高等數(shù)學(xué)上冊(cè)復(fù)習(xí)資料

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）復(fù)習(xí)資料一：函數(shù)的兩個(gè)要素：定義域?qū)?yīng)法則1 兩個(gè)函數(shù)相同：（ 1）定義域相同（ 2）對(duì)應(yīng)法則相同至于自變量與因變量用什么符合來(lái)表示無(wú)所謂。例如：ysin xx與 usin tt是同一個(gè)函數(shù)。2 函數(shù)的幾種特性（1）有界性yf ( x)xD如果存在實(shí)數(shù) k1 ，使得 f ( x)k1 ，則稱 f ( x) 在 D 上有上界如果存在實(shí)數(shù) k2，使得 f (x)k1 ，則稱 f ( x) 在 D 上有下界 。有界：既有上界，又有下界。即存在實(shí)數(shù) k1 ， k2 使得 k2f ( x)k1等價(jià)于存在 k0 ，使得f (x)kxD（ 2）單調(diào)性若對(duì)區(qū)間 I 內(nèi)任意兩點(diǎn) x1x2

2、 ，都有 f (x1 )( ) f ( x2 )，則稱 yf (x) 在 I 內(nèi)單調(diào)增加（減少）。若將“( )”改成“() ”稱為嚴(yán)格單調(diào)增加（減少） 。（3）奇偶性設(shè)函數(shù) yf ( x) 的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱如果f (x)f (x)，則稱f ( x) 為偶函數(shù)如果 f ( x)f ( x)，則稱f (x) 為奇函數(shù)（4） 周期性若 f ( xl )f (x)則稱 f ( x) 是以 l 為周期的函數(shù)注：周期通常指的是它的最小正周期3 復(fù)合函數(shù)設(shè) yf (u) 的定義域?yàn)?D1 ，又 ug(x) 的定義域?yàn)?D ，且 g (D ) D1 ，則函數(shù)y fg( x) x D 稱為由函數(shù) ug( x

3、) 和 函數(shù) yf (u) 構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)。 u 稱為中間變量， 記為： ( f g)( x) fg( x)文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)4 基本初等函數(shù) ：（1）冪函數(shù)yx（ ）指數(shù)函數(shù)yax(a 0 , a 1)2（3）對(duì)數(shù)函數(shù) yloga x特例 ae, y ln x（4）三角函數(shù)ysin x, ycos x等（5）反三角函數(shù)yarcsin x, yarccos x 等5 初等函數(shù)：由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和有限次復(fù)合運(yùn)算得到的并可以用一個(gè)式子表示的函數(shù)。x1x0兩個(gè)式子，故不是初等函數(shù)例： f ( x)21xx06 函數(shù)的極限當(dāng) x時(shí)，若 f ( x) 無(wú)限地接近于某個(gè)確定的數(shù)A ，則稱

4、A 為 f ( x) 當(dāng) x時(shí)的極限。記為 limf ( x)Ax重要結(jié)論 ： limf (x)Alim f (x)lim f ( x)Axxxlimf ( x) A的幾何意義：x一、yA 是他的水平漸近線例如： lim 10xxfxAfxB二、lim)lim而 A B，則說(shuō)明它有兩條漸近( )xx線。例如： lim arctan x, y, y兩條漸近線。x22當(dāng) xx0 時(shí) ，如果 f ( x) 無(wú)限地接近于某一確定的常數(shù)A ，則稱 A 為 f ( x) 當(dāng)xx0 時(shí)的極限。記為： limf (x)Ax x0注：（1） f ( x) 在 x0處的極限存在與否與f (x) 在 xx0 處有無(wú)

5、定義沒(méi)有關(guān)系。因?yàn)槎x中沒(méi)有要求 xx0 ，只是 xx0（2） x 趨近于 x0 的方式是任意的。（即 可以從左邊，也可以從右邊）左極限：當(dāng) x 從左邊趨近于 x0（記為： x x0）時(shí) ， f (x)A ，則稱 A 為 f (x)當(dāng) xx0 時(shí)的左極限。記為： limf ( x) A 或 f ( x0 ) A 。x x0文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)右極限 ： limf (x)Ax x0lim f ( x) Alimf ( x) limf (x) Ax x0x x0x x0即左右極限存在且相等若： f ( x0 )f (x0) ，則 limf (x) 不存在x x07 無(wú)窮小量定義：以0 為極限的變量稱為無(wú)窮

