第四章 投影變換_圖文

1、第四章投影變換 章節(jié)目錄第一節(jié)第二節(jié)第三節(jié)第四節(jié)第五節(jié)投影變換的目的和方法變換投影面法旋轉(zhuǎn)法以平行線為軸的旋轉(zhuǎn)法度量問(wèn)題和定位問(wèn)題舉例 學(xué)習(xí)內(nèi)容及學(xué)習(xí)重點(diǎn)學(xué)習(xí)內(nèi)容:投影變換的目的投影變換的方法學(xué)習(xí)重點(diǎn):投影變換問(wèn)題的提出投影變換的方法第一節(jié)投影變換的目的和方法求點(diǎn)到直線的距離的三種情況以圖(a情況為最方便(因?yàn)樵谕队皥D上可以直接反映它們之間的距離。而后面兩種情況,就需要用到一些輔助性的作圖。1.如何求一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)?2.如何求一般位置平面的真實(shí)大小?解決的方法:改變已知形體對(duì)投影面體系的相對(duì)位置,以達(dá)到簡(jiǎn)化定位問(wèn)題和度量問(wèn)題的解答。二、投影變換的方法兩種變換方法:1.變換投影面法(換面法保

2、持原直角投影面體系不動(dòng),將空間幾何元素繞某個(gè)選定的軸旋轉(zhuǎn)。§41投影變換的目的和方法 學(xué)習(xí)內(nèi)容及學(xué)習(xí)重點(diǎn)學(xué)習(xí)內(nèi)容:基本原理基本作圖問(wèn)題學(xué)習(xí)重點(diǎn):換面法的六個(gè)基本作圖問(wèn)題第二節(jié)變換投影面法(換面法一、新投影面選擇原則V HAB a 'b 'a b1.新投影面必須對(duì)空間形體處于最有利的解題位置。2.新投影面必須垂直于某一保留的原投影面,以構(gòu)成一個(gè)相互垂直的兩投影面的新體系。V 1a 1b 1X 1X平行于新的投影面垂直于新的投影面V HXX 1Aa xa 'a a 1 'a x 1V 1(1換V 面原H 面保持不變,以新的V 1面替換原V 面。V HX V

3、 1HX 1a 'aa 1'a xa x1.舊投影體系X VHA 點(diǎn)的兩個(gè)投影:a, a '新投影體系V 1HX 1A 點(diǎn)的兩個(gè)投影:a, a 1'舊投影體系X VHA 點(diǎn)的兩個(gè)投影:a, a '新投影體系VH 1X 1A 點(diǎn)的兩個(gè)投影:a ', a 1(2換H 面原V 面保持不變,以新的H 1 面替換原H 面。VHH 1A a xa 'a X 1a 1a x1a 'aX V Ha 1X 1a x1X 點(diǎn)的換面規(guī)律:1 點(diǎn)的新投影和保留投影的連線垂直于新投影軸;2 點(diǎn)的新投影到新投影軸的距離等于被替換的投影到舊投影軸的距離。新投影

4、體系的建立先把V 面換成平面V 1,V 1H ,得到中間新投影體系:V 1H X 1 再把H 面換成平面H 2,H 2V 1,得到新投影體系:X 2 V 1H 2AaVHa 'a xXX 1V 1a '1a x 1H 2X 2a x 2a 2按次序更換求新投影的作圖方法a x2a 'a X VHa 2X 1H V 1X 2V 1H 2作圖規(guī)律a 2a 1'X 2 軸a 2a x2 = aa x1a 1'a xa x1. 三、換面法的六個(gè)基本作圖問(wèn)題1. 第一個(gè)問(wèn)題-把一般位置直線變換成平行線作圖方法:(1作新軸O1X1ab;(2作出兩端點(diǎn)A和B的新投影,

