相交線與平行線最全知識(shí)點(diǎn)

1、、本章共分4大節(jié)共14個(gè)課時(shí)；（2.163.7第1、4周）早節(jié)內(nèi)容課時(shí)第五章相交線與平行線145.1相交線35.2平行線及其判定35.3平行線的性質(zhì)45.4平移2單元小結(jié)2二、本章有四個(gè)數(shù)學(xué)基本事實(shí)1. 過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行；2. 過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線垂直；3. 兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么兩直線平行；4. 兩直線平行，同位角相等.三、本章共有19個(gè)概念1.對(duì)頂角2.鄰補(bǔ)角3.垂直4.垂線5.垂足6.垂線段7.點(diǎn)到直線的距離 8.同位角9.內(nèi)錯(cuò)角10.同旁內(nèi)角11.平行12.數(shù)學(xué)基本事實(shí)13.平行公理14.命題15.真命題16.假命題17.定

2、理18.證明19.平移四、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想遇到新問(wèn)題時(shí)，常常把它轉(zhuǎn)化為已知（或已解決）的問(wèn)題 .P14五、平移1. 找規(guī)律2. 轉(zhuǎn)化求面積3. 作圖（2009年安徽中考）學(xué)校植物園沿路護(hù)欄紋飾部分設(shè)計(jì)成若干個(gè)全等菱形圖案，每增加一個(gè)菱形圖案，紋飾長(zhǎng)度就增加dem,如圖所示.已知每個(gè)菱形圖案的邊長(zhǎng)10 3 cm,其一個(gè)內(nèi)角為60°.豈艾姿Id 一十L第19題圖（1 ）若d= 26,則該紋飾要231個(gè)菱形圖案，求紋飾的長(zhǎng)度 L；【解】（2）當(dāng)d= 20時(shí)，若保持（1 ）中紋飾長(zhǎng)度不變，則需要多少個(gè)這樣的菱形圖案?【解】相交線與平行線知識(shí)點(diǎn)5.1相交線1、鄰補(bǔ)角與對(duì)頂角兩直線相交所成的四個(gè)角

3、中存在幾種不同關(guān)系的角，它們的概念及性質(zhì)如下表:圖形頂點(diǎn)邊的關(guān)系大小關(guān)系對(duì)頂角/ 1 與/ 2有公共頂點(diǎn)/ 1的兩邊與/ 2的兩邊互為反 向延長(zhǎng)線對(duì)頂角相等即/仁/ 2鄰補(bǔ)角/ 3 與/ 4有公共頂點(diǎn)/ 3與/ 4有一 條邊公共，另一 邊互為反向延長(zhǎng) 線/ 3+/ 4=180 °注意點(diǎn)：對(duì)頂角是成對(duì)出現(xiàn)的，對(duì)頂角是具有特殊位置關(guān)系的兩個(gè)角；如果/a與是對(duì)頂角，那么一定有/a =Z3；反之如果/a =/3,那么/a與不一定是對(duì)頂角如果/a與/B互為鄰補(bǔ)角，則一定有/a +/3 =180°；反之如果/a +/3 =180°,則/a與/B不一定是鄰補(bǔ)角 .兩直線相交形成

4、的四個(gè)角中，每一個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè)，而對(duì)頂角只有一個(gè)2、垂線定義，當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說(shuō)這兩條直線互相垂直,B其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足 符號(hào)語(yǔ)言記作：如圖所示：AB丄CD垂足為0垂線性質(zhì)1 :過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直（與平行公理相比較記）垂線性質(zhì)2:連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短.簡(jiǎn)稱：垂線段最短3、垂線的畫法：過(guò)直線上一點(diǎn)畫已知直線的垂線；過(guò)直線外一點(diǎn)畫已知直線的垂線注意：畫一條線段或射線的垂線，就是畫它們所在直線的垂線； 過(guò)一點(diǎn)作線段的垂線，垂足可在線段上，也可以在線段的延長(zhǎng)線上畫法：一靠：用三角尺

5、一條直角邊靠在已知直線上，二移：移動(dòng)三角尺使一點(diǎn)落在它的另一邊直角邊上，三畫：沿著這條直角邊畫線，不要畫成給人的印象是線段的線4、點(diǎn)到直線的距離直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離 記得時(shí)候應(yīng)該結(jié)合圖形進(jìn)行記憶 AOB如圖，P0丄AB,同P到直線AB的距離是P0的長(zhǎng)P0是垂線段P0是點(diǎn)P到直線AB所有線段 中最短的一條.現(xiàn)實(shí)生活中開溝引水，牽牛喝水都是“垂線段最短”性質(zhì)的應(yīng)用5、如何理解“垂線”、“垂線段”、“兩點(diǎn)間距離”、“點(diǎn)到直線的距離”這些相近而又相異的 概念分析它們的聯(lián)系與區(qū)別垂線與垂線段區(qū)別：垂線是一條直線，不可度量長(zhǎng)度；垂線段是一條線段，可以度量長(zhǎng)度. 聯(lián)系：具有

