高中數(shù)學(xué)新題型選編(共70個(gè)題)(一)

1、高中數(shù)學(xué)新題型選編（共70個(gè)題）（一）1、（）已知函數(shù)：求函數(shù)的最小值;（）證明:；（）定理:若 均為正數(shù),則有 成立(其中請(qǐng)你構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，證明：當(dāng)均為正數(shù)時(shí)，解：（）令得2分當(dāng)時(shí)， 故在上遞減當(dāng)故在上遞增所以，當(dāng)時(shí)，的最小值為.4分（）由，有即故5分（）證明:要證： 只要證： 設(shè)7分則令得.8分當(dāng)時(shí)，故上遞減，類(lèi)似地可證遞增所以的最小值為10分而=由定理知: 故故 即: .14分2、用類(lèi)比推理的方法填表 等差數(shù)列中等比數(shù)列中答案：3、10定義一種運(yùn)算“*”：對(duì)于自然數(shù)n滿足以下運(yùn)算性質(zhì)：（i）1*1=1，（ii）（n+1）*1=n*1+1，則n*1等于An Bn+1 Cn -1 D 答案：

2、D4、若為的各位數(shù)字之和，如：，則;記_答案：55、下面的一組圖形為某一四棱錐S-ABCD的側(cè)面與底面。aaaaaaaaaa（1）請(qǐng)畫(huà)出四棱錐S-ABCD的示意圖，是否存在一條側(cè)棱垂直于底面？如果存在，請(qǐng)給出證明；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若SA面ABCD，E為AB中點(diǎn)，求二面角E-SC-D的大小；（3）求點(diǎn)D到面SEC的距離。（1）存在一條側(cè)棱垂直于底面（如圖）3分SABCDEFGH證明：且AB、AD是面ABCD內(nèi)的交線SA底面ABCD5分（2）分別取SC、SD的中點(diǎn)G、F，連GE、GF、FA，則GF/EA,GF=EA,AF/EG而由SA面ABCD得SACD，又ADCD，CD面SAD，又

3、SA=AD,F是中點(diǎn)， 面SCD,EG面SCD,面SCD所以二面角E-SC-D的大小為9010分(3)作DHSC于H，面SEC面SCD,DH面SEC,DH之長(zhǎng)即為點(diǎn)D到面SEC的距離，12分在RtSCD中，答：點(diǎn)D到面SEC的距離為14分6、一個(gè)計(jì)算裝置有一個(gè)入口A和一輸出運(yùn)算結(jié)果的出口B，將自然數(shù)列中的各數(shù)依次輸入A口，從B口得到輸出的數(shù)列，結(jié)果表明：從A口輸入時(shí)，從B口得；當(dāng)時(shí)，從A口輸入，從B口得到的結(jié)果是將前一結(jié)果先乘以自然數(shù)列中的第個(gè)奇數(shù)，再除以自然數(shù)列中的第個(gè)奇數(shù)。試問(wèn)：（1） 從A口輸入2和3時(shí)，從B口分別得到什么數(shù)？（2） 從A口輸入100時(shí)，從B口得到什么數(shù)？并說(shuō)明理由。解（

4、1） （2）先用累乖法得得7、在ABC中，給出ABC滿足的條件，就能得到動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程，下表給出了一些條件及方程：條件方程ABC周長(zhǎng)為10：ABC面積為10：ABC中，A=90°：則滿足條件、的軌跡方程分別為 （用代號(hào)、填入）答案：8、已知兩個(gè)函數(shù)和的定義域和值域都是集合1,2,3,其定義如下表. x123f（x） 231x123g（x） 132填寫(xiě)下列的表格,其三個(gè)數(shù)依次為x123g (f（x）) A. 3,1,2 B . 2,1,3 C. 1,2,3 D. 3,2,1答案：D9、在實(shí)數(shù)的原有運(yùn)算法則中，我們補(bǔ)充定義新運(yùn)算“”如下：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。則函數(shù)的最大值等于（ C ）（“

