(完整版)2018年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)整式的乘法與因式分解講義

1、2018-2019 學(xué)年八年級(jí)（上）數(shù)學(xué)- 專屬教案整式的乘法與因式分解知識(shí)點(diǎn)平方差公式 : ( a b)( ab) a2 b2【類型一】判斷能否應(yīng)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算下列運(yùn)算中，可用平方差公式計(jì)算的是()A ( x y)( x y)B ( x y)( x y)C ( x y)( y x)D ( x y)( x y)解析： A 中含x、 y 的項(xiàng)符號(hào)相同，不能用平方差公式計(jì)算，錯(cuò)誤；B 中 ( x y)( x y) ( xy)( x y) ，含x、 y 的項(xiàng)符號(hào)相同，不能用平方差公式計(jì)算，錯(cuò)誤；C 中 ( x y)( y x) ( x y)( xy) ，含 x 的項(xiàng)符號(hào)相同，含y 的項(xiàng)符號(hào)相反

2、，能用平方差公式計(jì)算，正確；D 中( x y)( x y) ( xy)( x y) ，含 x、 y 的項(xiàng)符號(hào)相同，不能用平方差公式計(jì)算，錯(cuò)誤；故選C.方法總結(jié)： 對(duì)于平方差公式，注意兩個(gè)多項(xiàng)式均為二項(xiàng)式且兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)【類型二】 直接應(yīng)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算利用平方差公式計(jì)算：(1)(3x 5)(3 x 5) ；(2)( 2a b)( b 2a) ；(3)( 7m 8n)( 8n 7m) ；(4)(x 2)( x 2)(x2 4) 解析： 直接利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可解： (1)(3x 5)(3 x 5) (3 x) 2 529x2 25；(2)(2a )(2 )

3、(2 )224 2b2；bbaaba(3)(7m 8n)( 8n 7m) ( 7m)2222 (8 n) 49m 64n ；(4)(x 2)( x 2)(x2 4) ( x2 4)(x2 4) x4 16.方法總結(jié)： 應(yīng)用平方差公式計(jì)算時(shí)，應(yīng)注意以下幾個(gè)問題：(1)左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，并且這兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)；(2)右邊是相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方；(3) 公式中的 a 和 b 可以是具體數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式【類型三】 平方差公式的連續(xù)使用求 2(3 1)(3 2 1)(3 4 1)(3 8 1) 的值解析： 根據(jù)平方差公式，可把2 看成是 (3 1) ，再

4、根據(jù)平方差公式即可算出結(jié)果解： 2(3 1)(3 2 1)(3 4 1)(3 8 1) (3 1)(3 1)(3 2 1)(3 4 1)(3 8 1) (3 2 1)(3 2 1)(3 4 1)(3 8 1) (3 4 1)(3 4 1)(3 8 1) (3 8 1)(3 8 1) 316 1.方法總結(jié)： 連續(xù)使用平方差公式，直到不能使用為止【類型四】應(yīng)用平方差公式進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算利用平方差公式簡(jiǎn)算：12(1)20 3× 193；(2)13.2×12.8.1211解析： (1)把 203× 193寫成 (20 3) × (20 3) ，然后利用平方差公式進(jìn)行

5、計(jì)算；(2) 把 13.2 × 12.8 寫成 (13 0.2) × (130.2) ，然后利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算121118解： (1)203× 193 (20 3) ×(20 3) 4009 3999；(2)13.2 ×12.8 (13 0.2) ×(13 0.2) 169 0.04 168.96.方法總結(jié)： 熟記平方差公式的結(jié)構(gòu)并構(gòu)造出公式結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵1【類型五】化簡(jiǎn)求值先化簡(jiǎn)，再求值：(2 x y)( y 2x) (2 y x)(2 y x) ，其中 x 1， y 2.解析： 利用平方差公式展開并合并同類項(xiàng)，然后把x、 y

