一維小粗糙度表面上方物體的波散射

1、一維小粗糙度表面上方物體的波散射    摘 要: 本文應(yīng)用隨機(jī)泛函方法研究一維小粗糙度表面上方物體的波散射。由粗糙表面的隨機(jī)格林函數(shù)以及邊界條件，可以將物體和粗糙面相聯(lián)系，從而簡(jiǎn)化分析過(guò)程。本文計(jì)算了小粗糙度表面上方一個(gè)圓柱的非相干散射(包括Dirichlet和Neumann邊界條件)角分布，結(jié)果證明粗糙面上方的物體會(huì)使后向散射顯著增強(qiáng)，在Neumann邊界條件時(shí)由于表面波的存在這一現(xiàn)象尤為明顯。關(guān)鍵詞: 隨機(jī)格林函數(shù) 隨機(jī)粗糙面上方的物體 后向散射增強(qiáng)中圖分類(lèi)號(hào): O441.41 引言已有各種嚴(yán)格或者近似的理論研究粗糙表面的后向散射增強(qiáng)現(xiàn)象，同時(shí)實(shí)驗(yàn)上

2、也觀察到了這種現(xiàn)象。后向散射增強(qiáng)的主要機(jī)理是多重散射波的相干干涉。對(duì)于粗糙度很小的粗糙面，這種現(xiàn)象主要?dú)w因于作為中間散射過(guò)程的穩(wěn)定或者不穩(wěn)定的表面電磁波的參與。本文證明了在小粗糙度表面上方的物體會(huì)產(chǎn)生顯著的后向散射增強(qiáng)，這一現(xiàn)象可以成為判斷粗糙面上方是否存在物體的一個(gè)重要判據(jù)。事實(shí)上，由于地球科學(xué)和醫(yī)學(xué)生理學(xué)上的大量應(yīng)用，對(duì)于探測(cè)不同表面上方的物體的興趣正在持續(xù)增加，并且兩種不同介質(zhì)的分界面上方一個(gè)物體的散射1-4或者多個(gè)物體的散射5-8也已經(jīng)是許多研究的課題。這些研究雖然絕大多數(shù)是基于隨機(jī)粗糙表面的數(shù)值模擬，沒(méi)有牽涉到近似，但是這些數(shù)值模擬只能針對(duì)有限長(zhǎng)的粗糙面，并且當(dāng)被照射表面的邊長(zhǎng)大于1

3、0時(shí)這種計(jì)算是非常耗時(shí)的。另一方面，對(duì)于這些散射問(wèn)題同樣也能使用解析方法求解。與數(shù)值計(jì)算方法不同，解析方法局限于經(jīng)典的幾何條件或者在經(jīng)典的幾何條件作微擾的情況下。然而解析方法由于不需要幾何上的數(shù)值離散化而體現(xiàn)其價(jià)值，并且能夠?yàn)閿?shù)值計(jì)算方法提供標(biāo)尺。另外，通過(guò)解析方法分析散射過(guò)程能加深對(duì)散射機(jī)理的基本認(rèn)識(shí)。文獻(xiàn)9提出了一個(gè)絕緣圓柱和輕微粗糙面之間散射問(wèn)題的解析解，而文獻(xiàn)10用解析方法解決了埋在粗糙面下的絕緣圓柱體的散射問(wèn)題，文章中用到了微擾法，但是結(jié)果中沒(méi)有顯示出后向散射增強(qiáng)現(xiàn)象。本文采用隨機(jī)泛函方法研究小粗糙度表面上方一個(gè)物體的散射問(wèn)題(圖1)。這種方法已經(jīng)被證明在處理各種小粗糙度表面的波散射