6、?。浚┒x： 當(dāng) xx0 （或 x）時(shí) ，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的絕對(duì)值f ( x) 無(wú)限增大注意 無(wú)窮大是一種特殊的無(wú)界變量，但無(wú)界變量不一定是無(wú)窮大無(wú)窮大的幾何意義：lim f (x)，直線 xx0 是函數(shù) yf ( x) 圖形的鉛直漸近線 （回憶水x x0平漸近線定理二： 在自變量的同一變化過(guò)程中，如果f ( x) 為無(wú)窮大 ，則1為無(wú)窮f ( x)小；反之 ，如果 f (x) 為無(wú)窮小 ，且 f ( x)0 ，則1為無(wú)窮大。f ( x)無(wú)窮小的性質(zhì)：定理三：有限 個(gè)無(wú)窮小的和仍是無(wú)窮小定理二： 有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小推論：（1） 有極限的量與無(wú)窮小的量的乘積是無(wú)窮小。（有極限有界）（

7、2）常數(shù)與無(wú)窮小量的乘積是無(wú)窮?。?3）有限個(gè)無(wú)窮小量的乘積也是無(wú)窮小8 無(wú)窮小的比較定義：設(shè),都是無(wú)窮小(1)若 lim0，則稱是比高階的無(wú)窮小 ，記為：0( )(2)若 lim，則稱是比低階的無(wú)窮小(3)若 limc0 ，則稱與是同階無(wú)窮小(4)若 lim1，則稱與是等價(jià)無(wú)窮小 ，記為：最重要是等價(jià)無(wú)窮小 ，關(guān)于等價(jià)無(wú)窮小，我們要記住以下結(jié)論當(dāng) x 0時(shí) ， sin x x, tan x x ,ln(1 x) x , ex1 x， arcsin x x，文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)arctan x x，n 1x 1 1x ，1 cos x 1x2 ，ax1 x ln a ，(1 x) 1 xn2注意其引申

8、sin kx kx, tan kx kx即上面的無(wú)窮小可換成其他無(wú)窮小' ，' ，且 lim'定理一 ：設(shè)'存在，則'limlim'9 函數(shù)的連續(xù)性定義：設(shè)函數(shù) yf ( x) 在點(diǎn) x 0 的某一鄰域內(nèi)有定義，如果limy limf (x0x)f (x0 )0 ，則稱 yf ( x) 在點(diǎn) x 0 處連續(xù)。x0x0強(qiáng)調(diào)：x0 包含x0, x0； x 0,x 0記： x0x x ，則 yf ( x0x) f ( x0 )f ( x) f ( x0 )f ( x)f ( x0 ) yx0相當(dāng)于 xx0y0相當(dāng)于f ( x)f ( x0 )由此 ，我

9、們得到連續(xù)的另一個(gè)等價(jià)定義定義 2：設(shè) yf ( x) 在點(diǎn) x 0 的某一鄰域內(nèi)有定義，如果 lim f ( x)f ( x0 )，則x x0稱 yf (x) 在點(diǎn) x0 處連續(xù)。即 ：在 x 0 處的極限等于它在該點(diǎn)的函數(shù)值與左、右極限相對(duì)應(yīng)，也有左、右連續(xù)的概念若 limy0，即 limf ( x)f ( x0 )，則稱 f ( x) 在點(diǎn) x0 處左連續(xù)x 0xx0若 limy0，即 limf (x)f ( x0 )，則稱 f ( x) 在點(diǎn) x0 處右連續(xù)x 0xx0y f (x) 在點(diǎn) x 0 處連續(xù)左右都連續(xù)即limf ( x)limf (x)f (x0 )x0x 0若函數(shù) yf

