第七章假設(shè)檢驗(yàn)

1、第七章假設(shè)檢驗(yàn)一、教材說明本章主要介紹統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念和基本思想、正態(tài)總體參數(shù)的統(tǒng)計(jì)假設(shè)的顯著性 檢驗(yàn)方法1、本章的教學(xué)目的與要求（1）使學(xué)生了解假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念：（2）使學(xué)生了解假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想：（3）使學(xué)生掌握假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟；（4）使學(xué)生會(huì)計(jì)算檢驗(yàn)的兩類錯(cuò)誤，搞淸楚兩類錯(cuò)誤的關(guān)系：（5）使學(xué)生掌握正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)，主要是檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及貝分布，檢驗(yàn)拒絕域的 確定；（6）使學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題。2、本章的重點(diǎn)與難點(diǎn)本章的重點(diǎn)是正態(tài)總體參數(shù)的并種假設(shè)檢驗(yàn)中的檢驗(yàn)統(tǒng)汁量及其分布，難點(diǎn)是假設(shè)檢驗(yàn) 拒絕域的確定。二、教學(xué)內(nèi)容下而主要分3巧來講解本章的主要內(nèi)容。 7.1假設(shè)

2、檢驗(yàn)的基本概念對(duì)總體分布或分布中的某些參數(shù)作出假設(shè)，然后利用樣本的觀測(cè)值所提供的信息，運(yùn) 用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的分析方法，檢驗(yàn)這種假設(shè)是否成立，從而決泄接受或拒絕“假設(shè)”，這一統(tǒng)訃推 斷過程，稱為假設(shè)檢驗(yàn)。1. 引例我們先舉一個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)例來說明假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想及推理方法.例1：某車間用一臺(tái)包裝機(jī)包裝匍萄糖，包得的袋裝糖重是一個(gè)隨機(jī)變量，它服從正態(tài)分 布且知標(biāo)準(zhǔn)差為0. 015千克.當(dāng)機(jī)器正常時(shí)，其均值為0. 5千克，某日開工后為檢驗(yàn)包裝機(jī) 是否正常，隨機(jī)地抽取它所包裝的糖9袋，稱得凈重為（千克）：0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512

3、,問機(jī)器杲否正常？ 分析：用“和a分別表示這一天袋裝糖重總體X的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，則X N（“,O.O15 2 ）, 其中“未知。問題：已知總體XN（“,R）,且b = b =0.015,根據(jù)樣本值判斷/ = 0.5還是“ H 0.5 o提岀兩個(gè)對(duì)立假設(shè)弘： =“）=0.5 （原假設(shè)或零假設(shè)）和 厲：“工“（）（備擇假設(shè)）.再利用已知樣本作出判斷是接受假設(shè)日。（拒絕假設(shè)Hi）,還是拒絕假設(shè)（接受假設(shè)如果作出的判斷是接受則即認(rèn)為機(jī)器工作是正常的，否則，認(rèn)為是不正常的.因?yàn)閬V是“的無偏估計(jì)崑所以，若肌為真，則|x-不應(yīng)太大，匚絡(luò)N(O,1),衡量I -的大小可歸結(jié)為衡S的大小。于是可以選左一個(gè)適當(dāng)?shù)恼?/p>

4、數(shù)厶當(dāng)觀察值匚滿足=k時(shí)，拒絕假設(shè)Hu ；反之，當(dāng)觀察值滿足蘭二時(shí)，接受假設(shè)CTqZhc/y/nH。因?yàn)楫?dāng)H()為真時(shí).U=X_7N),由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分位點(diǎn)的左義得:k = “卅，當(dāng)匚單 時(shí)，拒絕血，匚單v 時(shí)，接受.假設(shè)檢驗(yàn)過程如下：在實(shí)例中，(1) 若取定a = 0.05,則k = 忖=如.025 = 1 96,我們有P(l U 1 1.96) = P( X - ,UL1 1.96) = 0.05.又已知=9, b=0015,由樣本算得X = 0.51h即有 lui二單=2.2 1.96,于是根據(jù)小概率事件實(shí)際不可能性原理，拒絕假設(shè)/(),認(rèn)為包裝機(jī)工作不正常.若取左a = 001,則 k