6、 的值代入進(jìn)行計(jì)算即可得解解： (2 x y)( y 2x) (2 y x)(2 y x) 4x2y2 (4 y2x2) 4x2 y2 4y2 x2 5x2 5y2. 當(dāng) x 1， y 2 時(shí)，原式225×1 5×2 15.方法總結(jié)：利用平方差公式先化簡(jiǎn)再求值，切忌代入數(shù)值直接計(jì)算【類型六】利用平方差公式探究整式的整除性問題對(duì)于任意的正整數(shù)n，整式 (3 n 1)(3 n 1) (3 n)(3 n) 的值一定是10 的倍數(shù)嗎？解析： 利用平方差公式對(duì)代數(shù)式化簡(jiǎn)，再判斷是否是10 的倍數(shù)解： 原式 9n2 1 (9 n2) 10n2 10 10( n1)(n 1) ， n 為

7、正整數(shù)， ( n 1)( n 1) 為整數(shù)，即 (3 n 1)(3 n 1) (3 n)(3 n) 的值是 10 的倍數(shù)方法總結(jié)： 對(duì)于平方差中的 a 和 b 可以是具體的數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式，在探究整除性或倍數(shù)問題時(shí)，要注意這方面的問題【類型七】平方差公式的實(shí)際應(yīng)用王大伯家把一塊邊長(zhǎng)為 a 米的正方形土地租給了鄰居李大媽今年王大伯對(duì)李大媽說：“我把這塊地一邊減少 4 米，另外一邊增加 4 米，繼續(xù)租給你，你看如何？”李大媽一聽，就答應(yīng)了你認(rèn)為李大媽吃虧了嗎？為什么？解析： 根據(jù)題意先求出原正方形的面積，再求出改變邊長(zhǎng)后的面積，然后比較二者的大小即可解： 李大媽吃虧了理由：原正方形的面積

8、為 a2，改變邊長(zhǎng)后面積為 ( a 4)( a 4) a2 16， a2 a2 16，李大媽吃虧了方法總結(jié)： 解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出算式，然后根據(jù)公式化簡(jiǎn)解決問題完全平方公式 : ( a±b) 2 a2± 2ab b2；【類型一】直接運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算利用完全平方公式計(jì)算：(1)(5 a) 2；(2)(34 )2；mn(3)(3a b) 2.解析： 直接運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可解： (1)(5 a) 225 10a a2；(2)( 3m4n)2229m 24mn16n ；(3)(3a ) 29 262 .baabb方法總結(jié)：完全平方公式： ( a

9、7; b) 2 a2± 2abb2. 可巧記為 “首平方，末平方，首末兩倍中間放”【類型二】構(gòu)造完全平方式如果 36x2 ( m 1) xy 25y2 是一個(gè)完全平方式，求m的值m的值解析： 先根據(jù)兩平方項(xiàng)確定出這兩個(gè)數(shù)，再根據(jù)完全平方公式確定解： 36x2 ( 1)xy 25y2 (6x)2( 1)xy (5y)2， ( 1)xy± 2·6·5 ， 1mmmx ym±60， m 59 或 61.方法總結(jié)： 兩數(shù)的平方和加上或減去它們積的2 倍，就構(gòu)成了一個(gè)完全平方式注意積的2倍的符號(hào)，避免漏解【類型三】運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算利用乘法公式

10、計(jì)算：(1)98 2101×99；(2)2016 22016×4030 20152.解析： 原式變形后，利用完全平方公式及平方差公式計(jì)算即可得到結(jié)果解： (1) 原式 (100 2) 2(100 1)(100 1) 1002 400 4 1002 1 395；(2) 原式 201622×2016×2015 20152 (2016 2015) 2 1.方法總結(jié)： 運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算，要熟記完全平方公式的特征，將原式轉(zhuǎn)化為能利用完全平方公式的形式【類型四】靈活運(yùn)用完全平方公式求代數(shù)式的值已知 x y 6， xy 8.(1) 求 x2 y2 的值；2

11、(2) 求代數(shù)式 ( x y z) 21( x yz)( x yz) z( x y) 的值122解析： (1) 由 ( x y) 2 x2y22xy，可得 x2 y2 ( x y) 2 2xy，將 xy 6， xy 8 代入即可求得2212122xy的值； (2)首先化簡(jiǎn)2( x yz) 2( xy z)( xy z) z( x y) x y，由 (1)即可求得答案解： (1) x y 6， xy 8， ( x y)2 x2y22xy， x2 y2 ( xy)2 2xy 36 16 20；121122212(2) 2( x y z) 2( x y z)( x y z) z( x y) 2( x