5、·”和“”仍為通常的乘法和減法）A. B. 1C. 6D. 1210、已知，x表示不大于x的最大整數(shù)，如，則_；使成立的x的取值范圍是_ 答案：211、為研究“原函數(shù)圖象與其反函數(shù)圖象的交點(diǎn)是否在直線上”這個(gè)課題，我們可以分三步進(jìn)行研究： （I）首先選取如下函數(shù)： ， 求出以上函數(shù)圖象與其反函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)： 與其反函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1） 與其反函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），（1，1） 與其反函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)為（），（1，0），（0，1） （II）觀察分析上述結(jié)果得到研究結(jié)論； （III）對(duì)得到的結(jié)論進(jìn)行證明。 現(xiàn)在，請(qǐng)你完成（II）和（III）。解：（II）原函數(shù)圖象與其反函數(shù)圖

6、象的交點(diǎn)不一定在直線yx上2分 （III）證明：設(shè)點(diǎn)（a，b）是的圖象與其反函數(shù)圖象的任一交點(diǎn)，由于原函數(shù)與反函數(shù)圖象關(guān)于直線yx對(duì)稱(chēng)，則點(diǎn)（b，a）也是的圖象與其反函數(shù)圖象的交點(diǎn)，且有 若ab時(shí)，交點(diǎn)顯然在直線上 若a<b且是增函數(shù)時(shí)，有，從而有b<a，矛盾；若b<a且是增函數(shù)時(shí)，有，從而有a<b，矛盾 若a<b且是減函數(shù)，有，從而a<b成立，此時(shí)交點(diǎn)不在直線yx上；同理，b<a且是減函數(shù)時(shí)，交點(diǎn)也不在直線yx上。 綜上所述，如果函數(shù)是增函數(shù)，并且的圖象與其反函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，則交點(diǎn)一定在直線上； 如果函數(shù)是減函數(shù)，并且的圖象與其反函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，

7、則交點(diǎn)不一定在直線yx上。14分12、設(shè)M是由滿足下列條件的函數(shù)構(gòu)成的集合：“方程有實(shí)數(shù)根；函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足.” （I）判斷函數(shù)是否是集合M中的元素，并說(shuō)明理由； （II）集合M中的元素具有下面的性質(zhì)：若的定義域?yàn)镈，則對(duì)于任意m，nD，都存在m，n，使得等式成立”，試用這一性質(zhì)證明：方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根； （III）設(shè)是方程的實(shí)數(shù)根，求證：對(duì)于定義域中任意的.解：（1）因?yàn)椋?分 所以滿足條件3分又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以方程有實(shí)數(shù)根0.所以函數(shù)是集合M中的元素.4分 （2）假設(shè)方程存在兩個(gè)實(shí)數(shù)根），則，5分 不妨設(shè)，根據(jù)題意存在數(shù)使得等式成立，7分因?yàn)?，所以，與已知矛盾，所以方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；9分（3

8、）不妨設(shè)，因?yàn)樗詾樵龊瘮?shù)，所以，又因?yàn)?，所以函?shù)為減函數(shù)，10分所以，11分所以，即12分所以13分13、在算式“2×+1×=30”的兩個(gè)口中，分別填入兩個(gè)自然數(shù)，使它們的倒數(shù)之和最小，則這兩個(gè)數(shù)應(yīng)分別為 和 . 答案：9，12.14、如圖為一幾何體的的展開(kāi)圖，其中ABCD是邊長(zhǎng)為6的正方形，SD=PD6，CR=SC，AQ=AP，點(diǎn)S,D,A,Q及P,D,C,R共線，沿圖中虛線將它們折疊起來(lái)，使P，Q，R，S四點(diǎn)重合，則需要 個(gè)這樣的幾何體，可以拼成一個(gè)棱長(zhǎng)為6的正方體。 答案：315、用水清洗一堆蔬菜上殘留的農(nóng)藥的效果假定如下：用x單位量的水清洗一次以后，蔬菜上殘留的農(nóng)

