實(shí)變函數(shù)論課后答案解析第四章

1、* *實(shí)變函數(shù)論課后答案第四章 1第四章第一節(jié)習(xí)題1. 證明： e 上的兩個(gè)簡單函數(shù)的和與乘積都還是e 上的簡單函數(shù)nmnmi證明：設(shè)fcie (x) ， gdifi (x) ，這里ei i1 互不相交，fii 1i 1i 1互不相交令k ijeifj ， 1in,1jmaijcid j ， 1in,1jmnmnm則易知fgcie(x)d jf( x)(cid j )ef ( x)ijiji 1j 1i 1 j 1先注意：若mkk i，k i 互不相交， 則k ( x)mik ( x)（ mi 1i 1可為無窮大）（ xk ， i 使xki ，ik ( x)1k ( x) ，xk ,k ( x

2、)0 ， 且 i ， xki 則k i ( x)0 ）mmmmiijijijij且 e( e(f )(e(f )c )(ef)(e(f ) c)j 1j 1j 1j 1e (x)m( x)mm( x)ef ( x)m(x)i( ef)(e(f )c )j 1i( e(f ) c )ijijijj 1j 1j 1同理：nf (x)ef ( x)m(x)jijf(e )ci 1jii 1nmifgcie ( x)jdjf ( x)i 1j 1nmmnci (i 1j 1eifj( x)me (f(x)ijji)cd j (j 1i 1eif j( x)mf (e )c( x)j 1i 1nmnmi

3、 1 j(ci1d j )eifj(x)cii 1em(f )c( x)d jj 1fm(e ) c( x)ijjij 1i 1這顯然還是一個(gè)簡單函數(shù)，因?yàn)槿?i,j )( k,l ) ，則( eifj )(ekfl )mm( e(f ) c)( e(f ) c )，（ ik ）ijkjj 1j 1jiklmm( f(e ) c)( f(e ) c)，（ jk ）i 1i 1mm( e(f ) c)( f(e )c )，（ i, k ）ijkij 1i 1( ef)( emijij(f ) c)，j 1顯然，e ( x)f ( x)ef (x) ，iiiiiiij事實(shí)上，xeifj ，e (

4、x)f (x)1e ( x)f ( x)若 xeifj ,xei 或xfi則 e ( x)f (x)0ef (x)iiijnmnmfg(cie( x)(djf( x)ci d je( x)f (x)ijiji 1j 1i 1 j 1nmci d jejf ( x)ii 1 j 1當(dāng)(i , j )( k,l ) 時(shí)( eif j )( ekfl )(eifk )(e jfl )則 fg 也是簡單函數(shù)ar1，顯然af ( x)naciei ( x) 仍為簡單函數(shù)i 12. 證明當(dāng)f ( x) 既是e1 上又是e2 上的非負(fù)可測函數(shù)時(shí)，f ( x) 也是e1e2上的非負(fù)可測函數(shù)證明：顯然f ( x

5、)0 于e1 ，且f ( x)0 于e2 表明f ( x)0 于 e1e2又 ar1 ， e1e2 x |f (x)ae1x | f ( x)ae2x | f ( x)a由于 f 在e1 ，e2 上分別可測， e1x| f (x)a 和e2x | f ( x)a均 為 可 測 集 ， 從 而 由p61推 論2，e1 x |f (x)ae2x | f ( x)ae1e2x | f ( x)a為 可 測 集 ， 再 由p101th1 知 f 在 e13. 設(shè) me，e2 上可測或直接用 p104th4 的證明方法 .f ( x) 是e 上幾乎處處有限的非負(fù)可測函數(shù)，證明對0 ，都有閉集fe ，使m

6、( ef )，而在 f 上f (x) 是有界的證明：令 e0e x |f (x)0， ee x |f (x)e，由條件 f 在 e 上幾 乎 處 處 有 限 ， me0. 由f ( x)可 測 于 e上 知 ，e0e x |f ( x)0e x |f (x)0是可測集（ p103th2,p64th4可測集的交仍可測） 令ee x;0f ( x)， akex;1kf ( x)k，則akex;f (x)kex; 1f (x)可測， ea ，且kakak 1kk 1由 p64th5m(e)limkmak，而 me，則m(e )故0 ，k0使 0m( e )mak，而 ak02e 故m( eak )0

7、20k0由 e0 ， a可測， 閉集 f1ak，m( akf1)， 閉集 f08e0 使00m( e0f0)8令ff1f0 ，則 f 為閉集，且在 f 上 0f (x)k0由于 ef， efee0efe( e0ef )又e0efe0ef0f(e0f0 )(ef1)而ef1(eak )( akf1) ，故00m( ef )mem( e0ef0f )0m( e0f0)m( ef1)0m( eak )8m( akf1)82842證畢.04. 設(shè)f n ( x)是可測集合 e 上的非負(fù)可測函數(shù)序列，證明：如果對任意0，都有me x |n 1f n( x)，則必有 limfn (x)0a.e于 en又問

