空間向量的知識點歸納

1、空間向量期末復習知識要點：1. 空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向線段表示 同向等長的有向線段表示同一或相等的向量。（2）空間的兩個向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來表示。2. 空間向量的運算。定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘運算如下（如圖）加法結(jié)合律:數(shù)乘分配律:(a b) c = a (b c) (a b) - a ： b3. 共線向量。（1）如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，那么這些向量也叫做共線 向量或平行向量，a平行于b，記作a / b。當我們說向量a、b共線（或a/b ）時，表示a、b的有向線段所在的

2、直線可能是同 一直線，也可能是平行直線。（2） 共線向量定理：空間任意兩個向量 a、b （ b豐0）, a/b存在實數(shù) 入使a = xb。4. 共面向量（1）定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量。說明：空間任意的兩向量都是共面的。彳_彳（2） 共面向量定理：如果兩個向量a, b不共線，p與向量a,b共面的條件是存在實數(shù)-I 4+x, y 使 p = xa yb。t4彳T45. 空間向量基本定理：如果三個向量a,b,c不共面，那么對空間任一向量p，存在一個T 屮 T T唯一的有序?qū)崝?shù)組 x, y,z，使p二xazc。斗若三向量 聶,不共面，我們把a,b,c 叫做空間的一個基底，a,

3、b,c叫做基向量，空P，都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)間任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底。推論：設(shè)O,代吁 是不共面的四點，則對空間任一點x, y,z，使 OP 二 xOA yOB zOC。6. 空間向量的數(shù)量積。彳t （ 1）空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量a，b，在空間任取一點彳。，作OA = *a, OB二匕則 AB 叫做向量a與b的夾角，記作:a,b ；且規(guī)定0：!,b工二，444 4 n4呻呻顯然有叮a,b =： b,a ;若：:a,b，則稱a與b互相垂直，記作： a _ b。2（2） 向量的模：設(shè)OA二a，則有向線段OA的長度叫做向量 a的長度或模，記作：|£

4、|。（3） 向量的數(shù)量積：已知向量a,b，則| a | | b | co:： a, b 叫做a, b的數(shù)量積，記作 a b，即 a b= cos：a,b .。(4) 空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：彳*, a e =i a i cos ： a,e 。 a _ b ：= a b=o。 i a i2 二 a a。(5) 空間向量數(shù)量積運算律：.詁*(闍b (a b a ( b)。 b = b才(交換律)。7空間向量的坐標運算:(1).a (b c) abac (分配律)。向量的直角坐標運算.44(2)a b = (ai D, a2 'b2 ,a3 b3)；a b = aib)a2b2a3b3 ；設(shè)

5、a = 12,比),b = (bdth)則(1) a + b = (c 匕總 b2,as bs);(3)入 a = ( s, a2, - as)(入 R)；|(2).設(shè)人(,%,乙),B(X2,y2,Z2)，則 AB=OBOA= (x? - xy? - yiz? - zj . rr設(shè)a=(Xi，yi，w)，“區(qū)也乙)，則iSr(4).aPb 二夾角公式則 cos ： a, b2 2 2a = Xiyizirrrrr rr ra 二 b(b = 0);a_ b ：=a b= 0 二 xix2yiy2ziz2= 0.設(shè)a = (a,&,a3), b =(b,D,d),abi +a2b2 +

6、asb3(5) 異面直線所成角r r.cos J -| cos； a,b ；： |=IX1X2 + yiy<hz1Z21 .Xi2 yi2Zi-_ X；壯 Z22(6).直線和平面所成的角的求法如圖所示，設(shè)直線為購兩向量e與n的夾角為0,貝y有(7).二面角的求法(I)如圖，AB, CD是二面角a-l - B的兩個面內(nèi)與棱I的方向向量為e,平面a的法向量為n，直線I與平面a所成的角I垂直的直線，則二面角的大小=AB , CD如圖，ni, n2分別是二面角 a-l -B的兩個半平面 a, B的法向量，則二面角的大 小 0= n1, n2或 n n1, n2> n2cos -練習題：i

