兩通道濾波器組和離散序列的小波變換-

1、2004年2月重慶大學學報第27卷第2期Journal of Chongqing University文章編號:1000-582X (200402-0087-05兩通道濾波器組和離散序列的小波變換盧山,楊浩(重慶大學電氣工程學院,重慶400030摘要:多抽樣率濾波器組理論和離散時間序列的小波變換有著密切關系。筆者從信號處理的角度研究了離散時間序列的小波變換利用樹狀濾波器組實現的方法,分析了兩通道共軛正交鏡象濾波器組理論及濾波器設計,離散時間序列的正交小波變換的快速實現以及正交小波的構造,指出了其內在聯系,最后舉例說明了正交小波變換通過共軛正交鏡象濾波器組來實現信號分解和重構的全過程。關鍵詞:濾

2、波器組;小波變換;共軛正交;離散中圖分類號:TN911.72文獻標識碼:A 多抽樣率濾波器組和小波變換已經成為信號處理 領域兩個強有力的工具。它們有著不同的起源和理論體系1-4,但現在兩者卻緊密地結合起來5-6。小波變換是20世紀80年代發(fā)展起來的應用數學工具,它不僅擴展了信號時頻聯合分析7的概念,而且在分辨率方面具有對信號特點的自適應性,小波變換在圖象壓縮8,特征提取9和閾值消噪10方面有著廣泛的應用,而比小波變換稍早發(fā)展起來的濾波器組理論是語音子帶編碼11的基礎。文中將多抽樣率信號處理和離散時間序列的小波變換結合起來,分析兩者的內在聯系和對應關系。圖1所示是一個兩通道濾波器組,其中H 0(

3、z 和H 1(z 是分析濾波器,G 0(z 和G 1(z 是綜合濾波器。分析濾波器將輸入信號x (n 分解成2個子帶信號,由于子帶信號的頻帶減小了1倍,因此可以進行2倍的抽取,綜合濾波器將子帶信號重建成信號x (n 。如果x (n =x (n 或x (n =cx (n -k ,其中c 和k是常數,稱x (n 是對x (n 的“準確重建(Perfect Re 2construction ,PR ”。圖1兩通道濾波器組小波變換可以對信號進行多分辨率分析12,即將信號在不同分辨率下分解成“概貌”和“細節(jié)”。離散時間序列的正交小波變換(后均簡稱為離散正交小波變換可以通過如圖2所示的樹狀濾波器組來實現,

4、亦即Mallat 算法用濾波器組表達的思路。圖中每一級只對上一級的低通部分進行再分解,從高通濾波器出來的信號稱為“細節(jié)”,而最后從低通出來的信號稱為“概貌”。 圖2Mallat 算法的濾波組實現收稿日期:2003-09-05作者簡介:盧山(1980-,男,四川雅安人,重慶大學碩士研究生,主要從事生物醫(yī)學信號處理、小波分析的研究。1兩通道濾波器組理論仔細分析一下圖1中的兩通道濾波器組輸入信號x (n 和輸出信號x (n 的關系,由多抽樣率信號處理的理論可以得到:X (z =12G 0(z G 1(z H 0(z H 0(-z H 1(z H 1( -z X (z X (-z (1X (z =12

5、H 0(z G 0(z +H 1(z G 1(z X (z +12H 0(-z G 0(z +H 1(-z G 1(z X (-z =T (z X (z +F (z X (-z (2其中T (z =12H 0(z G 0(z +H 1(z G 1(z ,F (z =12H 0(-z G 0(z +H 1(-z G 1(z F (z X (-z 稱為混疊分量,應為0,為使F (z =0,最直觀的選取是令G 0(z =H 1(-z (3G 1(z =-H 0(-z (4T (z 稱為“失真?zhèn)鬟f函數”,實現PR 的充要條件是T (z 為具有線性相位的全通系統,最簡單的取法是令T (z =cz -k

6、的純延遲形式,經過推導13 可以得到綜合濾波器的一般選取方法。G 0(z G 1(z =2z -kH 0(z H 1(-z -H 0(-z H 1(z H 1(-z -H 0(-z (5當給定一個低通原型濾波器H (z 后,最簡單、直接的選取方法是令H 0(z =H (z ,及H 1(z =H 0(-z ,這時H 1(e i =H 0(e j (+是H 0(e i 移位后的結果,所以H 1(e i 是高通的,且H 0(e i ,H 1(e i 是相對/2為對稱的,故稱按此方法選定的濾波器組稱為“標準正交鏡像濾波器組14(QuadratureMirror Filter Banks ,QMFB ”

