對旋轉變換解決幾何問題的探討何蘭紅

1、對“旋轉變換”解決平面幾何問題的探討（何蘭紅）內(nèi)容摘要：隨著新課改的推行與實施，旋轉變換已納入初中幾何教材之中。旋轉變換是圖形變換中的一種基本變換，它在平面幾何求解題、證明題、作圖題中有著廣泛的應用。本文擬從通過剖析旋轉變換的定義、性質，剖析幾何圖形特征及幾何問題特點來探討如何 正確運用旋轉變換解題。關鍵詞：旋轉變換、旋轉中心、旋轉角、幾何問題新教材中，幾何教學加強了“圖形變換”的有關內(nèi)容，通過體會和認識圖形特征, 增強了學生用旋轉變換處理幾何問題的感受， 并注重幾何直覺培養(yǎng)空間觀念。而旋轉變換, 正是利用直觀感知和合情推理或數(shù)學說理， 使幾何問題中已知或所求的部分集中到一個基 本圖形中，為求

2、解創(chuàng)設合適的情景，從而減少了繁瑣的邏輯推理、證明和運算，能更簡便、 靈活地解決問題。那么旋轉變換解決幾何問題的關鍵是什么，什么幾何圖形、哪些幾何問 題可運用旋轉變換呢？本人根據(jù)自己的教學實踐，作如下粗淺的探討。首先、理解并掌握好旋轉變換的定義、性質，正確運用旋轉變換解題。旋轉變換是將平面圖形F1繞平面內(nèi)一定點0旋轉一個定角a，得到一個與原來圖形 的形狀與大小都一樣的圖形F2，0點叫做旋轉中心，a叫做旋轉角，當a =1800時，稱為 中心對稱變換， 所以中心對稱變換是一種特殊的旋轉變換。旋轉變換的基本特征和性質是：（1）在旋轉變換下，旋轉圖形中每一點繞著旋轉中心轉了同樣大小的角度，即都等于旋轉角

3、；（2）在旋轉變換下，對應線段相等；（3）在旋轉變換下，對應直線的夾角等于旋轉角。由旋轉變換的定義和性質可知，平面上的旋轉由旋轉中心0和旋轉角a完全確定。因此，要對圖形進行旋轉變換，需要根據(jù)圖形的特點選擇合適的旋轉中心和旋轉角。例 1、如圖，四邊形 AFCE 中，AB 丄 FC 于 B，F(xiàn)AE = N C = 90,且 AF=AE，AB=BC=5 ,AECF B的旋轉中心是點A）；求四邊形AFCE的面積。（由八年級上冊第15頁習題3改編）。分析：由于四邊形AFCE不是特殊四邊形，直接計算面積比較困難，由AF=AE，NFAE=900,利用旋轉變換，將也AFB繞點A逆時針旋轉90（即N FAE的度

4、數(shù)）至 MEG，則可知點G、E、C在同一條直線上，四邊形 ABCG是一個正方形，這樣求四邊形AFCE的面積就轉化成求正方形 ABCG的面積，問題也就解決了。由例1可以看出，運用旋轉變換關鍵是：（1）確定旋轉中心（例1（2）確定旋轉圖形（例1中是心AFB ）; （3）確定旋轉的角度和方向（例1中旋轉角度為 900,逆時針方向）。其次、由旋轉變換的性質可知，當平面幾何圖形中有共點且相等的線段時，可以考慮 旋轉變換，如等腰三角形、正方形。1、若問題中有等腰三角形，可設計以等腰三角形的頂點為旋轉中心，以頂角為旋轉 角的旋轉，而正三角形的旋轉角往往是 600。例2、D為等腰三角形ABC內(nèi)一點，AB=AC

5、,厶 ADBNADC,求證:DCDB.分析：如圖，把AADB繞頂點A逆時針旋轉,使AB與AC重合，得至U MEC，連結DE,貝U有AD=AE，BD=CE，NADB =NAEC。因為 NADBNADC,所以 NAEC aNADC。又因為 AD=AE，所以 4 =三2，貝U N4 N3，所以 DCEC,即DCDB。注：此題若條件改為 N ADB= NADC （或N ADBvNADC ）,結論改 為DC=DB（或DCvDB）,命題也成立，證明方法一樣。E2、若問題中有正方形（或矩形），可嘗試正方形（或矩形）某頂點旋轉 方形中心旋轉900。90，或以正例3、正方形ABCD的邊長為1, AB、CD上各有