4、情況下的后向散射增強(qiáng)問(wèn)題11-14和波的局域化15-16以及在大粗糙度表面散射問(wèn)題17都非常有效。特別地，該方法可以很簡(jiǎn)單地推導(dǎo)出小粗糙度表面的隨機(jī)格林函數(shù)，利用隨機(jī)格林函數(shù)可以大大地簡(jiǎn)化小粗糙度表面與物體之間相互作用的散射分析。本文以小粗糙度表面上方一個(gè)圓柱的散射角分布的推導(dǎo)計(jì)算作為應(yīng)用的例子，并且證明了小粗糙度表面上方圓柱的存在可以顯著地增強(qiáng)后向散射的效應(yīng)，尤其是在Neumann邊界條件時(shí)。_* 基金項(xiàng)目: 國(guó)家973項(xiàng)目(2001CB309401-5)1小粗糙度表面的散射圖1 散射問(wèn)題的幾何模型平面波的隨機(jī)散射 考慮二維空間下笛卡爾坐標(biāo),以及柱坐標(biāo)),(zx),(r。假設(shè)一維粗糙面均值為

5、)(),(xfxfz=0=z，入射平面波為入射方向?yàn)?)i0krire=),(000=k0，)(0，2)(。入射波在粗糙面上方產(chǎn)生的波場(chǎng)用隨機(jī)Floquet理論可以表示為:00000(,;|)(,|)ixizizxxzeeeUz=mm (1)00(,|)(,|xnnUzUz= (2)11()(0(,|)niinUze+=xxLLL$101(,)(),()nnnnL,2,1,0=n× (3)00(,;)(,)iszeUTzxxxm (4)其中，s表示由于粗糙表面所造成的散射波，其中(1)和(4)中的復(fù)合符號(hào)分別對(duì)應(yīng)于Dirichlet和Neumann邊界條件。m1(,.,)nnA表示n

6、階Wiener核，并且10(A關(guān)于其n個(gè)變量1(,.,)n是對(duì)稱(chēng)的。表示關(guān)于復(fù)高斯變量的復(fù)Hermite 多項(xiàng)式。 $nhWiener核的近似解 對(duì)于小粗糙度表面，文獻(xiàn)13已經(jīng)得到Wiener核最高至二階的近似解。如果為了描述僅僅由粗糙面造成的后向散射增強(qiáng)，需要二階Wiener核，但是在目前的討論下它比由粗糙面上的物體造成的散射貢獻(xiàn)小。所以這里只給出零階和一階的Wiener核:對(duì)于Dirichlet邊界條件: )()(1)()(1)(1)(1)(0+=+=DDZZA (5) 2)()(1)()(1)(2)|(11111+=iFA (6) 2()|()|()1()()Fd + (7)對(duì)于Neum

7、ann邊界條件: )()()()()(1)(1)(0+=+=NNZZA (8) )()()()()()(2)|(1111211+=FkiA (9) 222|()|()()()kFd + (10)其中和分別對(duì)應(yīng)Dirichlet和Neumann邊界條件下粗糙面的表面阻抗。 DZNZ小粗糙度表面的隨機(jī)格林函數(shù) 設(shè)),(000zxr=為源點(diǎn)，),(zxr=為場(chǎng)點(diǎn)，其中。隨機(jī)格林函數(shù)G滿(mǎn)足隨機(jī)粗糙表面的邊界條件和下式: 0,0>zz)()();,|,()(000022zzxxzxzxGk=+, (11) 0,0>zz00(,|,;)Gxzxz由非擾動(dòng)項(xiàng)和擾動(dòng)項(xiàng) 組成: 0GsG);,|,(

8、),|,();,|,(0000000zxzxGzxzxGzxzxGsm=, (12) 0,0>zz注意到(4)式中的s為波場(chǎng)的擾動(dòng)分量，(1)式中0包括波場(chǎng)中的擾動(dòng)分量和非擾動(dòng)分量，波場(chǎng)中的非擾動(dòng)部分可以從(1)和(4)得到:000ixizizunpeee=m (13)用unp和s的積分形式表示自由空間格林函數(shù)和0GsG: 001()()00,0(,)4()ixizzizzRieGxzxzeed+=m, (14) 0,zz>001()()00(,;)(,)4()10,0xRzz, > (15)其中，可以進(jìn)一步劃分為相干分量和非相干分量: sGcgicg000000(,|,;)

