向量知識(shí)點(diǎn)歸納

1、向量知識(shí)點(diǎn)的歸納一、知識(shí)梳理：（1）本章要點(diǎn)梳理：1、 向量加法的幾何意義：起點(diǎn)相同時(shí)適用 平行四邊形法則（對角線），首尾相接適用“蛇形法則”1特別注意：一（AB AC）表示 ABC的邊BC的中線向量。向量減法的幾何意義：起點(diǎn)相同2適用三角形法則，（終點(diǎn)連結(jié)而成的向量，指向被減向量），|AB|表示A、B兩點(diǎn)間的距離；以a、b為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線分別表示向量a + b、a b （或b a ）。2、理解單位向量、平行向量、垂直向量的意義。? 與非零向量a同向的單位向量ao，叫做a的單位向量。而a。都與a共線（與a反向|a|的單位向量為-ao）。|a|3、兩向量所成的角指的是兩向量方向所成

2、的角；兩向量 數(shù)量積a b |a|b|cos a,b ；其中fr| b |cos a, b 可視為向量b在向量a上的投影。2 24、 向量運(yùn)算中特別注意 a |a|2的應(yīng)用。研究向量的模常常先轉(zhuǎn)化為模平方再進(jìn)行向量運(yùn)算。另外，有關(guān)向量的運(yùn)算也可以利用數(shù)形結(jié)合的方法來求解，有些題目就可以由作圖得解。x i y j的“簡5、向量的坐標(biāo)運(yùn)算是高考中的熱點(diǎn)內(nèi)容，向量的坐標(biāo)形式實(shí)質(zhì)上是其分解形式 記”。其中i,j分別表示與x軸、y軸正方向同向的單位向量。6、利用向量求角時(shí)，要注意范圍。兩向量所成角的范圍是0,。特別注意：a b 0不能等同于a,b所成角是銳角，因?yàn)楫?dāng)a,b同向時(shí)也滿足a b 0 ；同樣的

3、道理，a b 0不能等同于a,b 所成角是鈍角，因?yàn)楫?dāng) a,b反向時(shí)也滿足a b 0。2例l是過拋物線y 2px（p 0）焦點(diǎn)的直線，它與拋物線交于 A、B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則厶ABO是（ ）A、銳角三角形；B、直角三角形；C、鈍角三角形；D、不確定與P值有關(guān).分析：由直線l過焦點(diǎn)F(-,0)，設(shè)其方程為x my -，聯(lián)立得:y2 2pxp，即:x my 22 2y 2pmy p 0,則屮 y2p，又 Xi X22222p 2p 4OA OB x1x2 y1y23p240 ,貝U AOB一定是鈍角選C.2 27直線l的向量參數(shù)方程式：A、P、B三點(diǎn)共線 則OP (1 t )OA tOB8關(guān)注

4、向量運(yùn)算與三角函數(shù)綜合是高考中的常見題型例已知向量 a2cosx,1,b cosx, 3sin2x,xR.設(shè) f(x) a b.()若f (x)1, 3且x ,，求x的值；若函數(shù)y 2sin 2x的圖像按向量3 3c m, n(| m |)平移后得到函數(shù)y2f (x)的圖像，求實(shí)數(shù) m, n的值.解析：(1) f (x) 2cos2 x . 3 sin2x cos2x 1 、3sin 2x 2sin(2x) 1 ,6易得x. (2)函數(shù)y 2sin(2x -) 1是由函數(shù)y 2sin 2x的圖像向左平移，再把4 612所得圖像向上平移1個(gè)單位而得，所以 m,n 1.12二、易錯(cuò)、易混、易忘點(diǎn)梳

5、理：【易錯(cuò)點(diǎn)1】涉及向量的有關(guān)概念、運(yùn)算律的理解與應(yīng)用，易產(chǎn)生概念性錯(cuò)誤。*FRf-*#*F-*OOA例 1.下列命題： (a) |a | (a b) c (a c) b | a b |=| a | | b | 若 a /*¥*f*+F-b ,b / c ,則a / c a / b，則存在唯一實(shí)數(shù)入，使 b a 若a c b c，且c豐»* *« #o，則a b設(shè)ei ,e2是平面內(nèi)兩向量，則對于平面內(nèi)任何一向量a，都存在唯組實(shí)數(shù) x、*PF*F-F-*y, 使 a xeye2 成立。若 | a + b |=| a b | 貝y a b =0。 a b =0,貝y