10、 ( x) 在點(diǎn) x0處不連續(xù)，則稱 yf ( x) 在點(diǎn) x0 處間斷。 x0稱為yf (x) 的間斷點(diǎn)。文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)（ 1） 可去間斷點(diǎn)極限 lim f (x ) 存在 ，但 yf ( x) 在點(diǎn) x0 處無(wú)定義或 yf (x) 在點(diǎn) x0 處有定xx0義 ，但 limf ( x)f (x0 ) 。則稱 x0 為 f ( x) 的可去間斷點(diǎn) 。x x0（ 2 ）跳躍間斷點(diǎn)若 lim f ( x) 與 lim f (x) 存在，但 lim f (x)lim f ( x)x x0x x0x x0x x0可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn) 。第一類間斷點(diǎn)的特點(diǎn)是左右極限都存在。第一類間斷點(diǎn)

11、以外的間斷點(diǎn)稱為 第二類間斷點(diǎn) 。特點(diǎn)：是至少有一個(gè)單側(cè)極限不存在。常見(jiàn)的有 無(wú)窮間斷點(diǎn)。特點(diǎn)：至少有一個(gè)單側(cè)極限為無(wú)窮大。一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的10 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義：設(shè)函數(shù) yf ( x) 在點(diǎn) x0 處的某個(gè)鄰域 U (x0 ) 內(nèi)有定義，給x0 以增量 x（ x0 ,( x0x) U ( x0 ) 仍然在該鄰域內(nèi)），若 limylimf ( x0x) f ( x0 )x 0xx0x存在。 則稱 f ( x) 在 x0 處可導(dǎo)。 并稱這個(gè)極限值為f ( x) 在 x0 處的導(dǎo)數(shù)。記為：f ( x)， yx x0，df ( x),dy即 f ( x)limf ( x0x)f (

12、x0 )dxx x0dx x x0xx 0關(guān)于導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明：（1）導(dǎo)數(shù)反映因變量關(guān)于自變量的變化率，即反映了因變量隨自變量的變化而變化的快慢程度。（2） 令 x0xx，當(dāng)x 0 時(shí) xx0等價(jià)定義f (x0 )limf ( x)f (x0 )或x x0xx0f (x0 )limf ( x0h) f ( x0 )hh 0（1） 若定義中極限不存在，則稱 f ( x) 在 x0 處不可導(dǎo)。 在不可導(dǎo)中有一個(gè)特殊情形。當(dāng)limy，則稱 f ( x) 在 x0處的導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大。xx 0（2） 如果函數(shù) yf ( x) 在開區(qū)間 I 內(nèi)的每一點(diǎn)處都可導(dǎo)， 就稱函數(shù) y f (x)在開區(qū)間 I內(nèi)可導(dǎo)。（

13、3） 對(duì)于任一個(gè)xI，都對(duì)應(yīng)著 f ( x) 的一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)值 ， xf ( x) 。文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)這個(gè)函數(shù)即ylim叫做原來(lái)函數(shù) f (x) 的導(dǎo)函數(shù) 。記作： y f ( x)dy或 df (x)f ( x x) f (x)dxdx或f ( x)limx0f ( xxh)f (x)h0h注 ：（1）導(dǎo)函數(shù) f ( x) 簡(jiǎn)稱為導(dǎo)數(shù)（2） f ( x0 )f (x) x x0（ 6）單側(cè)導(dǎo)數(shù)1 、左導(dǎo)數(shù)f ( x0 )lim f (x)f ( x0 )limf ( x x) f ( x)x x0xx0x 0x2、 右導(dǎo)數(shù)f ( x0 ) limf ( x)f (x0 )f (xx) f (

14、x)xlimxx x0x0f (x0 ) 存在f ( x0 )f (x0 )（ 7）如果 f ( x) 在開區(qū)間 (a , b) 內(nèi)可導(dǎo) ，且 f (b)及f ( a) 都存在，就說(shuō) f ( x) 在閉區(qū)間 a , b 上可導(dǎo)。函 數(shù) f ( x) 在 點(diǎn) x0 處 的導(dǎo) 數(shù) f (x0 ) 的 幾何 意義 就是 曲線 yf (x) 在對(duì) 應(yīng)點(diǎn)A( x0 , y0 ) 處的切線的斜率。于是：曲線 yf ( x) 在點(diǎn) A(x0 , y0 ) 處的切線方程可寫成：（ 1） f (x0 ) 存在，則切線方程：yy0f (x0 )( x x0 )法線方程：yy01(x x0 )f (x0 )（ 2）