7、 .已知 a= ( 3,2,5), b= (i, x,i)且a b= 2,則x的值是(B . 4C . 5D . 62已知 a= (2,4,5), b= (3, x, y),若 a/ b,則()15A . x= 6, y= 15B . x = 3, y= "215C. x = 3, y= 15D . x = 6, y= 3. 已知空間三點 A(0,2,3), B(-2,1,6), C(1 , - 1,5).若 |a|= 3，且 a 分別與 AB, AC垂 直，則向量a為()A. (1,1,1)B. ( 1 , - 1 , - 1)C. (1,1,1)或(1 , 1， 1)D . (1

8、, 1,1)或(1,1, 1)4),貝U |a 2b|=4. 若 a= (2, 3,5), b= ( 3,1,5. 如圖所示，1 1已知正四面體 ABCD中，AE= 4AB, CF = 4CD，則直線DE和BF所成角的余弦值為4. .258解析 va 2b= (8, 5,13),|a 2b|= 82+ 5 2+ 132= . 258.45 5.13解析 因四面體ABCD是正四面體，頂點 A在底面BCD內(nèi)的射影為 BCD的垂心，所以有BC丄DA, AB丄CD.設(shè)正四面體的棱長為 4,則 ef6e=(討 SFj (-5Aae)=0+ E3C AE CF dA 0=4X 1 X cos 120 +

9、1 X 4X cos 120 = 4,BF = DE =42+ 12 2X 4X 1X cos 60 =° 13,所以異面直線DE與BF的夾角B的余弦值為：4cos 0= “.6如圖所示，在平行六面體 ABCD-A1B1C1D1 中，設(shè) AA1 = a, AB = b, AD = c, M , N ,P分別是AA1, BC, C1D1的中點，試用 a, b, c表示以下各向量：(1) AP ;an ； MP + NCi .解: (1) -P是CiDi的中點，一 *-AP = AA + Ai Di + Di P 1=a+ AD + 2 DiCi=a+ c+ i ABi=a+ c+ 2

10、b.TN是BC的中點， iAi N = AiA + AB + BN = a+ b+ 2 BC=-a+ b+ 2 AD = a+ b+ *c.VM是AAi的中點，IMP = MA + AP = 2 AiA + AP=+ a+ c+2 b = 2a + *b+ c,i又 NCi = NC + CCi = 2 BC + AAiii=2 AD + AAi = ?c+ a,i ii MP + NCi = ?a + 2 b+ c + a +3 i 3 =2a + 2b+ 2 c.7已知直三棱柱 ABC-AiBiCi中， ABC為等腰直角三角形，/ BAC = 90°且AB = AAi,D, E,

11、 F分別為BiA, CiC, BC的中點.(i) 求證：DE /平面 ABC;求證：BiF丄平面AEF.證明：以A為原點，AB, AC, AAi所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系 A-xyz，令 AB= AAi= 4，貝U A(0,0,0), E(0,4,2), F(2,2,0), Bi(4,0,4), D(2,0,2),Ai(0,0,4),(1) DE = ( 2,4,0),平面 ABC 的法向量為 AAi = (0,0,4),'/DE -AAi = 0, DE?平面 ABC,(2) BiF = ( 2,2,4), EF = (2， 2， 2),DE /平面 A

12、BC.BiF -EF = ( 2) X 2 + 2X ( 2)+ ( 4)X ( 2) = 0 , Bi F丄EFBiF 丄 EF ,BiF -AF = ( 2) X 2 + 2X 2+ ( 4) X 0 = 0 ,BiF丄AF BiF 丄 AF.''AF A EF = F , BiF丄平面 AEF.8. 如圖所示，在四棱錐 P-ABCD中，PC丄平面ABCD, PC = 2,在 四邊形 ABCD 中，/ B=Z C= 90° ° AB= 4 , CD = i,點 M 在 PB 上, PB = 4PM , PB與平面 ABCD成30。的角.求證：(i)CM