6、一點Q,如果也APQ在周長為2,貝U NPCQ =（）A、300 B、450 C、600D、無法確定分析：將ACDQ繞點C逆時針旋轉90到也CBE處,P、則 NQCE =90，令 AP =x,AQ =y,則 PQ = 2-(x + y),又 QD =BE =1 -y, PB =1 -X ,可得 PE =2 - (x+ y),從而iC P Q AC PE,所以1 zpCQ PCE = NQCE =45。23、若問題中有共點且相等的線段（如例 1）,可考慮以該共點為旋轉中心，以兩相等線段的夾角為旋轉角。例4、如圖，在圓內(nèi)接四邊形 ABCD中, AB=AD AC=1 ZACD =60，貝U四邊形AB

7、CD的面積（）ECPP（變式題）已知點P是等邊三角形ABC外一點。點，貝U BG GH HM=（第六屆“祖沖之杯”數(shù)學邀請賽試題）433分析：由AB=AD考慮將衛(wèi)ABC繞點A逆時針旋轉至AADE , 使AB與AD重合，貝U AE=AC點C D E共線，故 ACE是正三角 形，從而將求四邊形 ABCD勺面積轉化為求等邊 MCE的面積，問題簡單多了。4、若問題中與某線段中點或某組具有公共中點的線段有關，可以此中點為中心，設計中心對稱變換。5、若問題中有圓或正多邊形，可以考慮以圓心或正多邊形中心為中心的某種旋轉。再者，當幾何問題中有旋轉變換圖形特征時， 條件或結論中又出現(xiàn)分散的線段或角度 時，可考慮

8、用旋轉變換把分散的線段和角集中在一個基本圖形之中去解決問題。例5、如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點,P A=2 ,P B=2J3, P C=4,求A ABC的邊長。分析：本題所給的三條線段比較分散，直接使用不方便，若 能將三條線段集中到同一三角形中，根據(jù)它們的數(shù)量關系可知，這 是一個直角三角形。因此，可考慮旋轉變換。將ABPA繞點B逆時 針旋轉 60 至 iBP 1C ,貝U BA 與 BC 重合，BP=BP1,PA=P1C,NPBP1=600，貝U 也PBP1 是正三角形。因為PC=4，CP1=PA=2，PP1=BP=2J3，由(CP1) 2+ ( PP1) 2=PC2,則 APPC 是直角

9、三角 形，且NCPP1 =30，而NBPP1 =60，所以ABPC是直角三角形, 從而BC2=BP2+CP2，可得BC=2 77，即所求 ABC的邊長。求證：BP+CPAP.另外、旋轉變換在競賽題、中考題中常有應用。例6、已知 MBC中，E、F為BC三等分點，M為AC中點，BM交 AE AF分別于G HAMEFOD分析：如圖，以點M為中心，作比ABC的中心對 稱圖形ACAD，由平行線段成比例，易得123BGhBD,BH BD 即 GH =BH -HG = BD，452011BM = BD 即 HM =BM BH = BD，210所以 BG GH HM=5 3 : 2例7（2007年廣州市中考壓

10、軸題）、已知RUABC中，AB=BC ,在RUADE中，連結EC,取EC中點M，連結DM和BM。 （1）若點D在邊AC上，點E在邊AB上且與點B不重合，如圖,求證：BM=DM 且BM丄DM ； （2）如圖中的AADE繞點A 逆時針轉小于45的角，如圖，那么（1）成立？如果不成立，請舉出反例；如果成立,請給予證明。(1)證略)分析：題目中有兩個等腰直角三角形,考慮旋轉變換則中的結論是否仍有幾種解法。其法一：把 人ABD繞點B逆時針旋轉900至也BAD1，可證得四邊形DECD1為平行四邊形，連結DD1交CM于CM1，貝U EM1=CM1，EM=CM所以M1與M重合，即D、M、D1共線，又因為BD=BD1，ADBD1是直角三角形，DM=MD 1，所以BM=DM且BM 丄 DM因此，當題設中涉及到正多邊形、定角、等邊及中點的情形時，采用旋轉變換將分散的元素集中或將有關條件建立起聯(lián)系，可收到事半功倍之效。掌握旋轉變換的應用，對進行平面幾何教學具有很好的指導作用。參考資料:1、王林全主編，初等幾何研究教程。廣州：暨南大學出版社,199