15、若 f ( x0 )切線方程： x x0法線方程： y y0文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)定理：若 f (x) 在 x0 處可導(dǎo)。則 f (x) 在 x0 處必連續(xù)連續(xù)但不可導(dǎo)的例子：y x 在 x0 處lim x0f (0)所以連續(xù)，但不可導(dǎo)x0注：若不連續(xù)，則一定不可導(dǎo)11 函數(shù)的微分定義：設(shè)函數(shù) yf ( x) 在某區(qū)間內(nèi)有定義，在xx0 處給自變量以增量x ，如果相應(yīng)的函數(shù)的增量y 總能表示 為：yA xo(x)，其中 A 與x 無(wú)關(guān)，o( x) 是x 的高階無(wú)窮小。則稱函數(shù)yf ( x) 在點(diǎn) x0 處可微。并稱 A x 為 f (x)在點(diǎn) x0 處的微分。記作： dy 或 df ( x)即： dyA

16、 xA 稱為微分系數(shù)。定理：函數(shù) yf (x) 在 x0 處可微函數(shù) yf (x) 在 x0 處可導(dǎo)我們得到函數(shù)的可微性與可導(dǎo)性是等價(jià)的。（可微可導(dǎo)）。函數(shù)在 x 處的微分 dyf (x)dx12 函數(shù)的不定積分定義 1 設(shè)函數(shù) F（x）在某區(qū)間 I 上可導(dǎo)，且 x I 有 F( x)= f （ x），則稱 F（x）為函數(shù) f （x）在區(qū)間 I 上的一個(gè) 原函數(shù) .定理 1 設(shè) F（ x）是 f （x）在區(qū)間 I 上的一個(gè)原函數(shù)，則 F（ x） +C（C 為任意常數(shù) ）為 f （x）的全體原函數(shù) .定義設(shè)函數(shù) f（ x）在區(qū)間 I 上有定義， 稱 f（ x）在區(qū)間 I 上的原函數(shù)的全體為f（

17、x）在 I 上的不定積分，記作f (x)dx ，其中記號(hào)“”稱為積分號(hào)，f （ x）稱為被積函數(shù)，x 稱為積分變量 .定理 1設(shè) F（ x）是 f （ x）在區(qū)間 I 上的一個(gè)原函數(shù)，則f ( x)dx=F（ x） +C，C為任意常數(shù) .強(qiáng)調(diào)： c 不能丟， F (x) 僅是一個(gè)原函數(shù)，不定積分是原函數(shù)的全體。通常，我們把 f （ x）在區(qū)間 I 上的原函數(shù)的圖形稱為 f （x）的 積分曲線 ，不定積分的性質(zhì)（ 1）f (x)g( x) dx =f ( x)d x +g( x)d x ，其中 ， 為常數(shù)；（ 2） df ( x)d x =f （ x）；dx（ 3）f (x)dx =f ( x)

18、+ C, C為任意常數(shù) .文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)13 函數(shù)的定積分定義設(shè)函數(shù) f （x 在區(qū)間 a， b上有界，今取n+1 個(gè)分點(diǎn)：a=x0x1 x2 xi1 xi xn1 xn=b，將 a， b分成 n 個(gè)小區(qū)間 xi， x，其長(zhǎng)度記為x=xixi（ i =1，2， ， n），1ii1并令 =maxxi,1 in若 i xi 1, xi （ i =1， 2， ， n），極限nlimf ( i )xi0i 1存在，且該極限值與對(duì)區(qū)間a， 的分劃及的取法無(wú)關(guān)，則稱f（）在，bixab上可積，且稱該極限值為f （ x）在 a，b上的定積分，記為b( )d，其中 , f （ x）稱f xxan為被積函數(shù)， x

