高中數(shù)學(xué)排列組合經(jīng)典題型全面總結(jié)材料版

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案高中數(shù)學(xué)排列與組合（一）典型分類講解一.特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略例 1. 由 0,1,2,3,4,5 可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù).解:由于末位和首位有特殊要求,應(yīng)該優(yōu)先安排 ,以免不合要求的元素占了這兩個(gè)位置.先排末位共有 C31然后排首位共有 C411313C4A 4C3最后排其它位置共有 A4由分步計(jì)數(shù)原理得 C41C31 A43288練習(xí)題 :7 種不同的花種在排成一列的花盆里,若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問有多少不同的種法？二.相鄰元素捆綁策略例 2. 7 人站成一排,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰, 共有多少種不同的排法.解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并

2、看成一個(gè)復(fù)合元素，同時(shí)丙丁也看成一個(gè)復(fù)合元素，再與其它元素進(jìn)行排列，同時(shí)對相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行自排。由分步計(jì)數(shù)原理可得共有A55 A22 A22480 種不同的排法甲乙丙丁要求某幾個(gè)元素必須排在一起的問題 ,可以用捆綁法來解決問題 .即將需要相鄰的元素合并為一個(gè)元素 ,再與其它元素一起作排列 ,同時(shí)要注意合并元素內(nèi)部也必須排列 .練習(xí)題 :某人射擊8 槍，命中 4 槍， 4 槍命中恰好有3 槍連在一起的情形的不同種數(shù)為20三.不相鄰問題插空策略例 3. 一個(gè)晚會的節(jié)目有4 個(gè)舞蹈 ,2 個(gè)相聲 ,3 個(gè)獨(dú)唱 ,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場,則節(jié)目的出場順序有多少種？解:分兩步進(jìn)行第一步排2 個(gè)相聲和 3

3、個(gè)獨(dú)唱共有 A55 種，第二步將 4 舞蹈插入第一步排好的6 個(gè)元素中間包含首尾兩個(gè)空位共有種 A64不同的方法 ,由分步計(jì)數(shù)原理 ,節(jié)目的不同順序共有A55 A64種元素相離問題可先把沒有位置要求的元素進(jìn)行排隊(duì)再把不相鄰元素插入中間和兩端練習(xí)題：某班新年聯(lián)歡會原定的5 個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個(gè)新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為30四.定序問題倍縮空位插入策略例4.7人排隊(duì) ,其中甲乙丙3 人順序一定共有多少不同的排法解:(倍縮法 ) 對于某幾個(gè)元素順序一定的排列問題,可先把這幾個(gè)元素與其他元素一起進(jìn)行排列,然后用總排列數(shù)除以這幾個(gè)

4、元素之間的全排列數(shù) ,則共有不同排法種數(shù)是： A 77 / A 33(空位法 )設(shè)想有 7 把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有A74種方法，其余的三個(gè)位置甲乙丙共有1 種坐法， 則共有 A74種方法。思考 :可以先讓甲乙丙就坐嗎?（插入法 )先排甲乙丙三個(gè)人 ,共有 1種排法 ,再把其余 4四人依次插入共有方法定序問題可以用倍縮法，還可轉(zhuǎn)化為占位插空模型處理文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案練習(xí)題 :10 人身高各不相等,排成前后排，每排5 人 ,要求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？C105五.重排問題求冪策略例 5. 把 6 名實(shí)習(xí)生分配到7 個(gè)車間實(shí)習(xí) ,共有多少種不同的分法解:完成此事共分六步:把第一

5、名實(shí)習(xí)生分配到車間有7 種分法 .把第二名實(shí)習(xí)生分配到車間也有7 種分依此類推 ,由分步計(jì)數(shù)原理共有 76 種不同的排法允許重復(fù)的排列問題的特點(diǎn)是以元素為研究對象，元素不受位置的約束，可以逐一安排各個(gè)元素的位置，一般地n 不同的元素沒有限制地安排在m 個(gè)位置上的排列數(shù)為mn 種練習(xí)題：1 某班新年聯(lián)歡會原定的5 個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為422. 某 8 層大樓一樓電梯上來 8 名乘客人 ,他們到各自的一層下電梯 ,下電梯的方法 78六.環(huán)排問題線排策略例 6. 8 人圍桌而坐 ,共有多少種坐法?解：圍桌而坐與坐成一排的不

6、同點(diǎn)在于，坐成圓形沒有首尾之分，所以固定一人A44 并從此位置把圓形展成直線其余7 人共有（8-1 ）！種排法即7 ！CD BEAABCDEFGHAF HG1m一般地 ,n 個(gè)不同元素作圓形排列,共有 (n-1)! 種排法 .如果從 n 個(gè)不同元素中取出m 個(gè)元素作圓形排列共有A nn練習(xí)題： 6 顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈120七.多排問題直排策略例 7.8 人排成前后兩排 , 每排 4 人 ,其中甲乙在前排 ,丙在后排 ,共有多少排法解 :8 人排前后兩排 ,相當(dāng)于 8 人坐 8 把椅子 ,可以把椅子排成一排 .個(gè)特殊元素有A42 種 ,再排后 4 個(gè)位置上的特殊元素丙有 A14種

