高三導(dǎo)數(shù)壓軸題題型歸納

1、1.1. 知 f(x)1A. 一4變式1:設(shè)fA. 1 1第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的概念1,則lim f2x)一口的值是()x x 0xB. 2 C. -D. - 2434,則 lim f 3 h一人為()h 02hB . 2C. - 3D. 1設(shè)f x在x0可導(dǎo)，則lim 10一x一f x03 x等于x 0x2f x0B. f x0C. 3f x0導(dǎo)數(shù)各種題型方法總結(jié)請同學(xué)們高度重視：首先，關(guān)于二次函數(shù)的不等式恒成立的主要解法：1、分離變量；2變更主元；3根分布；4判別式法5、二次函數(shù)區(qū)間最值求法：(1)對稱軸(重視單調(diào)區(qū)間)與定義域的關(guān)系(2)端點處和頂點是最值所在其次，分析每種題型的本質(zhì)，

2、你會發(fā)現(xiàn)大部分都在解決“不等式恒成立問題”以及“充分應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想”，創(chuàng)建不等關(guān)系求出取值范圍。最后，同學(xué)們在看例題時，請注意尋找關(guān)鍵的等價變形和回歸的基礎(chǔ)一、基礎(chǔ)題型：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值；不等式恒成立；1、此類問題提倡按以下三個步驟進(jìn)行解決： '第一步：令f (x) 0得到兩個根；第二步：回兩圖或列表；第三步：由圖表可知；其中不等式恒成立問題的實質(zhì)是函數(shù)的最值問題，2、常見處理方法有三種：第一種：分離變量求最值 -用分離變量時要特別注意是否需分類討論(>0,=0,<0)第二種：變更主元(即關(guān)于某字母的一次函數(shù))-(已知誰的范圍就把誰作為主元)；(請同學(xué)們參看20

3、10省統(tǒng)測2)例1：設(shè)函數(shù)y f (x)在區(qū)間D上的導(dǎo)數(shù)為f (x), f (x)在區(qū)間D上的導(dǎo)數(shù)為g(x),若在區(qū)間D上，g(x) 0恒成立，則稱函數(shù)y f (x)在區(qū)間D上為“凸函數(shù)”，已知實數(shù)m是常數(shù)，43 o 2一、 x mx 3xf (x)1262(1)若y f (x)在區(qū)間0,3上為“凸函數(shù)”，求 m的取值范圍；(2)若對滿足 m 2的任何一個實數(shù) m ,函數(shù)f (x)在區(qū)間a,b上都為“凸函數(shù)”，求 b a的最 大值.43c 232x mx 3x /口一、 x mx 八解：由函數(shù)f (x) 得f (x) 3x126232,、2八g (x) x mx 3(1) Qy f (x)在區(qū)

4、間0,3上為“凸函數(shù)”，則 g(x) x mx 3 0在區(qū)間0,3上恒成立解法一：從二次函數(shù)的區(qū)間最值入手：等價于 gmax(x) 03 09 3m 3 0)0g(解法二：當(dāng)x 0時,分離變量法:2g(x) xmx 3當(dāng)02等價于m-x而 h(x)23時，g(x) xx 3的最大值(x3 八x -( 0 xmx 33 0恒成立,0恒成立0 x 3)恒成立,3)是增函數(shù)，則hmax(x)h(3)(2).當(dāng)m 2時f(x)在區(qū)間a,b上都為“凸函數(shù)則等價于當(dāng)m 2時g(x)變更主元法mx 3 0恒成立再等價于F(mnF( 2) FF(2) b a2mx x2x2x2x例2:設(shè)函數(shù)f (x)J132

5、 o 2-x 2ax 3a x32恒成立(視為關(guān)于m的一次函數(shù)最值問題)b(0a 1,b R)(I)求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間和極值;(n)若對任意的 x a 1,a 2,不等式f(x) a恒成立，求a的取值范圍.(二次函數(shù)區(qū)間最值的例子)x 3a解：(I ) f (x)x2 4ax 3a2令f (x) 0,得f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為,a)和(3a, +3 3. .當(dāng) x=a 時，f (x) 極、值=a b;4當(dāng)x=3a時，f (x)極大值=b.(n)由| f (x)|wa,得：對任意的 xa 1,a 2, a4ax3a2 a恒成立則等價于g(x)這個函數(shù)gmax(x)gmin (x)g(x)