19、 稱為積分變量， a 和 b 分別稱為積分下限和上限， a，b稱為積分區(qū)間，fi1（ i ）xi 稱為積分和 .注意：（ 1）定積分是一個(gè)和式的極限 ，它是一個(gè) 數(shù)。和式很復(fù)雜 ，區(qū)間的分法 無(wú)窮多 ，點(diǎn)的 取法也無(wú)窮多。 但是，極限與取法、分法無(wú)關(guān)。（ 2）定積分由被積函數(shù)f ( x) 與積分區(qū)間a , b 確定 ，與積分變量無(wú)關(guān)。即bbf (t) dtbf ( x) dxaf (u)du。aa（ 3）曲邊梯形的面積Abf ( x)dxa（ 4）當(dāng)被積函數(shù)在積分區(qū)間上恒等于1 時(shí)，其積分值即為積分區(qū)間長(zhǎng)度，即ba；f ( x)dx =ba（ 5）可積條件為方便起見(jiàn)，我們用（ ， ）表示區(qū)間

20、，上所有可積函數(shù)的集合，可Raba b以證明：（ 1）若 f （ x） C（ a， b），則 f （ x） R（ a，b）；（ 2）若 f （ x）為 a， b上的單調(diào)有界函數(shù)，則 f （x） R（ a， b）；（ 3）若 f （ x）在 a， b上僅有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)，則 f （x） R（ a， b）.定積分的幾何意義：b（ 1）（ 2）f (x)0,f (x) dxSabf (x)0,f (x) dxS圖圖a（ 3）f ( x) 在 a ,b 上有正有負(fù)圖文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)baf (x)dx S1 S2 S3 面積的代數(shù)和總之，若f （ x） C（ a， b），則定積分b( )d的幾何意義是表

21、示由x 軸、曲線fx xay=f （ x）、直線 x=a 與 x=b 所圍成的各部分圖形面積的代數(shù)和，其中位于x 軸上方的圖形面積取正號(hào)，位于x 軸下方的圖形面積取負(fù)號(hào).定積分的性質(zhì)（ 1） 當(dāng) a=b 時(shí)，bf ( x)dx =0；abf ( x)dx =a（ 2） 當(dāng) a b 時(shí)，f (x)dxab積分中值定理）設(shè) f （ x） C（ a， b），則 a， b，使得ba）.f ( x)dx =f （ ）（ ba設(shè) f （ x） C（a，b）， F（ x）是 f （x）在a， b上的一個(gè)原函數(shù)，則bf (x)dx =F（ bF（ a） .a要掌握的具體內(nèi)容：如何求極限；如何求導(dǎo)數(shù)與微分如何求

22、不定積分與定積分導(dǎo)數(shù)和定積分的應(yīng)用一如何求極限求極限的方法（ 1） 約去零因子法（適用于 xx0 時(shí)的 0 型）0（ ） 無(wú)窮小因子分出法（適用于x時(shí)的型）2當(dāng) x時(shí)有理分式的極限為a0nmb0a0 xma1xm 1amlim0nmnn 1xb0 xb1 xbnnm（ 3） 有理化（適用于含有根式的極限）（ 4） 通分（適用于型）（ 5） 利用兩個(gè)重要極限1 第一個(gè)重要極限lim sin x1x 0x這個(gè)極限的特點(diǎn)：（1）0型（2） sin x0x文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)推廣 ：lim sin u(x)1 ，其中 u( x) 是 x 的該變化過(guò)程中的無(wú)窮小某過(guò)程u(x)2 第二個(gè)重要極限lim(11 )

23、xe（ e 是無(wú)理數(shù)， e2.71828）x x幾種變形lim(11) nen n1lim (1x) xex0有如下特點(diǎn)：（ 1）1型（ 2） 加號(hào)上的量與肩膀上的量互為倒數(shù)1u ( x)推廣：若 lim u(x)，則lim1eu( x)若 lim u( x)01， lim 1 u( x) u ( x )e（ 6）等價(jià)無(wú)窮小替換當(dāng)x0時(shí) ， sinxx, tanxx,ln(1) x,ex1x， arcsin x x，xarctan x x，n 1x1 1 x，1cos x 1 x2，ax1 x ln a，(1 x) 1xn2注意其引申sin kx kx, tan kx kx即上面的無(wú)窮小可換成

