分式方程競賽題

1、X 1第一講分式方程（組）的解法分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程.解分式方程的基本思想是轉(zhuǎn)化為整式方程求解，轉(zhuǎn)化的基本方法是去分母、換元，但也要靈活運(yùn)用，注意方程的特點(diǎn)進(jìn)行有效的變形.變形時(shí)可能會(huì)擴(kuò)大（或縮?。?未知數(shù)的取值范圍， 故必須驗(yàn)根.例 1 解方程解 令 y = x2+ 2x 8，那么原方程為去分母得y(y 15X)+ (y + 9x)(y 15x) + y(y + 9x)= 0,2 2y 4xy 45x = 0,(y+ 5x)(y 9x)= 0,所以 y= 9x 或 y= 5x.由 y= 9x 得 X2+ 2x 8= 9x,即卩 x2 7x 8= 0，所以 x1= 1, x2= 8

2、;由 y= 5x,得 X2+ 2x 8= 5x,即 x2+ 7x 8= 0,所以 X3= 8, X4= 1.經(jīng)檢驗(yàn)，它們都是原方程的根.例 2 解方程4 + 72 18 = 0 + 嚴(yán)18 = 0X +4xX1X2+4xx2+4x解設(shè) y= 一4X，則原方程可化為X -1y+72 18= 0 yy2 18y + 72= 0,所以 yi= 6 或 y2= 12.x2+4x當(dāng) y= 6 時(shí)，j=6 ,x2+ 4x= 6x 6,故 x2 2x + 6= 0,此方程無實(shí)數(shù)根.當(dāng) y= 12 時(shí)，X +4X=12 , X2+ 4x= 12x 12,故 x2 8x+ 12= 0,故 x2 8x+ 12=

3、0, x -1所以 x1= 2 或 X2= 6.經(jīng)檢驗(yàn)，X1= 2, X2= 6 是原方程的實(shí)數(shù)根.例 3 解方程各分式的分子的次數(shù)不低于分母的次數(shù)，故可考慮先用多項(xiàng)式除法化簡分式.原方程可變?yōu)檎淼萌シ帜?、整理得x+ 9= 0, x= 9.經(jīng)檢驗(yàn)知，x= 9 是原方程的根.例 4 解方程x+1 X+6 x+2 x + 5- +-=-1-x+3x+6分析與解 方程中各項(xiàng)的分子與分母之差都是1,根據(jù)這一特點(diǎn)把每個(gè)分式化為整式和真分式之和,這樣原方程即可化簡.原方程化為(x+6)(x+7) (x+2)(x+3 廠分析與解我們注意到:1+2 _(3 +2x2x+1、2 2)+2-丄=0 x +3x

4、+2 x+2x+2 x+71-丄仔丄x+2x+7=1 -L+1_x+3 x+64x24x21 11X 1 X X X +1_x+10_T2，整理得 去分母得X2+ 9x 22 = 0,解得 X1= 2, X2= 11 .例 6 解方程分析與解分式方程如比利式a=寸，且本題分子與分母的一次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)符號相反，故可考慮用合比定理化簡.原方程變形為(2x2+3x +2) +(2x2-3X-2) 幽25x+ 3)+(2x2+5x 3)22x +5x32x23x2 2X2+5X3所以(x+ 6)(x + 7) = (x+ 2)(x + 3).9解得 x=929經(jīng)檢驗(yàn) X =-是原方程的根.2例 5 解方

5、程1 1+山+11x(x1) x(x+1)(x+ 9)(x +10)12分析與解注意到方程左邊每個(gè)分式的分母中兩個(gè)一次因式的差均為常數(shù)1，故可考慮把一個(gè)分式拆成兩個(gè)分式之差的形式, 用拆項(xiàng)相消進(jìn)行化簡.原方程變形為經(jīng)檢驗(yàn)知，X1= 2 , X2= 11 是原方程的根.2x23x2x= 0 或 2x23x2=2/ + 5x 3.2解得yi石,所以1解得 x= 0 或 x=-81經(jīng)檢驗(yàn)，x= 0 或 x=丄都是原方程的根.8例 7 解方程分析與解 形式與上例相似.本題中分子與分母只是一次項(xiàng)的符號相反,故可考慮用合分比定理化簡.原方程變形為2 26x -2 2x +28x8x當(dāng) XM0寸，解得 x=

6、 1 .經(jīng)檢驗(yàn)，x= 1 是原方程的根，且 x= 0 也是原方程的根.說明 使用合分比定理化簡時(shí)，可能發(fā)生增根和失根的現(xiàn)象，需細(xì)致檢驗(yàn).像x+丄=a+丄這類特殊類型的方程可以化成一元二次方程，因而至多有兩個(gè)根.顯然x a1 1 1xi= a 與 X2=就是所求的根.例如，方程x + -=3-,x 3所以x1=3，x2=1.例 8 解方程解將原方程變形為2 2x+x+1 x +1x2+1厶-,設(shè) y21x2+1，則原方程變?yōu)?y=23221所以 y1= 2 或 y2= - .2a+x由-=2，得X1= a2b;b+x =1，得 X2= b 2a.b +x 2將 X1= a 2b 或 X2= b

7、2a 代入分母 b + x,得 a b 或 2(b a)，所以，當(dāng) a 和時(shí)，X1= a 2b 及 X2=b 2a 都是原方程的根當(dāng) a = b 時(shí)，原方程無解.例 10 如果方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求 a 的值及對應(yīng)的原方程的根.分析與解將原方程變形，轉(zhuǎn)化為整式方程后得2x2 2x+ (a + 4) = 0. 原方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，因此，方程的根的情況只能是:= 4 4 2(a + 4)= 0.2當(dāng)占=2 時(shí)，x=22X +x +13 時(shí)=一時(shí),2+1x= 1;經(jīng)檢驗(yàn) x= 1 及 x=竺5均是原方程的根.例 9 解關(guān)于x 的方程匕+出=2丄.b+x a+x 2a解設(shè) y=bS，則原方程變?yōu)殄?

8、丄.y 2(1)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即71解得 a =-.此時(shí)方程的兩個(gè)相等的根是X1= X2= - .(2)方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，而其中一根使原方程分母為零，即方程有一個(gè)根為22(i)當(dāng) x= 0 時(shí)，代入式得 a + 4= 0，即 a= 4.這時(shí)方程的另一個(gè)根是=0, x(x 1)= 0, X1= 0 或 X2= 1.而 X1= 0 是增根).它不使分母為零,(ii )當(dāng) x= 2 時(shí)，代入式，得2 4 2 X2 + (a + 4) = 0,即 a= &這時(shí)方程的另一個(gè)根是x= 1(因?yàn)?2x2 2x 4= 0.根),X2= 1).它不使分母為零，確是原方程的唯一根.因此，若原分式方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)，所求的a 的值分別是7, 4, 8，其對應(yīng)的原方程的根一次為2練習(xí)一1.填空:(1)11方程x+丄=10的一個(gè)跟是 10,則另一個(gè)跟是X-82(2)如果方程 匚bx= U有等值異號的根，那么ax c m +1m=2.解方程3.解方程4.解方程如果關(guān)于 X 的方程 巧+與空=早1有增根X -X x+x X -1方程口 + 口的根是X1 x+13空+5XX3+2X2+X X3+2X2-5X2邛工+弓丄 2x .xx+1 X +x+1