2019年全國(guó)版高考數(shù)學(xué)必刷題：第十四單元空間向量及其應(yīng)用

1、第十四單元 空間向量及其應(yīng)用真題回訪PF*考點(diǎn)一 利用空間向量求線面角的大小1.(2017 年北京卷)如圖，在四棱錐P-ABC腫底面ABC為正方形，平面PADL平面ABC點(diǎn)M在線段PB上,PD/平面MA&AuPDABN.(1) 求證:M為PB的中點(diǎn).(2) 求二面角B-PD-A的大小.(3) 求直線MC與平面BDP所成角的正弦值.【解析】(1)設(shè)ACBD交于點(diǎn)E,連接ME因?yàn)镻D/平面MA(平面MAQ平面PDB=ME所以PD/ ME.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以E為BD的中點(diǎn)，所以M為PB的中點(diǎn).取AD的中點(diǎn)O連接OPOE.因?yàn)镻A=P斷以O(shè)PLAD.又因?yàn)槠矫鍼ADL平面ABC平

2、面PADH平面ABCD=/A且OF?平面PAD所以O(shè)PL平面ABCD.因?yàn)?E?平面ABC所以O(shè)PLOE.因?yàn)樗倪呅蜛BC是正方形 所以O(shè)ELAD.如圖建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則 R0,0,),D(2,0,0),B(-2,4,0),?=(4,-4,0),?=2,0,-V2).則?= ?=?0,4?4?= 0,即-2? v2z = 0.令x=1，則y=1 ,z=v2.于是n =(1,1,v2).平面PAD勺法向量為p=(0,1,0),一一? 1所以 cos帀麗祜n由題意知二面角B-PD-A為銳角，所以其大小為3.(3)由題意知M-1,2,V|),C(2,4,0),?=?2,-V2).設(shè)直線

3、MC與平面BDP所成角為 a ,則 sin所以直線MC與平面BDP所成角的正弦值為 .設(shè)平面BDP的法向量為n=(x,y,z),2. (2016 年四川卷)如圖，在四棱錐 P-ABCDKADBC/ADC蟲PAB=0 ,BC=cgADE為棱AD的中點(diǎn)，異面直線PA與CD所成的角為 90.(1)在平面PAB內(nèi)找一點(diǎn)M使得直線CMF平面PBE并說明理由 (2)若二面角P-CD-A的大小為 45 ,求直線PA與平面PCE所成角的正弦值【解析】(1)在梯形ABC呼,AB與CD不平行.如圖，延長(zhǎng)ABDC相交于點(diǎn)M*平面PAB點(diǎn)M即為所求的一個(gè)占I八、理由如下：由已知得BC/ ED且BC=ED所以四邊形BC

4、DE!平行四邊形，從而CM/EB.又EB?平面PBCIM平面PBE所以CM/平面PBE.(說明:延長(zhǎng)AP至點(diǎn)N,使得AP=P|則所找的點(diǎn)可以是直線MN上任意一點(diǎn))(2)由已知得CDL PACDL ADPAn AD=A所以CDL平面PAD于是CDL PD.從而/PDA是二面角P-CD-A的一個(gè)平面角，所以/PDA=5.又PALAB所以PAL平面ABCD.設(shè)BC=,則在 RtPAD中,PA=AD2=以A為原點(diǎn)，以?的?方向分別為x軸、z軸的正方向，以?的?方向 為y軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz則A(0,0,0),P(0,0,2),C(2,1,0),E(1,0,0),所以？?習(xí)習(xí)

5、1,0,-2),?=(1,1,0),?0,0,2).設(shè)平面PCE勺法向量為n =(x,y,z).?0,得?2?= 0,? 0,得?+ ?= 0.設(shè)x=2,解得n =(2,-2,1).設(shè)直線PA與平面PCE所成角為a,|?2“=?幀飛2+(-2)2+ 11所以直線PA與平面PCE所成角的正弦值為1.3.(2016 年天津卷)如圖,正方形ABC啲中心為O四邊形OBEf為矩形，平面OBE莊平面ABCI 點(diǎn)G為AB的中 點(diǎn),AB=BE=.(1) 求證：EG/平面ADF.(2) 求二面角O-EF-C的正弦值.2設(shè)H為線段AF上的點(diǎn)，且AH=HF求直線BH和平面CEF所成角的正弦值【解析】依題意，OFL平

6、面ABC如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以？?，髀髀?的方向?yàn)閤軸,y軸,z軸的正方向建 立空間直角坐標(biāo)系，依題意可得C(0,0,0),A(-1,1,0),B(-1,-1,0),C(1,-1,0),C(1,1,0),E(-1,-1,2),F(0,0,2),G(-1,0,0).(1)依題意,?2,0,0),?=(1,-1,2).設(shè)n1=儀四儀四1,乃)為平面ADF的法向量，則 sin_13,X2A則 g0,即?1?+0,9?=0? ?= 0, ?-? + 2? ? 0,不妨取zi=1,可得m=(0,2,1).又? ,1,-2),可得？?？ii=0.又因?yàn)橹本€EG平面ADF所以EG/平面ADF.(2)易證?

7、=?-1,1,0)為平面OEF勺一個(gè)法向量，依題意？=(1,1,0),?=(-1,1,2).設(shè)n2=(x2,y2z)為平面CEF的法向量，?= 0,?= 0,?+ ? = 0 即-? + ?+ 2? = 0,不妨取x2=1,可得n2=(1，-1,1).?V6因此有込込?,?辛扁辛扁=飛飛于是 sin.所以二面角O-EF-C的正弦值為曽.由AH=HF得AH=AF.因?yàn)槎U 1,-1,2),所以踴2禪5,-|,4),33 4進(jìn)而有H(-5,5,5),從而 *?=(5,5,5).因此 cos?/所以直線BH和平面CEF所成角的正弦值為 亓.題型二 利用空間向量求二面角的大小4.(2017 年全國(guó)I卷)