7、 ,其余的 5 人在 5 個(gè)位置上任意排列有 A55種,則共有 A 42A14 A 55種前排后排一般地 , 元素分成多排的排列問題, 可歸結(jié)為一排考慮,再分段研究 .練習(xí)題：有兩排座位，前排11 個(gè)座位，后排12 個(gè)座位，現(xiàn)安排2 人就座規(guī)定前排中間的3 個(gè)座位不能坐，并且這2 人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是346八.排列組合混合問題先選后排策略例 8. 有 5 個(gè)不同的小球 ,裝入 4個(gè)不同的盒內(nèi) ,每盒至少裝一個(gè)球 ,共有多少不同的裝法 .解 :第一步從 5 個(gè)球中選出2 個(gè)組成復(fù)合元共有C52種方法 .再把 4 個(gè)元素 (包含一個(gè)復(fù)合元素 )裝入 4 個(gè)不同的盒內(nèi)有A 44種方文檔

8、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理裝球的方法共有C52 A44解決排列組合混合問題 ,先選后排是最基本的指導(dǎo)思想.此法與相鄰元素捆綁策略相似嗎?練習(xí)題：一個(gè)班有6 名戰(zhàn)士 ,其中正副班長各1 人現(xiàn)從中選4 人完成四種不同的任務(wù) ,每人完成一種任務(wù) ,且正副班長有且只有 1 人參加 ,則不同的選法有 192種九.小集團(tuán)問題先整體后局部策略例 9. 用 1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)其中恰有兩個(gè)偶數(shù)夾1,在兩個(gè)奇數(shù)之間 ,這樣的五位數(shù)有多少個(gè)？解：把 , , ,當(dāng)作一個(gè)小集團(tuán)與排隊(duì)共有A 22種排法，再排小集團(tuán)內(nèi)部共有A22 A22種排法，由分步計(jì)數(shù)原理共有A222152432A2A2

9、種排法.練習(xí)題：.計(jì)劃展出10幅不同的畫 , 其中 1幅水彩畫 ,幅油畫 ,幅國畫 , 排成一行陳列 ,要求同一品種的必須連在一起， 并且水彩畫不在兩端，那么共有陳列方式的種數(shù)為A22 A55A 442. 5 男生和女生站成一排照像 ,男生相鄰 ,女生也相鄰的排法有 A 22 A 55 A55 種十.元素相同問題隔板策略例 10. 有 10 個(gè)運(yùn)動員名額，分給7 個(gè)班，每班至少一個(gè),有多少種分配方案？解：因?yàn)?10 個(gè)名額沒有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成個(gè)空隙。在個(gè)空檔中選個(gè)位置插個(gè)隔板，可把名額分成份，對應(yīng)地分給個(gè)班級，每一種插板方法對應(yīng)一種分法共有C96 種分法。一二三四五六七班

10、班班班班班班將 n 個(gè)相同的元素分成m 份（ n， m 為正整數(shù)） ,每份至少一個(gè)元素 ,可以用 m-1塊隔板，插入n 個(gè)元素排成一排的n-1 個(gè)空隙中，所有分法數(shù)為Cnm11練習(xí)題：1 10 個(gè)相同的球裝5 個(gè)盒中 ,每盒至少一有多少裝法？C942 . xy z w100求這個(gè)方程組的自然數(shù)解的組數(shù)C1033十一 .正難則反總體淘汰策略例 11. 從 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個(gè)數(shù)字中取出三個(gè)數(shù)，使其和為不小于10 的偶數(shù) ,不同的取法有多少種？解：這問題中如果直接求不小于10 的偶數(shù)很困難 ,可用總體淘汰法。這十個(gè)數(shù)字中有5個(gè)偶數(shù) 5 個(gè)奇數(shù) ,所取的三個(gè)數(shù)含有3個(gè)偶數(shù)的取

11、法有 C3,只含有 1個(gè)偶數(shù)的取法有C1C2 , 和為偶數(shù)的取法共有 C51C52C53。再淘汰和小于10 的偶數(shù)共 9555種，符合條件的取法共有 C51C52C539有些排列組合問題 ,正面直接考慮比較復(fù)雜,而它的反面往往比較簡捷,可以先求出它的反面,再從整體中淘汰 .練習(xí)題：我們班里有 43 位同學(xué) ,從中任抽 5 人 ,正、副班長、團(tuán)支部書記至少有一人在內(nèi)的抽法有多少種 ?文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案十二 .平均分組問題除法策略例 12. 6 本不同的書平均分成 3 堆 ,每堆 2 本共有多少分法？解: 分三步取書得 C62C42C22 種方法 ,但這里出現(xiàn)重復(fù)計(jì)數(shù)的現(xiàn)象 ,不妨記 6 本書為 A