24、其他無(wú)窮小'''定理一 ：設(shè)，且 lim'存在，則'limlim'強(qiáng)調(diào)：乘積時(shí)才用等價(jià)無(wú)窮小代替，在加減中不能代替，即被替換的無(wú)窮小必須處于乘積因子位置例： limtan xsin x3x 0sin x原式 lim xx0錯(cuò)在加減中不要替換x 0x3（ 7）利用無(wú)窮小的性質(zhì)（ 定理二： 有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮?。?8）利用左右極限與極限的關(guān)系（適用于分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限）（ 9）連續(xù)性的定義（設(shè)連續(xù)函數(shù)yf (x) 在點(diǎn) x 0 的某一鄰域內(nèi)有定義，則文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)lim f (x)f ( x0 )）xx0（ 10）洛必達(dá)法則0 型，

25、型直接使用法則，00型，將其中的一個(gè)倒下來(lái)，化成0 型或 型，再使用法則。0型，通分后化成0 型，再使用法則。01 , 00 , 0 型，化成以 e 為底的指數(shù)，或取對(duì)數(shù)后化成 0以上 10 種方法中，特別要注意洛必達(dá)法則與重要極限，無(wú)窮小替換，相結(jié)合二 如何求導(dǎo)數(shù)（1）基本求導(dǎo)公式求導(dǎo)公式：（ 1） (c)0（ 2） (x )x 1 特例： ( x)1,( x )1,( 1)12xxx2（ 3） (a x )axln a特例： ( ex )ex（ 4） (log ax)1特例：1,(ln x )1xln a(ln x)xx（ 5） (sin x)cos x(cos x)sin x(tan x

26、)sec2 x(cot x)csc2 x(sec x)secx tan x(csc x)csc xcot x（ 6） (arcsin x)1(arccos x)11x21x21(arccot x)1(arctan x)x21x21（ 2）求導(dǎo)的四則運(yùn)算法則：(u v)uv(uv)u vuv( u)u vuv (v0)( cu)cuc 為常數(shù)vv2（ 3） 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則定理三：如果 ug (x) 在點(diǎn) x 處可導(dǎo)，而 yf (u) 在點(diǎn) ug( x) 處可導(dǎo)，則復(fù)文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)合函數(shù) yfg (x) 在點(diǎn) x 處可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為：dydydu或 yf (u) g ( x)鏈?zhǔn)椒▌tdxdudx

27、dydy ： f (u) 對(duì) u 的導(dǎo)數(shù)：函數(shù)對(duì) x 的導(dǎo)數(shù)dxdudu ： ug (x) 對(duì) x 求導(dǎo)dx復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，等于函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)。（ 4） 參數(shù)方程的求導(dǎo)法若參數(shù)方程x(t ) 確定 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系， 稱此為由參數(shù)方程所確定的函y(t )數(shù)。dydy(t)求導(dǎo)公式dty 對(duì) t 的導(dǎo)數(shù)比上 x 對(duì) t 的導(dǎo)數(shù)dxdx(t)dtddy二階導(dǎo)數(shù)d 2 y dt( dx)dy對(duì) t 的導(dǎo)數(shù)比上 x 對(duì) t 的導(dǎo)數(shù)dx2dxdxdt（ 5） 隱含數(shù)的求導(dǎo)法什么叫隱含數(shù)？定義：由方程所確定的函數(shù)yf (x) 稱為隱函數(shù)隱函數(shù)的求導(dǎo)法則：用復(fù)合函數(shù)

28、的求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo)（ 6）對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 ： 先兩邊取對(duì)數(shù) ，然后按照隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求導(dǎo)。適用范圍：（1）冪指函數(shù) u(x)v (x ) （ 2）多個(gè)函數(shù)相乘或還有開方的情況（ 7）變限函數(shù)的求導(dǎo)dx ( x)=f (t )d t =f ( x)dxa( x)f ( ( x) ( x)f (t) dt)du( x)= f （u（x）u ( x)f ( v( x) v( x).dxf (t )dtv( x)（ 8）如何求微分 dy f ( x) dx先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，則dyf (x)dx千萬(wàn)不要忘記寫 dx文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)三如何求積分基本積分公式kdxkx Ck為常數(shù)） ,= + （xa d