8、如圖，在四棱錐P-ABCD中,AB/ CD且/BAPNCDP90(1)證明：平面PABL平面PAD.若若PA=PD=AB=,DCPD0 ,求二面角A-PB-C的余弦值.【解析】(1)由已知/BAP=/CDP90 ，得AB丄ARCDL PD.因?yàn)锳B/ CD所以AB丄PD.又APH DP=P所以AB丄平面PAD.因?yàn)锳B?平面PAB所以平面PABL平面PAD.(2)在平面PA訥作訥作PF丄AD垂足為點(diǎn)F.由(1)可知,AB丄平面PA故ABL PF可得PF丄平面ABCD.以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，?的方向?yàn)閤軸正方向?yàn)閱挝婚L(zhǎng)度建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)n =(x1y,Z1)是平面PCB的法向量，? 0,

9、即-y ?+ ?-y?= 0, ?裨?0,込?？= 0.所以可取n =(0,-1，-v2).設(shè)m=x2,y2,Z2)是平面PAB的法向量，則F-xyz.由(1)及已知可得A仇27,0,0 ,P0,0,7 ,B!弘弘,Cy,1,0落? y,0,-專,?=0,1,0).),?背語(yǔ)0,0),?0,即號(hào)?- /?= 0, ? ?0,1?= 0.所以可取m=1,0,1).?-v2貝 Ucos：|?|?|v3Xv2p觀察圖象知二面角A-PB-C的余弦值為-害5.(2017 年全國(guó)n卷)如圖,四棱錐P-ABC中側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCDABnBCAD/BAD：/ ABC=0 ,E是PD的中點(diǎn)

10、.(1)證明：直線CE/平面PAB.點(diǎn)M在棱PC上,且直線BM與底面ABC所成角為 45 ,求二面角M-AB-D的余弦值.【解析】(1)取PA的中點(diǎn)F,連接EFBF.1因?yàn)镋是PD的中點(diǎn)所以EF/ ADEFAD.由 /BAD/ABC=0，得BC/ AD又BC=AD所以EF BC所以四邊形BCEF是平行四邊形，CE/ BF.又BF?平面PAECE?平面PAE故CE/平面PAB.xIL(2)由已知得BA! AD以A為坐標(biāo)原點(diǎn),?的?方向?yàn)閤軸正方向，|?為單位長(zhǎng)度，建立如圖所示的空間直 角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,v3),?=(1，0，-

11、S),?=? ,).設(shè)Mx,y,z)(wx1),則？?=?-1,y,z), ?,y-1 ,z-v3).因?yàn)锽M與底面ABC所成的角為 45 ,而n =(0,0,1)是底面ABC啲一個(gè)法向量，所以|cos?=sin45 ,=豐,譏?1)2+?2+?9 9 9即(x-1)+y-z =0.又M在棱PC上，設(shè)？?=?則x=入,y=1,z=v3-入.V2?= 1 +亍，由解得？?= 1, _(舍去)，或?=-迺 2所以M1 -字,1,尋，從而?=?-專,1,尋.設(shè)m=X0,y0,z。)是平面ABM勺法向量，則?0,即(2-為? + 2?+ v6? = 0,? ?0,即?= 0，所以可取m=0,-v6,2

12、).十口? ? V10于是cos=T.觀察圖象知，二面角M-AB-D的余弦值為.6.（2017 年天津卷）如圖，在三棱錐P-ABC中,PAL底面ABC/ BAC=0.點(diǎn)DEN分別為棱PAPCBC的中點(diǎn)M是線段AD的中點(diǎn)，PA=AC=AB=!.v?= 1 - _ 2 ?= 1,v6?=2 (1) 求證:MN平面BDE.(2) 求二面角C-EM-N勺正弦值.(3)已知點(diǎn)H在棱PA上,且直線NH與直線BE所成角的余弦值為專,求線段AH的長(zhǎng).【解析】如圖，以A為原點(diǎn)，分別以？?？?的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系 依題意可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0

13、,0,4),D0,0,2),E(0,2,2),M0,0,1),N1,2,0).(1)?=?0,2,0),?=(2,0,-2).設(shè)n =(x,y,z)為平面BDE的法向量，?=? 0,?= 0,2?= 0即2?2?= 0不妨設(shè)z=1,可得n =(1,0,1).又?1,2,-1),可得?n=0.因?yàn)镸N平面BDE所以M2平面BDE.(2)易知n1=(1,0,0)為平面CEM勺一個(gè)法向量.設(shè)存=(劉屮,乙)為平面EMN勺法向量，則? ?了? ? ? 0因?yàn)?=?,-2,-1),?7?=(1,2,-1),-2?-? = 0,所以?+ 2?-?= 0.不妨設(shè)y1=1,可得n2=(-4,1，-2).因此有

14、 cosvn，n2=?|2i=-4所以二面角C-EM-N的正弦值為芋芋.(3)依題意，設(shè)AH=h0h 4),則H(O,O,h),進(jìn)而可得?=?，-2,h),?=?2,2,2).由已知，得整理得 10h2-21h+8=0,解得h=8或h=1.52所以線段AH的長(zhǎng)為5或；7.(2017 年江蘇卷)如圖，在平行六面體ABCDABCD中,AA丄平面ABC且AB=AD=AA=v3,/BAD=20(1) 求異面直線AB與AG所成角的余弦值；(2) 求二面角B-AD-A的正弦值.【解析】在平面ABCD內(nèi)，過點(diǎn)A作AEL AD交BC于點(diǎn)E.因?yàn)锳A丄平面ABCD所以AA丄AEAA丄AD.如圖，以?器器?？為正

15、交基底，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.于是 sinvT05=2T.WFl?和尹和尹因此有 cosvn，n2=?|2i=-4因?yàn)锳B=AD=A/=V3,ZBAD=20則A(O,O,O),Bv3,-1,0),D(0,2,0),E(V3,0,0),A(0,0,V3),G(V3,1,V1 2 3 4.(1)?B=?3,-1,-V3),?=?V3,1,V3),則 cos爲(wèi)？需?？_(V3,-1,-V3) (v3,1, v3)_177,2因此異面直線AB與AG所成角的余弦值為(2)平面ADA的一個(gè)法向量為？?=V3,0,0).設(shè)m=x,y,z)為平面BAD的法向量，又?B?3,-1,-v3),?=(-v3