6、垂直于已知直線的共同特征.（垂直的性質(zhì)）兩點(diǎn)間距離與點(diǎn)到直線的距離區(qū)別：兩點(diǎn)間的距離是點(diǎn)與點(diǎn)之間，點(diǎn)到直線的距離是點(diǎn)與直線之間. 聯(lián)系：都是線段的長(zhǎng)度；點(diǎn)到直線的距離是特殊的兩點(diǎn) （即已知點(diǎn)與垂 足）間距離.線段與距離 距離是線段的長(zhǎng)度，是一個(gè)量；線段是一種圖形，它們之間不能等同.5.2平行線1平行線的概念：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，直線a與直線b互相平行，記作a / b.2、兩條直線的位置關(guān)系在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：相交；平行因此當(dāng)我們得知在同一平面內(nèi)兩直線不相交時(shí)，就可以肯定它們平行；反過(guò)來(lái)也一樣（這里，我們把重合的兩直線看成一條直線）判斷同一平面內(nèi)兩直線

7、的位置關(guān)系時(shí)，可以根據(jù)它們的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)確定： 有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，兩直線相交； 無(wú)公共點(diǎn)，則兩直線平行； 兩個(gè)或兩個(gè)以上公共點(diǎn)，則兩直線重合（因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線）3、平行公理一一平行線的存在性與惟一性經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行4、平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行a如左圖所示，b/a, c / abb/c注意符號(hào)語(yǔ)言書寫，前提條件是兩直線都平行于第三條直線，才例如:會(huì)結(jié)論，這兩條直線都平行5、三線八角兩條直線被第三條直線所截形成八個(gè)角，它們構(gòu)成了同位角、內(nèi)錯(cuò)角與同旁內(nèi)角如圖，直線a,b被直線I所截 / 1與/ 5在截線I的同側(cè)，同

8、在被截直線 a, b的上方,叫做同位角（位置相同） / 5與/ 3在截線I的兩旁（交錯(cuò)），在被截直線a,b之間（內(nèi)），叫做內(nèi)錯(cuò)角（位置在內(nèi)且交錯(cuò)） / 5與/ 4在截線I的同側(cè)，在被截直線 a,b之間（內(nèi)），叫做同旁內(nèi)角. 三線八角也可以成模型中看出.同位角是“ F”型；內(nèi)錯(cuò)角是“ Z”型；同旁內(nèi)角是“ U”型.6、如何判別三線八角判別同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角的關(guān)鍵是找到構(gòu)成這兩個(gè)角的“三線”，有時(shí)需要將有關(guān)的部分“抽出”或把無(wú)關(guān)的線略去不看，有時(shí)又需要把圖形補(bǔ)全FB如圖，判斷下列各對(duì)角的位置關(guān)系：/1與/ 2;/ 1與/ 7;/ 1與/ BAD/ 2與/ 6;/ 5與/ 8.我們將各對(duì)角從圖

9、形中抽出來(lái)（或者說(shuō)略去與有關(guān)角無(wú)關(guān)的線），得到下列各圖如圖所示，不難看出/ 1與/ 2是同旁內(nèi)角；/ 1與/ 7是同位角；/ 1與/ BAD是同旁內(nèi) 角；/ 2與/ 6是內(nèi)錯(cuò)角；/ 5與/ 8對(duì)頂角B文案大全注意：圖中/ 2與/ 9，它們是同位角嗎?不是，因?yàn)? 2與/9的各邊分別在四條不同直線上，不是兩直線被第三條直線所截而成 7、兩直線平行的判定方法方法一兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行簡(jiǎn)稱：同位角相等，兩直線平行方法二兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行簡(jiǎn)稱：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行方法三兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這

