數學動點問題練習(含答案)

1、動態(tài)問題所謂“動點型問題”是指題設圖形中存在一個或多個動點,它們在線段、射線或弧線上運動的一類 開放性題目.解決這類問題的關鍵是動中求靜，靈活運用有關數學知識解決問題.關鍵:動中求靜.數學思想:分類思想 數形結合思想轉化思想1、如圖 1,梯形 ABCD 中,AD BC, ZB=90° , AB=1 4cm,AD=1 8cm, BC=21chl 點P從A開始沿AD邊以1 cm/秒的速度移動，點Q從C開始沿CB向點B以2 c m /秒 的速度移動，如果P，Q分別從A,C同時出發(fā),設移動時間為t秒。 當1=時，四邊形是平行四邊形：6 當1=時,四邊形是等腰梯形.82、如圖2,正方形ABCD

2、的邊長為4,點M在邊DC上，且DM=1,N為對角線AC上任意一點，則DN+MN的最小值為3、如圖，在ABC 中，ZACB = 90°, ZB = 60c , 8c = 2 ,點 O 是 AC 的中點，過 點°的直線/從與AC重合的位置開始，繞點。作逆時針旋轉，交A8邊于點。.過點C作C石 A8交直線/于點七,設直線/的旋轉角為a.（口當夕=度時四邊形七08c是等腰梯形，此時AO的長為當a =度時，四邊形ED8C是直角梯形，此時AO的長為 （2）當。=90，時，判斷四邊形石。8。是否為菱形,并說明理由.解：（1）30, 1 ；6 0.1. 5；當Z <1 =90。時,四

3、邊形ED BC是菱形.Z（1 = Z AC B =9 0 °, Z. BC/ ED. 。七/力氏，四邊形 切片仁是平行四邊在 RtAABC 中，ZA C3=90。, N3=60°. BC= 2 ,A ZA = 3 0°.：.AB=4AC=2 . ：.AO=2AC =.在 RtZMO。中,NA=30°, ：.A D=2.：.B D= 2.：.BD= BC. 又,:四邊形ED B。是平行四邊形，四邊形是菱形4、在 AA B C 中,NACB=9(T,A C = B C,直線 MN 經過點 C,且 AD_LMN 于 D, BE_LMN 于 E.(1)當直線MN

4、繞點C旋轉到圖1的位置時，求證:ADCgZkCEB：DE = AD+BE;(2)當直線M N繞點C旋轉到圖2的位置時,求證:D E =A D -B E;(3)當直線MN繞點C旋轉到圖3的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關系？請寫出這個等量 關系,并加以證明.解：(1) ,: ZACD=ZACB=90° :. ZCAD4- ZA C D=90°/. Z B C E+ZACD=90°AZCA D = ZBCE VAC=B C AAADCACEB VAADCACEB ACE=AD, C D = BE ，DE=CE+CD=AD+BE(2) VZA DC=ZC E

5、B=ZACB=9 0° A ZACD=ZCBE X V AC=BCAAACD ACBE:. CE=AD, CD=BE/. DE= C E-CD= A D-BE(3)當MN 旋轉到圖 3 的位置時,D E=BE-AD (或 AD=BE-DE.BE=A D+DE 等)VZADC=ZC EB=ZACB=90° A ZAC D=ZCBE,又.AC=BC,:.AAC D C BE. :. AD=CE.CD=B E , Z. DE=CD-C E=BE-A D.5、數學課上，張老師出示了問題：如圖1,四邊形血是正方形，點萬是邊萬。的中點.ZAEF =90且 所交正方形外角ZDCG的平行線

6、。尸于點F,求證:4E=牙:經過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取力/的中點M連接ME,則月刊二客 易證 /AMEA£CF,所以=在此基礎上，同學們作了進一步的研究：（1）小穎提出：如圖2,如果把“點E是邊8。的中點”改為“點£是邊BCh （除6,。外）的任意一點”， 其它條件不變，那么結論“A E=EF”仍然成立,你認為小穎的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程;如果 不正確，請說明理由：（2）小華提出：如圖3,點七是夕。的延長線上（除。點外）的任意一點，其他條件不變，結論“月E二？尸”仍然成立.你認為小華的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程;如果不正確, 解：(1)正

7、確.證明：在A3上取一點使AA/=EC,連接ME.1.BM=BE. .NBME = 45。, :.ZAME = 135 CF 是外角平分線，.NOW = 45°, .NEb = 135°.ZAME = AECF . ZAEB + ZBAE = 90 ZAEB + NCEF =90",：.ZBAE = ZCEF.：./AME 04BCF (ASA) . ：.AE = EF.(2)正確.證明:在84的延長線上取一點N.使4V = CE,連接NE.:.BN = BE. :.ZN = APCE = 45a. .四邊形ABC。是正方形，血況.請說明理由. ZDAE = ZB

