不定積分測(cè)驗(yàn)題

1、不定積分練習(xí)題一、選擇題、填空題：1、(1-sin1(A) c (B) lnx c (C)- c xx%dx =22、 若 ex 是 f(x)的原函數(shù)，貝x2f(lnx)dx= 3、sin (In x)dx =2 .已知e是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，貝U Jf(tanx)sec2xdx=在積分曲線族J羋中，過(1,1點(diǎn)的積分曲線是y='x4xF'(x) = f(x),則 J f'(ax+b)dx =;設(shè)f (x)dx =丄+c,貝叮 f (:)dx =;L edx =_;f(x)f '(ln x) =1 +x,貝Uf (x) =;10、若f (x)在(a,b)內(nèi)連續(xù)

2、，則在(a,b)內(nèi)f (x);(A)必有導(dǎo)函數(shù)(B)必有原函數(shù)(C)必有界(D)必有極限11、若 Jxf(x)dx = xsinx Jsinxdx,則f(x)=;4、5、6、7、8、9、設(shè) xf (x)dx 二 arcsinx c,貝U12、若F'(x) = f(x),Q(x)= f(x),則 J f(x)dx=(A)F(x)(B) (x) (C) (x) c (D)F(x)(x) c13、下列各式中正確的是：(A) d f(x)dx二 f(x) (B) 一 f (x)dxp f (x)dx dx(C).df(x)二 f(x) (D).df(x)二 f(x) c14、設(shè)f(x)=e：則

3、：f(ln x) dx =(D)- ln x cx15、 、一dx =Jx(1_x)(A) 1arcsin . x c (B) arcsin x c (C) 2arcsin(2x 1) c(D) arcsin(2x -1) c16、若f (x)在a,b上的某原函數(shù)為零，則在a,b上必有(B)f(x)的不定積分恒等于零；(D) f (x)不恒等于零，但導(dǎo)函數(shù)f '(x)恒為零。(A)f(x)的原函數(shù)恒等于零；(C)f(x)恒等于零；二、計(jì)算題:(1). ( 1 2嚴(yán)x(x - 2).dxx2 , 4x2 -1(3) cos、xdxsin x cosx“sixdx25x，dxx 一 x 2

4、sin2x ,4dxcos x sin xr 2ln x +1 xwdxarcs inx(9) dxxcosx - sin x(10)pdxsin x cosx(11)dxsin x + cosx.4sin x , (12)dx1 十 cosxdx(13)k(14) .嚴(yán)”(1x)(15)嚴(yán)Fdx心xxe _1(16).dx(17)" 1 + sin x + cosx ,(18)sin2x 取2.x(19)2 arcta nxdx1 + x2(20).xl n(1 x2)1 x2dx (21) tan3xdx1(22)dx (23)x dx1 cosxx3(24) (1)100 dx

5、(25) e2x(tanx 1)2dx(26).arcta nx22 dxx2(1 x2)(27).吋 dxex(28)設(shè)f (sin2x)二i ,求汀咅f(x)dx sinx 一 1x(29)已知f(x)的一個(gè)原函數(shù)為In2x,求:xf '(x)dx答案：一、選擇題、填空題11 21) (x sin x) c 2) x c2216)丄 F(ax b) ca12)Cxtan2 x3)$sin (In x) 一 cos(l nx) c 4)e c15) -2x 310)B 11)C、計(jì)算題：）為1 37) -e，* x 18 c 8)(1-x2)2 c 9)ex x c313)D 14)

6、C 15)D 16)CTnx23)2( , xs in 一 x cos 一 x) cc2(x2)近 L4產(chǎn)1 n J222)4sec + v2sedr +c5)2ln x+1+3ln x 2+ c6)-丄1 n2sin2x1+c 7)214-19)arcs inx Inx1 -、1 - x2nnIn sec(x-») +tan(x-壬)+c12) 1(x _gsin2x) gsin3 x + c 13)1tanx +arctan血tanx) +c-l nx+l n1x)+c 15)2 J1 -x arcsi 口丘- Vxpc1 2 1 2 1 2 2 1 19)xarctanxln(

7、1 x2)(arctanx)2 c 20)?ln2(1 x2) c 21)-xsi nx22)ln Ji +e2x _e" +c 23) - xcotx+ln sinx +tan2 x +1 n cosx + c-In cscx-cotx +cc 10)arctan(sinx)1 ln2 cosx) c2/2-cosx1 111) (sin x-cosx)-2 2、2 1 ,1 1 .223In x14)-1 -x16)- arctanInx In(e2x 4) c 17)2,1 xarctan、x-2ln 一 x 、x) c2 2 481_963_973_98 1QQ2 x24)

