元分析學(xué)測(cè)驗(yàn)答案改卷用

1、2012級(jí)一元分析學(xué)1-3章測(cè)驗(yàn)題答案1.求數(shù)集E=m：m< n,m,n乏Z十?的上確界，并用定義加以證明.(8分)解：上確界為1. (2分)下面證明之.(1)因?yàn)?：m： n,所以-xE有x ： 1,即1為E的上界.(4分)1mm 1 一；0,取 n = 2, m = n -1,則 n, m Z ,且 E ,1 -1 一 ； znn n依上確界定義，1為E的上界 (8分)2.討論f (x) =x2D(x)的可導(dǎo)性，其中D(x)為Dirichlet 函數(shù).(8分)解：(1)當(dāng)x =0時(shí),因?yàn)閘imx )0f(x) - f(0)xx2D(x)x= lim xD(x) = 0 ,x >

2、0所以f (x)在x =0處可導(dǎo).(4分)對(duì)任意的x0 = 0 ,因?yàn)閘im D(x)不存在，所以l i mf (x)不存在 x0(否則，假設(shè)阿。 f(X)二 A,則 lim D(x)二 limXjxt)f (x)x22 ,矛盾),從而f (x)在x°處不連續(xù)，不可導(dǎo).x°(注：也可用導(dǎo)數(shù)定義，通過(guò)取有理數(shù)列和無(wú)理數(shù)列得到證明)故，f (x)僅在x = 0處可導(dǎo).(8分)3.求下列極限（不能用洛比達(dá)法則）.（每小題6分，共24分） （注：計(jì)算題過(guò)程對(duì)答案錯(cuò)，僅扣1分；答案對(duì)但無(wú)過(guò)程，得3分）1 lim（1n 2n 川 2012n）n .n_sc1解：lim (1n 2n 2

3、012n)n =2012(用迫斂性).n_.2cos2x-12x2+ x2 4 四 UV-1-lim 22X22X 刃 X2X2 o(x2)解：lim*ex +e2x + 山+enx 10in丿1Iln= lim expxQexe2xenx1ex，e2xenxexp lim(-nx xnx 2x . nx1 e e -e-n()nx-1)(12川間n)1nm(n!)n2所以因?yàn)? ： 1n2 ln(n!)二ln 1(1ln 2 ln n、 ln n2n)且“巴"，1n2n、，皿=0, lim(n!)lim 2n n2二e0 =1.x e -1 x 0 x e9 / 64.設(shè) f(x)

4、在0,：)上連續(xù)，且 f(x)_0, lim f(x)=0.證明：f(x)在0,：)上有最 大值.(10 分)證：若f(x) =0,則0是其最大值，結(jié)論成立 (2分)若存在x0 - 0使得f (x°) 0,則存在X - 0使得- x X有f (x) :： f (x°) . (4分)因?yàn)閒(x)在區(qū)間0,X上連續(xù)，存在.0,X使得f)二max f(x). (6分)X 旺 0,X由-X X 有 f (x) ： f (x0)知 x0 0, X,且 f ()二 max f (x) _ f (x0) f (x)X 日0,X(-x X).故 f() = ma f(x) , f (x)在

5、0,:-)上有最大值.(10 分)K5.設(shè) 0 _ b= ,xn22_Xn（n =2,3,）,2證明數(shù)列禺收斂并求其極限.（10證：由數(shù)學(xué)歸納法得到x1 X3 -一 -0,KX2遼X4乞< X2n乞< ",2即奇數(shù)列與偶數(shù)列都為單調(diào)有界數(shù)列(且其單調(diào)性相反),從而收斂 (4 分)令 lim X2n 4 二：, nlim X2n 八，n）二.則由Xn2Xn!2（n = 2,3,）知:-.兩式相減，得到r - -)(1)=0.(6分)2 2 2_- 2 I1 2_又，兩式相加得到-bb乞1,推出10.故-,數(shù)列收斂2 2（8分）且由二-2:-2 -得到二 b 1 -1. （1

6、0 分） 26.證明：若函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù),對(duì)a,b上任意兩個(gè)有理數(shù) 斤衛(wèi)且ri小 有f(ri) ： f(D),則f (x)在a,b上單調(diào)增加.(8分)證：任取(a,b)內(nèi)的兩實(shí)數(shù)t1,t2且鮎：t2,可取有理數(shù)列Xn U o(t1,t2匕廠(a,b),2t° tiynU°(t2,-) ' (a,b)使 Xn； ti, yn；t2(n；心)則 x：yn,從而由已2知得到 f (xn) ： f (yn) (in N ). (5 分)由連續(xù)性和Heine定理，以及極限的保不等式性質(zhì)知：f(tj =lim fg lim f(yn)二仏)(8分)n_當(dāng)t1,t2為a