8、EA . ANAE = ZCEF.圖4/.AVEAECF(ASA).：.AE = EF.6、如圖，射線MB上.MB= 9 ,A是射線MB外一點AB= 5且A到射線MB的距離為3,動點P從M沿 射線MB方向以1個單位/秒的速度移動，設P的運動時間為t.求(1) P A B為等腰三角形的t值；(2 ) PAB為直角三角形的t值：(3)若A B=5且NABM=45 ° ,其他條件不變，直接寫出 PAB為直角三角形的t值7、在等腰梯形A13CD中,ADllBC.E為AB的中點,過點E作EFll BC交CD于點F.AB=4 BC=6, Z B=6 0 ° o(1)求點E到BC的距離;

9、(2 )點P為線段E F上的一個動點，過P作PM J_EF交BC于點M,過M作MN II A B交折線A D C于點N,連接PN,設E P= x當點N在線段A D上時,PMN的形狀是否發(fā)生改變?若不變，求出 PMN的周長;若改變，請說明理由 當點N在線段D C上時，是否存在點P,使APNIN為等腰三角形?若存在，請求出所有滿足要求的X 的值，若不存在,請說明理由。解：過E作EHJLBC于H在 RtZXEBH 中VZ B=60° BE=2/ EH=，3 BA, J、D人 DMC 。B M(2)過P作PG1MN于GVMN/7ABA Z B= Z NMC=600 , MN=AB=4又PM

10、±BCA ZPMG= 90 ° - 60° =30 ° , PM=EH=Rt/XEBH中，ZPMG=30 ° PM=V3A PG=J MG=1.52ANG=4-1.5=2.5Rt ZPGN中,由勾股定理得,PN=5：. ZXPMN的形狀不發(fā)生改變,周長為44+歷存在當PM=PN過P作PG1.MN于G則有 MG=0.5MN=1.5MN=3: ZiMNC是等邊三角形:.MN=CM二5-x 1。:. X=22。當 MP=MN則有:5-x=E：. x=5-當 NM=NP過N作NRJLMP于R則有：RM=0.5FM=乙Rt ANMR,RM= CM:.x=

11、43。此時，P運動到F8、如圖，已知中,48 = 47 = 10厘米,8C = 8厘米，點。為A3的中點.(1)如果點P在線段B C上以3cnVs的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA上由C點向A點運 動若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經過1秒后,尸。與A。尸是否全等,請說明理由；若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為多少時，能夠使ABPD與CQP全 等？(2)若點Q以中的運動速度從點C出發(fā)，點P以原來的運動速度從點B同時出發(fā)，都逆時針沿AABC三邊運動，求經過多長時間點P與點Q第一次在ABC的哪條邊上相遇？解：.T = 1秒，.8P = CQ = 3xl=3厘

12、米，. AB = 1。厘米，點。為A3的中點，.80 = 5厘米.又： PC = BC-BP, 8C = 8 厘米，.PC = 83 = 5 厘米，:.PC = BD .又,他=AC- ZB = ZC . 4BPD 會 4CQP Jp。” : BP 手 CQ 乂 = NC,購 8P = PC = 4, CQ = BD = 5CQ 5 15/ = BP = 4"=7 /，點尸，點。運動的時間 3 3秒，3厘米/秒。(2)設經過工秒后點P與點、。第一次相遇,2= 3x + 2xl。x 上由題意，得4，解得 3秒.，點尸共運動了日'"%米.80 = 2 x 28 + 24

13、,點兒點0在口邊上相遇.80,經過3秒點P與點。第一次在邊A8上相遇.7、如圖1,在等腰梯形A8C0中，AD/BC 9 E是A3的中點，過點E作M3C交8于點尸.A3 = 4, BC = 6.N3 = 60。,求：（1）求點 E 到 8c 的距離: 點P為線段Q上的一個動點，過戶作尸交8c于點過"作MNA8交折線AOC 于點N,連結尸N,設石尸=工 當點N在線段40上時（如圖2）, 尸MN的形狀是否發(fā)生改變?若不變，求出，斷的周長：若改 變，請說明理由：當點N在線段QC上時（如圖3 ）,是否存在點尸.使PMN為等腰三角形？若存在，請求出所有滿足 要求的X的值：若不存在，請說明理由圖1

14、BE = -AB = 2.2解（1）如圖1,過點后作反7,3c于點G。 丁七為A8的中點,BG = -BE = , EG = J2r= "在 Rt/XEBG 中，N3 = 60°, j ZBEG = 30°.,2即點七到BC的距離為6（2）當點N在線段AO上運動時，PMN的形狀不發(fā)生改變.: PM LEF, EG 上 EF, ：. PM /EG.v EF BC, : EP = GM, PM = EG =下. 同理例N = AB = 4.如圖2 ,過點尸作PH LMN于HJ： MN AB,i/T:.ZNMC = ZB = 60°, /PMH = 30

15、76;.A PH =-PM =.2233 5:.MH = PMcos30° = -.則 NH = MN - MH =422 2住 RfAPNH 中,PnZnH2+PH? = J *）=幣.：.4PMN 的周長= PM + PN + AfN = 6 + /+4當點N在線段0c上運動時，0MN的形狀發(fā)生改變，但MNC恒為等邊三角形.當月W=PN時，如圖3,作PRLMN于R,則=3類似，MR ='.:.MN = 2MR = 3.： /MNC是等邊三角形，：. MC = MN = 3.2此時，x = EP = GM = BCBG MC = 6 一 3 = 2.此時，x = EP =