(完整版)華東理工大學(xué)高等數(shù)學(xué)(下冊(cè))第11章作業(yè)答案

1、第11章（之1）（總第59次）教材內(nèi)容：§11. 1多元函數(shù)1.解下列各題:* ( 1).函數(shù)f (,y)ln(X2 y21）連續(xù)區(qū)域是答: X2y2* ( 2).函數(shù)f(,y)Xy/X20y2y2 0y2 0(A)處處連續(xù)(B)處處有極限，但不連續(xù)(C)答:僅在（0,0 ）點(diǎn)連續(xù)（A）(D)除（0,0 ）點(diǎn)外處處連續(xù)53*2.畫(huà)出下列二元函數(shù)的定義域:(1) U解：定義域?yàn)?(X,y) y X,見(jiàn)圖示陰影部分:(2)f(x, y)ln(1 Xy)；解：（x,y）xy1，第二象限雙曲線(xiàn)Xy1的上方，第四象限雙曲線(xiàn)Xy 1的下方（不包括邊界，雙曲線(xiàn) Xy1用虛線(xiàn)表示）.解: 0X y*

2、 3.求出滿(mǎn)足X y,yX的函數(shù)f x, y .S解：令tS1 tStn解:*5. f s,t4.求極限:S2t2X, yX2 11IimX,y0,0.1 Xy1 XyX212yXyXy 1 X2,1 Xy 1 X22 2X y、1 xy 1IimX,y0,01 XyX2說(shuō)明極限IimX,y 0,0解：我們證明首先,其次,故極限(X, y0,02 2X y 十*亠22不存在.X yX, y沿不同的路徑趨于0時(shí)，極限為0時(shí)，極限為2 X2y2y222Xyy222XyX222XyX時(shí),極限不同.0,01 ,Iimy 0X,y 0,0IimX 0X,y 0,0IimX,y0,02 2X y2 2X

3、y不存在.*6.設(shè) f(x, y)ysin2,試問(wèn)極限(X,y)m(0,0)f(X,y) 是否存在?為什么?解：不存在，因?yàn)椴环蠘O限存在的前提，在(0,0)點(diǎn)的任一去心鄰域內(nèi)函數(shù)f (x, y)JySin2X并不總有定義的，X軸與y軸上的點(diǎn)處函數(shù)f (X,y)就沒(méi)有定義.* 7.試討論函數(shù)Z arctan y的連續(xù)性. 1 Xy解：由于arctan-y是初等函數(shù)，所以除 Xy 1以外的點(diǎn)都連續(xù)，但在Xy 1上的點(diǎn)處1 Xy不連續(xù)*8.試求函數(shù)f(,y)2的間斷點(diǎn).Sin X Sin y解：顯然當(dāng)(x,y)(m, n) m,n Z時(shí)，f(x,y)沒(méi)定義，故不連續(xù).又 f (X,y)22一是初等

4、函數(shù).Sin X Sin y所以除點(diǎn)(m, n)(其中m,nZ)以外處處連續(xù).第11章(之2)(總第60次)教材內(nèi)容：§ 11.2偏導(dǎo)數(shù)§ 11.2.1 * 1.解下列各題：(1)函數(shù) f(x, y)Jx2y3 在(0,0)點(diǎn)處(A) fx(0,0)和 fy(O,O)都存在;(B) fx(0,0)和 fy(0,0)都不存在;(C) fx(0,0)存在，但 fy(O,O)不存在;(D) fx(0,0)不存在，但 fy(0,0)存在.答：(D).(2)設(shè) Z X (y 2) arcsin 戶(hù)，那么兒 Vy (!,2)(A) 0 ;(B) 1 ；(C) - ；(D)-.答：(D)

5、.解：由于f(,0)0,(3)設(shè) f X, yJlXyl ,則 fx'(0,0) , fy'(0,0)fx'(0,0)0 ,同理 fy'(0,0)0 .*2.設(shè) Z X 2y ln x2 y2 3exy,求 zx,zy.解：ZX 12 X 2 3yexy ,X yZy2 丿P 3xexy .X y* 3.求函數(shù)Zarctany對(duì)各自變量的偏導(dǎo)數(shù)X解：ZX*4.設(shè) f (x,y)2 2 2X In(Xy )02 2X y2 2X yO0，求 fx(Wfy(OQ).解：fx(0,0)Xi叫X2 Inx2fy(O,O) Iim -00.y 0 y2* 5.求曲線(xiàn) ZX