5、=lla/2 = W0.005 = 2.5&lul=! = 2.22.5 &于是接受假設(shè)% 認(rèn)為包裝機(jī)工作正常.注:上述Q稱為顯著性水平此例表明假設(shè)檢驗(yàn)的結(jié)論與選取的顯著性水平Q有密切的關(guān)系. 所以，必須說明假設(shè)檢驗(yàn)的結(jié)論是在怎樣的顯著水平Q下作岀的.2. 假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想及推理方法1) 假設(shè)檢驗(yàn)基本思想(1) 在假設(shè)檢驗(yàn)中，提出要求檢驗(yàn)的假設(shè)，稱為原假設(shè)或零假設(shè)，記為原假設(shè)如果不成立,就要接受另一個(gè)假設(shè)，這另一個(gè)假設(shè)稱為備擇假設(shè)或?qū)α⒓僭O(shè)，記為H o（2）假設(shè)檢驗(yàn)的依據(jù)一一小概率原理：小概率事件在一次試驗(yàn)中實(shí)際上不會(huì)發(fā)生。（3）假設(shè)檢驗(yàn)的思路是概率性質(zhì)的反證法。即首先假設(shè)成立，然后根據(jù)一次

6、抽樣所得的 樣本值得信息，若導(dǎo)致小概率事件發(fā)生，則拒絕原假設(shè)，否則接受原假設(shè)。（4）假設(shè)檢驗(yàn)可能犯的兩類錯(cuò)誤： 第一類錯(cuò)誤（棄真錯(cuò)誤）：即假設(shè)為真而被拒絕，記為即P拒絕/（I 為真 = a。 第二類錯(cuò)誤（存?zhèn)五e(cuò)誤）：假設(shè)日（）不真而被接受，記為0，即P接受Ho I Ho不真=0。 當(dāng)樣本容屋” 一左時(shí)，a,0不可能同時(shí)減少，在實(shí)際工作中總是控制&適當(dāng)?shù)男　?）假設(shè)檢驗(yàn)的程序?qū)θ魏螌?shí)際問題進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，其程序一般為五步，即：根據(jù)題意提岀零假設(shè)（或相應(yīng)備選假設(shè)H）構(gòu)造樣本統(tǒng)計(jì)量并確定其分布：給左顯著性水平査表確左臨界值，從而得岀接受域和拒絕域；由樣本觀測(cè)值計(jì)算出統(tǒng)計(jì)量的值：作岀判斷：若統(tǒng)訃量的值落

7、入拒絕域則拒絕若統(tǒng)il涅的值落入接受域則接受乩）。3）假設(shè)檢驗(yàn)的主要方法檢驗(yàn)法、/檢驗(yàn)法、無2檢驗(yàn)法、尸檢驗(yàn)法。例2已知某產(chǎn)品使用壽命X服從正態(tài)分布，要求平均使用壽命不低于1000小時(shí)，現(xiàn)從一批 這種產(chǎn)品中隨機(jī)抽岀25只，測(cè)得平均使用壽命為950小時(shí)，樣本方差為100小時(shí)。則可用（） t檢驗(yàn)法力$檢驗(yàn)法 Z-檢驗(yàn)法F檢驗(yàn)法解選例3假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，只減少樣本容量，犯兩類錯(cuò)誤的槪率（） 都增大都減少不變一個(gè)增大，一個(gè)減少解選例4正態(tài)總體X NQ&X、Xw、Xn為樣本，戸=丄假設(shè)檢驗(yàn)H。： / Z2（-1）；爲(wèi)2（ - 1） 5力：（一1）二力：（一1）解由于當(dāng)H.成立時(shí), z； （n 一 1） z；一

