二次根式綜合復(fù)習(xí)講義

1、二次根式復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)一:二次根式得概念二次根式得定義：形如得式子叫二次根式，其中叫被開(kāi)方數(shù)，只有當(dāng)就是一個(gè)非負(fù)數(shù)時(shí) ，才有意 義.【注】二次根式得概念有兩個(gè)要點(diǎn)：一就是從形式上瞧，應(yīng)含有二次根號(hào)；二就是被開(kāi)方數(shù)得取 值范圍有限制：被開(kāi)方數(shù)a必須就是非負(fù)數(shù)。二次根式得判定【例 1 】下列各式 1) J1，?)"") Jx2 2, 4)74,5) J( 1)2,6)7ra,7) Ja2 2a 1,其中就是二次根式得就是舉一反三:1、下列各式中，一定就是二次根式得就是 （）A、B、C、D、2、在、中就是二次根式得個(gè)數(shù)有二次根式有意義得運(yùn)用例 2】若式子有意義，則x得取值范圍就是舉一

2、反三:1、使代數(shù)式有意義得A、 x>3B、2、使代數(shù)式有意義得3、如果代數(shù)式有意義A、第一象限x得取值范圍就是x> 3C、x得取值范圍就是，那么，直角坐標(biāo)系中點(diǎn) P（m,n）得位置在（）B、第二象限C、第三象限D(zhuǎn)、第四象限()x>4C、第三象限二次根式定義得運(yùn)用【例3】若y=+2009,則x+y=舉一反三:1、若，則X y得值為（）A. 1B.1C.2D.32、 若X、y都就是實(shí)數(shù)且y=，求xy得值3、當(dāng)取什么值時(shí)，代數(shù)式取值最小，并求出這個(gè)最小值。二次根式得整數(shù)部分與小數(shù)部分已知a就是整數(shù)部分,b就是得小數(shù)部分，求得值。 若得整數(shù)部分就是a，小數(shù)部分就是b，則 若得整數(shù)部分

3、為X，小數(shù)部分為y，求得值、知識(shí)點(diǎn)二:二次根式得性質(zhì)1、非負(fù)性 就是一個(gè)非負(fù)數(shù).注意:此性質(zhì)可作公式記住，后面根式運(yùn)算中經(jīng)常用到.2、.注意:此性質(zhì)既可正用，也可反用，反用得意義在于，可以把任意一個(gè)非負(fù)數(shù)或非負(fù)代數(shù)式 寫(xiě)成完全平方得形式：3、注意：(1)字母不一定就是正數(shù). 能開(kāi)得盡方得因式移到根號(hào)外時(shí)，必須用它得算術(shù)平方根代替.(3)可移到根號(hào)內(nèi)得因式，必須就是非負(fù)因式，如果因式得值就是負(fù)得，應(yīng)把負(fù)號(hào)留在根號(hào) 外.4、公式與得區(qū)別與聯(lián)系,a得范圍就是一切實(shí)數(shù).,a得范圍就是非負(fù)數(shù).(1) 表示求一個(gè)數(shù)得平方得算術(shù)根(2) 表示一個(gè)數(shù)得算術(shù)平方根得平方(3) 與得運(yùn)算結(jié)果都就是非負(fù)得. 二次根

4、式雙重非負(fù)性得運(yùn)用【例4】若則舉一反三:1、若，則得值為)D. - 12x2、已知為實(shí)數(shù)且,則得值為(A.3 B.- 33、已知直角三角形兩邊4、若與互為相反數(shù)，則。C.1X、y得長(zhǎng)滿(mǎn)足I x 4 |+ = 0,則第三邊長(zhǎng)為.公式得運(yùn)用例 5】化簡(jiǎn):得結(jié)果為(A、 42aC、2a 4D、4舉一反三:1、在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式2、化簡(jiǎn)：3、已知直角三角形得兩直角邊分別為與，則斜邊長(zhǎng)為公式得應(yīng)用例 6】已知，則化簡(jiǎn)得結(jié)果就是A、B、C、D、舉一反三:1、根式得值就是A.-3)B.3 或-3C.3D.92、已知a<0,那么I 2a I可化簡(jiǎn)為()A. aB.aC. 一 3aD.3a3、若則等于(