12、BCDEF，若第一步取 AB, 第二步取 CD, 第三步取 EF 該分法記為 (AB,CD,EF), 則 C62C42 C22中還有 (AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有 A33種取法 , 而這些分法僅是 (AB,CD,EF) 一種分法 ,故共有 C62C42 C22 / A33種分法。平均分成的組 ,不管它們的順序如何 ,都是一種情況 ,所以分組后要一定要除以Ann ( n 為均分的組數(shù) )避免重復(fù)計(jì)數(shù)。練習(xí)題：1 將 13 個(gè)球隊(duì)分成 3 組 ,一組 5 個(gè)隊(duì) ,其它兩組 4 個(gè)隊(duì) , 有多少分法？（ C135C84

13、C44 / A 22 ）2.10 名學(xué)生分成 3 組 ,其中一組 4 人, 另兩組 3 人但正副班長不能分在同一組,有多少種不同的分組方法（ 1540 ）3.某校高二年級共有六個(gè)班級，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入 4 名學(xué)生，要安排到該年級的兩個(gè)班級且每班安排2名，則不同的安排方案種數(shù)為_（ C42C22 A 62 / A 2290 ）十三 . 合理分類與分步策略例 13. 在一次演唱會上共10 名演員 ,其中 8人能能唱歌 ,5 人會跳舞 ,現(xiàn)要演出一個(gè) 2人唱歌 2 人伴舞的節(jié)目 ,有多少選派方法解： 10 演員中有5 人只會唱歌， 2 人只會跳舞3 人為全能演員。選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行研究只會唱的5 人

14、中沒有人選上唱歌人員共有C32C32種,只會唱的5 人中只有 1 人選上唱歌人員 C51C31C42種 ,只會唱的5 人中只有 2人選上唱歌人員有C52C52 種，由分類計(jì)數(shù)原理共有C32 C32C51C31C42C52C52種。解含有約束條件的排列組合問題，可按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到標(biāo)準(zhǔn)明確。分步層次清楚，不重不漏，分類標(biāo)準(zhǔn)一旦確定要貫穿于解題過程的始終。練習(xí)題：1.從 4 名男生和 3 名女生中選出4 人參加某個(gè)座談會，若這4 人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有342. 3 成人 2 小孩乘船游玩 ,1 號船最多乘 3 人, 2 號船最多乘 2 人 ,3

15、 號船只能乘 1 人,他們?nèi)芜x 2 只船或 3 只船 ,但小孩不能單獨(dú)乘一只船 , 這 3 人共有多少乘船方法 . （ 27 ）本題還有如下分類標(biāo)準(zhǔn)：*以 3 個(gè)全能演員是否選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)*以 3 個(gè)全能演員是否選上跳舞人員為標(biāo)準(zhǔn)*以只會跳舞的2 人是否選上跳舞人員為標(biāo)準(zhǔn)都可經(jīng)得到正確結(jié)果十四 .構(gòu)造模型策略例 14. 馬路上有編號為 1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路燈 ,現(xiàn)要關(guān)掉其中的3 盞, 但不能關(guān)掉相鄰的2 盞或 3 盞 ,也不能關(guān)掉兩端的2 盞 ,求滿足條件的關(guān)燈方法有多少種？解：把此問題當(dāng)作一個(gè)排隊(duì)模型在6 盞亮燈的 5 個(gè)空隙中插入3 個(gè)不亮的燈有 C53種一些不易

16、理解的排列組合題如果能轉(zhuǎn)化為非常熟悉的模型，如占位填空模型，排隊(duì)模型，裝盒模型等，可使問題直觀解決練習(xí)題：某排共有10 個(gè)座位，若4 人就坐，每人左右兩邊都有空位，那么不同的坐法有多少種？（120 ）十五 .實(shí)際操作窮舉策略例 15. 設(shè)有編號1,2,3,4,5的五個(gè)球和編號1,2,3,4,5的五個(gè)盒子,現(xiàn)將5 個(gè)球投入這五個(gè)盒子內(nèi),要求每個(gè)盒子放一個(gè)球，并且恰好文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案有兩個(gè)球的編號與盒子的編號相同,有多少投法解：從 5個(gè)球中取出 2 個(gè)與盒子對號有 C52 種還剩下 3 球 3 盒序號不能對應(yīng)，利用實(shí)際操作法，如果剩下3,4,5 號球 , 3,4,5號盒 3 號球裝 4 號盒時(shí)，