9、(,|,)(,|,;)scicGxzxzgxzxzgxzxz+ (16)類(lèi)似于(2)和(3)中的Wiener-Ito展開(kāi)，和可以表示為: cgicg3001()()()000()1(,|,)4ixxizzcRAigxzxzed+= (17)(18) L+=1)()|,;,();,|,(110000RicdBzzxxKzxzxg+=dAeizzxxKzixizixi)|(4)|,;,(11)()()(1000011 (19)為表達(dá)簡(jiǎn)單起見(jiàn)只保留到一階Wiener 核。由上式，總的相干分量為: 1AcG),|,(),|,(),|,(0000000zxzxgzxzxGzxzxGccm= deAeei

10、zzizzixxi+=)()(4)(0|)()(000m (20)其中，復(fù)合符號(hào)分別對(duì)應(yīng)于Dirichlet和Neumann邊界條件。 m隨機(jī)格林函數(shù)的漸近形式 令sinrx=, cosrz=，)(sink=, )(cos)(k=其中 和 是頂角, 所以有:)()(=+krzx, )(cos)( (21)(17)-(19)式中的積分可以在kr用鞍點(diǎn)法作漸近估計(jì) 18-19。隨機(jī)格林函數(shù)的相干部分和非相干部分的漸近表達(dá)式為:),;,(),;,(),;,(0000000zxrgzxrGzxrGcc+=00/4coscossin01(sin)22ikriikzikzikxeeeAkekr+×

11、;m 0,/2/2,krz << > (22)000011(,|,;)(,;,|)()icgxzxzKxxzzdB 1010/4(sin)(sin)1111cos(22ikriikzikxkeeAkkr+ ×0,/2/2,krz << > (23)2小粗糙度表面上方物體的散射散射場(chǎng) 設(shè)物體的表面S和粗糙表面有相同的邊界條件，入射波為平面波。 物體的散射可以用隨機(jī)格林函數(shù));|(0rrG, ),(yxr=, ),(000yxr=來(lái)描述，由于);|(0rrG滿(mǎn)足隨機(jī)粗糙面的邊界條件所以粗糙表面的影響已經(jīng)包含在);|(0rrG中。包含了波矢量為),(00

12、, 202的入射波的初始場(chǎng)用隨機(jī)波場(chǎng))|;(00r來(lái)描述，)|;(00r也已滿(mǎn)足粗糙面的dSnSSrGrrS+=);();|()|;();(00 (Dirichlet) (24) dSSnSrGrrS=);();|()|;();(00 (Neumann) (25)從中可以得到關(guān)于邊界值的積分方程。上述積分方程中的邊界值可以用數(shù)值方法或者迭代 過(guò)程來(lái)求解。本文采用最簡(jiǎn)單的估計(jì)(0階迭代),即假設(shè)邊界值直接由初始場(chǎng)產(chǎn)生，所以有: dSnSSrGrrS+)|;();|()|;();(0000 (Dirichlet) (26) dSSnSrGrrS)|;();|()|;();(0000 (Neuman

13、n) (27)        其中的第二項(xiàng)關(guān)于物體表面的積分表示由物體產(chǎn)生的散射場(chǎng)，由于隨機(jī)格林函數(shù)包括了粗糙面引起的散射貢獻(xiàn)，所以粗糙面和物體之間的相互作用已經(jīng)自動(dòng)包含在積分項(xiàng)中了。將波場(chǎng)中的相干成分和非相干成分再次分解得:)|;()|;()|;(0000rrrs+= (28)|;()|()|;(000000rrricc+= (29)|;()|()|;(000rrricscss+= (30)最后可以得到散射場(chǎng)表達(dá)式如下:dSnSSrGrccScs+=)|()|()|;(000 (Dirichlet) (31) d