8、這一命題的逆命題是否成立？證明：fn (x) 非負(fù)可測，令 e0e x | limnfn (x)0則由 ch1. §1 習(xí)題 8 的證明方法：（ p11, 見前面的習(xí)題解答）x | f ( x)0e0ex |1fm (x)k 1 n1 m nk（一般，ex | limf n( x)f ( x)ex |fm (x)1f ( x) |）nk 1 n1 m nk在本題的假設(shè)下，我們需證m( ee0 )0由 demorgan 公式c11ee0ex |fm (x)eex | f m ( x)k 1 n1 m nkk 1 n 1 m nk（ fm (x) 可測，故ex |f m( x)1為可測集

9、）k故而 m(ee0 )mex | fm ( x)k 1n 1 m n1k所以我們只用證k, mex | fm ( x)1k0n 1 mnk,nnmex | f ( x)m1kmex | f ( x)m1kex | f ( x)mn 1 m nm nm n1k由于me x | f ( x)n，故 limex | f(x)1k0n 1nmm nmex | f ( x)m1klimnex | f (x)m1k0n 1 m nm n故m( ee0 )0 得證，即 lim f n( x)n0a.e 于 e逆命題一般不成立e x | f n( x)的必要條件是n 1nlim e x | f n( x)0

10、當(dāng) me時(shí)， f n ( x)f ( x) 不能推出 f n( x)f ( x) 于e（ 0, n1 于 r1 ，但0, n不1 于 r1 ）當(dāng) me時(shí)， fn (x)f (x)a.e于 e ， f n( x)f ( x) 于e但不能保證e x | fn ( x)n 1設(shè) me， f ( x) 在 e 上 非負(fù) 可 測 ， 證 明對 于 任 意 y ，ye x | f ( x)y都是可測的，進(jìn)而證明使mey0 的 y 最多有可數(shù)5e多個(gè)證明：因?yàn)閒 ( x) 在e 上可測， p103,th2yr1, e x | f( x)y都是可測集，從而e x |f (x)ye x | f( x)ye x

11、|f (x)y 也是可測集顯然，e x | me0yyk1e x | me1 k下證： kn ， e x| mey1 要么是空集，要么是有限集k1事實(shí)上， 若 k0使e x | mey 為無限集， 則由 p18,th1, 存在可k0數(shù)集y1, y2, yn,1e x | mey k0ij由于 yiy j 時(shí)eyey，ie ye ，i 1mem(ie yi )1meyii 11矛盾i 1 k06. 證明：如果f ( x) 是rn 上的連續(xù)函數(shù)， 則f ( x) 在rn 任何可測子集e 上都可測 .證 明 ：ar1， 則 從f ( x) 是rn 上 的 連 續(xù) 函 數(shù) ， 我 們 易 知af x

12、| xrn,f (x)a 是開集.事實(shí)上若x0fa ，f ( x0)a則從 fc( rn )，0 使xb(x0,) ，f ( x)f (x0)(af( x0 )a則b( x0 ,)fa ，故fa 是開集，從而可測 .而e 可測，故 e x |f ( x)a fae 作為兩個(gè)可測集的交也可測，這說明 f ( x) 在e 上可測（ p103,th2 ）.7. 設(shè)f ( x) 是r1可測集 e 上的單調(diào)函數(shù)，證明f ( x) 在 e 上可測.證明：不妨設(shè)f ( x)在 e 上單調(diào)不減，即x1, x2e ，若 x1x2 ，則f ( x1)f (x2)ar1 ，我們來證明 e x |f (x)a 是可測

13、集，這樣由本節(jié)定理 2 知 f (x) 可測于 e （ p103 ）.a若ar1 使得 e x |f ( x)a，則顯然ea 可測若ar1 使得ea，此時(shí)若令 y0sup ea ，則要么y0，要么 y0（1） 若 y0， 則 m ,mymea ， 故xe,m x 使xy mxea ，由 f ( x)在 e 上單調(diào)不減，我們有f ( x)f ( ym )a ，即eeae ，x從而 eae 為可測集（2） 若 y0，則要么 y0e ，要么 y0e若 y0e ，則f ( y0 )a ，此時(shí) xe(, y0) ，yxea , xyxy0， 由f (x)單 調(diào) 不 減 于 e知 ，f ( x)f ( y