6、XyX 12y在1,1,1點(diǎn)處切線(xiàn)與y軸的夾角.解：由于曲線(xiàn)在平面 X 1內(nèi)，故由 Zy 1,1X 2y 1,11,得切線(xiàn)與y軸的夾角為 arctan1.也可求出切向量為0,1,1 40,1,1 0,1,02 夾角=arccos arccosJ12 12J1224* 6.設(shè)函數(shù) (x,y)在點(diǎn)(0,0)連續(xù)，已知函數(shù) f(x,y) X(x,y)在點(diǎn)(0,0)偏導(dǎo)數(shù)fx(0,0)存在，(1)證明(0,0)0 ；(2)證明 fy(0Q) 也一定存在.limX 0X,0) f (0,0)Xlim4X 0因?yàn)閒(0,0)存在，所以即(0,0)(0,0),limX ( X,O)X 0X故(0,0)0.I

7、imX 0X ( x,0)X（2）由于（,y）在點(diǎn)（0,0）連續(xù)，且（0,0） 0 ,所以y 0時(shí)，（0, y）是無(wú)窮小量,而一y是有界量，所以Iim f （O, y）一L（OO） yy 0yIim y (O，y)0,即 fy(0,0)0 .教材內(nèi)容:第11章（之3）（總第61次）§ 11.2 偏導(dǎo)數(shù)§ 11.2.2 11.2.4*1.求函數(shù)f x, y, Z XChZ yshx的全微分，并求出其在點(diǎn)P 0,1,ln2處的梯度向量.解: df x, y, Z d XChZ d yshxChZdX XShZdZ ShXdyChZ ychx dx ShXdyychxdxXShZ

8、dZ df X, y,z 0,1,ln2dx,4f X, y,Z 0,1,ln21,0,04*2.求函數(shù)Z arctany的全微分:1 XyX y解：dz d arctand (arctanx arctan y)1 Xy*3.設(shè) Zd(arctan x) d (arctan y)dx1 x2dy1 y2雯遇，求dzln( Xy 1)解：dz1ln (Xy1)2ln (Xy21)2SeC (Xy) tan(xy)(ydxXdy)sec2 (Xy)(ydx xdy)Xy 12 2ln(xy 1)dsec (xy) SeC (xy)dln(xy 1)ln(xy 1) 2(Xy 1)cos (xy)l

9、n (Xy 1)2ln(xy 1)tan(xy)(xy 1)1( ydx Xdy)*4.利用f df ,可推出近似公式： f X x, y y f x,y df x, y ,并利用上式計(jì)算.2.98 24.03 2的近似值.解：由于f X X, y y設(shè) fx,yX2y ，X 3,y4, X0.02, y 0.03,于是dfx,yXdXydyX Xy y廠2222 ，Xy-XyX Xy yf Xx,yyf x,y22 ?Xyf X, y df x,y , . 2.98 24.03 2. 324230.024 0.03.32425.012 .61654*5 .已知圓扇形的中心角為60 ,半徑為r

10、 20cm,如果 增加了 1 , r減少了 1cm,試用全微分計(jì)算面積改變量的近似值.1 2解: S丄_2 180dS (2( dr r 2d )，360S dS(220 60 ( 1)360(20)2 I)36017.4533(cm2).*6.計(jì)算函數(shù)f X, y,zInX 2y 3z在點(diǎn)1,2,0處沿給定方向l2i j k的方向?qū)?shù) fl解：fxX 2y 3z,2 _3z,2y2y 3z ,l15,5,51 X*7.函數(shù)Z arctan丄上 在（0, 0）點(diǎn)處沿哪個(gè)方向的方向?qū)?shù)最大，并求此方向?qū)?shù)1 y的值.解:Z (0,0)X21 XryZ1y(0,0)112X1yZI1 -CoS2(

