基本不等式的八種變形技巧

1、全國(guó)名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)優(yōu)質(zhì)學(xué)案匯編(文科，附詳解)即所謂“和定積最大，積有的需要對(duì)待求式作適當(dāng)變基本不等式的八種變形技巧基本不等式的一個(gè)主要功能就是求兩個(gè)正變量和與積的最值, 定和最小”.但有的題目需要利用基本不等式的變形式求最值,形后才可求最值.常見的變形技巧有以下幾種:加上一個(gè)數(shù)或減去一個(gè)數(shù)使和或積為定值例函數(shù)4f(x) =土 + x(x<3)的最大值是()x 3B.1C. 5【解析】因?yàn)閤<3 ,所以3 x>0 ,所以f(x)=-仁I 3 x)+ 3一【答案】D4+ 3 = 1.當(dāng)且僅當(dāng) =3 x,即x= 1時(shí)等號(hào)成立，所以f(x)的最大值3 x©©平

2、方后再使用基本不等式一般地，含有根式的最值問(wèn)題，首先考慮平方后求最值.2 383 若 x>0, y>0，且 2x2+ 二=8，求 X寸6+ 2y2 的最大值.點(diǎn)撥由于已知條件式中有關(guān)X, y的式子均為平方式，而所求式中x是一次的，且根l2x-朗當(dāng)且僅當(dāng)號(hào)下y是二次的，因此考慮平方后求其最值【解】(xJ2)2= x2(6 + 齊 3 2X2(1 + 勺< 32x2 = 1+ 3，即x=I，y=卑2時(shí)，等號(hào)成立.故'甸臺(tái)展開后求最值對(duì)于求多項(xiàng)式積的形式的最值，可以考慮展開后求其最值.fH 已知a>0, b>0且a+ b= 2，求點(diǎn)撥由于待求式是一個(gè)積的形式，因

3、此需將多項(xiàng)式展開后將積的最小值轉(zhuǎn)化為和的最小值.【解】由題得£+1怎+1ab+1+ b+1 =存尊+1=ab+1因?yàn)閍>0,b>O,a + b= 2,所以2>225,所以ab< 1,所以1.所以 £+ 必 + b> 4(當(dāng)且僅當(dāng)a = b= 1時(shí)取等號(hào)),所以1 +1£+ 1)勺最小值是4.©©©變形后使用基本不等式【例 設(shè)a>1, b>1，且ab (a + b)= 1，那么()a+ b有最小值2(邁+ 1) a + b有最大值(V2+ 1)2ab有最大值返+ 1ab有最小值2(寸2 + 1)

4、C.a+ b 2【解析】因?yàn)?ab (a + b)= 1, ab< (),所以<+訂丿一(a + b)1,它是關(guān)于a + b的一兀二次不等式，解得 a+ b> 2(返 +1)或 a+ b< 2(1"2)(舍去),所以a+ b有最小值2麗+ 1).又因?yàn)?ab (a + b) = 1, a+ b > ab,所以ab 2jaB1,它是關(guān)于Ob的一元二次不等式，解得偵返+ 1或題< 1 J2(舍去),所以ab> 3 + 2*2,即ab有最小值 3 + /2.【答案】A©®©f ( X )形如亠型函數(shù)變形后使用基本不等式

5、g ( X)f ( X)若y=/、中f(X)的次數(shù)小于g(x)的次數(shù)，可取倒數(shù)后求其最值.g (X)jjjf r e'j(x+ 5)( x+ 2)鯉d 求函數(shù) y=二(xM 1)的值域.X+ 1B點(diǎn)撥將(X+ 5)(x + 2)用(X + 1)來(lái)表示再變形為f(x)= Ax+ + C的形式，然后運(yùn)用基本X不等式求解.【解】 因?yàn)閥=(x+ 5)( X + 2)x2+7x+ 10X+ 1(x+ 1)+ 5 ( x+ 1)+ 44=x+ 1 + 5,X+ 1當(dāng)X + 1>0時(shí)，即x> 1時(shí)，“ 2（X+ 1） =1 + 5 = 9（當(dāng)且僅當(dāng)X = 1時(shí)取等號(hào)）;當(dāng) X + 1&

