數(shù)值積分與數(shù)值微分習(xí)題課

1、數(shù)值積分與數(shù)值微分習(xí)題課一、已知，給出以這3個(gè)點(diǎn)為求積節(jié)點(diǎn)在上的插值型求積公式解：過(guò)這3個(gè)點(diǎn)的插值多項(xiàng)式基函數(shù)為故所求的插值型求積公式為二、確定求積公式的代數(shù)精度，它是Gauss公式嗎？證明：求積公式中系數(shù)與節(jié)點(diǎn)全部給定，直接檢驗(yàn)依次取，有本題已經(jīng)達(dá)到2n-1=5。故它是Gauss公式。三、試應(yīng)用復(fù)合梯形公式計(jì)算積分要求誤差不超過(guò)，并把計(jì)算結(jié)果與準(zhǔn)確值比較。解：復(fù)合梯形公式的余項(xiàng)為本題，本題余項(xiàng)為要使，得 ，取得于是有檢驗(yàn)： 四、證明 若函數(shù)，則其上的一階差商函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，并借助此結(jié)果用Newtong插值余項(xiàng)證明梯形求積公式的余項(xiàng)為證明：不妨設(shè)一階差商函數(shù)為，有由的任意性，可知一階差商函數(shù)是

2、連續(xù)函數(shù)。由插值特點(diǎn)，顯然有線性插值的Newton余項(xiàng)公式為故有由可知是變量在上的連續(xù)函數(shù)，而函數(shù)在上可積，不變號(hào)，根據(jù)積分中值定理，存在，使由差商性質(zhì)，存在，使。所以結(jié)論得證。五、導(dǎo)出中矩形公式的余項(xiàng)。解：將在處進(jìn)行泰勒展開。對(duì)上式兩邊在上積分，有中矩形公式的余項(xiàng)六、設(shè)數(shù)值求積公式,代數(shù)精度至少為n-1的充分必要條件是它為插值型求積公式.證:充分性.設(shè)原式是插值型求積公式,則式中的求積系數(shù)余項(xiàng)為由知代數(shù)精度至少為n-1必要性.設(shè)原式代數(shù)精度至少為n-1,則對(duì)次數(shù)不超過(guò)n-1的多項(xiàng)式原式成立等號(hào),特別地取Lagrange插值基函數(shù),有因?yàn)樗怨试綖椴逯敌颓蠓e公式.七、令P(x)是n次實(shí)多項(xiàng)式,滿足證明P(x)在開區(qū)間(a,b)中有n個(gè)實(shí)單根.證明:因?yàn)?，所以P(x)在a,b上至少有一個(gè)零點(diǎn)。若P(x)有k(1)個(gè)零點(diǎn)，i=1,2,k在a,b上，則有，及，所以若零點(diǎn)個(gè)數(shù)，有矛盾，因此，即在a,b至少有n個(gè)零點(diǎn),但P(x)是n次實(shí)多項(xiàng)式，故k=n。八、已知點(diǎn)和，用該信息計(jì)算定積分。解：記為關(guān)于節(jié)點(diǎn)的Hermite插值多項(xiàng)式： 所以有誤差為九、驗(yàn)證Gauss型求積公式求積系數(shù)及節(jié)點(diǎn)分別為，, ，。解：因?yàn)樯鲜鯣au