12、 y z 2xy 2xz 2yz) 2( x y) z2 xz yz1x21y21z2 xy xzyz1x21y2 xy1z2 xz yz x2y2，又 x2 y2 20，原式222222 20.) 222 222 ()22 .方法總結(jié)： 通過本題要熟練掌握完全平方公式的變式：(xxy，xyxyxyyxy【類型五】完全平方公式的幾何背景我們已經(jīng)接觸了很多代數(shù)恒等式，知道可以用一些硬紙片拼成的圖形面積來解釋一些代數(shù)恒等式例如圖甲可以用來解釋( a b) 2 ( a b) 2 4ab. 那么通過圖乙面積的計(jì)算，驗(yàn)證了一個(gè)恒等式，此等式是 ()A 22(ab)( )ababB ( a b)( a 2

13、b) a2 ab 2b2C( ) 222 b2abaabD ( a b) 2 a2 2ab b2解析： 空白部分的面積為( a b) 2，還可以表示為a2 2ab b2，所以，此等式是( a b) 2 a2 2abb2.故選 C.方法總結(jié)： 通過幾何圖形之間的數(shù)量關(guān)系對(duì)完全平方公式做出幾何解釋探究點(diǎn)二：添括號(hào)后運(yùn)用完全平方公式計(jì)算： (1)( a b c) 2；(2)(1 2x y)(1 2x y) 解析： 利用整體思想將三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式，再利用完全平方公式或平方差公式求解，并注意添括號(hào)的符號(hào)法則解： (1) 原式 ( a b) c 2 ( a b) 2c2 2( a b) c a2 2ab

14、 b2 c2 2ac 2bc a2b2 c2 2ab 2ac 2bc；(2) 原式 1 ( 2x)1( 2x) 12( 2x)2 142 4xyy2.yyyx方法總結(jié)： 利用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算時(shí)，應(yīng)先將式子變成( a± b)2 的形式注意a， b 可以是多項(xiàng)式，但應(yīng)保持前后使用公式的一致性因式分解提公因式法(1) ma mb mc m( a b c) ；(2) a2b2 ( a b)( a b) ；(3) a22ab b2 ( a b) 2.探究點(diǎn)一：因式分解的概念下列從左到右的變形中是因式分解的有() x2 y2 1 ( x y)( x y) 1； x3 x x( x2 1) ；

15、(x y) 2 x2 2xy y2 ； x2 9y2 ( x 3y)( x 3y) A1個(gè) B 2個(gè) C 3個(gè) D 4個(gè)解析： 沒把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積的形式，故 不是因式分解；把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾3個(gè)整式積的形式，故是因式分解；是整式的乘法，故不是因式分解；把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積的形式，故是因式分解；故選B.方法總結(jié)： 因式分解與整式乘法是相反方向的變形，即互逆運(yùn)算，二者是一個(gè)式子的不同表現(xiàn)形式因式分解是兩個(gè)或幾個(gè)因式積的表現(xiàn)形式，整式乘法是多項(xiàng)式的表現(xiàn)形式探究點(diǎn)二：提公因式法分解因式【類型一】確定公因式多項(xiàng)式6 2 32 12 2 2 中各項(xiàng)的公因式是 ()ab ca bca

16、bA abc B 3a2b2C 3a2b2c D 3ab解析： 系數(shù)的最大公約數(shù)是3，相同字母的最低指數(shù)次冪是，公因式為3 .故選 D.abab方法總結(jié)： 確定多項(xiàng)式中各項(xiàng)的公因式，可概括為三“ 定 ” ： (1) 定系數(shù)，即確定各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)； (2)定字母，即確定各項(xiàng)的相同字母因式( 或相同多項(xiàng)式因式 ) ； ( 3) 定指數(shù)，即各項(xiàng)相同字母因式( 或相同多項(xiàng)式因式 ) 的指數(shù)的最低次冪【類型二】用提公因式法因式分解因式分解：(1)8 a3b212ab3c；(2)2a(c) 3() ；bb c(3)( a b)( a b) a b.解析： 將原式各項(xiàng)提取公因式即可得到結(jié)果解： (1)