16、,3,0),n. ?,曲曲v3x-y-v3z = 0,則丄即? ? 0,-v3x + 3y = 0.不妨取x=3，則y=v3 ,z=2,所以m=3,v3,2)為平面BAD的一個(gè)法向量.從而 cos歸| 丁4=3=4.4設(shè)二面角B-A1D-A的大小為e,則|cose|=-因?yàn)閑 0,n,所以 sine=vi- cos2e=#.因此二面角B-AD-A的正弦值為丄.8.(2017 年山東卷)如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形ABC(及其內(nèi)部)以AB邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120得到的是?的中點(diǎn).以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BEBPBA所在的直線為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系由題意得A(0,

17、0,3)，E(2,0,0)，G(1，v3,3)，C(-1，V3,0)，故? ,0,-3),?=? ,V3,0),?2,0,3).設(shè)m=xi,yi,zi)是平面AEG的法向量，可得2?-3?=0, 可得 S? + v3? =0.取zi=2,可得平面AEG勺一個(gè)法向量m=3,-V3,2).設(shè)n =(X2,y2,z2)是平面ACG的法向量, 由?需需?0,可得謂爲(wèi)謂爲(wèi)?：0.，取Z2=-2,可得平面ACG勺一個(gè)法向量n=(3,-v3,-2).一一？? 1所以込的帀?而存故所求的角為 60圧嵌淤詼軋?zhí)柷冻昵侗M嵌朋命題調(diào)研 Ip _ _ r(1)設(shè)P是？?上的一點(diǎn)，且AP丄BE求/CBP勺大小;當(dāng)AB：

18、3,AD=時(shí)，求二面角E-AG-C的大小.【解析】(1)因?yàn)锳PI BEABL BEABAP?平面ABRABn AP=W以BEL平面ABP.又BP?平面ABI所以BEL BP.又/EBC=20，所以/CBP=0.?=?0,?=? 高頻考點(diǎn)：利用空間向量證明線面平行或垂直，利用空間向量求空間角，利用空間向量求空間距離.命題特點(diǎn)：高考的考查形式有兩種：一種是求空間角和距離；另一種是已知空間角的大小，求相關(guān)點(diǎn)的位置或相關(guān)線段的長(zhǎng)度，題型延續(xù)解答題的形式，以多面體為載體，難度中等偏上. 14.1 空間向量及其運(yùn)算：；必備知識(shí)_ 一 基本定理1.1. 共線向量定理對(duì)空間任意兩個(gè)向量a, ,b( (b 0

19、),0),a/b? ?存在入 R R 使a _.2.2. 共面向量定理若兩個(gè)向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面？存在唯一的有序數(shù)對(duì)( (x, ,y),),使得P=_ .3.3. 空間向量基本定理如果三個(gè)向量a, ,b, ,c不共面，那么對(duì)空間任一向量p, ,存在唯一的實(shí)數(shù)組x, ,y, ,z, ,使得p=，其中a, ,b,c叫作空間向量的一個(gè)基底.推論: :設(shè)QABC是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)平面ABC內(nèi)任一點(diǎn)P都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)x, ,y, ,z, ,使?X?+y?+Z?且?x+y+z=1 1.兩個(gè)向量的數(shù)量積1.1.ab=|? ?coscos; ;2.2.a丄b? ?ab=O(O(

20、a, ,b為非零向量) ).三向量的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)a=( (a, ,a2, ,a3),),b=(b ag,貝Ua+b=( (ai+bia+b+th););a-b=( (ai-bi, ,az-b2, ,a3-b3););ab=abi+a?b2+a3b3.?左學(xué)右考丄判斷下列結(jié)論是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫“V” ，錯(cuò)誤的畫“x”.(i)若p=xa+yb則p與a,b共面.( )若 p與a,b共面，則存在x,y R 使得p=xa+yb.( )(3)若 ?=X?+?則?MNAB四點(diǎn)共面.()若MN,A,B四點(diǎn)共面，則存在x,yeR,使得?x?+?()2已知A(0,-1,2),B(0,2,-4),C(1,2,

21、-1),則AB,C三點(diǎn)().A. 共線B. 共面C. 不共面D. 無法確定3已知a=(-2,1,3),b=(-1,2,1)，若a丄(a+入 b),則實(shí)數(shù)入的值為_.4在空間直角坐標(biāo)系中，A(2,3,5)、B4,1,3),求A,B的中點(diǎn)P的坐標(biāo)及AB間的距離|AB|.知識(shí)清單一、1.入 b2.xa+yb3.xa+yb+zc基礎(chǔ)訓(xùn)練1. 解析】(1)正確，由平面向量基本定理可得;(2)錯(cuò)誤，若a與b共線,p就不一定能用a,b來表示;(3)正 確,?W?在同一平面內(nèi)，故MNA,B四點(diǎn)共面;(4)錯(cuò)誤，當(dāng)MA,B三點(diǎn)共線時(shí)，此式不一定成立.答案】(1)V(2)X(3)V(4)X2. 解析】因?yàn)?=(0

22、 ,3,-6),?=(1,3,-3)所以？?與？不共線，即 AB,C三點(diǎn)共面.故選 B.答案】B3. 解析】/a丄(a+入 b),.a(a+入 b)=(V4)2+ 入X(2+2+3)=0，解得入=-2.答案】-24. 解析】A(2,3,5),B(4,1,3),的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,2,4), |AB| =V(2-4)2+ (3 - 1)2+ (5 - 3)2=2V3.關(guān)鍵能力題型一 空間向量的線性運(yùn)算例例1】如圖，在三棱柱ABC-AQ中M為AG的中點(diǎn)，若？?=?,?則?可表示為（）.1 1A.- a+b+c2 2B.2a+2-b+c1i.c, ab+c22D.2a-2-b+c【解析】取AC的中