6、 a = 0或 b =0。其中真命題的個(gè)數(shù)為()A. 1B. 2C. 3D. 3 個(gè)以上r r r 2解析：正確。根據(jù)向量模的計(jì)算 a?a a判斷。錯(cuò)誤，向量的數(shù)量積的運(yùn)算不滿足交換律,這是因?yàn)楦鶕?jù)數(shù)量積和數(shù)乘的定義(；b b表示和向量b共線的向量，同理(；b) c表示和向量c共線的向量，顯然向量 b和向量c不一定是共線向量，故 (；b) ： (； ：) b不一定成立。 r r r r錯(cuò)誤。應(yīng)為a?b a b錯(cuò)誤。注意零向量和任意向量平行，非零向量的平行性才具有傳遞性。錯(cuò)誤。應(yīng)加條件“非零向量a”。錯(cuò)誤。向量不滿足消去律。根據(jù)數(shù)量的幾何意義，只需向 量b和向量b在向量c方向的投影相等即可，作圖

7、易知滿足條件的向量有無數(shù)多個(gè)。錯(cuò)誤。注 意平面向量的基本定理的前提有向量& ,氏是不共線的向量即一組基底。正確。條件表示以兩向量為鄰邊的平行四邊形的對角線相等，即四邊形為矩形。故a b=o。錯(cuò)誤。只需兩向量垂直即可。答案：B【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】在利用向量的有關(guān)概念及運(yùn)算律判斷或解題時(shí)，一定要明確概念或定理成立 的前提條件和依據(jù)向量的運(yùn)算律解答，要明確向量的運(yùn)算和實(shí)數(shù)的運(yùn)算的相同和不同之處。一般 地已知a,b,c和實(shí)數(shù)入，則向量的數(shù)量積滿足下列運(yùn)算律：ab = ba (交換律)(入a)b =入(ab)=a(入b)(數(shù)乘結(jié)合律)(a + b )c=ac + bc (分 配律)說明：(1) 一

8、般地，(ab ) ca(bc) (2)有如下常用性質(zhì)：a 2 =|a| 2, (a2 2 2 :+ b) (c + d)=ac + ad + bc + bd,( a + b ) =a +2ab + b【練習(xí)】設(shè)a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共線,則(a b) c-( c a) b=0 |a|22|b|<|a b| (b c) a-( c a) b 不與 c 垂直(3a+2b) ( 3a-2b) =9|a| 4|b| 中， 是真命題的有()A. B. C. D.答案：D【易錯(cuò)點(diǎn)2】利用向量的加法、減法、數(shù)量積等運(yùn)算的幾何意義解題時(shí)，數(shù)形結(jié)合的意識(shí)不夠， 忽視隱含條件。例 2.四邊

9、形 ABCD 中，AB = a , BC = b , CD = c , DA = d，且 ab = bc = cd= da ,試問四邊形 ABCD是什么圖形？【易錯(cuò)點(diǎn)分析】四邊形的形狀由邊角關(guān)系確定，關(guān)鍵是由題設(shè)條件演變、推算該四邊形的邊角量， 易忽視如下兩點(diǎn)：(1)在四邊形中， AB , BC , CD , DA是順次首尾相接向量，則其和向量 是零向量，即a + b + c + d= 0,應(yīng)注意這一隱含條件應(yīng)用；(2)由已知條件產(chǎn)生數(shù)量積的關(guān)鍵 是構(gòu)造數(shù)量積，因?yàn)閿?shù)量積的定義式中含有邊、角兩種關(guān)系。解：四邊形 ABCD是矩形，這是因?yàn)橐环矫妫河蒩 + b + c + d= 0得a + b=

10、(c + d)，即2 2 2 2 2 2(a + b ) = (c + d) 即 |a|+2ab+|b|=|c|+2cd+|d| 由于 a b= cd,：|a|2 +|b|2 =|c|2 +|d|'同理有 |a|'+|d|2 =|c|2 +|b| 2由可得|a| = |c| ，且|b| = |d|即四邊形ABCDW組對邊分別相等四邊 形ABCD是平行四邊形.另一方面，由玄b = bc,有b (a c) =0 ,而由平行四邊形 ABCD 可得a = c，代入上式得b(2 a ) = 0即ab = 0,. aXb也即AB丄BC。綜上所述，四 邊形ABCD是矩形.【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】向

11、量是高考的一個(gè)亮點(diǎn)，因?yàn)橄蛄恐R(shí)，向量觀點(diǎn)在數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科的很i多分支有著廣泛的應(yīng)用，而它具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份”能融數(shù)形于一體，能與中P學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的許多主干知識(shí)綜合，形成知識(shí)交匯點(diǎn)，所以高考中應(yīng)引起足夠的重視?；谶@一點(diǎn)解決向量有關(guān)問題時(shí)要樹立起數(shù)形結(jié)合，以形助數(shù)的解題思路。例如很多重要結(jié)論都可用這種思想直觀得到：(1)向量形式的平行四邊形定理：2 (1a I2+ I b |2)=I a b I 2+ Ia + b | 2 (2)向量形式的三角形不等式：丨丨a |-I bI I<I a ± bI < Ia I + I b I(試問：取等號(hào)的條件是什么