11、-)Sin21 X(1 y)2其中為l(0,0)(0,0)1 、2-1, 1cos ,Sincos ,22CoS ,sin 與 g1 1-I丄的夾角,2 264Z V 2所以°時(shí)，即I與g同向時(shí)，方向?qū)?shù)取最大值牙f(x,y,z)以及 f (1,2,3).*8.對(duì)函數(shù) f(x, y,z) exyz 求出解:XyZXyZXyZyze ,XZe , Xyef (1,2,3) e6 6,3,2（L ,乞，丄）處的梯度.2 2 2解:-(X y)z1,1(x y)iZZ(X y)zZ2ln(xy)f(e 1 12 ,222e,2e, 4eX*9.求函數(shù) f (x,y,z) (X W 在點(diǎn) P

12、y2 Sin2 2XyQ在點(diǎn)（0, 0）處的連*10.討論函數(shù)f (X, y)IXySin22 ,X y0,2 2XyQ續(xù)性，可導(dǎo)性和可微性.(3)方程Z、3,在變量代換U Xy3y , V3xy下，可得新方程為X答:Z0.U* 2設(shè)U2 X2 2 y z ,x r CoS Sin,y r SinSin,zrcos 求 u, U, Ur解：因?yàn)?Iim f (,y)X 0y 0所以f (x, y)在點(diǎn)(O,n Si2XJ mo HX2X因?yàn)?im f (O x，O) f (O，O)X oXXIim X OSin極限不存在，f (X,y)在(O, O)處不可導(dǎo)，從而在(o, o)處不可微.第11

13、章(之4)(總第62次)教材內(nèi)容：§ 11.3復(fù)合函數(shù)微分法；§11.4隱函數(shù)微分法*1.解下列各題:(1)若函數(shù)f(u,v)可微，且有f (X, X2)432X 2X X 及 fu (X,X )2x2 2x 1,貝 Ufv (X, X2) =(A) 2x2 2x 12(C) 2x 2x 1 答: (A)()(B)2x23x12x(D)2x23x12(2)設(shè)函數(shù)Z z(x,y)由方程XyZXZy Z所確定，則y答:2xyz 11 xy2解: 2x cos Sin r2ysin Sin2zcos 2r ,2xr( Sin )sin2y(r cos Sin)0 ,U2x(r c

14、os cos )2y(rSin cos )2zr SinO*3. 一直圓錐的底半徑以 3cms的速率增加，高h(yuǎn)以5cms的速率增加，試求r=15cm , h=25cm時(shí)其體積的增加速率.解：V12 rh ,3dVVdrVdh 2dr12 dh rhr 一dtrdthdt3dt3dtdV3r151125Cm /sdt h 25*4.Sin t, yt4 ,求dzdt解:dzdtZXdX Zydy dt dtex cost4t323y*5.Xy2 2f(x y )證明:2 ZXy X解:ZXyf 2x2yf，ZyXf2xy2f2Xy ZX2X yZyxy(x2y2)x2zy2z.* 6.U U,d

15、u .X yyX2f (Xe , ye , Xy cos x),求解:eyduXye22 (y cos X XySin2x)f3 ，Xey f1f2X COS2 xf3 ,ey f1X Xye f2(ycos2 X XySin 2x) f3 dx Xey f1exf2 xcos2 xf3 dy .*7.求由方程XZIn?所確定的函數(shù)Zyz(x, y)的偏導(dǎo)數(shù),X y解:FXZX蒼ZX yZ yzZy Xy yz* 8設(shè) F(xy, yz, XZ) 0,試求Z,dZ .y解: F (xy, y z, XZ)0,兩邊對(duì)X求導(dǎo)，得 yF解得ZXyFIZF3F2XF3兩邊對(duì)y求導(dǎo)，得XF1F2(1Zy

16、)F3XZy解得 ZyXFI F2yF1,所以dz1zF33dxF2 xF3F2xF3X10XFI F2 dy .F2 XF3XZX)0 ,* 9.函數(shù)z(X,y)由方程F(X)X y Z)ZXy) 1所確定，其中F具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，F(xiàn)2F30，求一Z 禾口 一Z .X y解:F1dX (d X d y dZ)F2 (d Z yd XXd y)F3(F1 F2 yF3)dx (F2 XF3)dyF2F3F1 F2 yF3ZF2 F3yF2 XF3F2F3* 10.求由方程Z3 3yz a3(a 0)所確定的隱函數(shù)Z Z(X) y)在坐標(biāo)原點(diǎn)處沿由向解:當(dāng)X0,y0時(shí)，z0a0.Zyz0,ZX