8、 1） = a，于是選5；b 7. 2單個(gè)正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn)X:N,/）,/巳知，檢驗(yàn)假設(shè)H。：曲U檢驗(yàn)法：H（）： “二從（H1； “工“0或“0或“ ua = a,查止表定 2 2 由樣本值（斗，X2,X計(jì)算U的值 判斷：若I U l a/2,則拒絕H（這是對(duì)雙側(cè)檢驗(yàn)提出的（/檢驗(yàn)法步驟，若是單側(cè)可仿比）（2）XN未知，檢驗(yàn)假設(shè)H： H = H0/檢驗(yàn)法：H（）： “二從（H1； 工“或“或“ T =卓絡(luò) t（n -1）（%成立時(shí)）。S / yjn 給岀 a, P|T| ta（n-） = a,查t分布表定ta（n-1）. 由樣本值計(jì)算丁的值. 判斷：若|r| ta （n -1）,則拒絕否則

9、接受（若是單側(cè)可查t表定匚（-1）,2 2 同樣得出拒絕域）.（3）X未知,檢驗(yàn)假設(shè)H： bbj Ho： cr2 二云(Hx： a2 H bj)（焉 - X）2上_；Z2（h-D（H0 成立時(shí)）。5；給出g P/2 力；(-1)=紜查才分布表定力;(1)7T2-厶厶及 Z2 a（-!） 由樣本值計(jì)算*的值 判斷：若* /：（ 一 1）或才V*a（“_i）,則拒絕如,反之則接受H（）.2 ,_2（一）已知方差例5設(shè)某產(chǎn)品的某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布，已知它的標(biāo)準(zhǔn)差b = 150,現(xiàn)從一批產(chǎn)品中 隨機(jī)地抽取26個(gè)，測(cè)得該項(xiàng)指標(biāo)的平均值為1637。問能否認(rèn)為這批產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)值為 1600（a = 0

10、.05） ?解 提岀原假設(shè)：H。： “=1600, H：卅1600：（2）選取統(tǒng)計(jì)量匕=匚絡(luò)（3）對(duì)于給泄的顯著性水平a =0.05 ,查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表 他=%25 = 1 %（4）計(jì)算統(tǒng)計(jì)量觀察值1637-1600 %1258b（）/如150/V26結(jié)論= 1.258 V a =1.96接受原假設(shè)1即不能否泄這批產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)為1600。（二）未知方差，檢驗(yàn)/ = /0 例6某廠生產(chǎn)樂器用合金弦線，苴抗拉強(qiáng)度服從均值為10560 （kg/cn/2 ）的正態(tài)分布。現(xiàn)從一批產(chǎn)品中抽取10根測(cè)得其抗拉強(qiáng)度（單位：kg/7W2 ）為：10512 10623 10668 10554 1077610707

11、 10557 10581 10666 10670對(duì)顯著性水平 =0.05,問這批產(chǎn)品的抗拉強(qiáng)度有無顯箸變化？對(duì)顯箸性水平o=0. Ob結(jié)果如何？（已知仏（9）= 1.833心賂（9） = 2.262,仏（9） = 2.821,仏 =3.250 ）解 假設(shè)檢驗(yàn)H。: / = 10560 ,對(duì)耳：p豐10560 方差未知時(shí)，檢驗(yàn)數(shù)學(xué)期望選用統(tǒng)計(jì)量攵尹屁在九成立時(shí)，廠口7-1）其中嚴(yán)=丄（召一疔S川 一 1 /-I_1 n1 對(duì)給宦樣本值，計(jì)算得 = _工兀=（10152 +10623 +10670 ）=10631 .4、59044所以，統(tǒng)計(jì)量的樣本值2二色.4-10560= 2.788 當(dāng)顯著性水