14、SSnSrGScc=)|()|(00 (Neumann) (32) dSnSSrgnSSrGrciciccSics)|();|()|;()|()|;(00000+= (Dirichlet) (33) dSSnSrgSnSrGciciccS)|();|()|;()|(0000+= (Neumann) (34)相干散射和非相干散射的角分布 入射角為0散射角為s的角分布可以由散射功率得到: =rrrPccs)|()|(Im)|(000 )(r (35)上式可以由格林函數(shù)的漸近式計(jì)算。同樣地，散射角分布也分為相干部分和非相干部分:+=)(Im)|(000csccscscrrP)|()|()|(0000

15、0sscsscscPPP+= (36) >+<=)(Im)|(000icsicicsicsicrrP)|()|()|(00000ssicssicsicPPP+= (37)其中的上標(biāo)“0”, “s” 和 “0s”分別為初始場(chǎng) 0 (已經(jīng)包括了粗糙面的散射), 物體的散射場(chǎng) s , 粗糙面和物體間相互作用的散射場(chǎng)。3粗糙表面上方圓柱的散射考慮圓柱散射的情況，設(shè)圓柱的中心在，截面半徑為a。計(jì)算圓柱上的面積分，得到相干散射角分布為: ),0(h)()(),|()()|(000)()(0042000shihissscAAeeCkaWkaPss+×=200)(0)(00)()(),|

16、(00AeAeCkaWhishisss+ (38)以及非相干散射角分布為:2400(|)()|(|,)(|,)()(|)sicssssssPkaVVAA =×mdAAVVsss21000000|)|()(),|(),|(+m (39)上式中的中間變量定義如下:hieCkaWV)(00000),|(),|(+= (40) 00200)()/2(),|(+=kkC (41)/()()(12CkaCkaJCCkaW= (42)1J為一階第一類(lèi)Bessel函數(shù),其中的復(fù)合符號(hào)分別對(duì)應(yīng)于Dirichlet和Neumann邊界條件。對(duì)于Dirichlet條件和Neumann條件Wiener核和是

17、不同的。在(38)式中如果取為1表示忽略粗糙度的影響，相干散射僅僅來(lái)自于圓柱和平面，這在Dirichlet條件和Neumann條件下是相同的。對(duì)于非相干散射，由(39)式的對(duì)稱(chēng)性可以看出增強(qiáng)的散射發(fā)生在后向，也就是m0A1A0A00s+=的方向。4數(shù)值結(jié)果和討論在數(shù)值計(jì)算中，假設(shè)粗糙面的功率譜為高斯譜:4/2222)2/()(ll=eF (43)其中， 是粗糙面的相關(guān)長(zhǎng)度，是表面粗糙度。 l2由(39)式計(jì)算非相干散射角分布，對(duì)于粗糙面參數(shù)，取歸一化粗糙度1.0=k，歸一化相關(guān)長(zhǎng)度。 0.1=kl圖2 給出了不同歸一化高度下的非相干散射角分布。從圖2(a)與(b)可以看出，在Dirichlet

18、和Neumann邊界條件下都可以明顯地觀察到后向散射增強(qiáng)，但是對(duì)于不同的邊界條件后向散射峰的特征不同。Neumann條件下，增強(qiáng)的后向散射峰顯得窄而強(qiáng)，而Dirichlet條件下，后向散射峰比Neumann條件更寬且弱一些。Neumann邊界條件下，較強(qiáng)的后向散射峰主要是由于作為中間散射過(guò)程的穩(wěn)定或者不穩(wěn)定的表面電磁波的參與，與沒(méi)有圓柱的情況下由于二階Wiener核產(chǎn)生的較弱的峰類(lèi)似。此外，從圖2(a)可以看到，Neumann條件下的后向散射峰的峰值并不是隨著歸一化高度kh增加或減少呈單調(diào)變化，時(shí)的峰比和的情況都弱。圖3給出了不同入射角的非相干散射角分布。從圖3(a)與(b)可以看出，當(dāng)入射角

