常微分方程第三版答案

1、習(xí)題1. dy =2xy,并滿足初始條件：x=0,y=1的特解 dx解：dy =2xdx兩邊積分有：In |y|=x 2 +cyx2c2y=ex +ec=cex2另外y=0也是原方程的解，c=0時，y=0原方程的通解為y= cex 2 ,x=0 y=1 時 c=1特解為y= e2. y 2 dx+(x+1)dy=0并求滿足初始條件：x=0,y=1的特解。解：y 2dx=-(x+1)dydy dy=- 1 dxyx 1兩邊積分:-1 =y1-In |x+1|+In |c| y=In | c(x 1)|另外y=0,x=-1也是原方程的解x=0,y=1 時c=e特解:1y=1)1In | c(x3.

2、 dy= 1 y2dx xy x3y解：原方程為：魚二J Ldx y x x21J dy= dxyx x兩邊積分:x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0解：原方程為：J dy=- dxy x兩邊積分：In |xy|+x-y=c另外x=0,y=0也是原方程的解。5. (y+x) dy+(x-y)dx=0解：原方程為:dy =- x ydx x y令y =u則dy =u+xdu代入有：xdx dx-2 du二一dxu 1x22ln(u +1)x =c-2arctgu即 ln(y 2 +x2 )=c-2arctg 爲(wèi).x6. x dy -y+ x2y2

3、=0dx '解：原方程為：魚二工+兇-.1 (y)2dx x x V x則令y=u=u+ x巴xdxdx1 1du=sgnx dx.1 u2xarcsin =sg nx ln| x|+cx7. tgydx-ctgxdy=0解:原方程為：豈=竺tgy ctgx兩邊積分：ln |si ny|=-l n|cosx|-l n|c|siny= 1= 另外y=0也是原方程的解，而 c=0時，y=0.ccosx cosx所以原方程的通解為 sin ycosx二c.y 3x8 dy + e =0dxy解：原方程為：dy =e" e3xdxy2 e 3x -3ey =c.(Inx-lny )d

4、y-ydx=0解：原方程為：dy =ln工dxxx10.1112.13.令 y=u ,則 dx=u+ x 巴 xdxdx-J.u+ x Jrulnudxln(ln u-1)=-l n|cx|1+ln -=cy.xdy =ex y dx:原方程為：=exe ydxey=cex=(x+y) 2dx解：令 x+y=u,則 dy =du-1 dx dx巴-仁u2dx1 2 du=dx1 uarctgu二x+carctg(x+y)二x+cdy =1dx (x y)2解：令 x+y=u,則 =du-1 dx dxdu-1=丄1 2dx uu-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c.dy = 2x

5、 y 1dx x 2y 1解:原方程為：(x-2y+1 ) dy=(2x-y+1)dxxdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=022dxy-d(y -y)-dx +x=c2 2xy-y +y-x -x=c14: dy 二 x y 5dx x y 2解：原方程為：(x-y-2 ) dy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0dxy-d( ly2+2y)-d(丄x2+5x)=02 222y +4y+x +10x-2xy=c.15:3=(x+1)2 +(4y+1)2+8xy 1dx解：原方程為：巴二(x+4y) 2+3dx令x+4y=u貝卩3 = 1巴-dx

6、 4 dx 4l-l=u2+34 dx 4屯=4 u 2+13dx3u=|tg(6x+c)-12tg(6x+c)=(x+4y+1).316:證明方程x 3二f(xy),經(jīng)變換xy=u可化為變量分離方程，并由此求下列方程:y dx1)y(1+x 2y 2 )dx=xdy2 22) x dy = 2 x y2 2y dx 2-x y證明： 令xy=u,貝9 x理+y=-du dx dx 則型=丄典-弓，有： dx x dx xx du ,=f(u)+1u dx1 1- du=-dx u( f(u) 1) x所以原方程可化為變量分離方程。1)令xy=u則業(yè)=1屯-耳 (1) dx x dx x原方程

7、可化為：史二衛(wèi)1+ (xy) 2dx x將1代入2式有：1巴-篤=u(1+u2)x dx x xu= . u22 +cx17. 求一曲線，使它的切線坐標(biāo)軸間的部分初切點(diǎn)分成相等的部分。解：設(shè)(x +y )為所求曲線上任意一點(diǎn)，則切線方程為：y=y' (x- x )+ y則與x軸，y軸交點(diǎn)分別為：yo,x= x 0 - y= y o - x o yy則 x=2 x 0 = x 0 -如 所以 xy=cy'18. 求曲線上任意一點(diǎn)切線與該點(diǎn)的向徑夾角為0的曲線方程，其中 二一4解：由題意得：y'=_yx1 dy= dx y xIn |y|=l n|xc| y=cx.=貝卩y