6、x2 4ax 3a2的對稱軸x 2a Q 0 a 1, a2a (放縮法)g(x)這個二次函數(shù)的最值問題：單調(diào)增函數(shù)的最值問題。即定義域在對稱軸的右邊,g(a 1) 2a 1用牛，寸一a 5,、2g(x) xg( x) max g( x) min一 2 , 一 . 一4ax 3a在a 1,a 2上是增函數(shù).g(a 2)2a 1.g(a1)4a 4.于是，對任意x a1,a 2,不等式恒成立，等價于1.又 0 aa 1.點評：重視二次函數(shù)區(qū)間最值求法：對稱軸(重視單調(diào)區(qū)間)與定義域的關(guān)系第三種：構(gòu)造函數(shù)求最值題型特征：f(x) g(x)恒成立 h(x) f (x) g(x) 0恒成立；從而轉(zhuǎn)化為

7、 第一i、二種題型例3；已知函數(shù)f(x) x3 ax2圖象上一點P(1,b)處的切線斜率為3,3 t 6 2g(x) x3x2 (t 1)x 3 (t 0)2(i)求a,b的值；(n)當(dāng)x 1,4時，求f(x)的值域；(出)當(dāng)x 1,4時，不等式f (x) g(x)恒成立，求實數(shù)t的取值范圍。解：(I) f/(x) 3x2 2ax/. f (1)3,解得 a 3b 1 ab 2(n)由(I)知， f (x)在1,0上單調(diào)遞增，在0,2上單調(diào)遞減，在2, 4上單調(diào)遞減又 f ( 1)4, f (0) 0, f (2)4, f (4) 16f (x)的值域是4,16t 2(出)令 h(x) f (

8、x) g(x) -x (t 1)x 3 x 1,42思路1：要使f(x) g(x)恒成立，只需h(x) 0,即t(x2 2x) 2x 6分離變量思路2：二次函數(shù)區(qū)間最值二、題型一：已知函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)的范圍解法1:轉(zhuǎn)化為f'(x) 0或f'(x) 0在給定區(qū)間上恒成立，回歸基礎(chǔ)題型解法2:利用子區(qū)間(即子集思想)；首先求出函數(shù)的單調(diào)增或減區(qū)間，然后 讓所給區(qū)間是求的增或減區(qū)間的子集；做題時一定要看清楚“在(m,n)上是減函數(shù)”與“函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是(a,b) ”，要弄清 楚兩句話的區(qū)別：前者是后者的子集13a 1 2例 4：已知 a R,函數(shù) f(x) x x (

9、4a 1)x .122(I)如果函數(shù) g(x) f(x)是偶函數(shù)，求f(x)的極大值和極小值；(n)如果函數(shù) “*)是(，)上的單調(diào)函數(shù)，求 a的取值范圍.1 2斛：f (x) x (a 1)x (4a 1).41 2-19(1) f (x)是偶函數(shù)，：a 1. 此時 f (x) x3 3x, f (x) -x2 3,124令 f (x) 0 ,解得：x273 .列表如下:x(一 00 2 y3 )-273(-2 ,273 )2c(24 3，+ 8)+0一0+f(x)遞增極大值遞減極小值遞增可知：f(x)的極大值為f( 2j3) 4J3, f (x)的極小值為 f(2.3)4- 3.(口).函

10、數(shù)f (刈是(，)上的單調(diào)函數(shù)，f (x) 1x2 (a 1)x (4a 1) 0 ,在給定區(qū)間R上恒成立判別式法4212則 (a 1)2 4 - (4a 1) a2 2a 0,解得：0 a 2. 綜上，a的取值范圍是a0 a 2.41 Q 19例 5、已知函數(shù) f (x) - x (2 a)x (1 a)x(a 0). 32(I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(II)若f (x)在0, 1上單調(diào)遞增，求a的取值范圍。 子集思想，2(1) f (x) x (2 a)x 1 a (x 1)(x 1 a).21、當(dāng)a 0時，f (x) (x 1)0恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)x 1時取“=”號，”*)在(，)單調(diào)遞增

11、。2、當(dāng) a 0時，由 f (x) 0,得為1,x2a 1,且x1x2,1、a 0時，"刈在()單調(diào)遞增符合題意2、 0,1 a 1,綜上，a的取值范圍是0,1。三、題型二：根的個數(shù)問題題1函數(shù)f(x)與g(x)(或與x軸)的交點解題步驟即方程根的個數(shù)問題第一步：畫出兩個圖像即“穿線圖”(即解導(dǎo)數(shù)不等式)和“趨勢圖”即三次函數(shù)的大致趨勢“是先增后減再增”還是“先減后增再減”；第二步：由趨勢圖結(jié)合交點個數(shù)或根的個數(shù)寫不等式(組)；主要看極大值和極小值與0的關(guān)系；第三步：解不等式(組)1 Q例6、已知函數(shù)f (x) - x33即可；(k 1) 21-x , g(x)一23且f(x)在區(qū)間