9、藥量與這次清洗前殘留的農(nóng)藥量之比為（）試解釋的實(shí)際意義； （）現(xiàn)有a（a0）單位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗兩次哪種方案清洗后蔬菜上殘留的農(nóng)藥比較少？請(qǐng)說(shuō)明理由答案：解：（I）f（0）=1表示沒(méi)有用水清洗時(shí)，蔬菜上的農(nóng)藥量沒(méi)有變化2 （）設(shè)清洗前蔬菜上的農(nóng)藥量為1，那么用a單位量的水清洗1次后殘留的農(nóng)藥量為 W1=1×f（a）=；4又如果用單位量的水清洗1次，殘留的農(nóng)藥量為1×f（）=，此后再用單位量的水清洗1次后，殘留的農(nóng)藥量為W2=·f（）=2=8由于W1W2=，9故當(dāng)a>2時(shí)，W1>W2，此時(shí)，把a(bǔ)單位量的水平均分成2份后，

10、清洗兩次，殘留的農(nóng)藥量較少；當(dāng)a=2時(shí)，W1=W2，此時(shí)，兩種清洗方式效果相同；當(dāng)a<2時(shí)，W1<W2，此時(shí)，把a(bǔ)單位量的水清洗一次，殘留的農(nóng)藥量較少1216、直角坐標(biāo)系中橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)，如果函數(shù)f(x)的圖象恰好通過(guò)k(kN*)個(gè)格點(diǎn)，則稱(chēng)函數(shù)f(x)為k階格點(diǎn)函數(shù)。下列函數(shù)： f(x)=sinx； f(x)=(x1)2+3； ，其中是一階格點(diǎn)函數(shù)的有 . 答案：17、一水池有2個(gè)進(jìn)水口,1個(gè)出水口,一個(gè)口進(jìn)出水速度如圖甲、乙所示.某天0點(diǎn)到6點(diǎn),該水池的蓄水量如圖丙所示(至少打開(kāi)一個(gè)水口),給出以下3個(gè)論斷： 進(jìn)水量 出水量 蓄水量 甲 乙 丙（1）0點(diǎn)到3

11、點(diǎn)只進(jìn)水不出水；（2）3點(diǎn)到4點(diǎn)不進(jìn)水只出水；（3）4點(diǎn)到6點(diǎn)不進(jìn)水不出水。則一定不確定的論斷是 (把你認(rèn)為是符合題意的論斷序號(hào)都填上)。答案：（2）（3）18、已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn. ()若Sm，Sm2，Sm1成等差數(shù)列，證明am，am2，am1成等差數(shù)列； ()寫(xiě)出()的逆命題，判斷它的真?zhèn)危⒔o出證明. 證 () Sm1Smam1，Sm2Smam1am2由已知2Sm2SmSm1， 2(Smam1am2)Sm(Smam1)，am2am1，即數(shù)列an的公比q. am1am，am2am，2am2amam1，am，am2，am1成等差數(shù)列. () ()的逆命題是：若am，am2，am

12、1成等差數(shù)列，則Sm，Sm2，Sm1成等差數(shù)列. 設(shè)數(shù)列an的公比為q，am1amq，am2amq2由題設(shè)，2am2amam1，即2amq2amamq，即2q2q10，q1或q. 當(dāng)q1時(shí)，A0，Sm， Sm2， Sm1不成等差數(shù)列.逆命題為假.19、2005年底，某地區(qū)經(jīng)濟(jì)調(diào)查隊(duì)對(duì)本地區(qū)居民收入情況進(jìn)行抽樣調(diào)查，抽取1000戶(hù)，按高收入中等收入低收入125戶(hù)400戶(hù)475戶(hù)本地區(qū)確定的標(biāo)準(zhǔn)，情況如右表：本地區(qū)在“十一五”規(guī)劃中明確提出要縮小貧富差距，到2010年要實(shí)現(xiàn)一個(gè)美好的愿景，由右邊圓圖顯示，則中等收入家庭的數(shù)量在原有的基礎(chǔ)要增加的百分比和低收入家庭的數(shù)量在原有的基礎(chǔ)要降低的百分比分別