7、,b的兩個(gè)端點(diǎn)時(shí),同理可證f(tj _ f (t2)(若鮎=a ： t2 ： b或a t1 :t2二b,無(wú)此括號(hào)中的說(shuō)明不扣分).綜上知：f (x)在a,b上單調(diào)增加.(10分)7.設(shè)函數(shù)f (x)在有限區(qū)間a,b上連續(xù)，且 x1,x2/ ,xn是這個(gè)區(qū)間內(nèi)的任意點(diǎn).證明:(a,b)，使得f()f(Xk).(8 分)1 n 、Xn 證：記 u =f (xk)且不妨 = minx1,x2/ ,xn, xn 二 maxx1,x2/ ,xn , x1 <n k壬則由已知洛，禺(a,b).設(shè)f(x)在X1,X2上的最大值為M ,最小值為m ,則 m - u - M 由連續(xù)函數(shù)介值定理知：上：=為

8、風(fēng)(a,b),使得f( )=u,得證.8.| a |證：由 lim f(x)二 A = 0 知 lim | f (x) |=| A|0 ,于是 . 0，使當(dāng)_X0JX2x Uo(X01)時(shí)，有 | f(x)| | A| -兇一血2 2(2分)再由 lim f(x)二A, 一； 0, -l%0,使當(dāng) x Uo(x°,'2)時(shí),有 |f(x)-A|：X_0取 3 min q , 2，則當(dāng) x 匸 U (x° ,0)時(shí),成立1 _ 1f(x) A11由極限定義，lim -一xff (X)A1證：(i) 取Xn2n :|f(x)-A| 2|f(x)-A| .2£

9、22| f(x)|A|A|2|A|2(5 分)|A|21,yn,則 Xn,y(0,1(-n N )且 lim (x. - yj = 0 ,兀nc2n 二2但f(Xn) - f (yj胡不以零為極限,故f(X)在(0,1上不一致連續(xù) (3分)(ii) 一 ：0,由= 2sin丄+丄)sin丄丄丄2 *X2 丿2<X1X2 幺| X1X2 |二；/4 ,則當(dāng) X1 ,X211cos一 -cos X1X2乜二*4|冷乜卜:(X1,X2(1 ,1)知，取:2-(1/2,1滿足|花-X2卜:：，有| f(Xi) -f 區(qū))卜：；故 f (x)二cos丄在(丄,1上一致連續(xù).(6 x 21方法2:因

10、為f(20)=cos2,所以定義函數(shù) F(x)f (X),cos 2,x (2,12,得到F(x)在閉1x =一2丄,1上一致連續(xù)由于X，(丄,1時(shí)2 21區(qū)間2,1上連續(xù),由Cantor定理,F(x)在閉區(qū)間F(x) =f(x),所以f(x)在區(qū)間(丄,1上一致連續(xù).(929.下列兩小題96學(xué)時(shí)班必做，88學(xué)時(shí)班選一 (10分，若都做按第1小題計(jì)分)(1)設(shè)函數(shù)f (x)定義在區(qū)間I上，x0 I .若對(duì)I中滿足lim Xn = x0且Xn = x0(-n N ) njpc的任意數(shù)列xn都有f(xn)收斂，證明極限lim f (x)存在.證：先證所有 f (xn)極限相同(反證，略),設(shè)它們的

11、極限為 A.假設(shè)極限lim f(x) = A,則存在；00，0，存在 x U°(x0，、J，使得I f(x) -A|_ ；0 .于是對(duì)nN .取11，得到數(shù)列Xn U °(X0,),滿足lim Xn二X0但| f (Xn) - A|_ ；0 .這表明數(shù)列 nnn->:- f (Xn)不以A為極限，與 f (禺)的極限都為A相矛盾.證畢.證:首先定義 f(x) = f(a)(x (a -1,a)和 f (x)二 f (b) (x (b,b 1).(無(wú)此步不扣分) 因?yàn)閒 (x)在a,b上連續(xù)，所以-x 二a,b,存在0使當(dāng) y U (x x)時(shí)，有 z5|f(y)-f(x)|.于是開(kāi)區(qū)間集合 H二U(x,)：xa,b為閉區(qū)間a,b的一22個(gè)覆蓋.由有限覆蓋定理，存在其一個(gè)有限子覆蓋6X 6 6 6H* 二U(Xj, j):j=1,2,m(m 為一正整數(shù)).取' 二 mi n，竺,，與,2 2 2 2則0.現(xiàn)任取s,r a,b滿足|s -t卜：、.由于H *是a,b的一個(gè)覆蓋，所以存在某j