7、,它是最早提出的一種兩通道濾波器組,從(3和(4可知此時的G 0(z 是低通的,而G 1(z 是高通的,文獻14已經證明這樣的選取方法,如果要實現PR ,那么H 0(z 和H 1(z 只能取純延遲的形式。H 0(z 、H 1(z 、G 0(z 和G 1(z 作為濾波器,總是希望它們的通帶盡量平坦,阻帶盡可能快地衰減,且過渡帶盡量窄,盡管PR 是最終目的,但濾波器的核心作用是信號的子帶分解,因此放棄H 1(z =H 0(-z 的簡單形式,取H 1(z =z -(N -1H 0(-z-1,H 1(z 仍是高通的,這時H 1(z 的幅頻特性雖然和標準正交鏡像濾波器組中H 1(z 的相同,但由于z 變

8、成了z -1,所以在相頻響應上多了一個共軛,故稱這樣定義的濾波器組為“共軛正交鏡像濾波器組(Conjugate Quadrature Mirror Filter Banks ,CQMFB ”。此時有G 0(z =H 1(-z =-z -(N -1H 0(z-1,令P (z =H 0(z H 0(z -1,代入前面的T (z 有T (z =12z-(N -1P (z +P (-z (6若令T (z =P (z +P (-z =2,則T (z 為一純延遲,從而實現X (z 對X (z 的準確重建,由此得到H 0(e j2+H 1(e j2=2(7即H 0,H 1滿足功率互補關系,它們是一對功率互補

9、的濾波器。CQMFB 中的2個基本事實14:事實一:滿足PR 條件的必P (Z 是一個半帶濾波器;事實二:h 0(n 和h 1(n 各自及相互之間有如下正交性:1h 0(n 和h 1(n 各自都具有偶次移位的正交歸一性,即h 0(n ,h 0(n +2k =k (8h 1(n ,h 1(n +2k =k(92h 0(n 和h 1(n 之間具有偶次移位的正交性,即h 0(n ,h 1(n +2k =0(10其中k Z ?？梢酝ㄟ^對P (z 的譜分解來設計CQMFB ,CQMFB 中各濾波器特性和P (z 存在如下對應關系。1正交性:如果滿足(8、(9和(10式,那么H 0(z 和G 0(z 是P

10、 (z 的譜因子2線性相位:如果P (z 是線性相位的,H 0(z 和G 0(z 是它的線性相位因子,那么各濾波器也是線性相位的,不幸的是在滿足正交性的前提下分解是不能得到線性相位的15,即CQMFB 中的各濾波器不具備線性相位。3有限長:如果P (z 是FIR 的,H 0(z 和G 0(z 是它的FIR 因子,那么也是有限長的。這樣就將CQMFB 濾波器的設計歸結到P (z 的設計上。2離散正交小波變換理論在實際應用中,處理的信號通常是離散時間采樣信號,需要高效實現的是這類信號的小波變換,實現它88重慶大學學報2004年的方法就是著名的Mallat 算法,Mallat 算法有多種表現形式,如

11、圖象處理中的金字塔編碼算法16,而在多抽樣率信號處理中,可以采用如圖2所示的樹狀結構濾波器組來實現。通過圖2的濾波器組將原始信號分解為一系列的“細節(jié)d j (k ”和“概貌a j (k ”。d j (k 是離散信號在尺度函數空間的離散逼近系數,而a j(k 是離散信號在小波函數空間的離散逼近系數。正交小波變換中的二尺度方程17揭示了濾波器系數和小波函數以及尺度函數之間的遞推關系。(t =2+n =-h 0(n (2t -n (11(t =2+n =-h 1(n (2t -n (12(11、(12式中的h 0(n 和h 1(n 恰是一對共軛正交濾波器組。通過推導18可以得到相臨兩個尺度下多分辨率