13、為 ( B )A25% , 27.5% B62.5% , 57.9% C25% , 57.9% D62.5%,42.1%20、一個(gè)三位數(shù)abc稱(chēng)為“凹數(shù)”，如果該三位數(shù)同時(shí)滿足ab且bc，那么所有不同的三位“凹數(shù)”的個(gè)數(shù)是_答案：三位“凹數(shù)”可分兩類(lèi)：一類(lèi)是aba，共有45，另一類(lèi)是abc，ac，共有2240，故共有45+240285個(gè)21、定義運(yùn)算 ，若復(fù)數(shù)，則 。答案：-422、從裝有個(gè)球（其中個(gè)白球，1個(gè)黑球）的口袋中取出個(gè)球,共有種取法。在這種取法中，可以分成兩類(lèi)：一類(lèi)是取出的個(gè)球全部為白球，共有，即有等式：成立。試根據(jù)上述思想化簡(jiǎn)下列式子： 。答案： 根據(jù)題中的信息，可以把左邊的式子

14、歸納為從個(gè)球（n個(gè)白球，k個(gè)黑球）中取出m個(gè)球，可分為：沒(méi)有黑球，一個(gè)黑球，k個(gè)黑球等類(lèi)，故有種取法。23、定義運(yùn)算xy=，若|m1|m=|m1|，則m的取值范圍是 24、在公差為的等差數(shù)列中，若是的前項(xiàng)和，則數(shù)列也成等差數(shù)列，且公差為，類(lèi)比上述結(jié)論，相應(yīng)地在公比為的等比數(shù)列中，若是數(shù)列的前項(xiàng)積，則有 。25、考察下列一組不等式： 將上述不等式在左右兩端仍為兩項(xiàng)和的情況下加以推廣，使以上的不等式成為推廣不等式的特例，則推廣的不等式為 26、對(duì)任意實(shí)數(shù)，定義運(yùn)算，其中為常數(shù)，等號(hào)右邊的運(yùn)算是通常意義的加、乘運(yùn)算?，F(xiàn)已知，且有一個(gè)非零實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有，則 。27、對(duì)于任意實(shí)數(shù)，符號(hào)表示的

15、整數(shù)部分，即是不超過(guò)的最大整數(shù)”。在實(shí)數(shù)軸R（箭頭向右）上是在點(diǎn)左側(cè)的第一個(gè)整數(shù)點(diǎn)，當(dāng)是整數(shù)時(shí)就是。這個(gè)函數(shù)叫做“取整函數(shù)”，它在數(shù)學(xué)本身和生產(chǎn)實(shí)踐中有廣泛的應(yīng)用。那么=_820428、我國(guó)男足運(yùn)動(dòng)員轉(zhuǎn)會(huì)至海外俱樂(lè)部常會(huì)成為體育媒體關(guān)注的熱點(diǎn)新聞。05年8月，在上海申花俱樂(lè)部隊(duì)員杜威確認(rèn)轉(zhuǎn)會(huì)至蘇超凱爾特人俱樂(lè)部之前，各種媒體就兩俱樂(lè)部對(duì)于杜威的轉(zhuǎn)會(huì)費(fèi)協(xié)商過(guò)程紛紛“爆料”：媒體A：“, 凱爾特人俱樂(lè)部出價(jià)已從80萬(wàn)英鎊提高到了120萬(wàn)歐元?！泵襟wB：“, 凱爾特人俱樂(lè)部出價(jià)從120萬(wàn)歐元提高到了100萬(wàn)美元，同時(shí)增加了不少附加條件。”媒體C：“, 凱爾特人俱樂(lè)部出價(jià)從130萬(wàn)美元提高到了120萬(wàn)