8、=tgx所以 c=1 y=x.419. 證明曲線上的切線的斜率與切點(diǎn)的橫坐標(biāo)成正比的曲線是拋物線。證明：設(shè)(x,y)為所求曲線上的任意一點(diǎn)，則y'二kx貝V: y=kx2 +c即為所求。常微分方程習(xí)題1. dy 2xy ,并求滿足初始條件：x=0,y=1的特解. dx解：對原式進(jìn)行變量分離得22. y dx (x 1)dy 0,并求滿足初始條件：x=0,y=1的特解.解：對原式進(jìn)行變量分離得：23 dy丄斗dx xy x y解：原式可化為:12 - dx d715. (X 1)2(4y 1)2 8Xy 116- dx 幾解.dy(y3)2 2x2dx y2(2xy3 x2ddX 3（2

9、汀，令y3 u，則原方程化為dx2xux2 2 1xuz，,則duz x空，所以 dx3z2xdx2z當(dāng)z2z60，得 z 3或 z2是當(dāng)z2z60時，變量分離-2z2du6x23u261(1)3u26x1dzdx,x是齊次方程dz2z z6，x ? (1)dx2z 1即y33x 或 y32x是方程的解。兩邊積分的（z3)7(z352) x c,這dzx -, dx方程的解。0時。故原方程32x包含在通解中當(dāng)c即(y3 3x)7(y3 2x)3 x5c,又因?yàn)?y3 3x或y的解為(y33x)7(y32x)3 xl17.dy 2x3 3xy x dx 3x2 y2y3解:原方程化為dydxx(

10、2x2 3y21).d/2y(3x22y2 1) dx2x23x23y2 12y2 12u,；xv；則竺dv2v 3u 13v2u 1(1)方程組2v 3u3v 2u1);令Z vu 1,23*則有2z 3y 0，從而方程（1）化為z3z 2y 0dz 3 fz令t :,，則有dzz魚，所以t z魚dzdz3tdtz -22 2t23 2t3 2tdz當(dāng)2 2t2 0時，即t 1是方程(2)的解。得y2 x2 2或y2x2是原方程的解22t20時，分離變量得_dt1 dzW邊積分的y2x2 (y2x22)5c2 2t z另外x19.已知f(x) f (x)dt 1, x 0,試求函數(shù)f (x)

11、的一般表達(dá)式0解：設(shè) f(x)=y,則原方程化為1f (x)dt -兩邊求導(dǎo)得y20.求具有性質(zhì)x(t+s)=容的函數(shù)約，已知x' (0)存在解：令 t=s=0 x(0)=2x(0) 若 x(0)0 得 x2 =-1 矛盾。1x(0)1x(0)x(0)2所以 x(0)=0. x ' (t)= limx(t t) x(t) lim x( t)(1 x (t) 乂(0)(1 x2(t) tt1 x(t)x( t)dx(t)dt2x'(0)(1 x (t)2x'(0)dt 兩邊積分得 arctg x(t)=x ' (0)t+c1 x (t)所以x(t)=tgx

12、 ' (0)t+c當(dāng) t=0 時 x(0)=0故c=0所以2.x(t)=tgx ' (0)t習(xí)題求下列方程的解虬y sinxdx解:dxy=e (dxsinxe dx c)=ex - 1e2x 1=c e - 一2解：原方程可化為:所以：x=e3dt(sinx cosx )+csin x cosx)是原方程的解。生=-3x+e 2tdt2t3dt( e e dt c)=e3t ( !e5t+c)5=c e3t +1 e2t是原方程的解。53. ds =-s cost +1 sin2t dt2costdt 13dt解：s=e ( sin2te dt c )2sin tsin t=

13、e ( sint coste dt c)13sin t(sintesintsint e=cesin tsin t是原方程的解。dy xydx n解：原方程可化為:4.為常數(shù)dydxx-ynxn(exc)是原方程的解.5. r 1=0解：原方程可化為：dy =-1dx2x2x2x 1dx= x2(16.矽 dx43x x2xy解：dx43x x2 xy3x_ + y2y xuxdydx因此:du xx =dxu33x xu帶入(*)1 2x_, dxdx c)(1cex)是原方程的解.du=u x dx(*)得:y3 3x4cx3是原方程的解.這是n=-1時的伯努利方程。兩邊同除以令y2dzdy