17、則 4,5 號球有只有1 種裝法，同理 3 號球裝 5 號盒時(shí) ,4,5 號球有也只有 1種裝法 ,由分步計(jì)數(shù)原理有2C52 種5343號盒4號盒5號盒對于條件比較復(fù)雜的排列組合問題，不易用公式進(jìn)行運(yùn)算，往往利用窮舉法或畫出樹狀圖會收到意想不到的結(jié)果練習(xí)題：1.同一寢室 4 人 ,每人寫一張賀年卡集中起來 ,然后每人各拿一張別人的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方式有多少種？(9)2.給圖中區(qū)域涂色 ,要求相鄰區(qū) 域不同色 ,現(xiàn)有 4種可選顏色 ,則不同的著色方法有72 種13425十六 . 分解與合成策略例 16. 30030 能被多少個(gè)不同的偶數(shù)整除分析：先把 30030 分解成質(zhì)因數(shù)的乘積

18、形式30030=2 ×3 ×5× 7 ×11 ×13 ，依題意可知偶因數(shù)必先取2,再從其余5 個(gè)因數(shù)中任取若干個(gè)組成乘積，所有的偶因數(shù)為：C51C52C53C54C55練習(xí) :正方體的 8 個(gè)頂點(diǎn)可連成多少對異面直線解：我們先從 8 個(gè)頂點(diǎn)中任取 4 個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成四體共有體共C841258 ,每個(gè)四面體有 3 對異面直線 ,正方體中的 8個(gè)頂點(diǎn)可連成 3 58 174對異面直線分解與合成策略是排列組合問題的一種最基本的解題策略,把一個(gè)復(fù)雜問題分解成幾個(gè)小問題逐一解決,然后依據(jù)問題分解后的結(jié)構(gòu) ,用分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理將問題合成,從而得到問題

19、的答案,每個(gè)比較復(fù)雜的問題都要用到這種解題策略十七 .化歸策略例 17. 25 人排成 5 ×5方陣 ,現(xiàn)從中選3 人,要求 3人不在同一行也不在同一列 ,不同的選法有多少種？解：將這個(gè)問題退化成9 人排成 3×3 方陣 ,現(xiàn)從中選 3 人,要求 3人不在同一行也不在同一列 ,有多少選法 .這樣每行必有 1人從其中的一行中選取1 人后 ,把這人所在的行列都劃掉，如此繼續(xù)下去.從 3 ×3 方隊(duì)中選 3人的方法有 C31C21C11種。再從 5×5方陣選出 3 ×3 方陣便可解決問題 . 從 5 ×5方隊(duì)中選取3 行 3 列有 C53C

20、53 選法所以從 5 ×5方陣選不在同一行也不在同一列的3 人有C53C53 C31C21C11選法。處理復(fù)雜的排列組合問題時(shí)可以把一個(gè)問題退化成一個(gè)簡要的問題， 通過解決這個(gè)簡要的問題的解決找到解題方法，從而進(jìn)下一步解決原來的問題練習(xí)題 :某城市的街區(qū)由12 個(gè)全等的矩形區(qū)組成其中實(shí)線表示馬路，從A 走到 B 的最短路徑有多少種？( C7335 )BA十八 .數(shù)字排序問題查字典策略例 18 由 0 ，1， 2， 3 ，4， 5 六個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)的比324105 大的數(shù)？解:N2A552 A44A33A22A11297數(shù)字排序問題可用查字典法, 查字典的法應(yīng)從高位向低位

21、查, 依次求出其符合要求的個(gè)數(shù), 根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理求出其總數(shù)。文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案練習(xí) :用 0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)的四位偶數(shù),將這些數(shù)字從小到大排列起來,第 71個(gè)數(shù)是3140十九 .樹圖策略例 19 3 人相互傳球, 由甲開始發(fā)球, 并作為第一次傳球,經(jīng)過5 次傳求后, 球仍回到甲的手中, 則不同的傳球方式有_N10對于條件比較復(fù)雜的排列組合問題，不易用練習(xí) : 分別編有1，2 ， 3，4 ， 5 號碼的人與椅，其中i 號人不坐 i 號椅（ i1,2,3,4,5 ）的不同坐法有多少種？N44二十 .復(fù)雜分類問題表格策略例 20 有紅、黃、蘭色的球各 5 只 ,分別標(biāo)有 A

22、 、B、C、D 、E 五個(gè)字母 ,現(xiàn)從中取 5 只,要求各字母均有且三色齊備 ,則共有多少種不同的取法解:紅111223黃123121蘭321211取法C51C41C51C42C51C43C52C31C52 C32C53C21一些復(fù)雜的分類選取題 ,要滿足的條件比較多 , 無從入手 ,經(jīng)常出現(xiàn)重復(fù)遺漏的情況 , 用表格法 ,則分類明確 ,能保證題中須滿足的條件 ,能達(dá)到好的效果 .二十一：住店法策略解決“允許重復(fù)排列問題”要注意區(qū)分兩類元素：一類元素可以重復(fù)，另一類不能重復(fù)，把不能重復(fù)的元素看作“客”，能重復(fù)的元素看作“店” ，再利用乘法原理直接求解.例 21. 七名學(xué)生爭奪五項(xiàng)冠軍，每項(xiàng)冠軍