12、平a =0.05時(shí)，拒絕域?yàn)閨r|rOO25（9） = 2.262 ,這里山=2.788 2.262,落入拒絕域，所以在a = 0.05不應(yīng)接受仏，即認(rèn)為抗拉強(qiáng)度 有顯著變化。當(dāng)顯著性水平a =0.01時(shí)，拒絕域?yàn)镮TI/OOOS= 3.250,即認(rèn)為這批產(chǎn)品的抗拉強(qiáng)度無顯 著性變化。例7已知某種元件的壽命服從正態(tài)分布，要求該元件的平均壽命不低于1000小時(shí)，現(xiàn)從 這批元件中隨機(jī)抽取25只，測(cè)得平均壽命%=980小時(shí)標(biāo)準(zhǔn)差s = 65小時(shí)試在顯著水 平 才一9（“ -1） = /20.95 （8） =15.507o 這里Z2 =15.68 15.507故拒絕接受耳：即認(rèn)為這批導(dǎo)線的標(biāo)準(zhǔn)差顯著的

13、偏大。 1. 3兩個(gè)正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn)（1）昭 b；已知，檢驗(yàn)假設(shè)血：“=“2U檢驗(yàn)法：HQ: “=“2（舟X_ Y U = j N(0,1),(/()成立旳)o給出Q,查止態(tài)表定Ua2由樣本值X2,xn） , （yr兒,兒）計(jì)算u的值 作出判斷：若 貝IJ拒絕Ho,反之接受Ho2（2） b；, b；未知,但b：=b；,檢驗(yàn)假設(shè)Ho： =“2/檢驗(yàn)法：H0： “二“2 （Hr “產(chǎn)“2 或或“V“2）T X-Y嚴(yán) 5 7g +嗎-2）（/7。成立時(shí)）。7（nrl） S；2+（n：-l） S：2 V 厲+勺同前（3） “I，“2，未知，檢驗(yàn)假設(shè)Ho： b：二b；（H ：b； Wb；）尸檢驗(yàn)法：F

14、 = S；2/S；2 F(q I, 一 1)(仏成立時(shí))（一）已知 1.64,故拒絕即可以認(rèn)為M和有顯箸性差異。（二）未知，但b： = cr；,假設(shè)檢驗(yàn): “I =/2例2某物品在處理前與處理后抽樣分析含脂率（%）如下：處理前 X： 0. 190. 180.210. 300.410.120. 17處理后 y： 0. 130. 150. 070. 240. 190. 060. 080. 12設(shè)含脂率分別服從正態(tài)分布對(duì)顯著性水平a=0. 05,試問:處理前 后的平均含脂率有無顯著性差異？（/。（二2.160血皿（14） = 2.145 ）分析首先需要F-檢驗(yàn)法驗(yàn)證二總體方差是否有顯著性差異，在無顯

15、著性差異（視為相等） 的條件下，然后利用T-檢驗(yàn)法在檢驗(yàn)二總體均值是否有顯著性差異。解（1）利用F-檢驗(yàn)法檢驗(yàn)二總體方差有無顯著性差異。 檢驗(yàn)假設(shè) Ho : b： =0-2 ,： b： H b； 選用統(tǒng)訃量尸=各，當(dāng)H。：成立時(shí)，F(xiàn)F(1丿2-1) 對(duì)給泄顯著性水平a二0. 05,有F-分布表得臨界值,F a (6,7) = 5.12,F“ (6,7) = 1=丄=075 氣? 巧(6,7)5.70 計(jì)算統(tǒng)il崔F的樣本觀察值_1 f,i_1 巾X =22, =024了 = 一2匕=0.13 tl r=ln2 /=i1_ e百歹T）6531 勺_s? =y（y; - y）2 = 3.9 * i

16、o-?心j倚故F = - = 1.93 e (0.175,5.12),接受弘，認(rèn)為二總體方差無顯著性差異。 S；(2)利用T-檢驗(yàn)法檢驗(yàn)二總體均值有無顯著性差異。 檢驗(yàn)假設(shè)Ho : “I = “2，H : “2豐“2 選取統(tǒng)訃量s尸 m nT _ X _ 7 _ (“ _ “2)”皿2(% +”2 - 2)J(q -1)S： + (“2 - 1)S； V n 1 +n2Hq 成立時(shí),T (W)+ n2 - 2) 對(duì)給泄顯箸性水平a=0.05,得拒絕域卩= 2.160 計(jì)算統(tǒng)計(jì)雖T的觀測(cè)值2.849X-Y”中2(】+“22亍_0.24 0.13p*8*13 _ 0.11Jal)S：+(g)S；