12、？)等有用的結(jié)論?！揪毩?xí)】(1)點(diǎn)0是 ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足OAOBOB OCOCOA，則點(diǎn)O是ABC 的( )(A)三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)(B)三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)(C)三條中線的交點(diǎn)(D)三條高的交點(diǎn)(2) ABC的外接圓的圓心為O,兩條邊上的高的交點(diǎn)為 H, OH m(OA OB OC)，則實(shí)數(shù)m =答案：(1) D(2) m=1【易錯(cuò)點(diǎn)3】忽視向量積定義中對兩向量夾角的定義。R例 3.已知 ABC 中，a 5,b8,c7,求 BC?CA.(答案:-20)【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】高中階段涉及角的概念不少，在學(xué)習(xí)過程中要明確它們的概念及取值范圍，如直線的傾斜角的取值范圍是0 ,18

13、0 ，兩向量的夾角的范圍是0 ,180 ，注意向量的夾角是否為三角形內(nèi)角?！疽族e(cuò)點(diǎn)4】向量數(shù)積性質(zhì)的應(yīng)用。例4.已知a、b都是非零向量，且 a + 3b與7a 5b垂直，a 4b與7a 2b垂直，求a與b的夾角。解析：本題應(yīng)依據(jù)兩向量夾角公式樹立整體求解的思想。答案：60?！局R(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】利用向量的數(shù)量積的重要性質(zhì)結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算可解決涉及長度、角度、 垂直等解析幾何、 立體幾何、代數(shù)等問題，要熟記并靈活應(yīng)用如下性質(zhì)：設(shè)a與b都是非零向量,a與b的數(shù)量積的幾何意義是向量a在向量b方向的單位向量正射影的數(shù)量a±bab =0aaa 1= a a a2 cosQ =I ab Iw I

14、a I 1 b I【練習(xí)】(1)已知向量a(1,2),b(2, 4), C r r r 5 r r.5,若(a b) c 則a與c的夾角為(2A. 30° B. 60° C. 120°D. 150°答案：C (注意 b 2a)r r rr r r r(2已知向量a豐e, |e|= 1，對任意t r，恒有|a tep|a e|,則( )r rr r rr r rr r r r(A) a 丄 e (B) a 丄(a e) (C)e丄(a e) (D)( a + e)丄(a e)答案：c【易錯(cuò)點(diǎn)5】向量與三角函數(shù)求值、運(yùn)算的交匯例 5、a (1 cos ,si

15、n ), b (1 cos ,sin ), c (1,0),(0, ),( ,2 ) , a 與 c 的夾角為B i, b與c的夾角為B 2,且12_,求sin的值32【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題在解答過程中，學(xué)生要將向量的夾角運(yùn)算與三角變換結(jié)合起來，注意在用已 知角表示兩組向量的夾角的過程中，易忽視角的范圍而導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)論。解析：- 2 r 2a (2cos ,2sin cos) 2cos (cos , sin ), b (2sin,2sincos )2 2 2 2 2 2 2 2 22si n(s in,cos ) Q2 2 2(0,),(,2),(2,故有2sin cos22cos2 2|a| |c

16、|2cos 2cos ,2b ccos 2 -r|b| |c|2sin2 22sin2s%,° i，從而sin 6 2sin6【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】當(dāng)今高考數(shù)學(xué)命題注重知識(shí)的整體性和綜合性，重視知識(shí)的交匯性，向量是 新課程新增內(nèi)容，具體代數(shù)與幾何形式的雙重身份。它是新舊知識(shí)的一個(gè)重要的交匯點(diǎn)，成為聯(lián) 系這些知識(shí)的橋梁，因此，向量與三角的交匯是當(dāng)今高考命題的必然趨勢。高考對三角的考查常 常以向量知識(shí)為載體，結(jié)合向量的夾角、向量的垂直、向量的?；蛳蛄康倪\(yùn)算來進(jìn)行考查學(xué)生綜 合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力?！疽族e(cuò)點(diǎn)6】向量與解三角形的交匯例6. AABC內(nèi)接于以O(shè)為圓心，1為半徑的圓，且3OA +

17、4OB + 5OC= "o。求數(shù)量積，OA OB , OB OC , OC oA;求 從BC的面積?！舅季S分析】第1由題意可知3OA、4OB、5OC三向量的模，故根據(jù)數(shù)量積的定義及運(yùn)算律將一向量移項(xiàng)平方即可。第 2問據(jù)題意可將已知三角形分割成三個(gè)小三角形利用正弦理解答。解析：/ | OA|=| OB|=| OC|=1 由 3Oa 4看 5Oc=O 得：3Oa 4Ob=- 5&兩邊平方得：9""A+24(3A- OB+ 16<3B=25<3C. "Sa- OB=0同理：由 4鬲 5OC=- 3""A求得"b4 由 3Oa 50c=- 4O"B 5求得 oA- OC=- 35由 OA- OB=0,