(完整版)數(shù)學(xué)建模作業(yè)1(長方形椅子能否在不平的地面上放穩(wěn)嗎)

1、科學(xué)技術(shù)學(xué)院上機報告課程名稱數(shù)學(xué)建模上機項目長方形的椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？專業(yè)班級）姓學(xué) 號一、問題提出椅子（四條腿的椅腳連線呈長方形）能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只腳著地，放不穩(wěn)，然而只要稍挪動幾次，就可以四腳著地，放穩(wěn)了。下面用數(shù)學(xué)語言證明。二、問題分析該模型看似與數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)無關(guān)，但我們可以用數(shù)學(xué)語言給予表述，并用數(shù)學(xué)工具來證實，經(jīng)過分析，我們可以用一元變量表示椅子的位置，用的兩個函數(shù)表示椅子四腳與地面的距離，進而把模型假設(shè)和椅腳同時著地的結(jié)論用簡單、精確的數(shù)學(xué)語言表達出來，構(gòu)成了這個實際問題的數(shù)學(xué)模型。三、模型假設(shè)為了明確問題，對上述現(xiàn)象中的有關(guān)因素

2、在符合日常生活的前提下，作出如下假設(shè)：（ 1）椅子四條腿一樣長，椅腳與地面接觸處視為一點，四腳的連線呈長方形（ 2）地面高度是連續(xù)變化的，沿任何方向都不會出現(xiàn)間斷(沒有像臺階那樣的情況)，即從數(shù)學(xué)的角度看，地面是連續(xù)曲面這個假設(shè)相當(dāng)于給出了椅子能放穩(wěn)的必要條件（ 3）椅子在任何位置至少有三只腳同時著地為保證這一點，要求對于椅腳的間距和椅腿的長度而言，地面是相對平坦的因為在地面上與椅腳間距和椅腿長度的尺寸大小相當(dāng)?shù)姆秶鷥?nèi)，如果出現(xiàn)深溝或凸峰 (即使是連續(xù)變化的 )，此時三只腳是無法同時著地的符號說明四、模型建立（顯示模型函數(shù)的構(gòu)造過程）在上述假設(shè)下，解決問題的關(guān)鍵在于選擇合適的變量，把椅子四只腳

3、同時著地表示出來首先，引入合適的變量來表示椅子位置的挪動生活經(jīng)驗告訴我們，要把椅子通過挪動放穩(wěn)，通常有拖動或轉(zhuǎn)動椅子兩種辦法，也就是數(shù)學(xué)上所說的平移與旋轉(zhuǎn)變換然而，平移椅子后問題的條件沒有發(fā)生本質(zhì)變化，所以用平移的辦法是不能解決問題的于是可嘗試將椅子就地旋轉(zhuǎn)，并試圖在旋轉(zhuǎn)過程中找到一種椅子能放穩(wěn)的情形注意到椅腳連線呈長方形，長方形是中心對稱圖形，繞它的對稱中心旋轉(zhuǎn) 180 度后，椅子仍在原地把長方形繞它的對稱中心 O旋轉(zhuǎn)，這可以表示椅子位置的改變。 于是，旋轉(zhuǎn)角度 這一變量就表示了椅子的位置為此，在平面上建立直角坐標系來解決問題如下圖所示，設(shè)椅腳連線為長方形 ABCD，以對角線 AC所在的直線

4、為 x 軸，對稱中心 O為原點，建立平面直角坐標系椅子繞 O點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角度 后，長方形 ABCD轉(zhuǎn)至 A1B1C1D1的位置，這樣就可以用旋轉(zhuǎn)角 （ 0）表示出椅子繞點 O旋轉(zhuǎn) 后的位置其次，把椅腳是否著地用數(shù)學(xué)形式表示出來我們知道，當(dāng)椅腳與地面的豎直距離為零時，椅腳就著地了，而當(dāng)這個距離大于零時， 椅腳不著地由于椅子在不同的位置是 的函數(shù)，因此，椅腳與地面的豎直距離也是 的函數(shù)由于椅子有四只腳，因而椅腳與地面的豎直距離有四個，它們都是 的函數(shù)而由假設(shè) (3) 可知，椅子在任何位置至少有三只腳同時著地，即這四個函數(shù)對于任意的，其函數(shù)值至少有三個同時為0因此，只需引入兩個距離函數(shù)即可考慮

5、到長方形ABCD是中心對稱圖形，繞其對稱中心 O 沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)180°后，長方形位置不變，但A,C和 B,D 對換了因此，記A、B 兩腳與地面豎直距離之和為 f （），C、D 兩腳與地面豎直距離之和為 g（），其中 0 ， ，從而將原問題數(shù)學(xué)化。數(shù)學(xué)模型：已知 f （）和 g（）是 的非負連續(xù)函數(shù)，對任意， f （） ?g( ) 0，證明：存在 00 ， ，使得 f （ 0 ） g （ 0） 0 成立。五、模型求解（顯示模型的求解方法、步驟及運算程序、結(jié)果）如果 f （0） g（ 0） 0，那么結(jié)論成立。如果 f （0）與 g（0）不同時為零，不妨設(shè) f （0）0，g（0）0。這時，將長方形 ABCD繞點 O逆時針旋轉(zhuǎn)角度 后，點 A，B分別與 C， D 互換，但長方形 ABCD在地面上所處的位置不變，由此可知， f （）g（0）， g（） f （0）. 而由 f （0） 0，g（0） 0，得 g（）0， f （） 0。令 h（） f( ) g（），由 f( ) 和 g( ) 的連續(xù)性知 h( ) 也是連續(xù)函數(shù)。又 h（0） f(0) g（0） 0，h（） f( ) g（） 0，, 根據(jù)連續(xù)函數(shù)介值定理