12、(2,)上為增函數(shù).(1) 求實數(shù)k的取值范圍；(2) 若函數(shù)f (x)與g(x)的圖象有三個不同的交點，求實數(shù)k的取值范圍.解：(1)由題意f (x) x2(x) x2(k 1)x(k 1)x / f (x)在區(qū)間(2,)上為增函數(shù),1 x恒成立，又0在區(qū)間(2,2, k 1設(shè) h(x) f (x)g(x)x3 (k32)上恒成立(分離變量法)2 ,故k 1 . . k的取值范圍為k 11) 2.1x kx 一，3h (x) x2令 h (x) i(k 1)xk (x當(dāng)當(dāng)1 時，h (x) (x 1)2k)(x 1)(1)知 k 1 ,0, h(x)在R上遞增，顯然不合題意x(,k)k(k,

13、1)1(1,)h (x)0一0h(x)極大值,3. 2.kk1623極小值k 121時，h(x) , h (x)隨x的變化情況如下表:f(x)與g(x)的圖象有三個不同的交點，即方程0,欲使由于k3故需612k22即(k 1)(k2 2k 2)k 1k2 2k 2綜上，所求k的取值范圍為,3h(x) 0有三個不同的實根,根的個數(shù)知道，部分根可求或已知。31 2例7、已知函數(shù)f (x) ax -x22x c(1)若x 1是f (x)的極值點且f (x)的圖像過原點，求 f (x)的極值;1 . 2(2)右g(x) -bx x d ,在(1)的條件下，是否存在實數(shù)b ,使得函數(shù)g(x)的圖像與函數(shù)

14、f(x)的 2圖像恒有含x1的三個不同交點？若存在，求出實數(shù)b的取值范圍；否則說明理由。解：(1) f (x)的圖像過原點，則f(0) 0 c 0 f (x) 3ax2 x 2,又 x 1是f (x)的極值點，則f ( 1)3af (x)3x22 (3x 2)(x 1)f (x)-123f極大值(x)f(1)3 f2 f極小值(x)(2)設(shè)函數(shù)g(x)的圖像與函數(shù)227f(x)的圖像恒存在含 x1的三個不同交點,等價于f(x)g(x)有含x1的三個根，即:f( 1) g( 1)1d (b 1)2即：x31 2-x21122x bx21j L(b 1)整理得:2(b 1)x21 ,、x -(b

15、1) 0恒有含x21的三個不等實根1x (b 1) 0有含x 1的根, 2(計算難點來了：) h(x) x3 - (b 1)x22則h(x)必可分解為(x 1)(二次式)0 ,故用添項配湊法因式分解,322121x3x11(1)21(b 1) -(b 1)22x2 (b1)x2x (b1) 0222121x (x 1) (b 1)x x (b 1)022212x2(x 1) (b 1)x2 2x (b 1)0221十子相乘法分斛：x (x 1) (b 1)x (b 1) x 102211(x 1)x-(b1)x-(b 1)0223121x (b 1)x x (b 1)22一一211等價于 x

16、(b 1)x (b 1)221214(b 1)2 4 12(b 1)0恒有含x 1的三個不等實根0有兩個不等于-1的不等實根。0b (, 1) ( 1,3) (3,)0題2:切線的條數(shù)問題例7、已知函數(shù)f (x) i：=以切點x°為未知數(shù)的方程的根的個數(shù)32._ax bx cx在點x0處取得極小值4,使其導(dǎo)數(shù)f '(x) 0的x的取值范圍f(x)的三條切線，求實數(shù) m的為(1,3),求：(1) f(x)的解析式；(2)若過點P( 1,m)可作曲線y取值范圍.(1)由題意得：f'(x) 3ax2 2bx c 3a(x 1)(x 3),( a 0). .在(,1)上 f

17、'(x) 0；在(1,3)上 f'(x) 0;在(3,)上 f '(x) 0因此f (x)在x0 1處取得極小值 4. a b c 4，f'(1) 3a 2b c 0 ，f'(3) 27a 6b c 0 a 1由聯(lián)立得：b 6 , f(x)x3 6x2 9xc 9(2)設(shè)切點 Q(t, f(t), y f (t)f,(t)(x t) y ( 3t2 12t 9)(x t) ( t3 6t2 9t)(3t2 12t 9)x t(3t2 12t 9) t(t2 6t 9) ( 3t2 12t 9)x t(2t2 6t)過(1,m) m ( 3t2 12t 9

18、)( 1) 2t3 6t2 g(t) 2t3 2t2 12t 9 m 0 令 g'(t) 6t2 6t 12 6(t2 t 2) 0, 求得：t 1,t 2,方程g(t) 0有三個根。事g( 1) 02 3 12 9 m 0m 16而.g(2) 016 12 24 9 m 0m 11故：11 m 16;因此所求實數(shù) m的范圍為：(11,16)題3:已知f(x)在給定區(qū)間上的極值點個數(shù)則有導(dǎo)函數(shù) =0的根的個數(shù)解法：根分布或判別式法例8、已知函數(shù)/U)="？ 一;(m+3)/ + (皿+6)和工£口(幅為常數(shù)). n *(1 )當(dāng)皿之4時，求函數(shù)人工)的單調(diào)區(qū)間；(n