19、增加時(shí)，Neumann條件下的后向散射峰變化非?？?，但是Dirichlet條件下的變化則顯得較緩慢。 5kh=7kh=4kh=(b)圖 2 對(duì)應(yīng)于不同歸一化高度kh的非相干散射角分布結(jié)果， (a) 和 (b) 分別對(duì)應(yīng)Dirichlet條件和Neumann條件，入射角為 ，粗糙面的歸一化參數(shù)分別為o030=1.0=k and , 圓柱的歸一化半徑為0.1=kl0.2=ka。(b)圖 3 對(duì)應(yīng)于不同入射角的非相干散射角分布結(jié)果，(a) 和 (b) 分別對(duì)應(yīng)Dirichlet條件和Neumann條件，歸一化高度為7.0kh=，粗糙面的歸一化參數(shù)分別為1.0=k and 0.1=kl,圓柱的歸一化半

20、徑為。 3ka=圖4和圖5考察歸一化半徑ka和歸一化高度kh的變化對(duì)非相干散射角分布的影響。圖4中，歸一化半徑取很小的值(0.25ka=)的同時(shí)，保持歸一化高度為,與圖3(b)比較可以看出，當(dāng)歸一化半徑減小時(shí)后向散射峰值幅度顯著變小，但是后向散射增強(qiáng)現(xiàn)象仍然很明顯。圖5中，歸一化高度和歸一化半徑分別取7.0kh=20kh=和3.11 Ogura H., Kawanishi T., Takahashi N. and Wang Z. L., Scattering of electromagnetic wave from a slightly random surface - reciprocal

21、theorem, cross-polarization and backscattering enhancement, Waves Random Media, 1995,5(4) :461-49512 Ogura H. and Takahashi N., Green function and radiation over a random rough surface, J. Opt. Soc. Am. A, 1985, 2(12) :2208-222413 Ogura H. and Takahashi N., Wave scattering from a random rough surfac

22、e: reciprocal theorem and backscattering enhancement, Waves Random Media, 1995,5(2) :223-24214 Ogura H. and Wang Z. L., Surface-plasmon mode on a random rough metal surface: enhanced backscattering and localization, Phys. Rev. B, 1996,53(15) :10358-1037115 Ogura H., Wang Z. L., Sasakura Y. and Freil

23、ikher V., Localization of surface plasmon waves on the surface of a random rough metallic grating with a narrow-band spectrum, Optics Communication, 1997, 134(1) :1-616 ONeill K., Lussky R. F. and Paulsen K. D., Scattering from a metallic object embedded near the randomly rough surface of a lossy di

24、electric, IEEE Trans. Geosci. Remote Sensing, 1996,34(3) :367-37617 Wang Z. L., Jin Y. Q. and Ogura H., Enhanced backscattering from a metallic cylinder with a random rough surface, Phys. Rev. B, 2005a ,71(15), 155415 :1-718 Wang Z. L., Ogura H. and Takahashi N., Enhanced scattering from a planar wa

25、veguide structure with a slightly rough boundary, Phys. Rev. B, 1995, 52(8) :6027-604119 Wang Z. L., Xu F., Jin Y. Q. and Ogura H., A double Kirchhoff approximation for very rough surface scattering using stochastic functional approach, Radio Sci., 2005,VOL. 40, RS4011, doi:10.1029/2004RS00307920 Zh

26、ang G., Tsang L. and Pak K., Angular correlation function and scattering coefficient of electromagnetic waves scattered by a buried object under a two-dimensional rough surface, J. Opt. Soc. Am. A, 1998,15(12) :2995-3002Scattering of Waves from an Objectabove a One-dimensional Slightly Rough Surface

27、Chen ying, Wang zhi-liang, Ogura.H.(Key Laboratory of Wave Scattering and Remote Sensing Information Fudan University,Shanghai 200433)Abstract : The scattering of waves from an object above a one-dimensional random rough surface with slight roughness is studied, using the stochastic functional approach. The stochastic G