17、Y 勺+”27.5*107+7*3.9*10-3 V 7 + 80269由于|r| = 2.849/0975(13) = 2.160o故拒絕施，接受0。即處理后含脂率有顯著差異。(三) 均值未知，檢驗(yàn)假設(shè): 7,2 = 7；例3某一橡膠配方中.原用氧化鋅5g,現(xiàn)減為lg ,若分別用兩種配方做一批實(shí)驗(yàn)，5g配方測(cè)9個(gè)值，得橡膠伸長(zhǎng)率的樣本差是S：=63.86： lg配方測(cè)3個(gè)值，橡膠伸長(zhǎng)率的 樣本差是5=236.8,設(shè)橡膠伸長(zhǎng)率遵從正態(tài)分布，問兩種配方的伸長(zhǎng)率的總體標(biāo)準(zhǔn)差有無顯著差異？ (a=0.10)(厲95(&9) = 3-23,化勺5(9$) = 3.39) 分析 兩種配方的伸長(zhǎng)率的總體標(biāo)

18、準(zhǔn)差有無顯箸差異，是通過樣本值去判斷是否成立，是均值未知的兩個(gè)總體方差是否相等的檢驗(yàn)，5g配方和lg配方記為X N(“2，b；) 解 檢驗(yàn)假設(shè)H。: b： = b訂0 : b；豐b；S, 選取統(tǒng)計(jì)量F = 鼻，當(dāng)成立時(shí)F =馬 F(叫一 1,“2 -1) 對(duì)顯箸性水平a-0. 10由題設(shè)仇驚(&9) = 3.23, (肛&9) = 一 = = 0.295 95(9,8) 3.39故拒絕域?yàn)?,0.295 u 3.23,七 計(jì)算統(tǒng)計(jì)量F的樣本觀察值Sf _ 63,86 sf - 236.8=0.2697由于F二0.2697亡(0.295323),即F落入拒絕域，應(yīng)拒絕接受即在a =0.10下 認(rèn)

19、為兩個(gè)總體的方差是不等的。注：若將顯著性水平改為a二0.02,此時(shí)F “(&9) = fi99(8,9) = 5.47,F “(9,8)=佗(9,8) = 5.91H2 2此時(shí)拒絕域0兒(&9)2&9),+8 = 0, -1_2 -F.99 (9,8)u 547,+s = 0A169u547,+oo)樣本觀察值F二0.2697未落入拒絕域，故接受即認(rèn)為兩種配方總體方差無顯著差異， 說明顯著性水平越小，否世零假設(shè)越困難。(四) 均值未知，檢驗(yàn)假設(shè)例4有甲乙兩車床生產(chǎn)同一型號(hào)的滾珠，根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)可以認(rèn)為，這兩臺(tái)車床生產(chǎn)的滾珠都服從正態(tài)分布，問題是要比較臺(tái)車床生產(chǎn)的滾珠的直徑的方差。現(xiàn)在從這兩臺(tái)車床

20、的產(chǎn)品 中分別抽取8個(gè)和9個(gè)，經(jīng)計(jì)算得X卩二15.01, Xz =14. 99. 50. 0955. S；二0.0261,對(duì) 顯著性水平a=0.05,試問：乙車床產(chǎn)品的方差是否比甲車床的小？(/a(7$) = 3.50，局5(&7) = 373,九.”5(7,8) = 4.53,九皿(&7) = 4.90 ) 分析 由題意，是驗(yàn)證是否成立，而單邊檢驗(yàn)所提假設(shè)含等號(hào)，故此題可假設(shè)為H。:阮 b：解利用F-檢驗(yàn)法檢驗(yàn)兩總體方差比。 檢驗(yàn)假設(shè)H :此 b； 選取統(tǒng)計(jì)量F =第一自由度是7,第二自由度是8的F-分布 由題知仏)5 (7,8) =3.50.故拒絕域?yàn)?50,*0) 統(tǒng)汁量F的樣本觀察值_