8、(x-1) (x-1) (x-1) (x-1) c 25)e2xtanx c 96979892一、 arctanx 1、2 丄 1 , x26) (arcta nx) ln 2 cx 22 1+x1 1=1X27) e arcta nxe arcta ne c2 2 228) -2arcsin、x- J - x 2 , x c29) 2In x -In2 x c高等數(shù)學(xué)測(cè)試題（三）中值定理、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用部分、選擇題(每小題 4分，共20 分)1、下列函數(shù)在-1,1上滿足羅爾定理?xiàng)l件的是(C)XA 21A y=e b y = l nx c y = 1x d y =21 -x2、曲線y =(x -1)

9、的拐點(diǎn)是(B)A (-1,8) B (1,0) C (0, -1)D (2,1)3、 已知函數(shù) f(x) =(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)，則 f(x)=0有(C)實(shí)根A 一個(gè) B 兩個(gè) C 三個(gè) D 四個(gè)4、 設(shè)函數(shù)f (x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則在(a,b)內(nèi)f(x)0是函數(shù)f (x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)增的(B)A必要非充分條件B充分非必要條件C充要條件 D無(wú)關(guān)條件5、 如果 f(X。) =0, f(X。)0，則(B)Af(x0)是函數(shù)f (x)的極大值Bf(x)是函數(shù)f (x)的極小值Cf(x0)不是函數(shù)f(x)的極值 D 不能判定f(x0)是否為函數(shù)f (x)的極值二、填空題

10、(每小題 4分，共20分)1、 函數(shù)y=ln(x，1)在0,1上滿足拉格朗日定理的= -11322、 函數(shù)f(x) x -3x9x在閉區(qū)間0, 4上的最大值點(diǎn)為x=4343、 函數(shù)y = x的單調(diào)減少區(qū)間是(-2,0) 一. (0,2)x4、若函數(shù)f (x)在x = a二階可導(dǎo)，則f (a h) - f(a) _ f (司hm35、曲線y-的鉛直漸近線為2三、解答題1、( 7分)計(jì)算lim( 1xT xx11)e Tx解原式=x鳥/x切xe Txxe xe二 limx )0xex xxe e xe2、( 7分)計(jì)算!叭0宀In x解：原式=lim -1x=lim - xx_0 -2x, x1=

11、lim( -2,x03、( 7分)計(jì)算lim(x 屮 1sin x、x)xx. 1 s i nx - 解：令 y =()x丨 yn = -1x,sin x Inlimln y = lim = limx)0x * xx_o sin xxcosx-sinxjimxcosx-sinxx_0x2=0所以原式=4、( 7分)計(jì)算l叫a )'解：令y=(a b 分3inn(ax bxc)丨 n 3x x xln(a +b +c ) ln3 limln y =limx 0x )0XXXa In a + b 丨n b +c 丨n c =limx 0=In 3 abc 所以原式= eln3阪=3贏5、(

12、 10分)設(shè)函數(shù)f(x), g(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)二 f(b) =0，證明：存在.(a,b)，使得 f) f( Jg)=0證明：設(shè) F(x)二f (x)eg(x)，由 f (x), g(x)的連續(xù)性知:F(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且F(a)二F(b) = 0 ,由羅爾定理知 存在-(a,b)，使得F)=0即f ( )eg( f( )g( )eg() =0,所以 f ( ) f( )g( )=0 證畢。2x6、( 10 分)證明：當(dāng) x 0 時(shí)，xln(1 x) ： x2證明：令 f (x) =ln(1 x) -x， f (x)=1 一仁x ： 0

13、1 x 1 x(X 0)因此f (x)在(0,內(nèi)單調(diào)減，所以f(x) :： f(0) =0,即In(1 x) ： xx2令 mxmp)，g(x)0 (x 0)因此g(x)在(0, ：)內(nèi)單調(diào)增，所以g(x) . g(0) =0，即2x ln(1 x) x2總之當(dāng)x 0 時(shí)，x22x<In(1 +x) cx 證畢。7( 12分)設(shè)函數(shù)f(x)在x = 0的鄰域內(nèi)具有三階導(dǎo)數(shù)，且(1)(2)凹11s3求 f (0), f (0), f (0)1求lim(1 衛(wèi)勺)xx 0 xln(1 x解：(1)因?yàn)?xm(1由于分母極限為0,所以1x f(x)x 二e3，所以 ijmlim ln(1 x