19、 )若函數(shù)V =公在區(qū)間(1.+ 8 )上有兩個極值點，求實數(shù)m的取值范圍.解：函數(shù)的定義域為 R17I3X1一32X7一210x,f (x)=x27x+10,令 f (x) 0 ,解得 x 5,或 x 2.令 f (x) 0 ,解得 2 x 5可知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，2)和(5, +8),單調(diào)遞減區(qū)間為2,5 .(n ) f (x) = x2 (m + 3)x + m + 6,要使函數(shù)y=f (x)在(1, +8)有兩個極值點，f (x) =x2(m+3)x(1, +°°)2(m 3)2 4(m 6) 0;則 f(1) 1 (m3) m 6 0;,解得 m&g

20、t;3m 3 )1.2a1 o 1 , 一例 9、已知函數(shù) f(x) x - x , (a R, a 0) (1)求 f (x)的單倜區(qū)間；(2)令 g(x) = x4+f 32410時，令f (x) 0解得x 或x 0,令f (x) 0 a，、，1(0,),遞減區(qū)間為(-,0).a1,0) (,).a(x) (xCR)有且僅有3個極值點，求a的取值范圍.解：(1) f (x) ax令g(t) xt 3x 4x,則問題就是g(t) 0在t 1,1上恒成立時，求實數(shù) x的取值范圍，一/ 八 c八 2 一八為此只需 g，即3x9x , 解得0 x 1,所以所求實數(shù)x的取值范圍是0, 1. x x(

21、ax 1) 當(dāng) a1 11一),遞減區(qū)間為( a解得 1 x 0所以f(x)的遞增區(qū)間為(，1) aa當(dāng)a 0時，同理可得f(x)的遞增區(qū)間為(0,一1 a q1 c(2)g(x) -x -x-x有且僅有3個極值點432g (x)32,22x ax x x(x ax 1)=0 有 3 個根，貝U x 0 或 x ax 1 0 , a22萬程x ax 1 0有兩個非零實根，所以 a 4 0, a 2或a 2而當(dāng)a 2或a 2時可證函數(shù)y g(x)有且僅有3個極值點其它例題：1、(最值問題與主元變更法的例子).已知定義在R上的函數(shù)f(x) axg (1) 0x2 x 0 2ax2 b (a 0)

22、在區(qū)間 2,1上的最大值是5,最小值是11.(I)求函數(shù)f(x)的解析式；(n)若t 1,1時，f (x) tx 0恒成立，求實數(shù) x的取值范圍.解：(I) Q f(x) ax3 2ax2 b, f (x) 3ax2 4ax ax(3x 4)人,一4令 f(x)=0，得 x,0,x2 2,13因為a 0,所以可得下表:x2,000,1f (x)+0-f(x)極大因此 f(0)必為最大值，二. f (0) 5因此 b 5, Qf( 2) 16a 5,f(1) a 5, f(1) f( 2),即 f( 2)16a 511, a 1 , . f (x) x3 2x2 5.22(n) f (x) 3x

23、 4x, f (x)tx 0 等價于 3x 4x tx 0,2、(根分布與線性規(guī)劃例子)(1)已知函數(shù)f(x)2 32x ax bx c ( I )右函數(shù)f (x)在x 1時有極值且在函數(shù)圖象上的點 3(0, 1)處的切線與直線3x y 0平彳T,求f(x)的解析式；(n)當(dāng)f (x)在x (0, 1)取得極大值且在x (1, 2)取得極小值時,設(shè)點M(b 2, a 1)所在平面區(qū)域為S,經(jīng)過原點的直線L將S分為面積比為1:3的兩部分，求直線L的方程.解：(I ).由 f (x) 2x22ax b,函數(shù)f (x)在x 1時有極值，(n)解法 2ab 20f(0) 1 c 1又 f(x)在(0,

24、 1)處的切線與直線3x yf (0) bf (x)2x20平行,(0) 易得A(一1故 a f (x)22ax b 及 f (x)在 xb 02a b4a b2 31 2x -x323x 1(0, 1)取得極大值且在令 M (x, y),(1,2)取得極小值，2y24y2, 0), B( 2,0 故點01), C(2,同時DE為 ABC的中位線，S DEC所在平面區(qū)域2), D(0,1s四邊形ABED 3S為如圖 ABC,1), E(0,3)S ABC另一種情況設(shè)不垂直于x軸的直線L也將S分為面積比為與 AC,BC分別父于F、G,則k 0, S四邊形degfy2ykx得點F的橫坐標(biāo)為：Xf