17、 原式 4ab2(2 a2 3bc) ；(2) 原式 (2 a3)( b c) ；(3) 原式 ( a b)( a b 1) 方法總結(jié)： 提公因式法的基本步驟：(1) 找出公因式； (2) 提公因式并確定另一個(gè)因式【類型三】利用因式分解簡(jiǎn)化運(yùn)算計(jì)算：(1)39 ×3713×91；(2)29 ×20.16 72×20.16 13×20.16 20.16 ×14.解析： (1) 首先提取公因式13，進(jìn)而求出即可；(2) 首先提取公因式20.16 ，進(jìn)而求出即可解： (1)39 ×3713×913×13

18、5;3713×9113×(3 ×3791) 13×20 260；(2)29 ×20.16 72×20.16 13×20.16 20.16 ×1420.16 ×(29 7213 14) 2016.方法總結(jié)： 在計(jì)算求值時(shí)，若式子各項(xiàng)都含有公因式，用提取公因式的方法可使運(yùn)算簡(jiǎn)便【類型四】利用因式分解整體代換求值已知 a b 7， ab 4，求 a2b ab2 的值解析： 原式提取公因式變形后，將a b 與 ab 的值代入計(jì)算即可求出值解： a b 7， ab 4，原式 ab( a b) 4×7 28

19、.方法總結(jié)： 求代數(shù)式的值，有時(shí)要將已知條件看作一個(gè)整體代入求值公式法 : 平方差公式： a2b2 (ab)( ab)【類型一】判定能否利用平方差公式分解因式下列多項(xiàng)式中能用平方差公式分解因式的是()222A a ( b)B 5m 20mnC x2 y2 D x2 9解析： A中a2 ( ) 2 符號(hào)相同，不能用平方差公式分解因式，錯(cuò)誤；B 中 5 2 20 兩項(xiàng)都不是平bC 中 x2 y2mmn方項(xiàng)，不能用平方差公式分解因式，錯(cuò)誤；符號(hào)相同，不能用平方差公式分解因式，錯(cuò)誤；D中 x2 9 x2 32，兩項(xiàng)符號(hào)相反，能用平方差公式分解因式，正確故選D.方法總結(jié)： 能夠運(yùn)用平方差公式分解因式的多

20、項(xiàng)式必須是二項(xiàng)式，兩項(xiàng)都能寫成平方的形式，且符號(hào)相反【類型二】利用平方差公式分解因式分解因式：(1) a4 1 b4； (2) x3y2xy 4. 16解析： (1) a4 161b4 可以寫成 ( a2) 2 ( 14b2) 2 的形式，這樣可以用平方差公式進(jìn)行分解因式，而其中有一4212仍可以繼續(xù)用平方差公式分解因式；324有公因式2個(gè)因式 a b(2) x y xyxy ，應(yīng)先提公因式再進(jìn)一步分4解因式解： (1)原式 ( a2 41b2)( a2 41b2) ( a2 41b2 )( a 21b)( a21b) ；2222(2) 原式 xy( x y ) xy ( x y)( x y)

21、 方法總結(jié)： 分解因式前應(yīng)先分析多項(xiàng)式的特點(diǎn)，一般先提公因式，再套用公式分解因式必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式都不能再分解因式為止【類型三】 底數(shù)為多項(xiàng)式或單項(xiàng)式時(shí)，運(yùn)用平方差公式分解因式分解因式：(1)( a b) 2 4a2；22(2)9( m n) ( m n) .解析： 將原式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)式子的平方差的形式后，運(yùn)用平方差公式分解因式解： (1) 原式 ( a b 2a)( a b2a) ( b a)(3 ab) ；(2) 原式 (3 m3n m n)(3 m 3n m n) (2 m 4n)(4 m 2n) 4( m2n)(2 mn) 方法總結(jié)： 在平方差公式 a2 b2 ( a b)( a b