5、得a1'b1'。例題1:求直線AB的實(shí)長(zhǎng)及與H面的夾角。X1H V1空間分析:作圖:a'b'a bX VHa1b1X1與ab平行。.用V1面代替V面,在V1/H投影體系中,AB/V1。換H面行嗎? 三、換面法的六個(gè)基本作圖問(wèn)題2. 第二個(gè)問(wèn)題-把平行線變換成垂直線應(yīng)該選擇哪一個(gè)投影面進(jìn)行變換,要看給出的直線位置而定。給出的是正平線,則應(yīng)變換H面;給出的是水平線,則應(yīng)變換V面。 三、換面法的六個(gè)基本作圖問(wèn)題3. 第三個(gè)問(wèn)題-把一般位置直線變換成垂直線綜合第一和第二個(gè)問(wèn)題,就得出把一般位置直線變成垂直線的方法,必須經(jīng)過(guò)兩次變換。例題2:將一般位置直線AB 變成投影面

6、垂直線?？臻g分析:X 2軸的位置?與a 1b 1垂直1.一次換面把直線變成投影面平行線;2.二次換面把投影面平行線變成投影面垂直線。a 1'b 1'a 'b 'abX V HX 1HV 1作圖步驟:1作O 1X 1ab ;2求出新投影a 1、b 1;3作O 2X 2a 1b 1;4求出a 2、b 2(a 2與b 2重合。a 2(b 2.4. 第四個(gè)問(wèn)題-把一般位置平面變換成垂直面一般位置直線變換成投影面垂直線,需經(jīng)幾次變換?如果把平面內(nèi)的一條直線變換成新投影面的垂直線,那么該平面則變換成新投影面的垂直面。空間分析:在平面內(nèi)取一條投影面平行線,經(jīng)一次換面后變換成新

7、投影面的垂直線,則該平面變成新投影面的垂直面。作圖方法:兩平面垂直需滿足什么條件?能否只進(jìn)行一次變換?思考:若變換H 面,需在面內(nèi)取什么位置直線?Xc 'bcdHB C D a 'b X aV A d 'V 1X 1c 1b 1a 1(d 1 5. 第五個(gè)問(wèn)題-把垂直面變換成平行面這一變換,同第二個(gè)問(wèn)題一樣,要變換哪一個(gè)投影面要看給出的平面的位置而定。給出的是正垂面,則只能變換H面;給出的是鉛垂面,則只能變換V面。把已知的正垂面ABC,變換成為平行面的方法:為簡(jiǎn)單起見(jiàn),我們?nèi)⌒旅鍴1重合于ABC,在圖上即引新軸O 1X1重合于a'b'c'(線段,

8、再作出新投影a1b1c1,它必然反映實(shí)形。6 第六個(gè)問(wèn)題-把一般位置平面變換成平行面一次換面:把一般位置平面變換成新投影面的垂直面;二次換面:再變換成新投影面的平行面。作圖:空間分析:X 2軸的位置?平面的實(shí)形做正平線XVHOaccbaeeO1H1V X1a1b1c1e1O2X2V2H1c2a2b2e2X2軸與其積聚投影平行小結(jié)1 2換面法就是改變投影面的位置,使它與所給形體處于解題所需的特殊位置。換面法的關(guān)鍵是要注意新投影面的選擇條件,即必須使新投影面與某一原投面保持垂直關(guān)系,同時(shí)又有利于解題需要,這樣才能使正投影規(guī)律繼續(xù)有效。點(diǎn)的變換規(guī)律是換面法的作圖基礎(chǔ),其規(guī)律是:(1點(diǎn)的新投影和不變投

9、影的連線,必垂直于新投影軸。(2點(diǎn)的新投影到新投影軸的距離等于點(diǎn)的舊投影到舊投影軸的距離。3§42 變換投影面法熟練掌握換面法的六個(gè)基本問(wèn)題4 學(xué)習(xí)內(nèi)容及學(xué)習(xí)重點(diǎn)學(xué)習(xí)內(nèi)容:基本原理基本作圖問(wèn)題學(xué)習(xí)重點(diǎn):點(diǎn)、直線、面的旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)法的六個(gè)基本作圖問(wèn)題第三節(jié)旋轉(zhuǎn)法當(dāng)用旋轉(zhuǎn)法改變已知形體和投影面的相對(duì)位置時(shí),投影面體系是不變的,而是把已知形體繞一固定的軸線旋轉(zhuǎn)。作為旋轉(zhuǎn)軸的直線,通常是選擇垂直線或平行線。設(shè)空間A點(diǎn)繞一鉛垂線O旋轉(zhuǎn),則它運(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)圓周,此圓周為一水平圓,在H面的投影為一圓,在V面上則成為一段平行于OX軸的直線。如右下圖:給出A點(diǎn)及鉛垂線O的兩面投影,求作A 點(diǎn)繞此鉛垂線向反