6、lt;0,即 x< 1 時(shí)，yw 5 2、y ( x+ 1)4=1（當(dāng)且僅當(dāng)x= 3時(shí)取等號(hào)）.X+ 1所以函數(shù)的值域?yàn)椋ㄒ?, 1 U 9 , +S）.©©©用1 ”的代換法求最值已知X + y= 1，且x>0, y>0，求x+ y的最小值.【解】法一：因?yàn)?x>0, y>0,所以 x+y=（x+ y）1=（x+ y）£+牛3+X+歸3+2鷗=3+2返當(dāng)且僅當(dāng)y -且X +二2y= 1,即x=a/2 + 1, y= 2 + 72時(shí)，上式等號(hào)成立.故X+ y的最小值是3 + 2返.1 2法二：因?yàn)?+廠1,y 2因?yàn)閤>

7、;0, y>0,所以y 2>0.y所以 X+ y=+ y=y 2 y 22 2y y (y 2)+ 3 (y2)+ 2y 2y 2 + - + 3>3 + 2邁I當(dāng)y 2 = y2，即y= 2 + 羽y 2時(shí)取等號(hào)，此時(shí)x=>/2 +1）.求以形如或可化為a+ y= 1型為條件的CX+ dy（a, b, c, d都不為0）的最值可利用1”1 2的代換求乘法.本題中的條件X+廠1也可化為2x+ y-Xy= 0.r f *a2b例 若a, b為常數(shù)，且0<x<1，求f(x) = ；7+ 的最小值.x 1 x點(diǎn)撥根據(jù)待求式的特征及0<x<1知x>

8、0, 1 - x>0.又1 = X+ (1 - X),因此可考慮利用“1 ”的代換法【解】 因?yàn)?<x<1 ,所以1 x>0.2.2ab所以一+x 1 x1+止1 x2 .2ab1 =-x + (1 x) +x+ (1 x) x1 x2a2 (1 x)=a +x.2+ -+ b2> a2+ b2+ 2ab= (a + b)2. 1 x上式當(dāng)且僅當(dāng)a(1 X)=上時(shí)，等號(hào)成立1 x2 .2 所以J b入> (a+ b)2.1 x故函數(shù)f(x)的最小值為(a + b)238® 若實(shí)數(shù)a,b滿足ab 4a b+ 1 = 0(a>1)，則(a + 1

9、) (b + 2)的最小值是點(diǎn)撥由于所給條件式中含兩個(gè)變量a, b,因此可以用一個(gè)變量表示另一個(gè)變量，將待求式轉(zhuǎn)化為含一個(gè)變量的式子后求其最值4a 13【解析】因?yàn)閍b 4a b + 1 = 0,所以b= 4 +a1a16 6又因?yàn)?a>1,所以 b>0.所以(a + 1)(b + 2) = ab + 2a + b+ 2= 6a+ 9= 6(a 1) +a 1a 1+ 15.因?yàn)閍 1>0,(a 1) X+ 15= 27. a 16所以 6(a 1) + 15a 16當(dāng)且僅當(dāng) 6(a 1) =(a>1),a 1即a = 2時(shí)取等號(hào)【答案】27已知條件含形如 ax+bxy

10、+cy+ d = O（abcM 0）型的關(guān)系式，求關(guān)于X、y 一次式的和或積 的最值問(wèn)題.常將關(guān)系式中ax+ bxy + cy+ d= 0變形，用一個(gè)變量x（或y）表示另一個(gè)變量y（或X）后求解.©©©代換減元求最值【例®J設(shè)正實(shí)數(shù)X, y, z滿足X2 3xy+ 4y2 z= 0,則當(dāng)取得最小值時(shí)，x+ 2y z的xy最大值為【解析】X2 3xy + 4y2 z= 0? z= x2 3xy+ 4y2,2 2 xy所以X - 3xy+ 4y = x+ 皺32、字3 = 1. xyxyy x y x等號(hào)成立條件為x= 2y,代入到 可得 z= (2y)2 3 2y y+ 4y2= 2y2,所以 x= 2y, z= 2y2,所以 X+ 2y z= 2y+ 2y 2y2=2(y2 2y)= 2(y 1)2 + 2< 2.【答案】2在含有兩個(gè)以上變?cè)淖钪祮?wèn)題中，通過(guò)代換的方法減少變?cè)?，把?wèn)題化為兩個(gè)變?cè)?問(wèn)題使用基本不等式，或者把問(wèn)題化為一個(gè)變?cè)膯?wèn)題使用函數(shù)方法求解建立求解目標(biāo)不等式求最值3SH 已知X,