教師版第三講 一元二次方程的整數(shù)根問題

1、【教師版】 第三講-一元二次方 程的整數(shù)根問題2第三講一元二次的整數(shù)根問題形如ax2bx c 0的一元二次方程的整數(shù)根是一元二次方程的性質(zhì)中較為復(fù)雜的問題，它不僅涉及到二次方程的相關(guān)知識(shí)，而且還經(jīng)常用到因式分解、整除和不定方程的解法等有著知識(shí)， 具有較強(qiáng)的綜合性和技巧性。因此成為近年來各種自招考試的熱點(diǎn)。下面就以試題為例，談?wù)勥@類題的幾種解題常用方法。例題解析】利用因式分解1、已知關(guān)于x的方程(a 1)x22x a 1 0的根都是整數(shù),當(dāng)a=1時(shí),x=1當(dāng)a工1時(shí),原方程左邊因式分解,得(x-1)(a-1)x+(a+1)=0 x是整數(shù)由上可知符合條件的整數(shù)有5個(gè).由此x1x28或0，分別代入，

2、得2、已知關(guān)于x的方程1 X25a240有兩個(gè)不等的負(fù)整數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的值。那么 么符合條件的整數(shù)a有即得 得X11,x21 1-a=1,2,a=-1,0235a2a2124 a2方程的兩根為X1X2X1X2，即a 1X16a 1X2x1x22x23x,0X2X1X1X2x231, 2, 3, 6X126, 3, 2, 1X22,則a 1X-,443、設(shè)關(guān)于X的二次方程X2Xi(k22，1,0,3，因?yàn)閄1、X2為兩個(gè)不等的負(fù)整數(shù)根，所以4, 1,0,16k28)X22(2 k 6k 4)X k 4的兩根都是整數(shù)，求滿足條件的所有實(shí)數(shù)的值。V (2k26k 4)24(k24)(k2由求根公式得

3、X,X26k8)4(k 6)222k26k 4 2(k 6)2(k26k 8)由于X 1，則有kXiX21兩式相減,X1(X23)2由于Xi,分別代入,X21X2是整數(shù)，故可求得X1易得k=10,6,3。3利用判別式是完全平方式2,X24或X12,X22或X11,X25求形如ax2bX c 0的方程只有一個(gè)整數(shù)根， 或至少有一個(gè)整數(shù)根時(shí)， 可以根據(jù)判別式定是完全平方式解題。例4、 已知關(guān)于X的方程X2+ (k+1)X+ (k-1) =0有兩個(gè)整數(shù)根，求整數(shù)k的值。解法一(判別式之完全平方數(shù))：+14k+4=k22k+5=(k1)2+4=n2(nN)。(nk+1)(n+k1) =4.X24mx

4、4m24m 50的根都是整數(shù)。2方程mx 4x 40有整數(shù)根,Z=16-16m0,得m12 2/ 16m24(4 m24m 5)0綜上所述，5m+2-k,且奇偶性相同解：設(shè)方程的兩整數(shù)根分別是X1，X2，由韋達(dá)定理得X1X2m 1LX,X2m 1L由消去m，可得XIX2(XI1)(X21)(3)則有X11X21X111X2解得:XIXIX2或X2已知關(guān)于X的方程X212 mX m 10的兩根都是正整數(shù)，求m的值。m2 k4m2k2或m2 k2m2k4解得m= 10(舍去)或m 5。當(dāng)m=- 5時(shí)，原方程為X2-5X+6=0，兩根分別為x1=2,x2=3o三、利用韋達(dá)定理(數(shù)的整除性，消參)例7