16、歐元?！闭?qǐng)根據(jù)表中提供的匯率信息（由于短時(shí)間內(nèi)國(guó)際貨幣的匯率變化不大，我們假定比值為定值），我們可以發(fā)現(xiàn)只有媒體 （填入媒體的字母編號(hào)）的報(bào)道真實(shí)性強(qiáng)一些。29、已知二次函數(shù)同時(shí)滿足：不等式的解集有且只有一個(gè)元素；在定義域內(nèi)存在，使得不等式成立。 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）試構(gòu)造一個(gè)數(shù)列，（寫(xiě)出的一個(gè)通項(xiàng)公式）滿足：對(duì)任意的正整數(shù)都有，且，并說(shuō)明理由；（3）設(shè)各項(xiàng)均不為零的數(shù)列中，所有滿足的正整數(shù)的個(gè)數(shù)稱(chēng)為這個(gè)數(shù)列的變號(hào)數(shù)。令（為正整數(shù)），求數(shù)列的變號(hào)數(shù)。解：（1）的解集有且只有一個(gè)元素， 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞增，故不存在，使得不等式成立。 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞減，故存在，使得不等

17、式成立。 綜上，得， （2）要使，可構(gòu)造數(shù)列，對(duì)任意的正整數(shù)都有， 當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，即， 又，等等。 （3）解法一：由題設(shè)，時(shí)，時(shí)，數(shù)列遞增，由，可知，即時(shí)，有且只有個(gè)變號(hào)數(shù)；又，即，此處變號(hào)數(shù)有個(gè)。綜上得 數(shù)列共有個(gè)變號(hào)數(shù)，即變號(hào)數(shù)為。解法二：由題設(shè)， 時(shí)，令； 又，時(shí)也有。綜上得 數(shù)列共有個(gè)變號(hào)數(shù)，即變號(hào)數(shù)為。30、在R上定義運(yùn)算：xy=x(1 -y) 若不等式(x-a)(x+a)<1,對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 。31、已知之間滿足 （1）方程表示的曲線經(jīng)過(guò)一點(diǎn)，求b的值（2）動(dòng)點(diǎn)(x,y)在曲線(b>0)上變化，求x2+2y的最大值；（3）由能否確定一

18、個(gè)函數(shù)關(guān)系式，如能，求解析式；如不能，再加什么條件就可使之間建立函數(shù)關(guān)系，并求出解析式。解：（1） （4分）（2）根據(jù)得 （5分） （7分） （10分）（2）不能 （11分） 如再加條件就可使之間建立函數(shù)關(guān)系 （12分）解析式 （14分）（不唯一，也可其它答案）32、用錘子以均勻的力敲擊鐵釘入木板。隨著鐵釘?shù)纳钊耄F釘所受的阻力會(huì)越來(lái)越大，使得每次釘入木板的釘子長(zhǎng)度后一次為前一次的。已知一個(gè)鐵釘受擊次后全部進(jìn)入木板，且第一次受擊后進(jìn)入木板部分的鐵釘長(zhǎng)度是釘長(zhǎng)的，請(qǐng)從這個(gè)實(shí)事中提煉出一個(gè)不等式組是 。33、已知，記，（其中），例如： 。設(shè)，且滿足，則有序數(shù)組是 。 34、（12=9+3）（理）設(shè)表示冪函數(shù)在上是增函數(shù)的的集合；表示不等式 對(duì)任意恒成立的的集合。（1）求；（2）試寫(xiě)出一個(gè)解集為的不等式。（文）設(shè)表示冪函數(shù)在上是增函數(shù)的的集合；表示不等式對(duì)任意恒成立的的集合。（1）求；（2）試寫(xiě)出一個(gè)解集為的不等式。解：（理）（1）冪函數(shù)在上是增函數(shù)，即， 又不等式對(duì)任意恒成立，即， 。 （2）一個(gè)解集為的不等式可以是 。 （文）（1）冪函數(shù)在上是增函數(shù)，即， 又不等式對(duì)任意恒成立，即， 。 （2）一個(gè)解集為