 2 i45 （平方厘米）。長(zhǎng)方形ABCD與長(zhǎng)方形EDDE的面積相等。所以，長(zhǎng)方形ABCD的面積為：（225 i45） 2 40 （平方厘米）。鞏固用兩塊長(zhǎng)方形紙片和一塊正方形紙片拼成一個(gè)大正方形，長(zhǎng)方形紙片面積分別為44平方厘米與28平方厘米，原正方形紙片面積 是多少平方厘米？分析做輔助線，如右下圖，小正方形I的面積為44 28 i6,所以a 4, b 28 4 7,原正方形面積為 7 7 49 （平方厘米）。【例9】 如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是5 , E , F分別是AB和BC 的中點(diǎn)，求四邊形 BFGE的面積?！痉治觥?如下圖，利用割補(bǔ)

10、法，原正方形面積等于5個(gè)小正方形面積之和，所以每個(gè)小正方形面積是5 5 5 5,而陰影部分面積等于i個(gè)小正方形面積，所以也是 5。綜合應(yīng)用:【例10 把正三角形的每條邊三等分，以各邊的中間一段為邊向外 作小正三角形，得到一個(gè)六角形。再將這個(gè)六角形的六個(gè) “角”（即小正三角形）的兩邊三等分，又以它的中間段為 邊向外作更小的小正三角形，這樣就得到如右圖所示的圖 形。如果所作的最小的小正三角形的面積為1平方厘米，求如圖中整個(gè)圖形的面積?！痉治觥?題目中出現(xiàn)了大、中、小三種規(guī)格的正三角形（如圖a）,由已知，圖中最小的小正三角形的面積是1平方厘米，于是我們就以1平方厘米的小正三角形為單位，對(duì)圖a進(jìn)行分割

11、，得到圖bo從圖b可以看出，一個(gè)大正三角形中包 含9個(gè)中正三角形，一個(gè)中正三角形中包含9個(gè)小正三角形。由此可以求出，一個(gè)大正三角形中包含 9 9 81個(gè)小 正三角形，在圖a中，除了一個(gè)大三角形之外，還有3個(gè)中正三角形和12個(gè)小正三角形，所以整個(gè)圖形中共含有 小三角形的個(gè)數(shù)為：9 9 3 9 12 120個(gè)，而每個(gè)小正 三角形的面積為1平方厘米，所以圖a中圖形的面積為120平方厘米?！纠?1】（“迎春杯”初賽）如右圖，甲、乙、丙、丁四個(gè)長(zhǎng)方形拼成一個(gè)正方形 EFGH ,中間陰影為正方形。 已知甲、乙、丙、 丁四個(gè)長(zhǎng)方形面積的和是 32平方厘米，四邊形ABCD的面積 是20平方厘米，求甲、乙、丙、

12、丁四個(gè)長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的總和?！痉治觥?甲、乙、丙、丁四個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬之和的總和等于大正方形的周長(zhǎng)，所以甲、乙、丙、丁四個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)的總和等于大正方形的周長(zhǎng)的2倍。大正方形的面積等于四邊形ABCD的面積加上甲、乙、丙、丁面積和的一半，即20 32 2 36平方厘米,所以大正方形邊長(zhǎng)為 6厘米，所以甲、乙、丙、丁四個(gè)長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的總和為 6 4 2 48厘米?！纠?2】（2006年“希望杯”第二試）如右圖，用標(biāo)號(hào)為1 , 2, 3 , 4 , 5的五種大小不同的正方形拼成一個(gè)大長(zhǎng)方形，大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是18, 14,則標(biāo)號(hào)為5的正方形的面積是多少？【分析】 如果標(biāo)號(hào)為5的正方形的邊長(zhǎng)是 a ,那

13、么1號(hào)比2號(hào)大a , 2號(hào)比3號(hào)大a ,所以1號(hào)比3號(hào)大2a ,又因?yàn)?號(hào)和3號(hào)的邊長(zhǎng)之和是14, 1號(hào)和2號(hào)的邊長(zhǎng)之和是18,所以1號(hào)比3號(hào)大18 14 4,即2a 4, a 2 ,標(biāo)號(hào)為 5的正方形的面積是 224。（希望杯培訓(xùn)題）小軍用編號(hào)為1, 2, 3, 4, 5的大小不同的正方形拼出一個(gè)長(zhǎng)方形,如右圖所示，則中間陰影部分正方形的周長(zhǎng) 是多少厘米？分析 因?yàn)檎叫?的邊長(zhǎng) 正方形2的邊長(zhǎng) 正 方形3的邊長(zhǎng) 30厘米， 正方形1的邊長(zhǎng) 正方形2的邊長(zhǎng) 22厘米，所以正方形3的 邊長(zhǎng) 30 22 8 （厘米），正方形5的邊長(zhǎng)2正方形3的邊長(zhǎng) 22厘米，所以正方形5的邊長(zhǎng) 22 8 2 6