10、兩條直線平行簡(jiǎn)稱：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行幾何符號(hào)語(yǔ)言：/ 3=7 2 AB/CD（同位角相等，兩直線平行）/7 1=7 2 AB/CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）/7 4+7 2= 180°.平行線 AB/CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）請(qǐng)同學(xué)們注意書寫的順序以及前因后果，平行線的判定是由角相等，然后得出平行 的判定是寫角相等，然后寫平行 注意：幾何中，圖形之間的“位置關(guān)系”一般都與某種“數(shù)量關(guān)系”有著內(nèi)在的聯(lián)系，常由“位置關(guān)系”決定其“數(shù)量關(guān)系”，反之也可從“數(shù)量關(guān)系”去確定“位置關(guān)系” 上述平 行線的判定方法就是根據(jù)同位角或內(nèi)錯(cuò)角“相等”或同旁內(nèi)角“互補(bǔ)”這種“數(shù)量關(guān)系”，判定兩

11、直線“平行”這種“位置關(guān)系”根據(jù)平行線的定義和平行公理的推論，平行線的判定方法還有兩種： 如果兩條直線沒有交點(diǎn)（不相交），那么兩直線平行 如果兩條直線都平行于第三條直線，那么這兩條直線平行 典型例題：判斷下列說(shuō)法是否正確，如果不正確，請(qǐng)給予改正：不相交的兩條直線必定平行線 在同一平面內(nèi)不相重合的兩條直線，如果它們不平行，那么這兩條直線一定相交過(guò)一點(diǎn)可以且只可以畫一條直線與已知直線平行解答：錯(cuò)誤，平行線是“在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線”“在同一平面內(nèi)”是一項(xiàng)重要條件，不能遺漏正確因?yàn)槿绻@一點(diǎn)不在不正確，正確的說(shuō)法是“過(guò)直線外一點(diǎn)”而不是“過(guò)一點(diǎn)” 已知直線上，是作不出這條直線的平行線的 典型例

12、題：如圖，根據(jù)下列條件，可以判定哪兩條直線平行，并 說(shuō)明判定的根據(jù)是什么？解答：由7 2=7 B可判定AB/ DE根據(jù)是同位角相等，兩直線平行； 由7 1 = 7 D可判定AC/ DF,根據(jù)是內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行； 由7 ACF+7 F= 180°可判定AC/ DF,根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)， 兩直線平行5.3平行線的性質(zhì)1平行線的性質(zhì):幾何符號(hào)語(yǔ)言：/ AB/ CD/ 1 = Z 2 （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）/ AB/ CD3 =Z 2 （兩直線平行，同位角相等）/ AB/ CD/ 4 +Z 2= 180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）2、兩條平行線的距離EF丄CD于F,則稱線

13、段EF的長(zhǎng)度為兩平行線 AB與CD如圖，直線AB/ CD EF丄AB于E, 間的距離.A1GEBCn hDF注意：直線AB/ CD在直線AB上任取一點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)G作CD的垂線段GH則垂線段GH的長(zhǎng) 度也就是直線 AB與CD間的距離.3、命題：命題的概念：判斷一件事情的語(yǔ)句，叫做命題命題的組成每個(gè)命題都是題設(shè)、結(jié)論兩部分組成.題設(shè)是已知事項(xiàng)；結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng).命題常寫成“如果，那么”的形式.具有這種形式的命題中，用“如果”開始的部分是題設(shè)，用“那么”開始的部分是結(jié)論.有些命題，沒有寫成“如果，那么”的形式，題設(shè)和結(jié)論不明顯.對(duì)于這樣的命題，要經(jīng)過(guò)分析才能找出題設(shè)和結(jié)論，也可以將它們改寫成

14、 “如果,那么”的形式.注意：命題的題設(shè)（條件）部分，有時(shí)也可用“已知”或者“若”等形式表述；命 題的結(jié)論部分，有時(shí)也可用“求證”或“則”等形式表述4、平行線的性質(zhì)與判定平行線的性質(zhì)與判定是互逆的關(guān)系兩直線平行同位角相等；兩直線平行 j.內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ).其中，由角的相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的條件，得到兩條直線平行（位置關(guān)系）這是平行線 的判定；由平行線（位置關(guān)系）得到有關(guān)角相等或互補(bǔ) （數(shù)量關(guān)系）的結(jié)論是平行線的性質(zhì)DE/ BC,這可以把它當(dāng)作條件來(lái)用了典型例題：已知/ 1=Z B,求證：/ 2=Z C證明：/ 1 = Z B （已知） DE/ BC（同位角相等，兩直線平行）