5、、已知關(guān)于X的方程kx2+(k+1)X+(k1) =0有兩個(gè)整數(shù)根，求整數(shù)k的值。解法六(根與系數(shù)關(guān)系，整除)：11由題意得，k工0,X1+X2=1-,X1X2=1-oTx1、X2、kZ，k= 1 okkk=1時(shí)，X2+2X=0,X1=0,X2=2;k= 1時(shí)，X22=0，無整數(shù)根，舍去。二k=1.2例8、當(dāng)m是什么整數(shù)時(shí)，關(guān)于X的方程X(m 1)Xm 10的兩根都是整數(shù)？1解：若r=0時(shí)，則方程為2X10。解得X1-，不是整數(shù)。2若r 0，設(shè)方程的兩個(gè)整數(shù)根為X1, ,X2(X1X2)，則由韋達(dá)定理，得X1X2r 2,X1X2r于是2X1X22(X1X2)1所以(2x11)(2X21)7因?yàn)?/p>

6、x1, ,X2都是整數(shù)，且X1x2，故有2xT2X21或2X1172X2 1解得X1X2或X14x2解解&a,h為方程的二根，且正為方程的二根，且正Sft則則0 十f? = 12 礎(chǔ)0)品品= =m一一14，得，力，得，力+ +/ (a + 1)(右右+ l) = 122mX4由由T得得m= uh + . ah= I X 5或或2 X 3丫丫 + +二耐二耐 | |=6 m三三=7.或或由由儈儈晉晉a =1時(shí)時(shí) = =5; 4 * 2時(shí)時(shí) / /J 3; d 3時(shí)時(shí). .再再- -2 H =,時(shí)時(shí)，應(yīng)應(yīng)= =1. /= 5或或a時(shí) & &，由，由得得= iih十十1 t

7、 b * /W J 6* m2 m 6 X m 30有兩個(gè)不同的奇數(shù)根， 求整數(shù)m的值。整數(shù)根。10、設(shè)關(guān)于x的一元二次方程設(shè)X1X2,X1X2x1x2m3X X2XX2X11 X218，因?yàn)閄1、X2為奇數(shù)，所以X1X21為偶數(shù)，且Xi1X21，則11、4, 2,2, 4X23,3,mX1X236、試確定一切有理數(shù)使得關(guān)于X的方程rx2(r 2)X r 10有根且只有分別代入a的表達(dá)式，故所求的正整數(shù)a是1,3,6,10。a b m 2a、b(ab)均為整數(shù)且滿足 ab 4m 試直角三角形的三邊長(zhǎng).四、(X所以r經(jīng)檢驗(yàn)知r“反客為主”法12、求出所有正整數(shù)由原方程知24x 4）a2x 12a

8、 -2（X 2）則得 得（X 4）（x解; 得4X2因XlX214或0，得r-或r 131就是所求的一切有理數(shù)。a,使方程ax22(2a 1)X4(a 3) 0至少有一個(gè)整數(shù)根.X工2，不妨將方程整理成關(guān)于的一元一次方程2x 121(因?yàn)槭钦麛?shù))2） 0此，X只能取-4，-3，-1，0，1，2。13、若一直角三角形兩直角邊的長(zhǎng),求這個(gè)【課后練習(xí)】1、一直角三角形的兩邊為整數(shù)，且滿足方程x2(m 2)x 4m 0，試求m的值及直角三角形三邊長(zhǎng)2、求所有的正整數(shù)a，使關(guān)于x的方程ax22(2a 1)x 4(a 3) 0至少有一個(gè)整數(shù) 根。3、已知關(guān)于 x 的方程 x2(a 6)x a 0 的兩根都是整數(shù)，求 a 的值.13a 15 0(a 是非負(fù)整數(shù))至少有一個(gè)整數(shù)根，那10、當(dāng) m 是什么整數(shù)時(shí)， x24mx 4m24m5 0 的根都是整數(shù).4、已知 k 為常數(shù)，關(guān)于 x 的一元二次方程 求k 的值.(k22k)x2(4 6k)x 8 0 的解都是整數(shù),5、已知P為質(zhì)數(shù)，二次方程 x22px 可能的值.5p 10 的兩根都是整數(shù)，請(qǐng)求出P的所有6、已知 12 m 40，且關(guān)于 x 的二次方程2(m 1)x m20 有兩個(gè)整數(shù)根，求整數(shù) m .7、若一直角三角形兩直角邊