17、Z(0.0)2(0.0) 2XZXy(0,0)yZXy1, 2所確定的方向的方向?qū)?shù).(0,0)* 11設(shè)XUyv0, yuXV1,(x2y2 O)求-UJXVJXUJyVyUVUXUyvUXy022解：XXXXyUVVXVyuVyX022XXXXyUVUyuXVXVy-022類(lèi)似地yyyXyUVVXUyvUyX-022yyyXy第11章(之5)(總第63次)教材內(nèi)容：§11.5 多元函數(shù)微分法在幾何上的應(yīng)用*1.曲面 X2 2y2 z2XyZ 4X 2Z 6 在點(diǎn) A(0,1,2)處的切平面方程為(B) 3x 2y 3z 4(A) 3(x 1) 2( y 2) 3z 110(C)

18、X 山 0 323答: (A).*2.設(shè)函數(shù) F(x,y,z)可微，曲面 F(x,y,z) 0 過(guò)點(diǎn) M (2, 1,0),且F(2, 1,0) 5, Fy(2, 1,0)2,Fz(2, 10)3.過(guò)點(diǎn) M 作曲面的一個(gè)法向量n ,已知n與X軸正向的夾角為鈍角，貝Un與Z軸正向的夾角 = 答：一3*3.設(shè)曲線(xiàn)X 2t 1,y 3t21,z t3 2在t 1對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的法平面為S ,則點(diǎn)P ( 2,4,1)到S的距離d .答：2.*4.求曲線(xiàn)L : X a cost, y bsin t,z Ct在點(diǎn)Mo (a,0,2 c)處的切線(xiàn)和法平面方*5. 求曲線(xiàn)L : XyyzZX11,XyZ6在點(diǎn)M 0

19、(1,2,3)處的切線(xiàn)和法平面方程.解：設(shè) F (x, y, Z)XyyzZX11，G(x, y,z)XyZ 6 ,(F,G)(x,y)(F,G)(y,z)(F,G)(Z,X)(F,G)(x,y)yzZXXyXZXyZyXz(yXy(XZy(X9,(；G)Z)Z)y)yz(XXZ(XXy(y1,Z)y)Z)z2( y x)，x2(yy2(zZ)，X) (F,G)(z,x)M。程.解: dX dt dy dtlt 0t 0asi nt bcostt 00,t 0b,dz t 0 c . dtXa切線(xiàn)方程為：X ay0z 2 cyZ 2 C，0bCJbC法平面方程為：by C(Z2 C)0 .切線(xiàn)

20、方程為法平面方程為8y9z 12*6.求曲面 42y2 4z216在點(diǎn)P(1,2. 2, 1)處的法線(xiàn)在yOz平面上投影方程.解：曲面在點(diǎn)P (1,2. 2, 1)處的法線(xiàn)方向向量n 8,4、2 84 2, 2, 2 ,X 1 y 2.一 2 Z 1法線(xiàn)方程為:2 2 2法線(xiàn)在YOZ平面上投影方程為JXy 2 2 SJ .0 2 2*7.求曲線(xiàn)X t3,y 2t2,z 3t上的點(diǎn)，使曲線(xiàn)在該點(diǎn)處的切線(xiàn)平行于平面X 2y z 1 .解：設(shè)所求的點(diǎn)對(duì)應(yīng)于 t t0 ,則對(duì)應(yīng)的切線(xiàn)方向向量為：S3t2,4t0,3 .2 因?yàn)镾垂直于平面法向量 n 1,2, 1 ,所以Sn 3t。 8t。30,11

21、2解得：to 和to 3 所求點(diǎn)為：，一,1和（27,18, 9）.*8 求曲面Z 上平行于平面Xy6x 3y 2z 60.的切平面方程.327 9解:-ZX6Zy62 ，Xy62X y6k由條件，得：62 y X3k12kX 1y 2Z 3切平面方程為:6( X 1)3( y 2)2(z 3)0,6x 3y 2z 180.*9.求函數(shù)Z2 2e y在點(diǎn)M 0（X0, y。）沿過(guò)該點(diǎn)的等值線(xiàn)的外法線(xiàn)方向的方向?qū)?shù).解：等值線(xiàn)方程為X2 y2 X： yo,在M。 （x°,y°）處的法線(xiàn)斜率為 k 業(yè),即法線(xiàn)方向向量為n 1 ,匹或x°,y°,X0X0方向余