23、點(diǎn)N連接BWh如圖, 為AC的中點(diǎn)，?,?6?.?-a+-b,2 2向量的線性運(yùn)算，實(shí)質(zhì)上是在數(shù)乘運(yùn)算律的基礎(chǔ)上的向量求和，即通過作岀向量，運(yùn)用平行四邊形法則求和運(yùn)算的關(guān)鍵是將相應(yīng)的向量放到同一個(gè)三角形或平行四邊形中【變式訓(xùn)練 1】 在正方體ABCD-AQD中，已知？?A=?=b?O為底面ABC的中心6為厶DCO的重心則?）.?+?-?【答案】A512B.6c+2b+3aC.|c+1b-2aD.5c-2b+3a【解析】取DCi的中點(diǎn)E,J?=?=_(?+町,2 2、 / 22/.?=?+?1iC+2b+lc-2a=-2a+1blc，故選C.【答案】C題型二 空間向量的數(shù)量積1【例 2】已知A(

24、-1,1,2),B(1,0,-1),設(shè)D在直線AB上，且？?=?(? +入，1+ 若CDLAB則入的值為( ).【解析】設(shè)D(x,y,z),則?=(X+1 ,y-1 ,z-2),?2 ,-1,-3),?=1-x，-y,-1-z)./?=?1111B.-百壯為厶DCO的重心，2-a.31/(x+1 ,y-1,z-2)=2(1-x，-y,-1-z),? 1 = 2（1 - ?）, 即?1= -2?,?2= -2-2?,11解得x=3，y=3，z=0.1 1/-D（3,3,0），.?/.?32（3-入+ 入-3（-1-入）=0,11解得1二_飛.【答案】B1.有關(guān)向量的數(shù)量積運(yùn)算的題目一般有兩種解題

25、思路：一是先求坐標(biāo)再運(yùn)算；二是先類比多項(xiàng)式進(jìn)行化 簡(jiǎn)，再代入坐標(biāo)求解.2. 利用向量數(shù)量積判斷或證明線線、線面垂直的思路（1）由數(shù)量積的性質(zhì)a丄b?a b=0 可知,要證明兩條直線垂直，可構(gòu)造與兩條直線分別平行的向量（a,b是非零向量），只要證明這兩個(gè)向量的數(shù)量積為 o 即可；（2）用向量法證明線面垂直，離不開線面垂直的判定定理，需將線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直，然后利用向量法 證明線面垂直即可.【變式訓(xùn)練 2】 已知? ,2,3） ,?欲欲2,1,2） ,? ,1,2） ,點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng),0為坐標(biāo)原點(diǎn)，則當(dāng)?取得最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（）.13 11 3 3A.（2,4,3）B.（2,2,4

26、）4 4 84 4 7、c.（3,3,3）D.（3,3,3）【解析】由點(diǎn)Q在直線OP上,可得存在實(shí)數(shù)入，使得?=入？?則有Q 入，入,2入）,?-入，2-入,3-2入）,？?馳馳-入，1-入,2-2入）,當(dāng)？?=-入）（2-入）+（2-入）（1-入）+（3-2入）（2-2X）=2（3X2-8入+5）,?=?.F1J3 32，八424 4 8根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)入=時(shí)，取得最小值飛,此時(shí)C（3,3,3）.【答案】C【例 3】如圖，在棱長(zhǎng)為 2 的正方體ABCO-AQD中,AG交BD于點(diǎn)P.分別寫出OAB,CA,B,G,D,P的坐 標(biāo).【解析】正方體ABCO-ACD的棱長(zhǎng)為 2,且P是正方形A

27、BCD的中心,0(0,0,0),A(2,0,0),B2,2,0),C(0,2,0),A(2,0,2),B(2,2,2),G(0,2,2),D(0,0,2),P(1,1,2).1.利用向量坐標(biāo)運(yùn)算解決問題的關(guān)鍵是熟記向量坐標(biāo)運(yùn)算的法則，在運(yùn)算中注意相關(guān)公式的靈活運(yùn)用2.進(jìn)行向量坐標(biāo)運(yùn)算時(shí)，可以先代入坐標(biāo)再運(yùn)算，也可以先進(jìn)行向量式的化簡(jiǎn)再代入坐標(biāo)運(yùn)算.【變【變式訓(xùn)練 3】已知點(diǎn)A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若？?？?求?？?【解析】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,b,c),由A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),得?=? 2,1,3),?=? 1-a,3-b,4-c

28、).?J(-2,1,3)=2(-1-a,3-b,4-c),55解得a=O,b=5，c=-.題型三空間向量的坐方法一 空間向量夾角問題的求法求兩個(gè)向量的夾角有兩種方法：(1)結(jié)合圖形，平移向量,利用空間向量的夾角定義來求解，要注意向量夾角?的范圍;(2)先求a - b,再利用公式 cos=?求 cos,最后確定.【突破訓(xùn)練 1】已知空間三點(diǎn)A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).(1) 求 cos?(2) 求以ABAC為邊的平行四邊形的面積.【解析】(1)?解解2,-1,3),?(1,-3,2),.?_2+3+6=7,|?2?V4 + 1 + 9=VR,|?=V1 + 9 +

29、4=14,COS=j?!?|?vr4xyr4 21 23(2)由(1)知 sin /BAC/- (-) =y,AB(=1-|AB|-|AC|- sin /BAC=x x x=，以ABAC為邊的平行四邊形的面積S=2SABC=7V3.方法二空間向量的長(zhǎng)度、距離問題的求法求兩點(diǎn)間的距離或線段長(zhǎng)的方法：將此線段用向量表示，通過向量運(yùn)算來求對(duì)應(yīng)向量的模，因?yàn)閍a=?2,所以|?=J?這是利用向量解決問題的基本公式.另外,該公式還可以推廣為|?土?=v(?2=v?m),且a/b,.(2m+,3,m-1)=X(2,rn-m)=(2入，入m-入m),2?+ 1 = 2?,3 = ?, 解得m=2.?字1=-

30、?,=-3?【答案】B3.(2017 甘肅二模)已知a=(-3,2,5),b=(1,x,-1),且ab=2,則x的值是().A.6B.5 C.4D.3【解析】a=(-3,2,5),b=(1,x,-1),b=(-3)X1+2X+5X(-1)=2,解得x=5.【答案】B4.(2017 陽(yáng)山縣校級(jí)一模)已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C1,-4,1),則向量?與?的夾角為().A.30 B.45 C.60 D.90 【解析】因?yàn)锳(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),所以?)，3,3),?：-1,1,0),所以?0X(-1)+3X1+3X0=3,并且|?:?3?=皿所