14、x )a故e(, y0 )ea ，而 y0ea ，從而有e(,y0eae(, y0 ，故 eae(,y0為可測集.若 y0e ，而f ( y0 )a ， y0ea ，則 x(, y0 )e ，yxea , xyxy0 xyxy0 ，f ( x)f ( yx )a則(, y0)eea(, y0)e即ea(, y0)e 為可測集 .若 y0e ，則 y0ea ，同樣可證 eae(, y0)e 可測.若 f ( x) 單調(diào)不增，則f ( x)在 e 上單調(diào)不減，從而可測，故(f ( x)f (x)在e 上可測.8. 證明rn 中可測子集 e 上的函數(shù)f (x) 可測的充要條件是存在 e 上的一串簡單

15、函數(shù)m ( x) 使f (x)limmm (x)（ xe ）證明：（ 1） e 上的簡單函數(shù)是可測的；設(shè) ( x)micie( x) 為 e 上的簡單函數(shù)，meei , ei 互不相交， eii 1i 1為e 的可測子集， 易知，i ,e (x)是可測的（f (x) 可測f 是可測集）i故由 p104th5 ， ciei ( x) 可測，micie ( x)i 1可測，由此， 若 存在 e 上 的一 串簡 單函數(shù)m (x) ，f ( x)limmm (x)（ xe ） 則從m (x)可測，且 limm (x) p107 推論 2，f ( x) 在 e 上可測m（2 ）若f ( x) 可測，則由

16、 p107th7 ， f, f都是非負(fù)可測的，故由定義存在簡單函數(shù)列n ( x) ，n (x)，（ n1,2,）， n( x)f( x) ，n ( x)f( x)（ xe ）顯然，n ( x) 也是簡單函數(shù)， 由本節(jié)第一題，n ( x)n ( x)n ( x) 仍為簡單函數(shù)，且12n( x)f (x)（ xe ）.證畢.9. 證明：當(dāng)f1 (x) 是erp ，f2 ( y) 是erq中的可測函數(shù)，且f1(x)f 2( y) 在ee1e2 上幾乎處處有意義時(shí)，f1 (x)f 2( y) 是e 上的可測函數(shù).p證明：（ 1）若erp ， frq 分別是rp ， rq 中的可測集，則函數(shù)ar1 ，f

17、 ( x, y)e ( x)f ( y) 是 rrq 上的可測函數(shù)，事實(shí)上，若a0 ，則 ( x, y)rprq |f ( x, y)arprq 是可測集若a1 ，則 ( x, y)rprq |f (x, y)a是可測集若 0a1，則 (x, y)rprq| f (x, y)aef 是可測集（ p72th1 ）(1) 推出 (2):cr1 , erp 可測, frq 可測，則c e ( x)f ( y)在rprq 上可測.現(xiàn)在來證明本題結(jié)論：f1(x) 在e1上可測， 故由本節(jié)第 8 題結(jié)論， 存在e 上的簡單函數(shù)列( x)mna(n )( n) ( x) ，mnee( n)，1niei1ii

18、 1i 1ije( n)e( n )（當(dāng)ij ）使 得 n (x)f1( x) ，xe1同樣，從f 2 在e2 上可測知，存在e2 上的簡單函數(shù)列n ( y) ，使n ( y)f2 ( y) 于e2 上.從上述（ 1 ）（ 2 ）知，n ( x)( y) 在rprq 上可測，且nn ( x)n ( y)f1( x) f 2( y) 于 e1e2 上12由上 p107 推論 2 知f (x) f( y) 在rprq 上可測.證法二（更簡單）將f1 (x) ，f 2( y) 看成 (x, y) 的函數(shù)121112ar1， ee( x, y) | f(x)ae( x, y) |f ( x)ae111

19、12從 f (x) 在e 上可測知， e(x, y) |f ( x)a 為rp 中的可測集， e 可測，故e( x, y) |f ( x)ae 為rprq 中的可測集，故 ee(x, y) |f ( x)a112121為rprq 中的可測集，則f1( x) 作為ee1e2 上的函數(shù)是可測的同理，f2 ( y) 在e 上也可測， p104th5得f1 (x)f 2( y) 在e 上也可測.10 證明：如果f ( x) 是定義于rn 上的可測子集 e 上的函數(shù)，則f (x)1在e 上可測的充要條件是對r1中 borel 集合 b ， f1( b)e x |f ( x)b都是 e 的可測子集，如果f

20、 ( x) 還是連續(xù)的，則 f( b) 還是 borel 集（提示：用b1 表示r1 中那些使f1( b) 是 e 上的可測子集的 b 所構(gòu)成的集111合族，比較b 和r1 中的 borel 集合類 b ）.證明：記 b1br | f(b) 是e上的可測子集，我們來證明b1 是一個(gè) -代數(shù)1） ）b1 ： f1()顯然是 e 的可測子集2） ） 若 ab1 ， f1( a) 是e 的可測子集，則f 1( ac )f 1(r1a)f1(r1)f1( a)ef 1( a)也是 e 的可1測子集（ p61 推論 1）則 acbi3） ） 若 aib1 ，（ i1,2,）則 i ， f1( a )是e