13、/平面 PAD;平面PAB丄平面PAD.證明：以C為坐標原點，CB為x軸，CD為y軸，CP為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系C-xyz.PC丄平面ABCD ,zPBC為PB與平面ABCD所成的角,/PBC = 30 °0,PC = 2, .-.BC= 2 3, PB = 4,D(0,1,0), B(2,3, 0,0), A(2 3, 4,0), P(0,0,2) , M DP = (0,- 1,2), DA = (2 ,3, 3,0),CM =賈 0, 2 .(1)設(shè)n = (x , y , z)為平面PAD的一個法向量,DP n= 0," y + 2z= 0 ,由即DA

14、n= 0,2壓+ 3y= 0 ,令 y = 2，得 n = ( 3 , 2,1).33n CM =+ 2X 0+ 1X = 0 ,n丄 CM .又 CM?平面 PAD ,CM /平面 PAD.如圖，取AP的中點E ,連接BE,則 E( .3 , 2,1) , BE = ( ,3 , 2,1).PB = AB , /-BE丄 PA.又 BE DA = ( .3 , 2,1) (2 3 , 3,0) = 0 ,BE 丄 DA .BE丄 DA.又 FAP DA = A, /-BEX平面 FAD.又'/BE?平面PAB ,平面PAB丄平面 RAD.9. 如圖，在正方體 ABCD-A1B1C1D

15、1中，E為AB的中點.(1)求直線AD和直線B1C所成角的大小；求證：平面 EB1D丄平面B1CD.根據(jù)已知得：D(0,0,0), A(2,0,0) , B(2,2,0), C(0,2,0), Bi(2,2,2).解：不妨設(shè)正方體的棱長為2個單位長度，以 DA, DC, DDi分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系D-xy z.DA CBi2 DA =(2，。,。), CBi =(2，。，2),5DA，CBi>=廠莎n直線AD和直線BiC所成角為4.證明：取BiD的中點F,得F(1,1,1)，連接EF.E 為 AB 的中點， E(2,I,0),EF = (-i,0,i),

16、DC = (0,2,0),I EF -DC = 0, EF CBi = 0,EF 丄 DC , EF 丄 CBi.'DC Cl CBi = C,EF 丄平面 BiCD.又'EF?平面EBiD，平面EBiD丄平面 BiCD.IO.如圖，直角梯形 ABCD與等腰直角三角形 ABE所在的平 面互相垂直. AB / CD , AB 丄 BC, AB= 2CD = 2BC, EA丄 EB.(1) 求證：AB丄DE;(2) 求直線EC與平面ABE所成角的正弦值；(3) 線段EA上是否存在點F，使EC/平面FBD ?若存在，求出|A；若不存在，請說明 理由.解：證明：取AB的中點0,連接E0

17、, D0.因為EB = EA,所以E0丄AB.因為四邊形 ABCD為直角梯形.AB= 2CD = 2BC , AB 丄 BC ,所以四邊形 OBCD為正方形，所以 AB丄0D.因為 E0 A D0 = 0,所以AB丄平面E0D，所以 AB丄ED.因為平面 ABE丄平面 ABCD，且E0丄AB,所以E0丄平面ABCD，所以E0丄0D.由0B , 0D , 0E兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系因為三角形EAB為等腰直角三角形，所以 0A = 0B= 0D = 0E ,0-xy乙4設(shè) 0B = 1,所以 0(0,0,0), A( 1,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0),D(0,1

18、,0), E(0,0,1).所以 EC = (1,1 , 1),平面ABE的一個法向量為 0D = (0,1,0).設(shè)直線EC與平面ABE所成的角為0,所以 sine= |cos EC , 0D|=心“|EC|0D|即直線EC與平面ABE所成角的正弦值為(12分)如圖，在底面是矩形的四棱錐 =4, E是PD的中點.P ABCD 中，PA 丄平面 ABCD , PA = AB = 2, BC(1)求證：平面 PDC丄平面PAD;求點B到平面PCD的距離.11.證明如圖，以A為原點,間直角坐標系，則依題意可知AD、AB、AP所在的直線分別為 x軸、y軸、z軸建立空A(0,0,0)，B(0,2,0)