22、弦為:COS2yoCOSYo2Yo*10.eX<2 y22XoXo2yoeX2Yo2yoYo: 2yo2eXo I x2 yo .求函數(shù).y Sinx 在N1點(diǎn)沿a方向的方向?qū)?shù)，其中a為曲線(xiàn)X 2 Si nt, ycoS2t在t 處的切向量6(指向t增大的方向).解:tandyd X2 Sin2t2 COStcos,Sin2 1COSX所以刁12、y SinX2,10,12：2I)Sin X12*2，*11.設(shè)f(y,z),g(z)都是可微函數(shù)，求曲線(xiàn)2、2 2 1X f (YlZ)在對(duì)應(yīng)于Z Z0點(diǎn)處的切線(xiàn)方 y g(z)程和法平面方程.解：Z Z0對(duì)應(yīng)點(diǎn)f g(Zo),Zo, g(

23、Zo),Zo ,對(duì)應(yīng)的切線(xiàn)方向向量:Sfyg(Zo),Zog (Zo)fzg(Zo),Zo, g (Zo),1 .切線(xiàn)方程：X fg(zo),zoy g(zo)Z Zo , fyg(zo),zog (Zo) fzg(zo),zog (zo)法平面方程：fyg(Zo),Zog (Zo) fzg(Zo),Zo X f g(Zo),Zog (zo)yg(Zo) (Z Zo) 0 .11 2 2*12. 在函數(shù)U的等值線(xiàn)中哪些曲線(xiàn)與橢圓X 8y 16相切?X y65解：對(duì)等值線(xiàn) U01 1兩邊微分得X ydx2dydX2y2 ，X同樣對(duì)X8y216兩邊微分，有dydX8y,得2y,代入X28y216

24、,4.3,2y ,3，*13解：由Uo3.3試證明曲面XyZ上任一點(diǎn)處的切平面在三個(gè)坐標(biāo)軸上截距之積為定值.XyZa3a3齊，在點(diǎn)(Xo, yo, zo)處法向量為:3a-2 xo yo3I2yo Xo切平面為:Xo3a2(XYoXo)3(yXo Yoyo) ZZo0,又 XoYoZo a切平面方程化為:3xoy3y03zo截距之積為:27xo yoZo327a3 (定值).*14. 證明曲面X a y bJZCZCo的所有切平面都通過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，這里F(u,v)具有階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).解：曲面上點(diǎn)(Xo, y0,z0)處的切平面法向量:F1nZoCF2ZoC(ZoC)2 (xo a) F1 (yo

25、b)F2852 (Zo c)F1,(Zo c)F2, (Xo a) F1 (yo b)F2 (Zo C)切平面方程為：（Zo C） F（x Xo） （Zo c）F2（y y。）(XO a)F (yo b)F2 (z ZO) O.易知X a, y b,Z C滿(mǎn)足上述方程，即曲面的所有切平面都通過(guò)定點(diǎn)（a,b,c）.第11章（之6）（總第64次）答:答:Xy-,則XXlnXy ,則X2答: 2xcosy2U2X2Sin y y cosx ,2ysin X .arcta n 一1X JXy2U2U教學(xué)內(nèi)容：§ 11.6泰勒展開(kāi)1.填空:答：o* ( 5)設(shè) Zex Sin y2XTrZe

26、cosy ,則 一2X2Z2y答：o.2*2 .設(shè)Zf(x,u)具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，而UXy ,求 一ZX解：ZXfxyfu,ZXX2f XX2 yf XUyf UU*3 .設(shè)ZXln(Xy),求-3Z2 .X y解一：ZyX,ZyXy1 yZ 20 .y解二：ZXln (Xy) 1 ,1，zyx2X0 .*4 設(shè) Zy2f(y2) xf(x3y4),求 ZXy(1,2).解：ZXy4f'(xy2) f(x3y4) 3x3y4f(x3y4),/ 2、2、小八，34、 3 3ZXy 4y f'(xy ) y f"(xy ) 2yx f'(x y ) 4y x3