21、 0.09550.0261=3.694由于f=3.659 3.50,故應(yīng)拒絕0),接受即乙車床產(chǎn)品的直徑的方差比甲車床的小。二.兩個(gè)正態(tài)總體均值差的檢驗(yàn)設(shè)坷宀,是來自總體X服從N(“iW)的樣本，兒，兒，,兒是來自總體Y服從Ngo；)的樣本，且兩樣本相互獨(dú)立，考慮如下的三種檢驗(yàn)：H。: “ -XA 0(1)VSH : “1 -2 UaW=U;UU2x (jx =(j2= a但未知時(shí)的兩樣本t檢驗(yàn)在CT； = CT； = CT2未知時(shí)，類似于單個(gè)正態(tài)總體方差未知時(shí)均值的檢驗(yàn)，我們?nèi)杂胋?的無偏估計(jì)代替b?,而此時(shí)可以證明CT?的無偏估計(jì)為:S1 =wmn3一好+(開_刃勺=1=11=1(加 1)

22、S；+G 1)S；m + /Z-2于是有(x-y)-(A 一 “2)從而檢驗(yàn)統(tǒng)訃量為在“一 =0 時(shí),? +川-2)。上述三對(duì)假設(shè)檢驗(yàn)的拒絕域分布為:W = T;Tt(m + n-2)W = TT t _am + n-2)例某廠鑄造車間為提高鑄件的耐磨性而試制了一種銀合金鑄件以取代銅合金鑄件，從兩種鑄件中各抽取一個(gè)容量分別為8和9的樣本，測(cè)得其硬度（一種耐磨性指標(biāo)）為:線合金76.4376.2173.5869.6965.2970.8382.7572.34銅合金73.6664.2769.3471.3769.7768.1267.2768.0762.61根據(jù)專業(yè)經(jīng)驗(yàn)，硬度服從正態(tài)分布，且方差保持不變

23、，試在顯著性水平6Z = 0.05下判斷線合金的硬度是否有明顯提髙？解略。綜上，關(guān)于兩個(gè)正態(tài)總體均值差的假設(shè)檢驗(yàn)問題可匯總成如下的表:條 件原假設(shè)丹0備擇假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其分布拒絕域b2已 知Ai “2A1 “2u = |:一， n（o,i） 伍+空u Uz卩 二 “2“ “2U5UaP = A) H “Uv mn|生2未 知卩 “2Y - VT =1 t(m + n 一 2)S” 3 m nT /j_a(w + 7?-2)“ n “2“1 “2T t a(m + n-2)2正態(tài)總體方差的檢驗(yàn)設(shè)總體x“，勺,*”是來自該總體的樣本，對(duì)方差o考慮如下的三 種檢驗(yàn)：VS1、均值“未知時(shí)方差的檢驗(yàn)1川o由于“未知，52 =Y（xz -T）2是丁的無偏估計(jì)，且b2=b： 有并一1片才=也舉.上乙一 1）對(duì)于顯著性水平Q，對(duì)應(yīng)上述三種假設(shè)檢驗(yàn)的拒絕域分布為：b&w = 才;V】 Z21-（-l）或（V】 Z2?-1）1bb。-例某類鋼板每塊的重量X服從正態(tài)分布，貝一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)是鋼板重量的方差不 得超過0.016燈現(xiàn)從某天生產(chǎn)的鋼板中隨機(jī)抽取25塊，得其樣本方差52 =0.025 問該天生產(chǎn)的鋼板重量的方差是否滿足要求？ a =0.05.解略。2、均值“已知時(shí)方差的檢驗(yàn)/I2Y （兀-“）此時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量取為*= 一.，且bb：時(shí)工（“-“）八 sz2oob故