19、，C(4,2,0)，D(4,0,0)，P(0,0,2).PD= (4,0 , - 2),CD= (0,2,0),PA (0,0, 2).設(shè)平面PDC的一個法向量為 n = (x, y,1),=0JtrPD=Q 2y= 0 滬0則 '? $14x 2 = 0x= 2,所以平面PCD的一個法向量為 2 0, 1 .PA丄平面 ABCD ,.PA 丄 AB,又TAB丄 AD , PA A AD = A,.AB丄平面 FAD.平面PAD的法向量為AB= (0,2,0).''n AB= 0,.n丄 AB平面PDC丄平面PAD.解 由知平面PCD的一個單位法向量為|= -5, 0,

20、 罕.點B到平面0,0 ,5=PCD的距離為譽.54, 0, 04#55 ,12.如圖所示，在多面體 ABCD -Ai B1C1D1中，上、下兩個底面 AQiDi和ABCD互 相平行，且都是正方形，DD1丄底面ABCD, AB= 2人忻1= 2DDl 2a.(1)求異面直線AB1與DD 1所成角的余弦值；已知F是AD的中點，求證：FB1丄平面BCC1B仁在的條件下，求二面角F-CC1-B的余弦值.解：以D為坐標原點，分別以 DA , DC , DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系 D-xyz,則 A(2a, 0,0), B(2a,2a,0), C(0,2a,0), Di

21、(0,0, a), F(a,0,0),Bi(a, a, a), Ci(0, a, a). T ABi = (一 a, a, a),DDi = (0,0, a),ABi DDi|cos ABi , DDi > |=I ABi | | DDi |證明： BBi = (-a,a, a), BC = ( 2a,0,0), FBi = (0, a, a),FBi BBi = 0,FBi BC = 0,FBi 丄BBi, FBi丄 BC.BBi A BC = B ,.FBi丄平面 BCCiBi.由知，F(xiàn)Bi為平面BCCiBi的一個法向量.設(shè)n = (xi, yi, zi)為平面FCCi的法向量, C

22、Ci = (0, a, a), FC = ( a,2a,0),n CCi = 0, ayi + azi = 0,得|n FC = 0,| axi + 2ayi= 0.令 yi= i，則 n = (2,i,i),'cos FBin>FBi nI FBi | |n|面角F-CCi-B為銳角，面角F-CCi-B的余弦值為i3.如圖,四棱柱 ABCD-AiBiCiDi 中,側(cè)棱AiA丄底面ABCD , AB / DC, AB丄 AD , AD = CD= 1 , AAi = AB= 2, E 為棱 AAi 的中點.證明：BiCi丄CE;(2) 求二面角Bi-CE-Ci的正弦值.(3) 設(shè)

23、點M在線段CiE上，且直線AM與平面ADD iAi所成角的正弦值為 ，求線段AM的長.解：法一：如圖，以點 A為原點建立空間直角坐標系，依題意得 A(0,0,0), B(0,0,2) , C(i,O,i), Bi(0,2,2), Ci(i,2,i), E(O,i,O).(1) 證明：易得 BiCi = (i,0 , i) , CE = ( i,i , i)，于是BG CE = 0,所以 BiCi 丄 CE.(2) BiC = (i, 2, i).設(shè)平面BiCE的法向量 m= (x , y , z),|m BG = 0 ,x 2y z= 0 ,則$_即s消去x,得y+ 2z= 0,不妨令z= i

24、,可得一個法m CE = 0, x + y z= 0.向量為 m= ( 3, 2,i).由(i)知，BiCi 丄 CE ,又 CCi 丄BiCi ,可得 BiCiX平面 CECi ,故 BG = (i,0 , i)為平 面CECi的一個法向量.m BG, 42,7，是 cos m, BiCi > = 一 .-'=,|m|BiG | 乂i4 xV27 '2i從而 sin m, BiCi=V2i所以二面角Bi-CE-Ci的正弦值為廠. AE = (0,i,0) , ECi = (i,i,i).設(shè) EM =入ECi =(入入入,0< 疋 i,有 AM = AE +EM =(人 H i , » 可取AB = (0,0,2)為平面ADD iAi的一個法向量.設(shè)