29、 =1xa 1+C( a1),xa1特別地：12 dx1cdx2 x cxxx 1 dx =ln x +C( x 0),x exdx =ex+C,x1xa dx =a +C( a 0 且 a 1), cos xdx =sin x+C,sin xdx=cosx C+ , sec2 xdx =t anx+C,csc2 xdx =cotx +C, secx tan xdx =sec x+C,csc x cot xdx =csc x+C,11121dx = arcsin x +C,1x21312dx = arctan xc1x積分的方法一，分項(xiàng)積分f ( x)g( x) dx =f ( x)dx +g

30、( x)dx ，其中 ， 為常數(shù)；b=b)db)df ( x)g ( x) dx(x(f xg x xaaa二 換元法第一換元法（湊微分）f ( ( x)( x)d x = f ( x)d(x) u( x)f (u) du F (u) cu( x) F ( (x)+ C.文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)（注意：中間的換元過(guò)程可省略。 ）bbF ( ( x) baf ( x)( x)dxf ( x)d (x)aa第二換元f ( x)dx x(t) f (t )d(t)f (t)(t )dt F (t ) c還原 t=1 (x)F (1 (x)cbx(t)f ( (t )(t )dtF (t)f (x)dxdx(t

31、)dta對(duì)于定積分的第二換元法要注意：（ 1） 換元必?fù)Q限（ 2） 當(dāng) ab 時(shí) ，不一定有，但下限一定要對(duì)應(yīng)下限，上限一定要對(duì)應(yīng)上限（ 3）,選取可能不唯一，原則上：不自找麻煩，越小越好三 分部積分uv dxudvuvvdu uvvu dxbbbbbba uv dxa udvuv aa vdu uv aa vu dx注意： 1 將誰(shuí)看成 v2 回歸法對(duì)于定積分還有三個(gè)要注意的地方一， 分段函數(shù)的定積分如果積分區(qū)間包含了被積函數(shù)的分段點(diǎn)， 則利用積分對(duì)區(qū)間的可加性， 分成幾個(gè)定積分的和。例：f ( x)1x 2,x0 ，計(jì)算1fx dxx1()e,x010f (x)dx1f ( x)dx01x

32、 dxf ( x)dx10(1 x2 )dxe110解：( x1 x3 )0( e x )17e 13103例： f ( x)x1 ，求1f ( x)dx3解：因?yàn)?f (x)x1 ,x1;x1 ,x1文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)11111f (x)dxf ( x)dxf ( x)dx( x 1)dx(x 1)dx33131( 1 x 21( 1 x21x)x)22321二 奇零偶倍a0若 f ( x)為奇函數(shù)f ( x)dxaf ( x) dx若 f ( x)為偶函數(shù)a20三、廣義積分（ 1）無(wú)窮積分f ( x)dxlimt定義：f (x)dxatablimbf ( x) dxf ( x)dxtt0f (

33、x)dx 都收斂 ，則f ( x)dx 收斂 ，且定義為這兩若廣義積分f (x)dx 與0個(gè)廣義積分之和。f (x)dx0f (x)dxf ( x)dx0=lim0tf ( x) dx limf ( x)dxttt0計(jì)算：f ( x)dxF (x)alim F (x)F (a)axbF ( x)bF (b)limF ( x)f ( x)dxxf (x)dxF ( x)limF ( x)limF ( x)xx（ 2）瑕積分定義：若 xb為 f ( x) 的瑕點(diǎn)，則blimtf (x)dxf ( x)dxat ba若 xa 為f ( x) 的瑕點(diǎn)，則bbf(x)dxlim( )t af x dxat若 xc (a,b) 為 f ( x) 的瑕點(diǎn)，則bf (x)dx limtlimbf ( x)dxf ( x)dxat cat ct計(jì)算：若 xb 為 f ( x) 的瑕點(diǎn)，則bF ( x)f ( x)dxa若 xa 為 f ( x) 的瑕點(diǎn)，則bF ( x)f (x)dxablim F ( x)F ( a)ax bbF (b) limF ( x)a