27、3343434、，3312x y f '(x y ) 3x y f" (X y ) 4x y ,1 Zxy(,2)32f'(2) 32f"(2) 4f'(2) 12f'(2)24f"(2)48 f'(2)56f"(2).y(x)由方程 X22xy y21所確定，求d2ydx2解: dy2x 2yX yd X2x 2yy Xd2y (1y )(y X)(y 1)(x y)*5 .函數(shù)ydx2(y x)22 22(x2 2xy y2)233 .(y x)(X y)*6 求方程 XZeyZ所確定的函數(shù)Z z(x, y)

28、z=z(x,y)的所有的二階偏導(dǎo)數(shù)解：1 ey Z ，XXZZ2(FXXFXZ)FzF-(FZ-FZZ)ZXX22XFZLFXXF-、LFX(FZXFZZ-)CFxXI XZ)FzFZFZ2FZFXF ZF ZX2Fzz(F-)(Fz)2F X-FXZF-FZF3Z2FFzF2<Z (F-) FZZ3(FZ)2 F,XX(一般約定FFZ解：由公式 空兩邊對(duì)X求偏導(dǎo)數(shù)，得X FZFZX)。2Z2Xey Z(eyzX1?ey Z(ey1)3因?yàn)?Zey z(1-Z),yyey Zey Z2eyz(上 1)Zy2y Z 2y(Iey)ey(1 ey z)32zeyU I)eyzy z 2y z

29、 3 ,X y (1 e )(1 e )ey Z ZeX(1 eyz)2ey(ey Z 1)3*7對(duì)于由方程F (x, y, Z)0確定的隱函數(shù)Z (x, y),試求*8 .設(shè) U (X at) (X at),驗(yàn)證 Utta2uxx.解：UX '(x at) '(x at),UXXH(X at)M(X at)Ut'(X at) a'(x at)( a)Utt"(X at) a2'(x at)( a)2"(x at)'(x at)a2Utt2a UXX .第11章(之7)(總第65次)教學(xué)內(nèi)容：§ 11.7.1多元函數(shù)

30、的極值1 選擇題：*(1)設(shè)函數(shù)Z 1x2y2 ,則點(diǎn)(0,0)是函數(shù)Z的()(A)極大值點(diǎn)但非最大值點(diǎn)；(B)極大值點(diǎn)且是最大值點(diǎn);(C)極小值點(diǎn)但非最小值點(diǎn)；(D)極小值點(diǎn)且是最小值點(diǎn).答：(B)*(2)設(shè)函數(shù)Zf(x,y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，在點(diǎn)Po (XolyO)處，有fx(p) 0, fy(p) 0, fxx(p)(A)點(diǎn)P0是函數(shù)Z的極大值點(diǎn)；(C)點(diǎn)P0非函數(shù)Z的極值點(diǎn)；fyy(P) OIfXy(P0)fyx(P0) 2 ,則()(B)點(diǎn)P0是函數(shù)Z的極小值點(diǎn)；(D)條件不夠，無(wú)法判定.* (3) f (XOl yO)同時(shí)是一元函數(shù)答：(C)f(,y°)與 f(

31、6;,y)的極大值”是“ f(0,y°)是二元函數(shù)f (Xl y)的極大值”的(A)充分條件，非必要條件;(B)必要條件，非充分條件;(C)充分必要條件; 解: (B)(D)既非必要條件，又非充分條件.4y 4 xy,C24x 2x2y24xyC 22xyC 22x y0 ,解得駐點(diǎn)01, 1 , 0,0 , 2,0 , 0, 2 , 2, 212 040, A 20 , 1, 1為極小值點(diǎn)，f 1, 11 .0 2令H1,類(lèi)似可求其他各點(diǎn)處的 H值:2x2 .1 2*2.設(shè)函數(shù)Z z(x,y)由方程qX 3xy的駐點(diǎn)是 .*3求函數(shù)Z2x23xy2y24x 3yZX4x 3y40答

32、:由得駐點(diǎn)（Zy3x 4y 30ZXXZXy43D70,Z yxZyy34Zxx(1,0)40.答: ( - , 20 )11 11所以函數(shù)在點(diǎn)（1 I 0）處取極小值z(mì)（ 1,0）y2 5x 5y ez 2z 4確定，則函數(shù)Z1的極值.1,0).1 .*4. 求函數(shù)f (x, y) 4xy 2xC 22xy2 2X y 的極值.解：一X4y,C 24xy 2y2xy4X2 22x 4xy 2x y ,4y2y2，4 4x 4y 4xy,4x0,016 0, H2,0160, H0, 2 160, H2, 216 0。0,0, 2,0, 0, 2 , 2, 2為鞍點(diǎn).*5 .求方程X2 y2