23、只能由一人獲得，獲得冠軍的可能的種數(shù)有.分析：因同一學(xué)生可以同時(shí)奪得n 項(xiàng)冠軍，故學(xué)生可重復(fù)排列，將七名學(xué)生看作7 家“店”，五項(xiàng)冠軍看作5 名“客”，每個(gè)“客”有 7種住宿法，由乘法原理得7 5種.排列組合易錯題正誤解析1 沒有理解兩個(gè)基本原理出錯排列組合問題基于兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分類用加、分步用乘”是解決排列組合問題的前提.例 1從 6 臺原裝計(jì)算機(jī)和5 臺組裝計(jì)算機(jī)中任意選取5 臺 ,其中至少有原裝與組裝計(jì)算機(jī)各兩臺,則不同的取法有種.誤解：因?yàn)榭梢匀?臺原裝與3 臺組裝計(jì)算機(jī)或是3 臺原裝與2 臺組裝計(jì)算機(jī)，所以只有2種取法.錯因分析： 誤解的原因在于沒有

24、意識到“選取 2臺原裝與 3 臺組裝計(jì)算機(jī)或是3 臺原裝與2 臺組裝計(jì)算機(jī)” 是完成任務(wù)的兩“類”辦法，每類辦法中都還有不同的取法.正解： 由分析，完成第一類辦法還可以分成兩步：第一步在原裝計(jì)算機(jī)中任意選取2 臺，有 C 62 種方法；第二步是在組裝計(jì)算機(jī)任意選取 3 臺，有 C3 種方法，據(jù)乘法原理共有C 2C 3 種方法 .同理，完成第二類辦法中有C 3C 2種方法 .據(jù)加法原理完成56565全部的選取過程共有 C62C 53C63C 52350 種方法 .例 2在一次運(yùn)動會上有四項(xiàng)比賽的冠軍在甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，那么不同的奪冠情況共有（）種 .（A） A 43（B） 43（C） 34（

25、D） C43誤解：把四個(gè)冠軍，排在甲、乙、丙三個(gè)位置上，選A .正解： 四項(xiàng)比賽的冠軍依次在甲、乙、丙三人中選取，每項(xiàng)冠軍都有3 種選取方法，由乘法原理共有3 3 33 34種.文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案3后，其他人就不再有4 種奪冠可能 .2 判斷不出是排列還是組合出錯在判斷一個(gè)問題是排列還是組合問題時(shí)，主要看元素的組成有沒有順序性，有順序的是排列，無順序的是組合.例 3 有大小形狀相同的3 個(gè)紅色小球和5 個(gè)白色小球，排成一排，共有多少種不同的排列方法？誤解：因?yàn)槭? 個(gè)小球的全排列，所以共有A88 種方法 .錯因分析：誤解中沒有考慮正解： 8 個(gè)小球排好后對應(yīng)著3 個(gè)紅色小球是完全相同的，58 個(gè)

26、位置，題中的排法相當(dāng)于在個(gè)白色小球也是完全相同的，同色球之間互換位置是同一種排法8 個(gè)位置中選出3 個(gè)位置給紅球，剩下的位置給白球，由于這.3 個(gè)紅球完全相同，所以沒有順序，是組合問題.這樣共有：C8356 排法.3 重復(fù)計(jì)算出錯在排列組合中常會遇到元素分配問題、平均分組問題等，這些問題要注意避免重復(fù)計(jì)數(shù)，產(chǎn)生錯誤。例 45本不同的書全部分給4 個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)為（）（A）480種（B）240 種（C） 120 種（D）96 種誤解：先從 5本書中取 4 本分給 4個(gè)人，有 A54 種方法，剩下的 1 本書可以給任意一個(gè)人有4 種分法，共有 4 A54480 種不同的分

27、法，選 A .錯因分析：設(shè)5 本書為 a 、 b 、 c 、 d 、 e ，四個(gè)人為甲、乙、丙、丁 .按照上述分法可能如下的表1和表2：甲乙丙丁甲乙丙丁abcdebcdea表表12表 1是甲首先分得a 、乙分得b 、丙分得c 、丁分得d，最后一本書e 給甲的情況； 表 2 是甲首先分得e 、乙分得b 、丙分得c 、丁分得d，最后一本書a給甲的情況.這兩種情況是完全相同的，而在誤解中計(jì)算成了不同的情況。正好重復(fù)了一次.正解：首先把 5 本書轉(zhuǎn)化成4 本書，然后分給4 個(gè)人 .第一步：從5 本書中任意取出2 本捆綁成一本書，有C 52 種方法；第二424例 5某交通崗共有3 人，從周一到周日的七天