31、以 cos),若棱GC上存在唯一的點(diǎn)P滿足APIPB求實(shí)數(shù)入的值.【解析】如圖，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DADCDD所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,則D(0,0,0),B(1,1,0),A,解得2.12. (2016 安次區(qū)校級(jí)月考)如圖，平行六面體ABCD-AJCD中,？?=? ?E為AD的中點(diǎn),F為BC與 BQ的交點(diǎn).(1)用基底a,b,c表示向量？?第第?？(2)在圖中畫出？?？?？+?化簡(jiǎn)后的向量.?=?+?a+2(b+c)=a+2b+2c.?+?(?=?5?=?連接DA則？?即為所求.13. (2016 利津縣校級(jí)月考)已知向量a=(x,2,2),b=(2,y,-2),

32、c=(3,1,z),a/b,b丄C.(1) 求向量a,b,c;(2) 求向量(a+c)與(b+c)所成角的余弦值.【解析】(1)向量a=(x,2,2),b=(2,y,-2),且a/b,.X 工 0,y工 0,?_2_22-?=2,解得x=-2,y=-2.a=(-2,2,2),b=(2,-2,-2).又c=(3,1,z),b丄c,bc=0,即 6-2-2Z=0,解得z=2,c=(3,1,2).由(1)得a+c=(1,3,4),b+c=(5,-1,0), (a+c)(b+c)=1X5+3X(-1)+4X0=2,|a+c|=Vli+ 32+42=V26.|b+c|=V52+ (-1)2+02=V26

33、.2設(shè)a+c與b+c所成的角為0,（?+?+?）2 1cos0=_14.（2016 隆化縣校級(jí)期中）正四面體ABCD所有棱長(zhǎng)均相等）的棱長(zhǎng)為 1,E,F,GH分別是正四面體ABC中中四條 棱的中點(diǎn)，設(shè)?a, ?=b,?試采用向量法解決下列問題.（1）求的模長(zhǎng)；求?的夾角.【解析】（1）正四面體ABC的棱長(zhǎng)為 1,EF,GH分別是正四面體ABC中中棱BCADABCD的中點(diǎn)，?裨?,T?=b,?2C,.?駕浮駕浮?？=細(xì)細(xì)）,/.?|?=._（b-a）-a+2c=2（c-a-b）,丄 V?+ ? + ?-2?+2?2?=2V1 + 1+1- 2X1X1Xcos60。+2X1X1Xcos602X1X

34、1Xcos60正四面體ABC中 ,?=2（c-a-b）,|?= *同理，翻=2（b+c-a）,|?=V2,(?(?+?)v22X-2=1(c-a)2-b2=1(c2+a-2c-a-b2)1=X(1+1-2X1X1Xcos 60 -1)=0,與？跨的夾角為 90 14.2 空間向量在立體幾何中的應(yīng)用空間中平行、垂直的向量表示設(shè)直線I, ,m的方向向量分別為a, ,b, ,平面a, ,卩的法向量分別為u, ,v, ,則有以下結(jié)論1.1. 線線平行: :l/mP Pa/b? ?a=kb, ,k R R線面平行：_.面面平行：a/卩? ?u/v? ?u=kv, ,k R R2.2. 線線垂直: :l丄

35、m? ?a丄b? ?a-b=0 0.線面垂直:_.面面垂直:_.cos?I?空間角2.2.設(shè)直線I的方向向量和平面a的法向量分別為a和u, ,則直線I與平面a所成的角0滿足 sinsin0二.3.3. 二面角：平面a, ,卩的夾角為0(0(00n),),a和卩的法向量分別為U和V, ,當(dāng)0為銳角時(shí),cos,cos0二=?當(dāng)0為鈍角時(shí),cos,cos0=_ .三點(diǎn)面距離點(diǎn)A在平面a內(nèi)，點(diǎn)B在平面a外, ,n為平面a的法向量，則點(diǎn)B到平面a的距離為d=?左學(xué)右考1兩個(gè)不重合平面的法向量分別為vi=(1,0,-1),V2=(-2,0,2),則這兩個(gè)平面的位置關(guān)系是().A. 平行B. 相交但不垂直C

36、. 垂直D. 以上都不對(duì)1 1.異面直線I, ,m的方向向量分別為a, ,b, ,則I與m所成的角0滿足 coscos|?|両?|2已知兩個(gè)平面的法向量分別為m=0,1,0),n=(0,1,1),則這兩個(gè)平面所成的夾角為 _.冃已知A(2,0,2),平面a的一個(gè)法向量為n =(1,1,-1),A(0,0,2)是平面a上一點(diǎn)則點(diǎn)A到平面( ).a的距離為v3v2A.TB.TC.2v2D.2v3334平面a的一個(gè)法向量為n =(1,-V3,0),則y軸與平面a所成的角的大小為().吩B.n知識(shí)清單一、1.1/a?a丄u?au=02.1丄a?a/u?a=ku,kRa丄B?u丄v?uv=0|?l|?l

37、一、2.|?|?|3.-|?|?|?獸獸？|?|基礎(chǔ)訓(xùn)練1. 【解析】因?yàn)閂1與V2共線，所以兩個(gè)平面平行.【答案】A2.【解析】因?yàn)?cos需希=所以兩個(gè)平面所成的夾角為nn【答案】43.解析】因?yàn)锳(2,0,2),A(0,0,2),平面a的法向量n =(1,1,-1)所以由點(diǎn)到面的距離公式得?=2_2V3F?_=2 V所以點(diǎn)A到平面a的距離為_3-故選 D.【答案】D4.【解析】y軸的方向向量為m=0,1,0),設(shè)y軸與平面a所成的角為0,則 sin? - V3 Sgn0=2。$切|,COSVRT布才二2,.sin 0=T,0=j.【答案】B題型一 利用空間向量證明平行或垂直【例 1】如圖