10、時(shí)針?lè)较?對(duì)H面看旋轉(zhuǎn)角后的新投影。(1以o為圓心,以oa為半徑,向逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角,得A點(diǎn)的新水平投影a1。(2過(guò)a1向上引鉛垂聯(lián)系線,與過(guò)a'引出的平行于OX軸的直線相交,得A點(diǎn)的新正面投影a'1。作法如下:設(shè)空間A點(diǎn)繞一正垂線O旋轉(zhuǎn),則它運(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)圓周,此圓周為一正平圓,在V面的投影為一圓,在H面上則成為一段平行于OX 軸的直線。如右下圖:給出A點(diǎn)及正垂線O的兩面投影,求作A點(diǎn)繞此正垂線向順時(shí)針?lè)较?對(duì)V面看旋轉(zhuǎn)角后的新投影。作法如下:(1以o為圓心,以o'a'為半徑,向順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角,。得A點(diǎn)的新水平投影a'1(2過(guò)a'向下引鉛垂聯(lián)

11、系線,1與過(guò)a引出的平行于OX軸的直線相交,得A點(diǎn)的新正面投影。a1 一、基本原理旋轉(zhuǎn)直線可以簡(jiǎn)化為旋轉(zhuǎn)此直線上的兩個(gè)點(diǎn),旋轉(zhuǎn)平面可以簡(jiǎn)化為旋轉(zhuǎn)此平面上不屬于一條直線上的三個(gè)點(diǎn);但是必須遵守繞同一條軸、按同一方向、旋轉(zhuǎn)同樣大小的一個(gè)角度(簡(jiǎn)言之同軸、同向、直線繞鉛垂線的旋轉(zhuǎn)平面繞正垂線的旋轉(zhuǎn)同角的原則。只有這樣才能使旋轉(zhuǎn)的這些點(diǎn),不改變它們本身之間的相對(duì)位置。1.第一個(gè)問(wèn)題-把一般位置直線旋轉(zhuǎn)成平行線把一般位置直線AB 旋轉(zhuǎn)成正平線:把一般位置直線旋轉(zhuǎn)成正平線的分析把AB 旋轉(zhuǎn)到ABV面時(shí),新水平投影a 1b 1OX軸,此時(shí)旋轉(zhuǎn)角為;新正面投影a '1b '1必反映AB實(shí)長(zhǎng),a

12、 '1b '1與OX 軸的夾角必等于AB 與H 面的傾角。(1把一般位置直線AB旋轉(zhuǎn)成正平線:把AB旋轉(zhuǎn)成正平線(2把一般位置直線AB旋轉(zhuǎn)成水平線:把AB旋轉(zhuǎn)成水平線結(jié)論:為求AB對(duì)H面的傾角,應(yīng)把AB以鉛垂線為軸旋轉(zhuǎn)成正平線;為求AB對(duì)V面的傾角,應(yīng)把AB以正垂線為軸旋轉(zhuǎn)成水平線;選擇旋轉(zhuǎn)軸時(shí)應(yīng)根據(jù)給出的直線的位置而定。給出的是正平線,應(yīng)選擇正垂線為軸,旋轉(zhuǎn)后成為鉛垂線;給出的是水平線,則應(yīng)選擇鉛垂線為軸,旋轉(zhuǎn)后成為正垂線;把正平線AB 旋轉(zhuǎn)成鉛垂線在空間把正平線AB 旋轉(zhuǎn)成鉛垂線A 1B 1(A 1重合于A 的情況。只有以正垂線為旋轉(zhuǎn)軸,才能把它變成鉛垂線。作法如右圖。如圖