28、中，每天安排一人值班，每人至少值2 天，其不同的排法共有（）種 .（A）5040（ B） 1260（ C）210（D） 630誤解：第一個(gè)人先挑選2 天，第二個(gè)人再挑選2 天，剩下的3 天給第三個(gè)人，這三個(gè)人再進(jìn)行全排列.共有：C72 C 52 A331260 ，選 B .錯因分析：這里是均勻分組問題. 比如：第一人挑選的是周一、周二，第二人挑選的是周三、周四；也可能是第一個(gè)人挑選的是周C2C2 A3三、周四，第二人挑選的是周一、周二，所以在全排列的過程中就重復(fù)計(jì)算了.正解：753630種.24 遺漏計(jì)算出錯01，3在排列組合問題中還可能由于考慮問題不夠全面，因?yàn)檫z漏某些情況，而出錯。例 6

29、用數(shù)字 0，1 ，2， 3 ，4 組成沒有重復(fù)數(shù)字的比 1000 大的奇數(shù)共有（）（A）36 個(gè)（B）48 個(gè)（ C）66 個(gè)（D）72 個(gè)誤解：如右圖，最后一位只能是1 或 3 有兩種取法，又因?yàn)榈? 位不能是 0，在最后一位取定后只有3 種取法，剩下 3個(gè)數(shù)排中間兩個(gè)位置有A32 種排法，共有 2 3 A3236 個(gè).文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案錯因分析：誤解只考慮了四位數(shù)的情況，而比1000大的奇數(shù)還可能是五位數(shù).正解： 任一個(gè)五位的奇數(shù)都符合要求，共有23A3336 個(gè)，再由前面分析四位數(shù)個(gè)數(shù)和五位數(shù)個(gè)數(shù)之和共有72 個(gè)，選D .5 忽視題設(shè)條件出錯在解決排列組合問題時(shí)一定要注意題目中的每一句話甚

30、至每一個(gè)字和符號，不然就可能多解或者漏解.例 7如圖，一個(gè)地區(qū)分為5 個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有種. （以數(shù)字作答）125344 種方法，剩下誤解：先著色第一區(qū)域，有3 種顏色涂四個(gè)區(qū)域，即有一種顏色涂相對的兩塊區(qū)域，有 C 12 A 212 種，由乘法原理共有： 412 48種.32錯因分析：沒有看清題設(shè)“有4 種顏色可供選擇 ”，不一定需要4 種顏色全部使用，用3 種也可以完成任務(wù) .正解： 當(dāng)使用四種顏色時(shí)，由前面的誤解知有48 種著色方法；當(dāng)僅使用三種顏色時(shí)：從4 種顏色中選取 3種有 C 43 種方法，先著色第一

31、區(qū)域，有3 種方法，剩下 2種顏色涂四個(gè)區(qū)域，只能是一種顏色涂第2、4區(qū)域，另一種顏色涂第3 、5區(qū)域，有2 種著色方法，由乘法原理有C433 224 種 .綜上共有：48 2472 種.例 8已知 ax2b 0 是關(guān)于 x 的一元二次方程，其中a 、 b1,2,3,4 ，求解集不同的一元二次方程的個(gè)數(shù) .誤解：從集合 1,2,3,4 中任意取兩個(gè)元素作為 a 、 b ，方程有 A 42 個(gè)，當(dāng) a 、 b 取同一個(gè)數(shù)時(shí)方程有1 個(gè)，共有 A42113個(gè).錯因分析：誤解中沒有注意到題設(shè)中：“求解集不同 的 ”所以在上述解法中要去掉同解情況，由于a1和 a2同解、b2b4a2和 a4 同解，故要

32、減去 2 個(gè)。正解： 由分析，共有13 2 11個(gè)解集不同的一元二次方程 .b1b26 未考慮特殊情況出錯在排列組合中要特別注意一些特殊情況，一有疏漏就會出錯.例9 現(xiàn)有 1角、 2 角、 5角、 1 元、 2 元、 5 元、 10 元、 50 元人民幣各一張，100 元人民幣 2 張，從中至少取一張，共可組成不同的幣值種數(shù)是（）(A)1024種 (B)1023種( C)1536種(D)1535種誤：因?yàn)楣灿腥嗣駧?0 張，每張人民幣都有取和不取2 種情況，減去全不取的1種情況，共有21011023 種.錯因分析：這里100 元面值比較特殊有兩張，在誤解中被計(jì)算成4 種情況，實(shí)際上只有不取、取