14、2y dxdxP(x)=Q(x)=-12y3由一階線性方程的求解公式ey 3x2 x兩邊同乘以eyey矽dx(ey)2 3xey2x令ey zdzdxdxdzdxx23xz3z這是n=2時的伯努利方程。兩邊同除以z2Q(x)=z2 dx1xxz12x15 dx133xy x y由一階線性方程的求解公式3/13x cx 2、x ( x c)2這是n=3時的伯努利方程。兩邊同除以x3丄蟲x3 dyy2 xdzdy2x3魚dydzdy由一階線性方程的求解公式22=e y ( 2y3ey dy c)y2 1 ce yxx16 y= e + y(t)dt0P(x)=1Q(x)=由一階線性方程的求解公式x

15、 x x ,一 e ( e e dxc)c=1ex(x c)y= ex(x c)17設(shè)函數(shù) （t）于8 <t<8上連續(xù)，（0）存在且滿足關(guān)系式(t+s)=(t)(s)試求此函數(shù)。令 t=s=0(0+0)=(0)(0) 即(0)=(0)2 故(0)0 或(0)(1)(0)(t)(t 0)(t) (0)即(t)oo(0) 1 時(t)iim，t)t(t)=,.=咽(t)(t) (t)tiim(t)( ( t) 1)_.( t 0)(0)tL=lim(t)(0) (t)'(0) (t)變量分離得-'(0)dt 積分'(0)t ce由于（0）1，即 t=0 時 11

16、 =0ce c=1故（t） e(0)t20.試證:（1） 一階非齊線性方程（2 .28 ）的任兩解之差必為相應(yīng)的齊線性方程（）之解;（2）若y y（x）是（）的非零解，而 y y（x）是（）的解，則方程（）的通解可表為 y cy（x） y（x），其中c為任意常數(shù).（3）方程（）任一解的常數(shù)倍或任兩解之和（或差）仍是方程（）的解證明:S P(x)yQ(x)()乎 P(x)y dx()(1)設(shè)y1，y2是（）的任意兩個解P(x)yi Q(x)dxdy22 P(x)y2 Q(x) dx(1)(2)(1)-(2)得即y1y cyy y是滿足方程（）所以，命題成立。(2)由題意得:警 P(x)ydx(3

17、)d y（x）詈 P（x）y（x）Q（x）(4)1)先證y cyy是（）的一個解。于是 c 3故y cy y是()的一個解。2）現(xiàn)證方程（4)的任一解都可寫成cy y的形式設(shè)yi是的一個解dyidxP(x)yi Q(x)于是(4') - (4)得從而P(x)dxy1y cecy所以，命題成立。（3）設(shè)乂 , y4是（）的任意兩個解則字 P(x)y3dx（5）字 P(x)y4dx（6）于是(5) c 得cdy3dxcP(x)y3即dg)P(x)(cy3)dx其中c為任意常數(shù)也就是y cy3滿足方程（）（5）（6）得日仃d（y34）即 P（x）（y3 y4）dx也就是y y3 y4滿足方程

18、（）所以命題成立。21. 試建立分別具有下列性質(zhì)的曲線所滿足的微分方程并求解。（5）曲線上任一點(diǎn)的切線的縱截距等于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的平方；（6）曲線上任一點(diǎn)的切線的縱截距是切點(diǎn)橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的等差中項(xiàng);解：設(shè)p（x, y）為曲線上的任一點(diǎn)，則過 p點(diǎn)曲線的切線方程為從而此切線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（x ,0）,（0, y xy'）y'即橫截距為x上，y'縱截距為y xy'。由題意得：（5） y xy' x方程變形為1 1 dx（ ）dx于是 y e x（ x）e x dx c）所以，方程的通解為yx cx。(6) y xy方程變形為于是 y丄dx2x (11

19、(' )dx)e 2x dx c)2所以，方程的通解為1cx2 022 .求解下列方程。(1) (x21)y' xy 0解：y' 2xxy 1/x211 x11/211x212/x2dx1八c/x211/2/x2dx31/2cc /1 x2 /(2)y sin xcosx y.3sin xP(x)=sin x cosxQ(x)=sin2 xcosx由一階線性方程的求解公式sin x(sin xdx c) cosxsin x(cosx c)cosx=tgxc sin x習(xí)題1、驗(yàn)證下列方程是恰當(dāng)方程，并求出方程的解。1.(x2 y)dx (x 2y)dy 0解： 1 ,