25、022k 1y4ykx得點G的橫坐標(biāo)為：Xg 064k 1所求一條直線L的方程為：x1:3的兩部分，設(shè)直線L方程為y kx,它S四邊形DEGFS OGE S OFD2 2 4k 1 222k 11 即 16k2 2k 5 0人一、一1(舍去)故這時直線方程為：y -x2綜上，所求直線方程為：x.12分(n)解法f (x)2x22axb及f (x)在x(0, 1)取得極大值且在(1,2)取得極小值，(0) 2y4y易得A(2, 0), B( 2,同時DE為ABC的中位線，2a4a1),S DEC令 M (x, y), 則故點M所在平面區(qū)域S為如圖 ABC,-_3C(2,2), D(0,1), E

26、(0,3)2S ABC 21_Szg邊形ABED , ,所求一條直線L的方程為：x 031另一種情況由于直線 BO萬程為：y -x,設(shè)直線BO與AC交于H 21上 y x八 ，、，1由 2得直線L與AC交點為：H( 1,一)2y x 2 02C(2. -2)2,DEC二，Sabh 2S ABO SAOH3、(根的個數(shù)問題)已知函數(shù)f(x)3.2ax bx(c 3a 2b)xd (a0)的圖象如圖所示。(i)求c、d的值;(n)若函數(shù)f(x)的圖象在點(2,f(2)處的切線方程為 3x y 110,求函數(shù)f ( x )的解析式;(出)若Xo 5,方程f(x)8a有三個不同的根，求實數(shù) a的取值范

27、圍。2_解：由題知：f (x) 3ax2bx+c-3a-2b(I)由圖可知函數(shù) f ( x )的圖像過點(0,3 )，且f 1 = 0得 d 3d 33a 2b c 3a 2b 0 c 0所求直線方程為:x 0或y x1 x2 J(k x2)2 4x1x2 V4a2 4 2 a 0 x212a 4b 3a 2b 3 “口(n )依題息 f 2 = - 3 且 f ( 2 ) = 5解得 a = 1 , b = - 68a 4b 6a 4b 3 5所以 f ( x ) = x3 - 6x2 + 9x + 3(出)依題意 f ( x ) = ax3 + bx2 - ( 3a + 2b )x + 3

28、 ( a>0 )f x = 3ax2 + 2bx - 3a - 2b 由 f 5 = 0 b = - 9ax2(2,1)1(x)一(x)8a 9 2a若方程f ( x ) = 8a有三個不同的根，當(dāng)且僅當(dāng)滿足f ( 5 )<8a<f ( 1 )一,1所以當(dāng) 一vav3時，方程f ( x ) = 8a有二個不同的根。12分11由得 -25a + 3<8a< 7a + 3<a<3115 -(2 x 1)的交點個數(shù).xx22 a, x x2_22f (x) x 2ax 1 x 1 令 f (x)1,或x 1 令 f (x) 0 得 1 x 1f(x)的單調(diào)遞

29、增區(qū)間為(，1), (1,)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1,1)1- C(2)由題 f (x) g(x)得一x ax3令1 3121(x)-x(a-)x2ax-(23261 25 H 1 31 2x 1 -x (2a 1)x 一即x (a -)x 2ax26322一一一x 1)(x) x(2 a 1)x 2a (x 2a)(x 1)1令(x) 0付 x 2a或 x 1Q a 一 29.當(dāng)2a 2即a 1時此時，8a 0, a 0,有一個交點;21 當(dāng)2a2即1 a 時,x2(2,2 a)2a(2a,1)124、(根的個數(shù)問題)已知函數(shù)f (x) 1x3 ax2 x 1(a R)3(1)若函數(shù)f (x)在

30、x x1,x x2處取得極值，且 x1 x22,求a的值及f(x)的單調(diào)區(qū)間;1 .1 2(2)右 a -,討論曲線 f (x)與 g(x) x (2a 1)x2斛：(1) f(x) x 2ax 1 1(x)922 21(x) 8a -/-a (3 2a) -、 a236Q 2a2(3 2a) 39，當(dāng) 8a 0即120,9 9一時,有一個交點；當(dāng) 8a 交點；當(dāng)0 a2時,8a綜上可知，當(dāng)a-或01616-0,有一個交點21 一 一 一，a 2時，有一個交點；當(dāng)9165、(簡單切線問題)3一 x 已知函數(shù)f (x) )圖象上斜率為ag(x) f(x)(I) 若函數(shù)(n) 若函數(shù)3bx 3 .