14、厘米，周長(zhǎng)為6 4 24厘米。22厘米30厘米拓展一個(gè)大長(zhǎng)方形若能分割成若干個(gè)大小不同的小正方形，則稱為完美長(zhǎng)方形。下面一個(gè)長(zhǎng)方形是由9個(gè)小正方形組成的完美長(zhǎng)方形。圖中正方形A和B的邊長(zhǎng)分別是7厘米和4厘米，那么這個(gè)完美長(zhǎng)方形的面積是多少平方厘米？ABDEFCABGH分析為了敘述方便，我們將圖中各個(gè)小正方形分別用字母表示（如圖）。設(shè)最小的正方形邊長(zhǎng)為 x厘米，又因?yàn)樾≌叫?A的邊長(zhǎng)為7厘米，小正方形 B的邊長(zhǎng) 為4厘米，所以小正方形 C的邊長(zhǎng)可以表示為7 x （厘米），小正方形D的邊長(zhǎng)可以表 示為7 x x 7 2x （厘米），小正方形E的邊長(zhǎng)可以表示為7 x 4 11 x （厘米）， 小正

15、方形F的邊長(zhǎng)可以表示為11 x 4 15 x （厘米），小正方形G的邊長(zhǎng)可以表示為 15 x 4 19 x （厘米），小正方形 H的邊長(zhǎng)可以表示為 7 x 7 14 x （厘米），觀 察大長(zhǎng)方形可知：小正方形D、C、H的邊長(zhǎng)之和等于小正方形F、G的邊長(zhǎng)之和，可以列方程為：（7 2x） （7 x） （14 x） （15 x） （19 x）,解得x 1。從而可得小正 方形C、D、E、F、G、H的邊長(zhǎng)分別為 8厘米、9厘米、10厘米、14厘米、18厘 米、15厘米。大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為：18 15 33 （厘米），寬為：14 18 32 （厘米），大長(zhǎng)方形的面積為：33 32 1056 （平方厘米）?！纠?/p>

16、13 220平方米，那么小有一大一小兩塊正方形試驗(yàn)田，他們的周長(zhǎng)相差40米，面積相差正方形試驗(yàn)田的面積是多少平方米？0.50.50.55【分析】 根據(jù)已知條件，我們將兩個(gè)正方形試驗(yàn)田的一個(gè)頂點(diǎn)對(duì)齊，畫(huà)出示意圖（如圖a）,將大正方形在小正方形外的部分分割成兩個(gè)直角梯形，再拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖b）。由于兩個(gè)正方形的周長(zhǎng)相差 40米，從而它們的每邊相差 40 4 10米，即圖b中的長(zhǎng) 方形的寬是10米。又因?yàn)殚L(zhǎng)方形的面積是兩個(gè)正方形的面積之差，即為220平方米，從而長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為：220 10 22 （米）。由圖可知，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是大正方形與小正方形的邊長(zhǎng)之和，長(zhǎng)方形的寬為大正方形與小正方形的邊長(zhǎng)之差，

17、從而小正方形的邊長(zhǎng) 為：（22 10） 2 6 （米）。所以小正方形的面積為：6 6 36 （平方米）。附加題:【附1】 從一塊正方形的玻璃板上鋸下寬為0.5米的一個(gè)長(zhǎng)方形玻璃條后，剩下的長(zhǎng)方形的面積為 5平方米，請(qǐng)問(wèn)鋸下的長(zhǎng)方形玻璃 條的面積等于多少？【分析】 我們先按題目中的條件畫(huà)出示意圖（如圖a）,我們先看圖中剩下的長(zhǎng)方形，已知它的面積為5平方米，它的長(zhǎng)和寬相差0.5米，我們可以將這樣形狀的四個(gè)長(zhǎng)方形拼成一個(gè)弦圖 （如圖b）。圖b是一個(gè)大正方形，它的邊長(zhǎng)等于長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬之和， 中間的那個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)，等于長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬之差，即0.5米。所以中間的小正方形的面積為0.5 0.5 0.2

18、5平方米，那么大正方形的面積為5 4 0.25 20.25平方米。因?yàn)?.5 4.5 20.25,所以大正方形的邊長(zhǎng)等于4.5米。所以原題中剩下的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬的和為4.5米，而長(zhǎng)與寬的差為0.5米，所以剩下的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為：（4.5 0.5） 2 2.5米，即原正方形的邊長(zhǎng)為2.5米。又知鋸下的長(zhǎng)方形玻璃條的寬為0.5米，于是可得鋸下的長(zhǎng)方形玻璃條的面積為2.5 0.5 1.25平方米。【附2】 有紅、黃、綠三塊大小一樣的正方形紙片，放在一個(gè)正方形盒內(nèi)，它們之間相互疊合（如右圖），已知露在外面的部分中，紅色面積是 20,黃色面積是12,綠色面積是8,那么正方形盒的底面積是多少？【分析】黃色紙片