33、一張和取二張正解： 除 100 元人民幣以外每張均有取和不取2 種情況， 100 元人民幣的取法有3 種情況，再減去全不取的3種情況 .1種情況，所以共有29311535種.7 題意的理解偏差出錯例 10 現(xiàn)有 8 個(gè)人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相鄰的排法有（）種 .（A） A63 A55（B） A88A66 A33（ C） A53 A33（D） A88A64誤解：除了甲、乙、丙三人以外的5 人先排，有 A55 種排法， 5人排好后產(chǎn)生6 個(gè)空檔，插入甲、乙、丙三人有A63 種方法，這樣共有 A3A5 種排法，選 A.65錯因分析：誤解中沒有理解“甲、乙、丙三人不能相鄰”的含義，得

34、到的結(jié)果是“甲、乙、丙三人互不相鄰”的情況 .“甲、乙、丙三人不能相鄰”是指甲、乙、丙三人不能同時(shí)相鄰，但允許其中有兩人相鄰.正解：在 8 個(gè)人全排列的方法數(shù)中減去甲、乙、丙全相鄰的方法數(shù)， 就得到甲、乙、丙三人不相鄰的方法數(shù)， 即 A88A66 A33，故選 B.8 解題策略的選擇不當(dāng)出錯例 10 高三年級的三個(gè)班到甲、乙、丙、丁四個(gè)工廠進(jìn)行社會實(shí)踐，其中工廠甲必須有班級去，每班去何工廠可自由選擇，文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案則不同的分配方案有（） .（A）16 種（B）18 種（ C）37 種（D ）48 種誤解：甲工廠先派一個(gè)班去，有3 種選派方法，剩下的 2 個(gè)班均有 4 種選擇，這樣共有 344

35、48種方案 .錯因分析：顯然這里有重復(fù)計(jì)算.如： a 班先派去了甲工廠， b 班選擇時(shí)也去了甲工廠，這與b 班先派去了甲工廠，a 班選擇時(shí)也去了甲工廠是同一種情況，而在上述解法中當(dāng)作了不一樣的情況，并且這種重復(fù)很難排除.正解：用間接法 .先計(jì)算 3 個(gè)班自由選擇去何工廠的總數(shù)，再扣除甲工廠無人去的情況，即：4443 3 3 37種方案.（二）典型例題講解例 1 用 0 到 9 這 10 個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？分析： 這一問題的限制條件是：沒有重復(fù)數(shù)字；數(shù)字“0 ”不能排在千位數(shù)上；個(gè)位數(shù)字只能是0 、2、 4、 6 、 8 、，從限制條件入手，可劃分如下：如果從個(gè)位數(shù)入手，

36、四位偶數(shù)可分為：個(gè)位數(shù)是“0 ”的四位偶做，個(gè)位數(shù)是2、 4、 6 、 8 的四位偶數(shù)（這是因?yàn)榱悴荒芊旁谇粩?shù)上）由此解法一與二如果從千位數(shù)入手四位偶數(shù)可分為：千位數(shù)是1、3 、5、 7、9 和千位數(shù)是2、 4、6、 8 兩類，由此得解法三如果四位數(shù)劃分為四位奇數(shù)和四位偶數(shù)兩類，先求出四位個(gè)數(shù)的個(gè)數(shù)，用排除法，得解法四解法 1：當(dāng)個(gè)位數(shù)上排“0 ”時(shí)，千位，百位，十位上可以從余下的九個(gè)數(shù)字中任選3 個(gè)來排列，故有A93個(gè)；當(dāng)個(gè)位上在“2 、 4 、6 、 8 ”中任選一個(gè)來排，則千位上從余下的八個(gè)非零數(shù)字中任選一個(gè)，百位，十位上再從余下的八個(gè)數(shù)字中任選兩個(gè)來排，按乘法原理有A1A1A2 （個(gè)

37、）488 沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有A93A41 A81A825041792 2296 個(gè)解法 2：當(dāng)個(gè)位數(shù)上排“0 ”時(shí)，同解一有 A93個(gè)；當(dāng)個(gè)位數(shù)上排2、4、6、8中之一時(shí)，千位，百位，十位上可從余下 9 個(gè)數(shù)字中任選3 個(gè)的排列數(shù)中減去千位數(shù)是“0 ”排列數(shù)得： A41( A93A82) 個(gè) 沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有A93A41 ( A93A82 ) 504 17922296 個(gè)解法 3：千位數(shù)上從1、3 、5 、7 、9中任選一個(gè)，個(gè)位數(shù)上從0 、2 、4 、6 、8 中任選一個(gè)，百位，十位上從余下的八個(gè)數(shù)字中任選兩個(gè)作排列有A51A51A82 個(gè)干位上從2 、 4 、 6、 8 中任