38、，在直三棱柱ABC-ABG中,AC3,BC=4,AB=5,AA=4.(1) 求證:ACL BC.(2) 在AB上是否存在點(diǎn)D使得AC/平面CDE?若存在,確定D點(diǎn)位置；若不存在，說明理由(本題請(qǐng)用向量法解答)【解析】(1)在直三棱柱ABC-ABC中,AC=,BC=4,AB=5，可知ACBCCC兩兩垂直，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線CACBCC分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則 a0,0,0)A3,0,0),C(0,0,4),B(0,4,0),B(0,4,4)./?(-3,0,0),? 4,4), ? ?=?即? ACLBC.(2)假設(shè)在AB上存在點(diǎn)D使得AC平面CDB則？? 3入,4入,0)

39、,其中 0W入W1,則D(3-3入,4入,0),?D=?3?3入,4入-4,-4),又?C=?0? 4,-4),?3,0,4),AG/平面CDB：存在實(shí)數(shù)mn,使成?？,/m(3-3入)=-3,n(4入-4)-4n=0,-4m-4n=4,1入2，.在AB上存在點(diǎn)D,使得AG/平面CDB且D為AB的中點(diǎn).禾 u 用空間向量證明線面平行或垂直的關(guān)鍵是判斷直線的方向向量和平面的法向量之間的關(guān)系證明面面平行或垂直的關(guān)鍵是判斷兩個(gè)平面的法向量之間的關(guān)系【變式訓(xùn)練 1】如圖，在正方體ABCD-AQD中，(1) 求AC與AiD所成角的大小.(2) 求證：平面ABD平面BDC(3) 求證:AC丄平面BDC(本

40、題請(qǐng)用向量法解答)【解析】(1)令正方體ABCD-A5CD的棱長(zhǎng)為 1,以Bi為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示AnB吃/JKOiJk則A(0,1,1),C(1,0,1),A1(0,1,0),D(1,1,1),?=(1,-1,0),?D=?0,1),設(shè)AC與AD所成角的大小為0,則 cos0=d =-則 COS0|?麗| 2,故0=(2). ?. 1,-1), AB/ DG.又.AE?平面ABD,DG?平面ABD,DC/平面ABD.同理可證OB平面ABD.又GBQDG=G,平面ABD/平面BDG(3)?C=? 1,1), ?=( 1, 1,0),?1Q,-1),，則?？?即AC丄BD?G?

41、=0 則？?逝逝? 丄BG./BDH BG=BBD?平面BDGBC?平面BDGA1C丄平面BDG題型二 利用空間向量求空間角【例 2】 如圖，在三棱柱ABC-ABC中側(cè)棱AA丄平面AB8ABC為等腰直角三角形，/BAC=O ,且AB=AAE,F分別是CGBC的中點(diǎn).(1) 求證：平面ABF丄平面AEF(2) 求二面角B-AE-F的余弦值.【解析】(1).F是等腰直角三角形ABG斗邊BC的中點(diǎn)，AF丄BG.又.三棱柱ABC-ABC為直三棱柱，平面ABCL平面BBGC.平面ABC!平面BBCC=BCAF丄平面BBCC.VBiF?平面BBCC.AF丄BiF.設(shè)AB=AA=1,則BiF=-2-,EF=

42、2-,BiE=3.BiF+EFnBE.BF丄EF.又AFnEF=F：BiF丄平面AEF.而BiF?平面ABF,故平面ABF丄平面AEF.以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)AFB分別為x,y軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示設(shè)AB=AA=i，則F(O,O,O),A身,0,02(,-32,i)，E(0，-衆(zhòng)),m=? y,i),設(shè)平面BiAE的法向量為n =(x,y,z),?一 送x-y +iz= 則彳？：,?冷冷x+蘭蘭y + z = 0122i),由(i)知,BF丄平面AEF取平面AEF的一個(gè)法向量取x=3，得n=(3,-i,2v2),設(shè)二面角Bi-AE-F的大小為e,由圖可知e為銳角,貝 U cose=posvm

43、n|2+(2 v2)2所求二面角B-AE-F的余弦值為亍利用向量法求異面直線所成的角時(shí)，首先要求兩條直線的方向向量的夾角，但是要注意向量夾角為鈍角 時(shí)，向量夾角的補(bǔ)角即為異面直線所成的角；利用向量法求線面角時(shí)要注意線面角的正弦等于直線的方向向量與平面的法向量所成角的余弦的絕對(duì)值；利用向量法求二面角的方法是求兩個(gè)平面的法向量的夾角或其補(bǔ)角.【變式訓(xùn)練 2】在三棱柱ABC-ABC中,CA=CW面ABEA是邊長(zhǎng)為 2 的正方形，點(diǎn)E,F分別在線段AA,AB13上，且AE*,AF=4，CEL EF.(1)證明：平面ABBA丄平面ABC.若CALCB求直線AC與平面CEF所成角的正弦值【解析】(1)取A

44、B的中點(diǎn)D,連接CQDFDE./ AC=B是AB的中點(diǎn)，二 CDLAB.13側(cè)面ABBA1是邊長(zhǎng)為 2 的正方形，AE=2，A1F=,/.A1E=2,EF=v：4/+(|/-3V5,DEv/12+ (2/=V5,DF=v22+ (1 - ;/=V65EF+DE-DF,. .DLEF.又CEL EFCEn DE-曰 平面CDfDE?平面CDE EF丄平面CDE又Ct?平面CDE CDLEF.又CDLABAB?平面ABBA,EF?平面ABBA,ABEF為相交直線6CDL平面ABBA1.又Ct?平面ABC：平面ABB1丄平面ABC.(2)T平面ABBA?丄平面ABC三棱柱ABC-ABC是直三棱柱 C

45、C丄平面ABC.1v2x +2Z = 0,_5邁邁3位位令z=4,得n=(-邁邁-9憶憶4).亍 x+ y+ 2z=0,?=10,|n|=6需需,|?戸戸?6.直線AG與平面CEF所成角的正弦值為旦.18題型三 利用空間向量求空間距離【例【例3】在長(zhǎng)方體OABC-OnBG中,OA=,AB=3,AA=2,求O到直線AC的距離./CAL CBAB=2,AC=BM.以C為原點(diǎn)，以CACBCC為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則Av2,0,0),C(0,0,0),G(0,0,2),日V2,0,F(罟,罟,2).?強(qiáng)強(qiáng),0,2),?=(烷烷,0,1) ,?=?年年,2)設(shè)平面CEF的法向量為? 0n