13、給出一般位置直線AB,要使它變成垂直線,必須經(jīng)過(guò)兩次旋轉(zhuǎn)。第一次旋轉(zhuǎn)是取過(guò)B點(diǎn)的鉛垂線為軸,把AB旋轉(zhuǎn)成正平線;第二次旋轉(zhuǎn)是取過(guò)A 1點(diǎn)的正垂線為軸,把AB旋轉(zhuǎn)成鉛垂線;把一般位置直線AB 旋轉(zhuǎn)成垂直線綜合第一和第二個(gè)問(wèn)題,就得出把一般位置直線旋轉(zhuǎn)成垂直線的作法。把一般位置平面旋轉(zhuǎn)成正垂面,可歸結(jié)為把平面內(nèi)的一條水平線旋轉(zhuǎn)成為正垂線。這種作圖方法以表明在右圖中。同理,把一般位置平面旋轉(zhuǎn)成鉛垂面,可歸結(jié)為把平面內(nèi)的一條正平線旋轉(zhuǎn)成為鉛垂線。把一般位置平面旋轉(zhuǎn)成正垂面把正垂面旋轉(zhuǎn)成水平面,只要把此平面繞一正垂線為軸旋轉(zhuǎn),直到平行H面。這種作圖方法以表明在右圖中。同理,欲將鉛垂面旋轉(zhuǎn)成正平面,只要把

14、此平面繞一鉛垂線為軸旋轉(zhuǎn),直到平行V面。把正垂面旋轉(zhuǎn)成水平面把一般位置平面旋轉(zhuǎn)成水平面綜合第四和第五個(gè)問(wèn)題,就可得出把一般位置平面旋轉(zhuǎn)成平行面。給出一般位置平面,要把它變成水平面,必須經(jīng)過(guò)兩次旋轉(zhuǎn)。第一次旋轉(zhuǎn)是把平面以一鉛垂線為軸旋轉(zhuǎn)成正垂面,此時(shí)旋轉(zhuǎn)角為1。第二次旋轉(zhuǎn)是把平面以一正垂線為軸旋轉(zhuǎn)成水平面,此時(shí)旋轉(zhuǎn)角為2。作法如右圖。 小結(jié)1 2點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)(2當(dāng)點(diǎn)繞正垂線旋轉(zhuǎn)時(shí),點(diǎn)的正面投影是作圓周運(yùn)動(dòng),圓心就是此正垂線的正面投影;而水平投影則作直線運(yùn)動(dòng),此直線平行OX軸。(1當(dāng)點(diǎn)繞鉛垂線旋轉(zhuǎn)時(shí),點(diǎn)的水平投影是作圓周運(yùn)動(dòng),圓心就是此鉛垂線的水平投影;而正面投影則作直線運(yùn)動(dòng),此直線平行OX軸。直線和

15、平面的旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)直線可以簡(jiǎn)化為旋轉(zhuǎn)此直線上的兩個(gè)點(diǎn),旋轉(zhuǎn)平面可以簡(jiǎn)化為旋轉(zhuǎn)此平面上不屬于一條直線上的三個(gè)點(diǎn);但是必須遵守繞同一條軸、按同一方向、旋轉(zhuǎn)同樣大小的一個(gè)角度(簡(jiǎn)言之同軸、同向、同角的原則。學(xué)習(xí)內(nèi)容及學(xué)習(xí)重點(diǎn)學(xué)習(xí)內(nèi)容:以平行線為軸的旋轉(zhuǎn)法學(xué)習(xí)重點(diǎn):以平行線為軸的旋轉(zhuǎn)法基本作圖原理及作圖方法§44 以平行線為軸的旋轉(zhuǎn)法第四節(jié)以平行線為軸的旋轉(zhuǎn)法 一、基本作圖原理問(wèn)題的提出:確定一般位置平面的實(shí)形,無(wú)論用變換投影法,或用垂直線為軸的旋轉(zhuǎn)法,都要經(jīng)過(guò)兩次變換。是否能夠經(jīng)過(guò)一次變換解決問(wèn)題如果采用平面內(nèi)的一條水平線或正平線為軸來(lái)旋轉(zhuǎn)此平面,那么一次變換就能求出。 分析:如下圖所示,BC