20、-N=1 .yx則衛(wèi)衛(wèi)所以此方程是恰當(dāng)方程。湊微分，Xdx 2ydy (ydx xdy) 0得：1 x丄inx xy y2 C32. (y 3x2)dx (4y x)dy 0解:則衛(wèi)_N所以此方程為恰當(dāng)方程。湊微分，ydx xdy3x2dx4ydy 0得x3 xy 2y2丄dxy) x解:M 2y(xyy)2 2y2(x y)( 1)(xy)42xyy)3則衛(wèi)x因此此方程是恰當(dāng)方程。(xy21y)2 x(1)(2)對（1）做x的積分,2dx(x y)21dxx(y)2x(x y)2(3)(y)對（3）做y的積分,(i)y2(x y)2y(x y)2ddy(y)4、2則 Uy) 1 _x dy

21、y (x故此方程的通解為2(3xy2 2x3)dx解:y)2lnx3(2x222xy y d (y)(x y)2 dF1x2y (x y)2y2 2xy(x y)2y y2)dy12xy， 12xy . yx則此方程為恰當(dāng)方程。得：x423x y2y3Csinx-占 cos y+1)dx+(1cosyyxxxM=1sinxy2cos丄+1N_yyxxM1sinxxx12"3cos2yyyyyxN 1sinxxx12 3 ycos2xyyyx湊微分,6xy 2dx 4x3dx 6x2 ydy5.(1解:xcoscosMNyx所以,x2 2xy y23y2dyx2ycossiny)2因?yàn)?/p>

22、sinyxdx-y-+Jyrsinx x1 +生 sinx故原方程為恰當(dāng)方程屯 cos y dx+dx+ - cosx xxydy-xsin)dy=0d(-cos )+d (sin )+dx+d(- )=0 yxyx .2 sinyx1-dy+三 dy=0yy所以，d(sin -cos - +x -丄)=0x y y故所求的解為sin -cos +x -丄二C x y y求下列方程的解：2 26. 2x(y ex -1)dx+ ex dy=0解：衛(wèi)=2x ex2 , =2xex2yx所以，=，故原方程為恰當(dāng)方程y x2 2又 2xy ex dx-2xdx+ ex dy=02所以，d(y ex

23、-x 2 )=02故所求的解為y ex -x 2 =C7. (e x+3y2 )dx+2xydy=0解：exdx+3y2dx+2xydy=0exx2 dx+3x2 y2 dx+2x3 ydy=0所以，d e x( x 2-2x+2)+d( x 3y2)=0即 d e x( x 2-2x+2)+ x 3y2=0故方程的解為ex( x 2-2x+2)+ x 3y2=C8. 2xydx+( x 2+1)dy=0解：2xydx+ x 2 dy+dy=0d( x 2 y)+dy=0即 d(x 2 y+y)=0故方程的解為x2y+y=C229、 ydx xdy x y dx解：兩邊同除以x2y2 得 yd

24、xxdy dxxy即，d arctgxdxy故方程的通解為argtg -x cy10、ydx x y3 dy 0解：方程可化為：ydx 2xdy ydyy即，d - ydyy故方程的通解為：-y2 c即：2x y y2 c y 2同時，y=0也是方程的解。11、y 1 xy dx xdy 0解：方程可化為： ydx xdy 1 xy dxd xy1 xy dx 即：也匕 dx1 xy故方程的通解為：In 1 xy x c12、y x2 dx xdy 0解：方程可化為：沁嚴(yán)dxx故方程的通解為：-c x即：y x c xx13、x 2y dx xdy 0解：這里M x 2y, N xM N x

25、1方程有積分因子e?x xN兩邊乘以 得：方程x x 2y dx x2dy 0是恰當(dāng)方程故方程的通解為：x2 2xydxx2 一 x2 2xy dx dy cy即：x3 3x2 y c14、xcos xy sin xy dx x cos xy dy 0解：這里 Mxcos x y sinx y , Nxcos xyM N因?yàn)閏os x yxsin x yy x故方程的通解為：xcosx y sin x y dxx cos x yxcos xsin x y dx dy c即:xsin x y c15、ycosx xsin x dxysin x xcosx dy o解：這里Mycosx xsin