5、)B、A、4、若a 3v 0,則化簡(jiǎn)得結(jié)果就是()(A) 1(B)1(C) 2a 75、 化簡(jiǎn)得()(A) 2 (B) (C) 2(D)6、當(dāng)av l且az 0時(shí),化簡(jiǎn)=7、已知，化簡(jiǎn)求值：C、(D)7 2a例 7】如果表示a,b兩個(gè)實(shí)數(shù)得點(diǎn)在數(shù)軸上得位置如圖所示，那么化簡(jiǎn)la b I +得結(jié)果等于()A. 2bB.2bC. 2a D.2a舉一反三：實(shí)數(shù)在數(shù)軸上得位置如圖所示:化簡(jiǎn):.例 8】化簡(jiǎn)得結(jié)果就是2X-5,則X得取值范圍就是)A X為任意實(shí)數(shù)B < XW 4 C x> 1D XW 1舉一反三:若代數(shù)式得值就是常數(shù)，則得取值范圍就是(A.B.C.D.或【例9】如果，那么a得

6、取值范圍就是(A、a=0B、a=1C、a=0 或 a=1D、 a< 1舉一反三:1、如果成立，那么實(shí)數(shù)a得取值范圍就是2、若，則得取值范圍就是()(A)(B)(C)(D)例 10】化簡(jiǎn)二次根式得結(jié)果就是(A)(B)(C)(D)舉一反三:，正確得結(jié)果就是B、1、把二次根式化簡(jiǎn)C、A、2、 把根號(hào)外得因式移到根號(hào)內(nèi)：當(dāng)> 0時(shí),=知識(shí)點(diǎn)三:最簡(jiǎn)二次根式與同類(lèi)二次根式1、最簡(jiǎn)二次根式：(1) 最簡(jiǎn)二次根式得定義：被開(kāi)方數(shù)就是整數(shù)，因式就是整式；被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡 方得數(shù)或因式.，如果被開(kāi)方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式就叫做同類(lèi)二次2、同類(lèi)二次根式(可合并根式): 幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根

7、式后 根式，即可以合并得兩個(gè)根式。例 11】在根式1)，最簡(jiǎn)二次根式就是A.1) 2)B. 3) 4)C. 1) 3)D. 1) 4)舉一反三:1、中得最簡(jiǎn)二次根式就是 2、下列根式中，不就是最簡(jiǎn)二次根式得就是A.B.C.3、下列根式不就是最簡(jiǎn)二次根式得就是A、B、4、下列各式中哪些就是最簡(jiǎn)二次根式(1)(5)(6)5、 把下列各式化為最簡(jiǎn)二次根式：(1) (2)(C、D.，哪些不就是?D、為什么?例 12】下列根式中能與就是合并得就是C、2舉一反三:1、 下列各組根式中，就是可以合并得根式就是(A、B、C、D、2、在二次根式：;：；中，能與合并得二次根式就是 3、 如果最簡(jiǎn)二次根式與能夠合并

8、為一個(gè)二次根式，則a=、知識(shí)點(diǎn)四：二次根式計(jì)算一一分母有理化1. 分母有理化：把分母中得根號(hào)化去，叫做分母有理化。2. 有理化因式：兩個(gè)含有二次根式得代數(shù)式相乘，如果它們得積不含有二次根式，就說(shuō)這兩個(gè)代 數(shù)式互為有理化因式。有理化因式確定方法如下： 單項(xiàng)二次根式：利用來(lái)確定，如:,與等分別互為有理化因式。 兩項(xiàng)二次根式：利用平方差公式來(lái)確定。如與”分別互為有理化因式。3. 分母有理化得方法與步驟： 先將分子、分母化成最簡(jiǎn)二次根式； 將分子、分母都乘以分母得有理化因式，使分母中不含根式； 最后結(jié)果必須化成最簡(jiǎn)二次根式或有理式。【例13】(1)【例14】(1)【例15】(1)舉一反三：把下列各式分

9、母有理化(2) (3)(4)把下列各式分母有理化(2)(3)(4)把下列各式分母有理化：(2)1、已知”求下列各式得值：(2)2、 把下列各式分母有理化：(1)(2)(3)小結(jié):一般常見(jiàn)得互為有理化因式有如下幾類(lèi)：與；與； 與；與.知識(shí)點(diǎn)五:二次根式計(jì)算一一二次根式得乘除1. 積得算術(shù)平方根得性質(zhì)：積得算術(shù)平方根，等于積中各因式得算術(shù)平方根得積。=(a A 0,b A 0) 2.二次根式得乘法法則：兩個(gè)因式得算術(shù)平方根得積，等于這兩個(gè)因式積得算術(shù)平方根。-MaA 0,b A 0)3. 商得算術(shù)平方根得性質(zhì)：商得算術(shù)平方根等于被除式得算術(shù)平方根除以除式得算術(shù)平方根=(a A 0,b>0)4