12、離散逼近系數d i (k 和a j (k 與這對濾波器組的關系。a j +1(k =+n =-a j (k h 0(n -2k =a j (k h 0(2k (13d j +1(k =+n =-a j (k h 1(n -2k =a j (k h 1(2k (14其中,h 0(k 和h 1(k 是h 0(k 和h 1(k 序列的翻轉,即h (k =h (-k 。初始化時,簡單的方法是假定a 0(k =x (k 。在用濾波器組實現時,由于信號的濾波可以引入FF T ,因此離散信號的小波變換就找到了一條快速實現的途徑,并且可以通過這對共軛正交濾波器組來遞推尺度函數(t 和小波(t 。Daubech

13、ies 通過這種方法構造了一系列小波,即Daubechies 小波(db 小波。下面用db 小波中最簡單的 db1小波,即Haar 小波為例來闡述兩通道濾波器組和離散小波變換的內在聯系,并用濾波器組結構來實現離散小波變換的分解和重構,如圖3所示。圖3Haar 小波函數、尺度函數及其所對應的濾波器系數和頻率響應Haar 小波的尺度函數(t ,小波函數(t 以及對應的濾波器組如下:(t =10t 1其它(t =10 t 1/2-11/2t 1其它h 0(n =12,12 h 1(n =12,-12為簡單起見,設定要分解的信號為a ,b ,分解和重構的過程如圖4所示,從圖中可以清楚地看到Haar 小

14、波實現信號分解和重構的全過程。圖4Haar 小波實現的信號分解和重構3共軛正交濾波器組系數和小波函數既然離散正交小波變換可以用共軛正交濾波器組的樹狀結構來實現,那么由這對濾波器組系數構造出的小波的特性和濾波器組系數特性之間有什么關系呢?1正交性:如果h 0(n 和h 1(n 滿足(8、(9和(10式的正交性,那么由它們遞推出來的尺度函數(t 和小波函數(t 滿足下面的正交性,因此稱共98第27卷第2期盧山等:兩通道濾波器組和離散序列的小波變換軛正交濾波器組實現的小波變換是正交小波變換14。(t ,=k ,=k ,=02有限支撐:如果H 0(z 、H 1(z 、G 0(z 和G 1(z 是FIR

15、 濾波器,那么遞推出的尺度函數(t 和小波函數(t 是時域有限支撐的14。3對稱性:如果H 0(z 、H 1(z 、G 0(z 和G 1(z 是線性相位的濾波器,那么構造的尺度函數(t 和小波函數(t 是對稱或反對稱的。從前面的推導可知CQMFB 中各濾波器均不是線性相位的,因此構造的db 小波也不滿足對稱性,如果要構造對稱或反對稱小波,只能犧牲正交性,取而帶之雙正交關系19。從這3條對應關系,可以看到,要設計的正交小波的特性,完全可以通過對其所對應的共軛濾波器組加以相應的約束來實現,而滿足一定特性的濾波器組設計又可以歸結到半帶濾波器P (z 的設計上。4應用舉例這里給出用db12小波對心電信

16、號進行分解和重構的全過程,這是提取心電信號各頻段的成分的一種很簡便的方法,這個過程完全由db12小波所對應的共軛正交鏡象濾波器組來實現。為簡單示意只對原始信號進行2層分解和重構。db12小波所對應共軛正交鏡象濾波器組的如圖5所示,分解濾波器h 0(n 和h 1(n 與綜合濾波器g 0(n 和g 1(n 的幅頻特性顯然滿足(7式的功率互補關系。分解得到的第1、2層細節(jié)信號和第2層概貌信號如圖6所示,最大重建誤差為7.133210-14,可以看到分解的層數越高,信號的頻段劃分越細致。如果對分解后的信號進行一定的處理:如編碼,調制,那么就可以實現信號的壓縮和遠距離傳輸了 。圖5db12小波函數、尺度

17、函數和對應 的濾波器組及其幅頻特性圖6心電信號的2層小波分解與重構5總結從多抽樣率信號處理的角度描述了離散時間序列的正交小波變換實現途徑和正交小波的設計方法,它是通過樹狀濾波器組對信號頻帶進行逐層分解來實現多分辨率分析的,正交小波的設計由于可以通過它所對應的共軛正交濾波器系數來遞推,把設計要求最終放在了半帶濾波器P (z 的設計上,最后舉例說明了小波變換通過濾波器組來實現信號分解和重構的全過程。參考文獻:1ING RID DAUBECHIES.Where D o Wavelets C ome From ?APersonal Point of View J .Proceedings of the

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