22、) 中， a 和 b 可以代表單項(xiàng)式、多項(xiàng)式或單獨(dú)一個(gè)數(shù)【類型四】 利用因式分解整體代換求值221已知 x y 1， x y 2，求 x y 的值解析： 已知第一個(gè)等式左邊利用平方差公式化簡(jiǎn)，將x y 的值代入計(jì)算即可求出x y 的值221解： x y ( xy)( xy) 1， x y ， x y 2.2方法總結(jié)： 有時(shí)給出的條件不是字母的具體值，就需要先進(jìn)行化簡(jiǎn)，求出字母的值，但有時(shí)很難或者根本就求不出字母的值，根據(jù)題目特點(diǎn)，將一個(gè)代數(shù)式的值整體代入可使運(yùn)算簡(jiǎn)便【類型五】利用因式分解解決整除問題248 1 可以被 60 和 70 之間某兩個(gè)自然數(shù)整除，求這兩個(gè)數(shù)解析： 先利用平方差公式分解

23、因式，再找出范圍內(nèi)的解即可解： 248 1 (2 24 1)(2 24 1) (2 24 1)(2 12 1)(2 12 1) (2 24 1)(2 12 1)(2 6 1)(2 6 1) 2664， 26 163， 26 1 65，這兩個(gè)數(shù)是65 和 63.方法總結(jié)： 解決整除的基本思路就是將代數(shù)式化為整式乘積的形式，然后分析被哪些數(shù)或式子整除【類型六】利用平方差公式進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算利用因式分解計(jì)算：(1)101 2992；2121(2)572×4 428×4.解析： (1)根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可；(2) 先提取公因式，再根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可22(101 99)(1

24、01 99) 400；解： (1)101 99212122111(2)572×4 428×4 (572 428 ) × 4 (572 428)(572428) × 41000×144× 4 36000.方法總結(jié)： 一些比較復(fù)雜的計(jì)算，如果通過變形轉(zhuǎn)化為平方差公式的形式，則可以使運(yùn)算簡(jiǎn)便【類型七】在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式(1) x25；(2) x32x.解析： (1) 直接利用平方差公式分解，即可求得答案；(2) 首先提取公因式x，然后利用平方差公式進(jìn)行二次分解，即可求得答案解： (1) x2 5 ( x5)( x5)

25、；(2) x32x x( x2 2) x( x2)( x2) 方法總結(jié)： 注意因式分解的步驟為：一提公因式；二看公式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行因式分解的結(jié)果可以出現(xiàn)無理數(shù)5課后練習(xí)一、選擇題1下列計(jì)算中正確的是 ()A a2 b3 2a5B a4÷aa4Ca2 ·a4 a8D ( a2)3 a62 (x a)(x2 ax a2)的計(jì)算結(jié)果是 () A x3 2ax2 a3B x3 a3Cx3 2a2x a3D x3 2ax2 2a2 a33下面是某同學(xué)在一次測(cè)驗(yàn)中的計(jì)算摘錄，其中正確的個(gè)數(shù)有() 3x3·( 2x2) 6x5； 4a3b÷(2a2b) 2a； (a

26、3)2 a5； ( a)3÷( a) a2.A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)4若2a3,2b2，則2a 2b= ()A.12B. 7C. 6D.55下列各式是完全平方式的是()A x2 x 1B 1 x2Cx xy 1D x2 2x146把多項(xiàng)式 ax2 ax 2a 分解因式，下列結(jié)果正確的是 ()A a(x 2)(x 1)B a(x 2)(x 1)6Ca( x 1)2D (ax 2)(ax 1)7如 (xm)與 (x 3)的乘積中不含x 的一次項(xiàng)，則m 的值為 () A3B 3C0 D18若 3xyxy等于 () 15,3 5，則 3A 5B 3C 15D 109下列分解因式正確的是( )A x3 x=x(x 2 1)B m2+m 6=(m+3)(m 2)C (a+4)(a 4)=a 2 16D x2+y 2=(x+y)(x y)10從邊長(zhǎng)為a 的正方形中去掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b 的小正方形，如圖，然后將剩余部分剪開拼成一個(gè)矩形，上述操作所能驗(yàn)證的等式是()A a2 b2 =(a+b)(ab)B (a b) 2 =a 2 2ab