15、/ 2 =Z C （兩直線平行同位角相等）注意，在了 DE/ BC不需要再寫一次了，得到了B典型例題：如圖， AB/ DF, DE/ BC,Z 1= 65°求/ 2、/ 3的度數(shù)解答： DE/ BC（已知）2 =/ 1 = 65°（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）/ AB/ DF （已知） AB/ DF （已知）3 +/ 2 = 180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）/3 = 180° -/ 2 = 180° 65°= 115°5.4平移1、平移變換 把一個(gè)圖形整體沿某一方向移動(dòng)，會(huì)得到一個(gè)新的圖形， 新圖形與原圖形的形狀和大小完全相

16、同. 新圖形的每一點(diǎn)，都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動(dòng)后得到的，這兩個(gè)點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn) 連接各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段平行且相等2、平移的特征： 經(jīng)過(guò)平移之后的圖形與原來(lái)的圖形的對(duì)應(yīng)線段平行（或在同一直線上）且相等，對(duì)應(yīng)角相等，圖形的形狀與大小都沒有發(fā)生變化. 經(jīng)過(guò)平移后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行（或在同一直線上）且相等 典型例題：如圖， ABC經(jīng)過(guò)平移之后成DEF,那么:點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn);點(diǎn) B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線段平行或在同一直線上解點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)F;線段對(duì)應(yīng)線段是線段;線段BC的對(duì)應(yīng)線段是線段/ A的對(duì)應(yīng)角是 .的對(duì)應(yīng)角是/ F.解答：D;E;C;DEEF;/ D;/思維方式：利用平移特征：平移前后對(duì)應(yīng)線段相

17、等,答考點(diǎn)一：對(duì)相關(guān)概念的理解對(duì)頂角的性質(zhì)，垂直的定義，垂線的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離，垂線性質(zhì)與平行公理的區(qū)別等例1 :判斷下列說(shuō)法的正誤。(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)對(duì)頂角相等； 相等的角是對(duì)頂角； 鄰補(bǔ)角互補(bǔ)； 互補(bǔ)的角是鄰補(bǔ)角； 同位角相等； 內(nèi)錯(cuò)角相等； 同旁內(nèi)角互補(bǔ)； 直線外一點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)到直線的距離; 過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直； 過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行； 兩直線不相交就平行；互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角的平分線互相垂直。A、相等的角是對(duì)頂角、直線外一點(diǎn)到直線的垂線段叫點(diǎn)到直線的距離C兩條直線相交，有一對(duì)對(duì)頂角互

18、補(bǔ),則兩條直線互相垂直。D、過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線(12) 練習(xí)：下列說(shuō)法正確的是(與已知直線平行考點(diǎn)二：相關(guān)推理(識(shí)記)(1 )T a/ c, b/ c (已知)/(2)/ 1 = Z 2, / 2=Z 3 (已知)(3 ) T / 1+ / 2=180,/ 2=30(4 )/ / 1+ / 2=90 °,/ 2=22(5 )女口圖(1 ) , v /AOC=55°BOD=(6 )如圖(1 ) ,/ /AOC=55° ZBOC=(7)如圖(1) , I/ AOC/AOD2/ BOC=_ b(2)/ AOC# AOD=180(3)-(12)如圖(4),/ a /

19、b (已知)/ 仁/2 (13)如圖(4),/ a / b (已知)/ 仁/3 (14)如圖(4),- a / b (已知)./ 1 + Z 4=(15)如圖(4),/仁/2 (已知) a / b (16)如圖(4),/仁/3 (已知) a / b (17)如圖(4),- / 1+Z 4=（已知） a（11）如圖（3）, / AC=BC.點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)（/ b (考點(diǎn)三：對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角的判斷、相關(guān)計(jì)算圖5 1考點(diǎn)四：同位角、內(nèi)錯(cuò)角、例題1 :如圖2-44 , / 1和/ 4是AB 被圖5 3所截得的角，/ 3和/（8）如圖（2）, a丄b （已知）（9）如圖（2）, /仁 （已知） a丄b （10）如圖（3）,點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn) AC=（例題1:如圖5- 1,直線AB CD相交于點(diǎn)O,對(duì)頂角有對(duì)，它們分別是 / AOD的鄰補(bǔ)角是。例題2:如圖5 2,直線丨1,丨2和l 3相交構(gòu)成8個(gè)角，已知/仁/ 5,那么，/ 5是的對(duì)頂角，與/ 5相等的角有/ 1、，與/ 5互補(bǔ)的角有 。例題3:如圖5 3，直線AB CD相交于點(diǎn) O,射線 OE為/ BOD的平分線，/ BOE=30，貝U/ AOE為。被所截得的 角，/ 2和/ 5是_、被所截得的 角, AC BC被AB所截得的同旁內(nèi)角是.例題2:如圖2-45 , AB