14、丄兇)=0，即 lim(f (x)=3 xX 3f (x)良叫一x0，又因?yàn)閒 (x)在x = 0連續(xù)，則1四f (x)=f (0) =0(°)也cy x 0.f(x)xln(1 x f (x)x 3xIn (1 x limX )0x女叫樣=2，) x=limX0.f (x)limx)0 2xf(x)xx二!im(1.f(x)2x)=3，所以由此得f (0)(2)lim(1x 0 x1ln(1 也)- limx)x * 0 xf (x)lim lim 二 ex 0 x 二 ex 0 xf (x)2 2e8、( 10分)設(shè)函數(shù)f (x)在開區(qū)間(a, b)內(nèi)連續(xù)，a x x2 : b，

15、試證：在開區(qū)間至少存在一點(diǎn)c，使得(a,b)內(nèi)tif (Xi) tzf(X2) =(ti t2)f (c) (ti - 0,t20)證明：因?yàn)閒 (x)在(a, b)內(nèi)連續(xù)，a ： Xi ： X2 : b，所以f (x)在捲必上連續(xù)，由連續(xù)函數(shù)的最大值、最小值定理知，f (x)在x,x2上存在最大值M和最小值m,即在為，乂2上，m冬f (x)乞M，所以(tit2)m gf(xjt2f(x2)乞(tit2)M，又因?yàn)閠it20，所以m J1 f(xi) t2f (x2)m，由連續(xù)函數(shù)的介值定理知：存在c(xi,x2)(a,b)，使得ti ' t2tif(xQ t2f(X2)ti +t2t

16、i f( x)f： X> (it2t) ( c2i.選擇題(i)設(shè)函數(shù) f (x)在(0, ：)內(nèi)連續(xù)，且(C-)it 0yt 證畢。i StXI = 1 f(t X)dx(s 0,t0)，則 I 的值ssB.依賴于s,tA依賴于s,t,xC.依賴于t，不依賴于sD.依賴于s，不依賴于t(2)設(shè)在a,b上 f (x) 0, f (x) :：: 0, f (x) 0,令b1s,=f(x)dx, s2 = f (b)(ba), S3 =? f (a) + f (b)(ba)，則(B.)A. $ ： s，: s3B. s2 : $ : s3C. s : s < S2D. s2 :是：$X

17、七江sintsin xdt.(3)F(x)=(xe sintdt，則 F(x)為(A. )提示：2兀 sin t兀 sin tF (x) =0, F (0) = J0 e sintdt = J0esintdtA正常數(shù) B.負(fù)常數(shù) C.恒為零D.不為常數(shù)2 -2 二.*U： xesintsintdt，而esintsintdt 二J兀5-sin x0e下列反常積分發(fā)散的是(D. )dxB.-bexedx7 / i0C.：12 dxx In x1D.兒1 dx sin x2.計(jì)算題(1 )求 limb 1n +r2n2解：原式=lim耳nF n i1 1 21(n)1 (2)n=+21 (n)21n

18、1 x dx-2-1(2)設(shè)函數(shù)f (x)可導(dǎo)，且f(0)=0 , F (x)x。嚴(yán) f(xn tn)dt，求limx 0F(x)x2n解：令 u = xn -tn則 F(x)n0 f (u)du，所以x)x2n1nn Af(x ) nxn2n A2nx-lim 丄x刃2nf(xn)二 lim 丄 f(x)f(0)xo 2n1二丄 f (0)2nx + a(5)已知 lim( )xate2tdt，求a的值.x -a 2ax解：由條件有l(wèi)im(1 -2a x -ax a2t即e2a= -ae2a2-1e2a4所以(6)設(shè)連續(xù)非負(fù)函數(shù)滿足f(x)f(-X) =1n2dx.1 f(x)cosx解：令

19、_2 cos(-t)pdt5 1 f(-t)cost1dt1 f(t)ji2JJt2f (x) cosx1 f (x)dx，從而 21 二 2- cosxdx = 2，故 I = 1.(1)證明：f (x)g(x)dx 二 A g(x)dx -a' 0f (x) f (-x) = A ( A 為常數(shù))，aa(2)利用(1)結(jié)論計(jì)算定積分f(x) f (一x) = ar ec ta ar兀所以2：2sin x arcta nexdxji2sin xdx =23當(dāng)x . 0,t0時(shí)f (x)滿足方程xtxt4 f(u)du =t J f(u)du xf(u)du且f (x)在0,：)有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù),又f(1) =3,求f (x).x解：兩邊對(duì) t 求導(dǎo)，得 xf (xt) f (u)du - xf (t),x令 t = i,得 xf (x) f (u)d