46、=(x,y,z),則?輛？【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(2,0,0),0(0,0,2),C(0,3,0),/.?,0,2),和-2,3,0),二?W?-2,0,2)(-2,3,0)=4,?4?在？?方向上的投影為為?=皿,O1 到直線AC的距離d=v（l?（需賈=害.禾 U 用向量法求點(diǎn)線距離的步驟：直線的方向向量a所求點(diǎn)到直線上一點(diǎn)的向量 ?其在直線的方 向向量a上的投影一 H 代入公式.【變式訓(xùn)練 3】已知邊長(zhǎng)為 4 的正三角形ABC中 ,EF分別為BCAC的中點(diǎn)，PA=2,且PAL平面AB（設(shè)Q是CE的中點(diǎn).(1)求證:AE/平面PFQ.求AE與平面PFQ間的距離.【解析】

47、（1）如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，平面ABC內(nèi)垂直于AC邊所在直線的直線為x軸,AC所在直線為y軸,AP所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系./AP2AB=BC=ACi又EF分別是BCAC的中點(diǎn),A(0,0,0),B(2邁2,0),C(0,4,0),F(0,2,0),E運(yùn)3,0),7Q2,0),R0,0,2).?=?，3,0),?&3,3,0),. .？?=2?與?無交點(diǎn)，.A田FQ.又FQ?平面PFQAE?平面PFQ.A日平面PFQ.丁AB平面PFQ點(diǎn)A到平面PFC的距離就是AE與平面PFQ間的距離，設(shè)平面PFC的法向量為n =(x,y,z),則n丄？?丄?n ?0,n ?又？(0,2,-2)

48、,.n W?2y-2z=0,即y=z.又?=?3,2,0),.n?x+3y=0,即x=-込._73 7令y=1,則x=-v3,z=1,.平面PFQ的一個(gè)法向量為n=(-v3,1,1).又?=(?-2- ,-2,0),所求距離？?L2V5=一r利用空間向量求線面角的步驟：(1)分析圖形關(guān)系，建立空間直角坐標(biāo)系；(2)求出直線的方向向量S和平面的法向量n;(3)求出夾角s,n(4)判斷直線和平面所成的角0和s,n的關(guān)系，求出角0.【突破訓(xùn)練 1】如圖，在直三棱柱ABG-ABC中,AB1 ACAB=ACfeAA=4,D是BC的中點(diǎn).(1) 求證:AB平面ADC(2) 求直線BC與平面ADC所成角的余

49、弦值.z方法利用空間向量求線面角【解析】(1)如圖，以?為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則 A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A(0,0,4),D(1,1,0),BI(2,0,4),G(0,2,4),?B?Q-4),?1=(?1, 1,0),?2,4),設(shè)平面ADC的法向量為m=x,y,z),由 ml ?他？他？?？?+ ?= 02? 4?= 0 取z=1，得y=-2,x=2,平面ADC的一個(gè)法向量為m=2,-2,1),由此可得,?B?m=X2+0X(-2)+(-4)X1=0,又A B?平面ADC AiB/平面ADC?=?22 ,0),設(shè)直線BQ與平面ADC所成的角

50、為0則 sine=|cos?1?|?=2又e為銳角，直線B1C1與平面ADC所成角的余弦值為1.方法二 利用空間向量求二面角利用空間向量求二面角的步驟：(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；(2)分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平 面的法向量;(3)求出兩個(gè)法向量的夾角；(4)判斷所求二面角的平面角是銳角還是鈍角；(5)確定二面角的平面角的大小.【突破訓(xùn)練 2】如圖，在四棱錐P-ABC呼，底面ABCD菱形，/BAD=O ,Q為AD的中點(diǎn)，PA=PD=AD=(1)點(diǎn)M在線段PC上 ,PM=tP(試確定t的值，使PA/平面MQB在(1)的條件下 若平面PAD_平面ABC求二面角M-BQ-C勺大小.1【解析

51、】(1)當(dāng)t=3時(shí),PA/平面MQB證明若PA/平面MQB連接AC交BQ于點(diǎn)N由AQ/ BC可得，ANQpA CNB.?1?2，PA/平面MQBV?平面PAC平面PACT平面MQB=MN PA/ MN?11 a.1?=3,即PM=PC：t=3.(2)由PA=PD=ADQ為AD的中點(diǎn)廁PQLAD.又平面PADL平面ABCp. PQ平面ABCM接BD.四邊形ABCC為菱形， AD=AB.又/BAD=O ,ABD為正三角形.Q為AD中點(diǎn)，二 ADL BQ以Q為坐標(biāo)原點(diǎn)分別以QAQBQP所在的直線為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)：1,0,0),B(0,v3,0),Q0,0,0),R0,0

52、,癥),設(shè)平面MQ啲法向量為n =(x,y,z),可得?=? 0?=? 0?= 0,而PAMN：?洌洌?0,即怎0,則各點(diǎn)坐標(biāo)為取z=1,解得n=(v3,0,1).取平面ABCD勺一個(gè)法向量?=?,0,S), 設(shè)所求二面角為e,則1cose|=?=2,觀察圖象知二面角M-BQ-C勺大小為 60.湘汪強(qiáng)淵搭於汪淵國(guó)淤瓷n鱷案11.(2017 咸陽(yáng)三模)如圖，在四棱錐P-ABC中 ,PAL平面ABC底面ABC是菱形,AB=2,ZBAD=0(1)求證：平面PBH平面PAC.若PA=AB PC與平面PBD所成角的正弦值.【解析】(1)T四邊形ABC是菱形，二AQBD.又PQ平面ABCIED?平面ABC