10、. 二次根式得除法法則：兩個(gè)數(shù)得算術(shù)平方根得商，等于這兩個(gè)數(shù)得商得算術(shù)平方根。=(a A 0,b>0)注意:乘、除法得運(yùn)算法則要靈活運(yùn)用 同時(shí)還要考慮字母得取值范圍，在實(shí)際運(yùn)算中經(jīng)常從等式得右邊變形至等式得左邊 ，最后把運(yùn)算結(jié)果化成最簡(jiǎn)二次根式.【例16】化簡(jiǎn)(1)(4)()【例17】計(jì)算(5) (6)(8)【例18】化簡(jiǎn):(1)【例19】計(jì)算：(1)x得取值范圍就是()D、無(wú)解知識(shí)點(diǎn)六:二次根式計(jì)算二次根式得加減需要先把二次根式化簡(jiǎn)，然后把被開(kāi)方數(shù)相同得二次根式(即同類(lèi)二次根式)得系數(shù)相加 減，被開(kāi)方數(shù)不變。注意:對(duì)于二次根式得加減，關(guān)鍵就是合并同類(lèi)二次根式，通常就是先化成最簡(jiǎn)二次根式

11、 .但在化簡(jiǎn)二次根式時(shí)，二次根式得被開(kāi)方數(shù)應(yīng)不含分母，不含能開(kāi)得【例20】能使等式成立得得A、B、C、再把同類(lèi)二次根式合并(2)X盡得因數(shù).例 20】計(jì)算(1)； (2)；(3) ；(4)例21】(1)(3)(4)(5)知識(shí)點(diǎn)七:二次根式計(jì)算二次根式得混合計(jì)算與求值1、確定運(yùn)算順序 ；2、 靈活運(yùn)用運(yùn)算定律；3、 正確使用乘法公式；4、 大多數(shù)分母有理化要及時(shí)；，不要盲目有理化【例22】1、2、3皆）金斫+45、在有些簡(jiǎn)便運(yùn)算中也許可以約分8、二次根式綜合運(yùn)用1. 已知:求得值.2. 已知，求得值。3. 已知:求得值.4.求得值.5.已知、就是實(shí)數(shù)，且,求得值.知識(shí)點(diǎn)八：根式比較大小1、根式變

12、形法2、平方法3、分母有理化法4、分子有理化法5、倒數(shù)法6、媒介傳遞法7、作差比較法在對(duì)兩數(shù)比較大小時(shí)，經(jīng)常運(yùn)用如下性質(zhì)&求商比較法它運(yùn)用如下性質(zhì)：當(dāng)a>0，b>0時(shí)，則:；當(dāng)時(shí)，如果,則如果,則。 當(dāng)時(shí)，如果，則如果，則。通過(guò)分母有理化，利用分子得大小來(lái)比較。 通過(guò)分子有理化，利用分母得大小來(lái)比較。適當(dāng)選擇介于兩個(gè)數(shù)之間得媒介值 ，利用傳遞性進(jìn)行比較。:【例24】比較與得大小?！纠?5】比較與得大小?！纠?6】比較與得大小?！纠?7】比較與得大小。【例28】比較與得大小。二次根式練習(xí)二次根式：1、2、3、4、5、6、若有意義，則得取值范圍就是_ 當(dāng)時(shí)，就是二次根式。已知，

13、則得取值范圍就是當(dāng)時(shí),。把得根號(hào)外得因式移到根號(hào)內(nèi)等于 下列各式一定就是二次根式得就是A、B、C、D、7、若，則（）A、B、CD、8若，則化簡(jiǎn)后為（)A、B、C、D、9、能使等式成立得得取值范圍就是A、B、CD、去掉下列各根式內(nèi)得分母：10、(11、12、已知，求得值。已知為實(shí)數(shù)，且，求得值。二次根式得乘除若與都就是最簡(jiǎn)二次根式，則。下列各式不就是最簡(jiǎn)二次根式得就是A、B、C、D、已知,化簡(jiǎn)二次根式得正確結(jié)果為（A、B、C、D、1、2、3、4、5、6、7、對(duì)于所有實(shí)數(shù)，下列等式總能成立得就是A、B、C、D、對(duì)于二次根式，以下說(shuō)法中不正確得就是 A、它就是一個(gè)非負(fù)數(shù)C、它就是最簡(jiǎn)二次根式 計(jì)算：化簡(jiǎn):(B、D、）它就是一個(gè)無(wú)理數(shù)它得最小值為3把根號(hào)外得因式移到根號(hào)內(nèi)：1、二次根式得加減 下面說(shuō)法正確得就是（）A、被開(kāi)方數(shù)相同得二次根式一定就是同類(lèi)二次根式B、與就是同類(lèi)二次