33、Z2解：兩邊對(duì)X、y求偏導(dǎo):ZyX 1Z yZ代入原式得(1)(2)(2)ZXX對(duì)X求偏導(dǎo):對(duì)y求偏導(dǎo):對(duì)X求偏導(dǎo):Zyy,y 0時(shí),ZXX7 時(shí)，ZXX1 時(shí)，ZXX丄3 Z13 713*6試證函數(shù)解:ZX(1Zyey(12k時(shí)2x6z60所確定的函數(shù)Z f2x2ZZx26Z0(1)2y2ZZy6zy 0(2)0X10y01 .! 2zX2zzxx6z0,2Zy2 zzyy6Zyy0,Z2(Xl y)的極值:06Zy2Z Zy2ZZy1 ZyZ0,0, ZyyZXZy3 Z-,ZXy0Z函數(shù)有極大值7,0 ,函數(shù)有極小值 1.ey cosX yey有無(wú)窮多個(gè)極大點(diǎn)而沒(méi)有極小點(diǎn).ey) Sin

34、 XycosX eey)CoS X，yeyZXyy e Sin X0,2,ZyyX 2kX (2k 1)ey (cosX 1) ey yey,(1ey)02 00ey(1y)0 10，HZXXX (2k1)時(shí)1ey00ey(3 y)1 e2所以函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)極大值點(diǎn)2k ,0 ,無(wú)極小值點(diǎn).第11章（之8）（總第66次）教學(xué)內(nèi)容：§11.7 § 11.7 .2-§ 11.7.3最值，條件極值，拉格朗日乘子法1條件下的極大值是*1.函數(shù) f (x,y,z) Z 2在 42 2y2 Z2(A) 1(B) 0(C)1(D)2答：（C）*3.求函數(shù) f (,y)X2y2

35、2 4y 5在區(qū)域解：L X, y,乙X2y 2z2 2X y2 Z9 ,令丄12 X0,丄22 y 0XyL22 y0,L2 X2 2y Z90 ,ZJ1 X2-,y-,Z代入X22y Z2 90得12，X, y,Z1,2, 2 U1,2,29為極小值，U1, 2,29為極大值.*2.求函數(shù)U X 2y 2z在指定約束條件 X22 2y Z 9下的極值.D (x,y)2y 6x6 2y,0 y 上的最小值，最大值.解：2 2 ,2 y 4 ,Xy臨界點(diǎn)為(1, 2),f (1,2)0 .以下求邊界上的最值(1) X 6 2y , 0 y 3 :2 2f(x, y) (2y 6) y 2(2y

36、 6) 4y 525y 32 y 53d 2 由 (5y232y 53) IOy 320 可知：dy當(dāng)y 0,取最大值 f( 6,0)53 ,當(dāng)y 3 ,取最小值 f(0,3)2.(2) X 62y,0 y 3:2 2f(x,y) ( 2y 6) y 2( 2y 6) 4y 525y24y 29當(dāng)y0,取最大值f(6,0)41,24r/6 121當(dāng)y10,取最小值f(5,?5.(3) 當(dāng)蘭y0, 6X 6 :f (X,y)X2 2x 5 (X1)24.當(dāng)X6,取最大值f( 6,0)53 ,當(dāng)X 1 ,取最小值f(1,0) 4綜合得:當(dāng)X 1, y2時(shí)取最小值f(1,2)0 ,當(dāng)X 6,y0時(shí)取最大值f 6,053.*4.求函數(shù)Z X22y22X 2在閉域D : X2 4y24上的最大值和最小值ZX2x 2 0答：由得D內(nèi)駐點(diǎn)(1,0),且z( 1,0)1.Zy4y 0在邊界 X2 4y2 4 上，z1 3X2 2x ( 2 X 2),Z1' 3x 20 ,得駐點(diǎn) X -,32 2Z1( 2) 2 Z1(2) 10Z1( 3)-,33X 2 時(shí) y 0, X 時(shí) y2