31、ag(x)在 x1處有極值，求g(x)的解析式;g(x)在區(qū)間1,1上為增函數(shù)，且b2 mb 4一 99. 0,且a 0即一 a 0時，有兩個16a 0時，有兩個交點.2 10 一3的兩條切線間的距離為,函數(shù)5g(x)在區(qū)間1,1上都成立，求實數(shù) m的取值范圍.函數(shù)中任意性和存在性問題探究高考中全稱命題和存在性命題與導(dǎo)數(shù)的結(jié)合是近年高考的一大亮點, 行歸納探究一、相關(guān)結(jié)論：卜面結(jié)合高考試題對此類問題進(jìn)結(jié)論 1：x1a,b,結(jié)論 2：x1a,b,結(jié)論 3：x1a,b,結(jié)論 4：x1a,b,x2 c,d, f(x1)x2 c,d, f(x1)x2 c,d, f(x1)又2 c,d, f(x1)g(

32、x2) f ( x) ming(x2)f (x)maxg(x2)f(x)ming(x2)f (x)maxg(x)max；【如圖一】g(x)min ； 【如圖二】g(x)min ； 【如圖三】g(x)max；【如圖四】結(jié)論 5：Xi a,b, x2 c,d, f(x1)g(x2)f(x)的值域和g(x)的值域交集不為空；【如圖五】A*)/#I卜W0F斤4倒二H=3,3, k23_ 2【例題1：已知兩個函數(shù)f (x) 8x 16x k, g(x) 2x 5x 4x, x 若對x 3,3,都有f(x) g(x)成立，求實數(shù)k的取值范圍;(2)若x 3，3,使彳導(dǎo)f (x) g(x)成立，求實數(shù)k的取

33、值范圍；(3)若對x1,x2 3,3,都有f(x1) g(x2)成立，求實數(shù)k的取值范圍；3-2解：設(shè)田*) g(x)f(x) 2x 3x 12x k,(i)中的問題可轉(zhuǎn)化為：X 3,3時，h(x) 0'2恒成立，即h(x)min 0。h(x) 6x 6x 12 6(x 2)(x 1).'當(dāng)x變化時，h(x),h (x)的變化情況列表如下:x-3(-3,-1)-1(-1,2)2(2,3)3h (x)+0一0+h(x)k-45增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)k-9因為 h(1) k 7, h(2) k 20,所以，由上表可知h(x)min k 45 ,故 k-45 >0,得

34、k>45,即 ke 45,+ 8). 小結(jié)：對于閉區(qū)間 I ,不等式f(x)<k 對xC I時恒成立f(x)max<k, xC I;不等式f(x)>k 對xCI 時恒成立 f(x)min>k, x CI.此題常見的錯誤解法：由 f(x)max w g(x)min 解出k的取值范圍.這種解法的錯誤在于條件“f(x)max w g(x)min ”只是原題的充分不必要條件，不是充要條件，即不等價 (2)根據(jù)題意可知，(2)中的問題等價于 h(x)= g(x) f(x) > 0在x -3,3時有解，故h(x)max >0.由(1)可知h(x)max= k+7,

35、因此 k+7>0,即 k 7,+ 8).(3)根據(jù)題意可知，(3)中的問題等價于f(x)max < g(x)min , x C -3,3.由二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)可得，x -3,3時，f(x)max=120- k.仿照(1),利用導(dǎo)數(shù)的方法可求得x C -3,3時，g(x)min=21.由 120k> 21 得 k>141，即 kC 141,+ 8).說明：這里的x1,x2是兩個互不影響的獨立變量從上面三個問題的解答過程可以看出，對于一個不等式一定要看清是對“x”恒成立，還是“ x”使之成立，同時還要看清不等式兩邊是同一個變量，還是兩個獨立的變量，然后再根據(jù)不同的情況采取

36、不同的等價條件，千萬不要稀里糊涂的去猜. 二、相關(guān)類型題：一、"a f(x)”型；形如"a f (x)"," a f (x)"型不等式，是恒成立問題中最基本的類型，它的理論基礎(chǔ)是“af(x)在x D上恒成立，則af(x)max(x D); a f(x)在xCD上恒成立，則a f(x)min(x D);”許多復(fù)雜的恒成立問題最終都可歸結(jié)到這一類型例1 ：已知二次函數(shù)f(x) ax2 x,若 x 0,1時，恒有| f(x)| 1 ,求實數(shù)a的取值范圍.解：Q | f (x) | 1 ,， 1 ax2 x 1 ；即 1 x ax2 1 x ；當(dāng)x 0

37、時，不等式顯然成立，. .aC R.當(dāng)0 x 1時，由 1 x ax2 11,11一,而()min 0二、p11又(r-)2 maxxx2, a2,0,綜上得a的范圍是a 2,0。"f(xi)f(x)f(x2)"型例2已知函數(shù)f(x) 2sin( -x一),若對 x5R,都有"f (xi)f(x)f (x2)"成立，則 |xi x2 |的最小值為解.對任意xCR,不等式f(x1) f (x)f(x2yl1成立, f (x1), f(x2)分別是f(x)的最小值和最大值.對于函數(shù)y sin x ,取得最大值和最小值的兩點之間最小距離是兀，即半個周期.x 、