19、露出部分與綠色紙片露出部分面積不同，由于三塊紙 片的大小一樣，把黃色紙片向左移動(dòng)，在這個(gè)移動(dòng)過(guò)程中，黃色紙片露出部分減少的面積等于綠色紙片紙片露出部分增加的 面積，它們露出部分的面積和不變，為 8 12 20。當(dāng)黃色紙片 移動(dòng)到正方形盒的最左邊時(shí)，如右下圖所示，可知此時(shí)黃色紙片露出部分與綠色紙片露出部分的面積相等，所以黃色紙片露出部分面積為20 2 10,綠色紙片露出面積也為 10。右下圖中，由于紅色部分面積是綠色部分面積的20 10 2倍,【附3】 右圖中外側(cè)的四邊形是一個(gè)邊長(zhǎng)為10厘米的正方形，求陰影部分的面積。所以黃色部分面積是空白部分面積的 2倍。所以空白部分的面積 為10 2 5,正

20、方形盒的底面積為 20 10 10 5 45。解答此 題的關(guān)鍵是讓黃色紙片移動(dòng)，使復(fù)雜的圖形變?yōu)榛緢D形?！痉治觥?如右下圖所示，可知陰影部分面積與空白部分面積之差即為小長(zhǎng)方形OPMN的面積,為3 2 6平方厘米，所以陰影部分面積為（100 6） 2 53平方厘米。鞏固練習(xí)1.右圖中正方形的邊長(zhǎng)為 3厘米，每邊被3等分，求圖中所有正方形周長(zhǎng)的和?！痉治觥糠诸愡M(jìn)行統(tǒng)計(jì)：邊長(zhǎng)為1厘米的正方形的周長(zhǎng)的和是：1 4 (3 3) 36 (厘米),邊長(zhǎng)為2厘米的正方形周長(zhǎng)的和是：2 4 (2 2) 32(厘米)，邊長(zhǎng)為3厘米的正方形周長(zhǎng)是：3 4 (1 1) 12(厘米)，圖中所有正方形周長(zhǎng)的和是：36

21、32 12 80(厘米)。2.用同樣的長(zhǎng)方形條磚，在一個(gè)盆的周?chē)龀梢粋€(gè)正方形邊框，如右圖所示。已知外面大正方形的周長(zhǎng)是264厘米，里面小正方形的面積是900平方厘米，每塊長(zhǎng)方形條磚的長(zhǎng)是 厘米，寬 是 厘米?！痉治觥客饷娲笳叫蔚倪呴L(zhǎng)為 264 4 66厘米，里面小正方形的邊長(zhǎng)為以看出，長(zhǎng)方形的寬為 (66 30) 2 18厘米，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為3.右圖的長(zhǎng)方形被分割成5個(gè)正方形，已知每個(gè)大正方形比每個(gè)小正方形面積大 5平方厘米，求原長(zhǎng)方形的面積。30厘米，從圖中可大正方形邊長(zhǎng)的2倍等于小正方形邊長(zhǎng)的 3倍,所以大正方形的邊長(zhǎng)是小正方形邊長(zhǎng)的1.5倍,大正方形的面積是小正方形面積的1.5 1.5

22、2.25倍，小正方形面積為5 (2.25 1) 4平方厘米，原長(zhǎng)方形的面積為4 3 (45) 2 30平方厘米。1厘米，且小長(zhǎng)方4厘米，寬為2厘米。所4.有大、小兩個(gè)長(zhǎng)方形(右圖)，對(duì)應(yīng)邊的距離均為 已知兩個(gè)長(zhǎng)方形之間部分的面積是 16平方厘米， 形的長(zhǎng)是寬的2倍，求大長(zhǎng)方形的面積?！痉治觥?如圖，由于已知兩個(gè)長(zhǎng)方形之間部分的面積是16平方厘米，而4個(gè)角上的小正方形面積均為 1平方厘米，所以劃分出來(lái)的四個(gè)新長(zhǎng)方形的面積之和為16 4 12平方厘米，這四個(gè)新長(zhǎng)方形的寬均為1厘米，長(zhǎng)則分別為原來(lái)的小長(zhǎng)方形的四條邊， 所以原來(lái)的小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬之和為12 1 2 6厘米。由于小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是寬的2倍，所以長(zhǎng)為以大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為6厘米，寬為4厘米，面積為6 4 24平方厘米。四升五競(jìng)賽123班第四講教師版Page 45競(jìng)技跳水比賽主要包括跳臺(tái)和跳板，比賽時(shí)運(yùn)動(dòng)員要完成規(guī)定和自選動(dòng)作，最后以兩種動(dòng)作 的總分決定名次。2 0 0 8年北京奧運(yùn)會(huì)設(shè)男、女個(gè)人1。米跳臺(tái)和3米跳板，以及男、女雙人 1。米跳臺(tái)和3米跳板共8個(gè)項(xiàng)目。比賽在北京奧林匹克公園的國(guó)家游泳中心舉行。跳水池面積為2 5米X 2 5米，池深5. 4米。跳水的男子個(gè)人和雙人項(xiàng)目各需完成6個(gè)動(dòng)作，女子個(gè)人和雙人項(xiàng)目各需完成5個(gè)動(dòng)作。跳板比賽中，女子包括5個(gè)不同組別無(wú)難度系數(shù)限制的動(dòng)作，男子則包括6個(gè)無(wú)難