萬能公式推導

1、萬能公式推導sin2 a =2s in a cos a =2s in a cos a /sA 2 ( a) +sin2 (a) ) . *,( 因為 COsA2 ( a) +sinA2 (a) =1 )再把 *分式上下同除cosA2 (a), 可得 sin2 a =2an a /( 1+ta 門人 2 ( a)然后用 a /2 代替 a 即可。同理可推導余弦的萬能公式。正切的萬能公式可通過正弦比余弦得到。三倍角公式推導tan3 a =sin3 a /cos3 a=/ Sin2 a cos a +cos2 a sin ) a/ / cos2 a cos a-sin2 a sin a=/ 2sin

2、 a cosA2 / a) +cosA2 / a) sin a SinA3 / a ) ) / / cosA3 / a) cos a sinA2 (a ) 2sinA2 / a) COS a )上下同除以cosA3 /a) ，得：tan3 a= / 3tan a tan 人 3 / a) ) / / 1-3ta 門人 2 / a)sin3 a =sin / 2 a + a) =sin2 a cos a +cos2 a sin a=2sin a cosA2 / a) + /1 2si 門人 2 / a) ) sin a=2sin a 2si 門人 3 / a) +sin a 2si 門人 3 /

3、 a)=3sin a 4sin 人 3 / a)cos3 a =cos / 2 a + a =cos2 a cos a sin2 a sin a=2cosA2 / a) 1cos a 2COS a S“A2/ a)=2cosA3 / a) cos a +2COS a 2COSA3 / a)=4cosA3 / a) 3cos a即sin3 a =3sin ( 4si 門人 3 / a)COS3 a =4COSA3 / a) 3COS a和差化積公式推導首先，我們知道sin （ a+b ） =sina*cosb+cosa*sinb,sin （ a-b ） =sina*cosb-cosa*sinb我

4、們把兩式相加就得到sin （a+b ） +sin （ a-b ） =2sina*cosb所以， sina*cosb=sin（ a+b ） +sin （ a-b ）/2同理，若把兩式相減，就得到cosa*sinb=sin（ a+b ）-sin （ a-b ） /2同樣的，我們還知道cos （ a+b ） =cosa*cosb-sina*sinb， cos （ a-b）=cosa*cosb+s in a*s inb所以，把兩式相加，我們就可以得到cos （ a+b ） +cos （ a-b ）=2cosa*cosb所以我們就得到，cosa*cosb=cos（ a+b ） +cos （ a-b ）/

5、2同理，兩式相減我們就得到sina*sinb=-cos（ a+b ）-cos （a-b ）/2這樣，我們就得到了積化和差的四個公式：sin a*cosb=s in（ a+b ） +s in （ a-b ） /2cosa*s in b=s in（ a+b ） -sin （ a-b ） /2cosa*cosb=cos（ a+b ） +cos （ a-b） /2sin a*s in b=-cos （ a+b ） -cos（ a-b ） /2好，有了積化和差的四個公式以后，我們只需一個變形，就可以得到和差化積的四個公式我們把上述四個公式中的a+b 設為 x,a-b 設為 y，那么 a= （ x+y）

6、/2， b= （x-y ）把 a，b 分別用x， y 表示就可以得到和差化積的四個公式：sin x+s iny=2s（x+y ） /2*cos（ x-y ） /2insin x-s（x+y ） /2*si n（ x-y） /2iny=2coscosx+cosy=2cos（ x+y ） /2*cos （ x-y ） /2cosx-cosy=-2sin（ x+y） /2*sin （ x-y） /2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式倒數(shù)關(guān)系tan a ?cot a =1sin a CSC a =1cos a sec a =1商的關(guān)系sin a /cos a =tan a =sec a /CSC aCOS a

7、/sin a =COt a =CSC a /sec a平方關(guān)系sinT ( a) +cos A2 ( a) =11+ta 門人 2 ( a) =secA2 ( a)1+CotA2 ( a) =CscA2 ( a)同角三角函數(shù)關(guān)系六角形記憶法構(gòu)造以上弦、中切、下割；左正、右余、中間1 的正六邊形為模型。倒數(shù)關(guān)系對角線上兩個函數(shù)互為倒數(shù)；商數(shù)關(guān)系六邊形任意一頂點上的函數(shù)值等于與它相鄰的兩個頂點上函數(shù)值的乘積。( 主要是兩條虛線兩端的三角函數(shù)值的乘積，下面4 個也存在這種關(guān)系。) 。由此，可得商數(shù)關(guān)系式。平方關(guān)系在帶有陰影線的三角形中，上面兩個頂點上的三角函數(shù)值的平方和等于下面頂點上的三角函數(shù)值的平

8、方。兩角和差公式sin (a + 3 =sin a cos 3 +cos a sin 3sin ( a 3) =sin a cos -cos a sin 3cos ( a + 3 =cos a cos -sin a sin 3cos ( a 3) =cos a cos 3 +sin a sin 3tan (a + 3 = (tan a +ta n 3) / (1 tan a ? tan 3tan ( a 3 ) = (tan a tan 3) / (1+tan a ? tar ) 3二倍角的正弦、余弦和正切公式sin2 a =2sin a cos acos2 a =cos A2 ( a) si

9、n2 ( a) =2cos A2( a) 1=12si 門人 2 / a)tan2 a =2tan a/( 1 tanA2 ( a)tan /1/2* a = / sin a / / 1+cos a) = / 1-cos a) /sin半角的正弦、余弦和正切公式sin A2 (a /2 =：( 1 cos/2a )cosA2 / a /2 :=/1+cos a )/2tan A2 / a /2 :=/ 1 cos/ /1+cos a )a )tan (a /2 = / 1 cos a) /s in a =si n a /1+cos a萬能公式sin a =2ta n (a / / 1+ta 門

10、人 2 / a )cos a= /1 tanA2 / a /2 ) / / 1+ta 門人 2 / a /2 )tan a= / 2ta n (a /2 ) / /1 tan 人 2 / a /2 )三倍角的正弦、余弦和正切公式sin3 a =3sin ( 4si 門人 3 / a)cos3 a =4cosA3 / a) 3COS atan3 a= / 3tan a tanA3 / a) ) / /1 3ta 門人 2 / a )三角函數(shù)的和差化積公式sin+sin3=2si( (+p )c( a 3)/2)aa12ossin a sin 3 =2cos ( a + 3/2)sin ( a 3) /2)cos a +cos 3 =2cos ( a + 3 /2 ) COS ( a 3 ) /2 ) cos a cos 3= 2sin ( a + 3 /2 )sin ( a3)