38、又函數(shù)f(x) 2sin( )的周期為4,|x1 x2|的最小值為252.三、x1 x2 "f(T3 f(x2)"型3：(2005 湖北)在y 2x, y log22x, yx2,ycosx 這四個函數(shù)中，當(dāng)0x1x21時，使"f(xf(x1) f(x2)"恒成立的函數(shù)的個數(shù)是A.02B.1C.2解：本題實質(zhì)就是考察函數(shù)的凸凹性，即滿足條件D.3"f72f(xi) f (x2)的函數(shù)，應(yīng)是凸函數(shù)的性質(zhì)，畫草圖即知 y log 2 2x符合題意;四、"f(x1) f(x2)0"型x1x24已知函數(shù)f (x)定義域為1,1,f(

39、1) 1 ,若m,n 1,1 , m n 0 時，都有,f(m)f(n)0",若 f(x) t2 2at1對所有x 1,1, a1,1恒成立，求實數(shù)t取值范圍.解：任取x1 x2 1 ,則 f (x1)f仇)f(x1) f(x2) (x1x1 x2x2),由已知f(x1) f(x2) 0,x1x2又 x x2 0 ,f(x1) f(x2) 0f,f (x)在1,1上為增函數(shù). f (1) 1,1,1,恒有 f (x)，要使 f (x) t22at 1對所有x 1,1, a 1,1恒成立,即要t2 2at 11恒成立,故t2 2at 0恒成立，令g (a)2at t2,只須 g( 1)

40、 0 且 g(1) 0,解得t 2或t 0或t 2。評注：形如不等式"f(x2LLx2) 0"或"f(x2fix2)0"恒成立，實際上是函數(shù)的單調(diào)性的另Xi X2X1 X2一種表現(xiàn)形式，在解題時要注意此種類型不等式所蘊涵的重要信息五、."f (x) g(x)”型:1.例 5：已知 f(x) -lg(x 1), g(x) lg(2x t),若當(dāng) x 0,1時，f(x) g(x)恒成立，求實 2數(shù)t的取值范圍.解：f(x) g(x)在 x 0,1恒成立，即 jx7 2x t 0 在 x 0,1恒成立jxi 2x t 在14x10,1上的最大值小于或

41、等于零.令F(x) 口7 2x t, F (x) 7, x 0,12. x 1 ' F (x) 0,即 F(x)在0,1上單調(diào)遞減，F(xiàn)(0)是最大值.f(x) F(0) 1 t 0,即 t 1。六、"f (x1) g(x2)"型1 q o 49x c例6 ：已知函數(shù)f(x) -x x 3x , g(x) ,右對任息x1, x2 2,2,都有332f (x1) g(x2),求 c 的范圍.解：因為對任意的 x1，x2 2,2,都有f(x1)g(x2)成立，一 一一一 一 _, '_2_一 ._ ' 一 一一 一一一 '一一f(x)maxg(x)

42、min, f (x)x 2x3 ,令 f (x)0得 x3, x1x>3 或 xV-1； f (x) 0得1 x 3; . f (x)在2, 1為增函數(shù)，在1,2為減函數(shù).18 c f( 1) 3, f(2)6, f(x)max 3,.-. 3, c 24。2七、"| f(x) f (x2)| t" ( t為常數(shù))型；43.1例7 :已知函數(shù)f(x) x 2x ,則對任息t1,t2 -, 2 (t1 t2)都有 2|f(X) f(x2)| 恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)t產(chǎn)，t2=時取等號.解：因為 |f(x1) f (x2)| | f(x)max f(x)min | 恒成立,由

43、f(x)x4 2x3,x ：,2,易求得f(x)maxf(1) 27, f (x)m.f( f 工，2216216| f(x1)f(x2)| 2。例8 :已知函數(shù)y f(x)滿足：(1)定義域為1,1； (2)方程f(x) 0至少有兩個實根1和1； (3)過f (x)圖像上任意兩點的直線的斜率絕對值不大于1.(1)證明| f (0) | 1|；(2)證明：又壬意 Xl,X2 1,1,都有 | f(Xi) f(X2)| 1 .證明 (1)略；(2)由條件(2)知f( 1)f(1) 0 ,不妨設(shè) 1X1X21 ,由知|f(Xi) f(X2)|X1X2I X2 X1 又. |f(X1) f(X2)|