53、p. PQBD.又PAAAC=APA?平面PACAC?平面PAG：BQ平面PAC./BD?平面PBD二平面PBDL平面PAC.(2)設(shè)A8 BD=O/ BAD=0 ,PA=AB=：BO=AO=CO3,如圖，以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則PV3,0,2),A(V3,0,0),B(0,1,0),D(0,- 1,0),0-v3,0,0),:?(?擊擊,1,-2),?2V3,-1,-2),?=(-2v3,0,-2).x=-2,. n=(-2,0,v3).設(shè)PC與平面PBD所成的角為e,即PC與平面PBD所成角的正弦值為f2.(2017 邯鄲二模)如圖，在四棱錐A-BCED中 ,ADL

54、底面BCEfEDL DE/DBCMBCE=O ,BD=2CE.(1)若F是AD的中點(diǎn)，求證:EF/平面ABC.若AD=D，求BE與平面ACE所成角的正弦值.【解析】(1)取DB的中點(diǎn)G連接EQFG.F是AD的中點(diǎn), FG/ AB./ BD=CE. BG=CE./ DBC/BCEE,G到直線BC的距離相等，二 EG/ CB./ EG1 FG=G平面EGF/I平面AB(則EF/平面ABC.以D為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz,設(shè)EC=，則DB=,. BC=,DE=X3,/ AD=D,E.A(0,0,V3),E0,V3,0),B(2,0,0),C(1,3 ,0).設(shè)平面PDB勺法向量為

55、n =(x,y,z)，則?=?0,?=?即-為為2；2=；0,解得 E ”則 sine=Cosn,?=|?P?_2V3_ v21|?|療?417=14?) ),v3,-v3),?：1,*,0) ,?=2,-v3,0).設(shè)平面ACE的法向量n =(x,y,z),n ?3y-v3z=0,n ?瑕+冷冷=0,令y=1 則n=(-v3,1,1)，故|cosvn,?1眾廠瞬眾廠瞬5.3.(2017 唐山一模)如圖,三棱柱ABC-ABG中,AA丄平面ABC/ ACB=0 ,AC=CB=M N分另 U 是ABAC的中點(diǎn).(1) 求證:MN平面BBCC(2) 若平面CMH平面BMN求直線AB與平面BMN所成角

56、的正弦值.【解析】(1)連接AC,BC,則 NAC且N為AC的中點(diǎn)，又TM為AB的中點(diǎn)，二 MN BC，又BG?平面BBGCMN平面BBCC故MN/平面BBCC.(2)由AA丄平面ABC得AC1CGBC! CC.以C為原點(diǎn)，分別以CBCCCA所在直線為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)CC=2入(入0),則M(1,0,1),N0,入，1),B(2,2入,0),?=? 0,1),?(-1,入,0),?1=2? ,-1),取平面CMN勺法向量為m=x,y,z)._OQi-n由?m=6,?m=)得 G*?。,令y=1，得m=入,1,-入),BE與平面ACE所成角的正弦值為3 V10535

57、同理可得平面BMN勺一個(gè)法向量為n=(入,1,3入),平面CMN-平面BMN.m門=入2+1-3入2=0,解得入=2,得n=(芋芋,1臂臂)，又?酥酥,0,-2),設(shè)直線AB與平面BMh所成的角為0,則 sin0=cosvn,?=?J?琉琉6.直線AB與平面BM晰成角的正弦值是宦4.(2017 郴州二模)如圖,在菱形ABC 即，/ABC=0 ,AC與BD相交于點(diǎn)OA 吐平面ABC0F”AEAB=2,CF=3.(1) 求證：BDL平面ACFE.(2) 當(dāng)直線FO與平面BED所成角的大小為 45時(shí)，求AE的長(zhǎng)度.【解析】(1)丁四邊形ABC是菱形,BHAC./ AE1平面ABCtBt?平面ABCD

58、 BDt AE.又AC?平面ACFfAE?平面ACFfACH AE=A BDL平面ACFE.以 O為原點(diǎn)，以O(shè)AOB所在直線分別為x軸,y軸,以過點(diǎn)O且平行于CF的直線為z軸建立空間直角坐 標(biāo)系.沖沖F則B(0,V3,0),C(0,-昉,0),F(-1,0,3).設(shè)AE=a則EJ,O,a),:.?=? 1,0,3),?=(0,2 v3,0),?=? 1,v3,-a).設(shè)平面BDE勺法向量為n =(x,y,z)則 - ?o0,?=?0,2V3y = 0,即令z=1,得n=(-a,0,1),-?+V3y-az = 0,:.cos(舍)，： |AE|=2.D5.(2017 海淀區(qū)一模)如圖，由直三棱

59、柱ABC-ABG和四棱錐D-BBCC構(gòu)成的幾何體 中，/BAC90 ,AB=,BC=BB2，CD=CD=5,平面CCD丄平面ACC1.(1)求證:ACL DC若M為DC的中點(diǎn)，求證:AM/平面DBB(3)在線段BC上是否存在點(diǎn)P使直線DP與平面BBD所成的角為 60 ?若存在，求?的值;若不存在，請(qǐng)說明理 由.【解析】(1)在直三棱柱ABC-AQ中,CC丄平面ABC故ACLCG,由平面CCD丄平面ACC1,且平面CCDQ平面ACCA=CC所以ACL平面CCD又CD?平面CCD所以ACLDC(2)在直三棱柱ABC-A1C中,AA丄平面ABC所以AA丄ABAA丄AC又/BAC=O ,如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,依據(jù)已知條件可得A(0,0,0),q0,3,0),C(2,v3,0),B(0,0,1),Bi(2,0,1),D(1,也也,2),所以？?D0),?=(1,v3,1),設(shè)平面DBB的法向量為n =(x,y,z),?2?= 0,所以?=0,即?合 V3y + z = 0,令y=1，則z=-v3,x=0,于是n =(0,1，-v3),因?yàn)镸為DC的中點(diǎn)所以2,V3,1),所以?=?,V3,1),由?=(2,v3,1) - (0,1,-昉)=0,可得?,所以AM/平面DBB由可知平面BBD的一個(gè)法向量為n =(0,1,-v3).設(shè) 3?=%? 0,1,則P(0,v3入,1