21、 的可測子集，iif 1 (a )f 1 ( a ) 也是 e的可測子集，故abi1i 1i 1i 1故 b1 是一個(gè) - 代數(shù)現(xiàn)在，若 f : er1 是一可測函數(shù)，則1f(a,b)e x | af(x)be x |f (x)be x | af(x)是為可測集（則(a, b)e x |b1f (x)b ， e x | af ( x) 都是可測集（ p60th2 ）1故b1 包含所有的 r 上的開集（由一維開集的構(gòu)造） ，從而包含所有的 borel 集，這就證明了borel 集， f1(b) 是e 的可測子集1反過來，若borel 集， f(b) 是 e 的可測子集，則由于ar1 ，(, a)

22、 為開集，故是 borel 集知 f1 (,a)e x |f (x)a 為可測集， 故f 是e 上的可測函數(shù) .令b22ab , acbr1 | fb2 ；1(b)為borel集，則一樣： （ 1 ）b2 ；（ 2 ）（3 ）a1, a2 ,b2 ,aii 1b2 ，故b2 也是一個(gè) - 代數(shù)若 f 連續(xù)，則 (a, b)（ a,br1） f1(a, b) 是開集（相對于e ）,從而是 borel 集，故 (a,b)b2 ，從而b2 包含所有的 borel 集，1故 borel 集 b ， f(b) 同樣為 borel 集若 f : rnrn 的同胚，則 f 將borel 集映為可測集11 設(shè)

23、f (x) 是e 上的可測函數(shù)，g ( y) 是r1 上的連續(xù)函數(shù)， 證明： gf ( x)是e 上的可測函數(shù)（注意：如果f (x) 在rn 上連續(xù)，g ( y) 在r1上可測，g f( x) 未必可測，特別是f ( x) ， g ( y) 都可測時(shí)，g f ( x) 未必可測）r證明： a1 ，從 g 連續(xù)知， 1) 顯然為r1 上的開集，由r1 上g( a,的開集的構(gòu)造定理知（本書上只證了有界開集，事實(shí)上，無界開集也有類似的構(gòu)造）， 至多可數(shù)個(gè)互不相交的開區(qū)間i n 使 gmn1 (a,)in 1（ m 有限或）mm而 f1 保持集合關(guān)系不變，即f 1 (ni n )11f( i n )n

24、 1，而 f 可測，1故 f(imn) 可測，故 f1(i n) 可測，從而有n 1e x | g( f (x)a(gf )1(a,)f 1 (g1( a,)f1(mmi n)f 1( i )nn 1n 1可測，故 gf (x) 是 e 上的可測函數(shù)存在反例：實(shí)分析中的反例 ，可測函數(shù) f 和連續(xù)函數(shù) g 構(gòu)成不可測的復(fù)合函數(shù) fg設(shè)e 是0,1 中具有正測度的 cantor 集，令( x)m(0, x(0,1e )（無處稠密完備集m(0,1e)p70, 習(xí)題 1 ）則 是由0,1 到0,1 上的一個(gè)同胚映射， p54 習(xí)題 3 的證明過程中（見周民強(qiáng)書 p84 ），已知，若 m* e，ea,

25、b ，m* (0, xe) 是 a, b上的連續(xù)函數(shù)故 從 0,1e0,1 知 ，( x)m(0, x(0,1e )是 連 續(xù) 函 數(shù) ：m(0,1e)0,10,1(0)0,(1)1 且 是嚴(yán)格遞增的因e 是完備集，故 e 是自密閉集， 0,1e 是相對開集（或ec 是開集），0,1e0,1ec ， 0,1ec 是開集x, y0,1 ， yx( y)( x) m(0,y(0,1e )m(0,x(0,1e)1 m(0,1e)1 m(0,1m( x,e)y(0,1e )1 m(0,1m( x, y)(0,1)e)e )注意： e 是無處稠密 集， 故 z(x, y)， 使 ze ， z(0,1)e ，z( x, y)(0,1)e)由于 (x, y)(0,1)e) 為開集，故0 ，使(z, z)(x, y)(0,1e)則 m( x, y)(0,1)e)m(z, z)20故 ( y)( x) ，即 ( y) 嚴(yán)格單調(diào)，從而 0,1 到0,1 上的一個(gè)同胚映射設(shè) (0,1)e 這一有界開集可寫成互不相交的構(gòu)成區(qū)間的并，(0,1)e(k ,k ) ，從而m(0,1e)m(0,1)e)(kk ) ，又因?yàn)閗 1k 1(k )(k )m(0,k (0,1e