44、 |f(X1)| |f(X2)| |f(X1)f(1)|f(X2)f(1)|X1 1 1X22 (X2 X1) 2 | f(X1) f(X2)|; . | f (X1) f(X2)|1八、"| f(x) f(X2)| |X1 X2 |"型一 一一33例 9：已知函數(shù) f(X) x aX b,對于 X1,X2 (0,)(X1 *2)時總有|“小)f(X2)| |X1 x2 | 3成立，求實數(shù)a的范圍.解 由f (x) x3 ax b ,得f (x) 3x2 a , 當(dāng)x (0,立)時， 3.f(x1) f(x2)a 1a f (x) 1 a,| f (X1) f (X2) |

45、 | X1 X21, ' |1 1 ,1 a 0x1 x21 a 1評注 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知道，函數(shù)y f(x)圖像上任意兩點P(x1, y1),Q(x2, y2)連線的斜率k 紅1(x1 x2)的取值范圍，就是曲線上任一點切線的斜率(如果有的話)的范圍，利用這個結(jié)論，X2 X1可以解決形如| f(x1) f(x2)| m | X1 x2|威|f(x1) f(x2)| m | X1 x2 | (m > 0)型的不等式恒成立問題.考前寄語：先易后難，先熟后生；一慢一快：審題要慢，做題要快；不能小題難做，小 題大做，而要小題小做，小題巧做；我易人易我不大意，我難人難我不畏難；考試不怕

46、題不 會，就怕會題做不對；基礎(chǔ)題拿滿分，中檔題拿足分，難題力爭多得分，似曾相識題力爭不失 分；對數(shù)學(xué)解題有困難的考生的建議：立足中下題目 ，力爭高上水平，有時“放棄”是一種 策略.導(dǎo)數(shù)壓軸題題型歸納1.在解題中常用的有關(guān)結(jié)論 X(1)曲線y f(x)在x x0處的切線的余W等于f(x0),且切線方程為y f (xo)(x xo) f (xo) o(2)若可導(dǎo)函數(shù)y f(x)在xxo處取得極值，則f (xo)0。反之，不成立。(3)對于可導(dǎo)函數(shù)f(x),不等式f (x) o 0的解集決定函數(shù)f(x)的遞增(減)區(qū)間。函數(shù)f(x)在區(qū)間I上遞增(減)的充要條件是：x I f (x) 0 ( 0)恒

47、成立(f (x)不恒為0).(5)函數(shù)f(x)(非常量函數(shù))在區(qū)間I上不單調(diào)等價于f(x)在區(qū)間I上有極值，則可等價轉(zhuǎn)化為方程f (x) 0在區(qū)間I上有實根且為非二重根。(若 f(x)為二次函數(shù)且I=R，則有0)。(6) f(x)在區(qū)間I上無極值等價于f(x)在區(qū)間在上是單調(diào)函數(shù)，進(jìn)而得到f(x) 0或f(x) 0在I上恒成立(7)若 x I , f(x) 0 恒成立,貝 1 f (x)min 0；若 x I , f(x) 0 恒成立，貝 U f(x)max0若 x° I，使得 f (x0) 0，則 f(x)max 0 ；若 x° I '使得 f(比)0 '

48、則 f(x)min 0 .(9)設(shè)f (x)與g(x)的定義域的交集為 D,若 x D f (x)g(x)恒成立，則有 f (x) g(x) min 0.(10)若對XiI、x2I2 , f (Xi) g(x2)恒成立，則 f (x)min g(x)max.若對X1I1， X2 I2,使得 f(x1) g(X2)，則 f (x)ming(x)min .右對XiI 1 ,X2I 2 , 使得 f (x1)g (x2 ) , 則 f ( x) maxg ( x) max .(11)已知f (X)在區(qū)間I1上的值域為A, g(x)在區(qū)間12上值域為B,若對X1I1 ,X2I2，使得 f (Xi) =

49、g(X2)成立，則 A B 0(12)若三次函數(shù)f(x)有三個零點，則方程 . /、八有兩個不等實根,且極大值大于0,極小值小于0.f (x) 0x1、x2(13)證題中常用的不等式： lnx x 1 (x 0x 1、n(x+1 x (x 1) ex 1 xex 1 xg(x 1)里。二(x 0)x 12x22 x2題型歸納Q)導(dǎo)數(shù)切線、定義、單調(diào)性、極值、最值、的直接應(yīng)用例1 (構(gòu)造函數(shù)，最值定位)設(shè)函數(shù)f xx 2x 1 e kx (其中 k R).(i)當(dāng)k 1時,求函數(shù)f x的單調(diào)區(qū)間；(n)當(dāng)k1，一，一,1時,求函數(shù)f x在0,k上的最大值M .2例2 (分類討論，區(qū)間劃分)已知函數(shù)f(x)1ax2 x b(a 20), f'(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)(1)設(shè)函數(shù)f(x)的圖象與x軸交點為A,曲線y=f(x)在A點處的切線方程是y 3x 3,求a,b的值;ax(2)右函數(shù)g(x) ef&#