16、邊為水平線。當(dāng)把ABC以水平線BC為軸旋轉(zhuǎn)到水平的位置,得到ABC。1 頂點(diǎn)B和C是旋轉(zhuǎn)軸上的點(diǎn),旋轉(zhuǎn)前后,投影位置不變。只要求出A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的新投影即可。提示:在水平投影上過(guò)a點(diǎn)作直線垂直于bc,交點(diǎn)為O點(diǎn);求出OA的實(shí)長(zhǎng)并截取oa1=實(shí)長(zhǎng)。a1bc即為實(shí)形。二、作圖分析結(jié)論:(1平面繞水平軸旋轉(zhuǎn)時(shí),平面內(nèi)點(diǎn)的水平投影對(duì)軸的水平投影是作垂線運(yùn)動(dòng);(2平面旋轉(zhuǎn)到水平位置時(shí),平面內(nèi)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)半徑的水平投影必反映實(shí)長(zhǎng)。 小結(jié)1 2平面繞水平軸旋轉(zhuǎn)時(shí),平面內(nèi)點(diǎn)的水平投影對(duì)軸的水平投影是作垂線運(yùn)動(dòng)。平面旋轉(zhuǎn)到水平位置時(shí),平面內(nèi)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)半徑的水平投影必反映實(shí)長(zhǎng)。3如果平面內(nèi)沒(méi)有已知的水平線,應(yīng)先在面內(nèi)作一條

17、水平線,如右圖。學(xué)習(xí)內(nèi)容及學(xué)習(xí)重點(diǎn)學(xué)習(xí)內(nèi)容:度量問(wèn)題定位問(wèn)題學(xué)習(xí)重點(diǎn):確定距離,角度直線與平面的交點(diǎn),兩個(gè)平面的交線§45 度量問(wèn)題和定位問(wèn)題舉例第五節(jié)度量問(wèn)題和定位問(wèn)題舉例 一、度量問(wèn)題(1點(diǎn)到平面的距離此前綜合法分三步:作垂線;定垂足;求實(shí)長(zhǎng)。換面法2.作出A點(diǎn)和BCD的新投影a'1和b'1c'1d'1(為一條直線;1.變換V面,取新軸O1X1垂直于BCD內(nèi)的水平線bd;3.過(guò)點(diǎn)a'1向直線b'1c'1d'1引垂線,得垂足的新投影k'1。投影a'1k'1之長(zhǎng)即為所求的距離。圖中還畫(huà)出了垂線AK

18、在原體系H和V面中的投影ak和a'k'。這種作圖稱(chēng)“反回作圖”。(2點(diǎn)到直線的距離例題1:求點(diǎn)C 到直線AB 的距離,并求垂足D 。如下圖:當(dāng)直線AB 垂直于投影面時(shí),CD 平行于投影面,其投影反映實(shí)長(zhǎng)。A HB DCca(d,b求C 點(diǎn)到直線AB 的距離,就是求垂線AD 的實(shí)長(zhǎng)。空間及投影分析:acc'a'b'Xc'2c 1b 1a 1dd'd 1b'2 d'2a'2bacc'a'b'2.過(guò)c 1作線平行于x 2軸。1.如何確定d 1點(diǎn)的位置?反回作圖:X V H垂足例題1作圖過(guò)程距離 (

19、3交錯(cuò)兩直線的距離例題2:求交錯(cuò)兩直線AB和CD的距離EF。空間及投影分析:求交錯(cuò)兩直線的距離,就是求它們的公垂線的EF實(shí)長(zhǎng)。如下圖:當(dāng)直線AB垂直于投影面時(shí),EF平行于投影面,其投影反映實(shí)長(zhǎng)。2.確定角度(1兩相交直線之間的角度例題3:求相交直線AB和AC之間的角度?？臻g及投影分析:當(dāng)AB與AC所確定的平面都平行于V投影面時(shí),其投影的夾角才反映真實(shí)大小,因此需將AB與C點(diǎn)所確定的平面變換成投影面平行面。變換方法:換面或旋轉(zhuǎn)。本題采用旋轉(zhuǎn)法。作法:1 過(guò)a '向m'n '引垂線a 'o'2 用直角三角形法求出A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)半'徑的實(shí)長(zhǎng)o'ao3截取a 'o'= o'a o',得到A點(diǎn)的新正面投影a'14 n 'a1'm '即為所求。 2.確定角度(2直線和平面之間的夾角例題4:求直線AB和平面LMN之間的夾角。解題思路:1.過(guò)A點(diǎn)作LMN的垂線AC,得平面角BAC即。2.將BAC變換為投影面的平行面得,= 90&#