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1、數(shù)值積分與數(shù)值微分習題課一、已知，給出以這3個點為求積節(jié)點在上的插值型求積公式解：過這3個點的插值多項式基函數(shù)為故所求的插值型求積公式為二、確定求積公式的代數(shù)精度，它是Gauss公式嗎？證明：求積公式中系數(shù)與節(jié)點全部給定，直接檢驗依次取，有本題已經(jīng)達到2n-1=5。故它是Gauss公式。三、試應用復合梯形公式計算積分要求誤差不超過，并把計算結果與準確值比較。解：復合梯形公式的余項為本題，本題余項為要使，得 ，取得于是有檢驗： 四、證明 若函數(shù)，則其上的一階差商函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，并借助此結果用Newtong插值余項證明梯形求積公式的余項為證明：不妨設一階差商函數(shù)為，有由的任意性，可知一階差商函數(shù)是

2、連續(xù)函數(shù)。由插值特點，顯然有線性插值的Newton余項公式為故有由可知是變量在上的連續(xù)函數(shù)，而函數(shù)在上可積，不變號，根據(jù)積分中值定理，存在，使由差商性質，存在，使。所以結論得證。五、導出中矩形公式的余項。解：將在處進行泰勒展開。對上式兩邊在上積分，有中矩形公式的余項六、設數(shù)值求積公式,代數(shù)精度至少為n-1的充分必要條件是它為插值型求積公式.證:充分性.設原式是插值型求積公式,則式中的求積系數(shù)余項為由知代數(shù)精度至少為n-1必要性.設原式代數(shù)精度至少為n-1,則對次數(shù)不超過n-1的多項式原式成立等號,特別地取Lagrange插值基函數(shù),有因為所以故原式為插值型求積公式.七、令P(x)是n次實多項式,滿足證明P(x)在開區(qū)間(a,b)中有n個實單根.證明:因為，所以P(x)在a,b上至少有一個零點。若P(x)有k(1)個零點，i=1,2,k在a,b上，則有，及，所以若零點個數(shù)，有矛盾，因此，即在a,b至少有n個零點,但P(x)是n次實多項式，故k=n。八、已知點和，用該信息計算定積分。解：記為關于節(jié)點的Hermite插值多項式： 所以有誤差為九、驗證Gauss型求積公式求積系數(shù)及節(jié)點分別為，, ，。解：因為上述Gau

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