38、選一個(gè)，個(gè)位數(shù)上從余下的四個(gè)偶數(shù)中任意選一個(gè)（包括0 在內(nèi)），百位，十位從余下的八個(gè)數(shù)字中任意選兩個(gè)作排列，有A14A14A82 個(gè) 沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有A51A51A82A14A41A822296 個(gè)解法 4：將沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)字劃分為兩類：四位奇數(shù)和四位偶數(shù)43沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有A10A9 個(gè)文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案 沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有A4A3A1( A3A2) 10 A3A35A35A210959899984A35A29836 A25 A28841A282296 個(gè)說明： 這是典型的簡單具有限制條件的排列問題，上述四種解法是基本、常見的解法、要認(rèn)真體會每種解法的實(shí)質(zhì)，掌握其解答

39、方法，以期靈活運(yùn)用典型例題二例 2 三個(gè)女生和五個(gè)男生排成一排（ 1 ）如果女生必須全排在一起，可有多少種不同的排法？（ 2 ）如果女生必須全分開，可有多少種不同的排法？（ 3 ）如果兩端都不能排女生，可有多少種不同的排法？（ 4 ）如果兩端不能都排女生，可有多少種不同的排法？解：（ 1 ）（捆綁法）因?yàn)槿齻€(gè)女生必須排在一起，所以可以先把她們看成一個(gè)整體，這樣同五個(gè)男生合一起共有六個(gè)元素，然成一排有 A66 種不同排法對于其中的每一種排法，三個(gè)女生之間又都有 A33 對種不同的排法，因此共有 A66 A33 4320 種不同的排法（ 2 ）（插空法）要保證女生全分開，可先把五個(gè)男生排好，每兩個(gè)

40、相鄰的男生之間留出一個(gè)空檔這樣共有 4 個(gè)空檔，加上兩邊兩個(gè)男生外側(cè)的兩個(gè)位置，共有六個(gè)位置，再把三個(gè)女生插入這六個(gè)位置中，只要保證每個(gè)位置至多插入一個(gè)女生，就能保證任意兩個(gè)女生都不相鄰由于五個(gè)男生排成一排有A55 種不同排法，對于其中任意一種排法，從上述六個(gè)位置中選出三個(gè)來讓三個(gè)女生插入都有 A63種方法，因此共有A55A6314400 種不同的排法（ 3 ）解法 1 ：（位置分析法）因?yàn)閮啥瞬荒芘排詢啥酥荒芴暨x5 個(gè)男生中的2 個(gè)，有 A52 種不同的排法，對于其中的任意一種排法，其余六位都有A66 種排法，所以共有A52A6614400 種不同的排法解法 2 ：（間接法） 3 個(gè)

41、女生和5 個(gè)男生排成一排共有A88 種不同的排法，從中扣除女生排在首位的A31A77種排法和女生排在末位的A31A77 種排法，但這樣兩端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情況時(shí)被扣去一次，在扣除女生排在未位的情況時(shí)又被扣去一次，所以還需加一次回來，由于兩端都是女生有A32A66 種不同的排法，所以共有A882A31 A77A32 A6614400 種不同的排法解法 3：（元素分析法）從中間6 個(gè)位置中挑選出3 個(gè)來讓 3 個(gè)女生排入，有A63 種不同的排法，對于其中的任意一種排活，其余5 個(gè)位置又都有A55 種不同的排法，所以共有A63A5514400 種不同的排法，（ 4 ）解法 1：因?yàn)?/p>

42、只要求兩端不都排女生，所以如果首位排了男生，則未位就不再受條件限制了，這樣可有 A15A77 種不同的排法；如果首位排女生，有A31 種排法，這時(shí)末位就只能排男生，有A51 種排法，首末兩端任意排定一種情況后，其余6位都有 A66種不同的排法，這樣可有 A31A51A66種不同排 法因 此共有A15A77A31A51A6636000 種不同的排法解法 2： 3 個(gè)女生和 5 個(gè)男生排成一排有A88 種排法，從中扣去兩端都是女生排法A32A66 種，就能得到兩端不都是女生的排法種數(shù)因此共有 A88A32A6636000 種不同的排法文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案說明： 解決排列、組合（下面將學(xué)到，由于規(guī)律相同

43、，順便提及，以下遇到也同樣處理）應(yīng)用問題最常用也是最基本的方法是位置分析法和元素分析法若以位置為主，需先滿足特殊位置的要求，再處理其它位置，有兩個(gè)以上約束條件，往往是考慮一個(gè)約束條件的同時(shí)要兼顧其它條件若以元素為主，需先滿足特殊元素要求再處理其它的元素間接法有的也稱做排除法或排異法，有時(shí)用這種方法解決問題來得簡單、明快捆綁法、插入法對于有的問題確是適用的好方法，要認(rèn)真搞清在什么條件下使用典型例題三例 3 排一張有 5 個(gè)歌唱節(jié)目和 4 個(gè)舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單。（ 1 ）任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有多少種？（ 2 ）歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的方法有多少種？解：（ 1 ）先排歌唱節(jié)目有 A55 種，歌唱節(jié)目之間以及兩端共有6個(gè)位子，從中選 4 個(gè)放入舞蹈節(jié)目， 共有 A