26、x, Ny sin x xcosxM N x 1方程有積分因子：edy ey 兩邊乘以 得:M方程 ey ycosx xsin x dx ey ysinx xcosx dy0為恰當(dāng)方程故通解為ey ycosx xsinx dxN 一 ey ycosx xsinxdxdy c y即： ey si nxy 1ey cosx c16、x 4ydx 2xdy y3 3ydx 5xdy 0解：兩邊同乘以x2y得:故方程的通解為：x4y2 x3y5 c17、試導(dǎo)出方程 M(X,Y)dxN(X,Y)dy0具有形為(xy)和(x y)的積分因子的充要條件解：若方程具有 (x y)為積分因子,(M) ( N)(

27、x y)是連續(xù)可導(dǎo))yx令z xydzddxdz xdz，ydzd. d/ NMMN -(-)，dzdzxyd/ NM、(MN)()dzxyNMdx ydz(xM Ny)dz卄是x y的函數(shù),方程有積分因子(x y)的充要條件是:此時，積分因子為 (x y) e .(2)令 z x ydzdx dzyxdzydzdxdzydzN MZHdz 此時的積分因子為 (xy) e Mx Ny0為線性方程的充要條件是它有僅依賴于18.設(shè)f (x, y)及丄連續(xù)，試證方程dy f (x, y)dx yx的積分因子.證:必要性若該方程為線性方程，則有魚 P(x)y Q(x)dx此方程有積分因子(x)

28、69; pex, (x)只與x有關(guān).充分性若該方程有只與x有關(guān)的積分因子(x).則(x)dy (x) f (x, y)dx 0為恰當(dāng)方程，從而(X)f(x, y) d (x) fdx(x)(x)r(x)c(x)f j Q(x)(x)y Q(x) P(x)y Q(x).其中P(x) .于是方程可化為dy (P(x)y Q(x)dx 0 (x)即方程為一階線性方程.，試證方程 yf(xy)dx+xg(xy)dy=020.設(shè)函數(shù)f(u) , g(u)連續(xù)、可微且f(u)兩邊同乘以u得:有積分因子 u=(xyf(xy)-g(xy)1證：在方程 yf(xy)dx+xg(xy)dy=0uyf(xy)dx+

29、uxg(xy)dy=0貝y _4疔=uf+uy f +yf = yy y xy(fy -+ y -yf g) xy( f g)fgx(f g) xy xy - yyx y (f g)yf y xy(fgy y =g)2g xy xy yt xy g xy y x(f g)2證明：因?yàn)?, 2是方程M x, y dx N x,y dy 0的積分因子f -g=xyxy(fg)2x g+xxg而-二ug+ux- +xg=gxxxxy(fg) xy(f g)xf g xy xg f xy fgf g=xy xxy x =xyxyxy(fg)2(fg)2故 uyf :=uxg，所以u是方程得一個積分因子

30、yxM (x,y ) N(x,y)滿足關(guān)系y( f g) xyxy x x (f g)221 .假設(shè)方程()中得函數(shù)Nf(x)-Mg(y),其中 f(x),g(y)分別為x和y得連續(xù)函數(shù)，試證方程()有積分因子 u=exp( f (x)dx + g(y)dy)證明：M(x,y)dx+N(x,y)dy=0件是 x, yU ,其中t是t的可微函數(shù)。Mu MMuM u證明：若u ,則yyyyMuM u NyNu NN-uN u M又xxxMMuNu Myy即為Mx, y dx Nx, y dy0的一個積分因子。使得dUMdx Ndy .試證x, y 也是方程 M x, y dx N x, y dy即

31、證 JuM) JuN)u_M+M=u_N+N上yxy y x xu( -)=N- M u( - )=Nef(x)y x x yy xf (x)dx g(y)dyf (x)dx g (y)dy-M eg(y) u( -)=e(Nf(x)-Mg(y)y x由已知條件上式恒成立，故原命題得證。22、求出伯努利方程的積分因子解：已知伯努利方程為:dy P x y Q x yn, y o; dx兩邊同乘以y n，令z y n，dzdx1 n Pxz 1 n Q x ,線性方程有積分因子:P x dxn 1 P x dxe，故原方程的積分因子為:23、設(shè) x, yP x dxn 1 P x dxe ，是方

32、程M x, y dx證畢!N x, y dy 0的積分因子,從而求得可微函數(shù)U x,y，0的積分因子的充要條24、設(shè)1 x, y , 2 x, y是方程Mx,ydx N x, y dy 0的兩個積分因子，且v 2常數(shù)，求證 / 2 c （任意常數(shù)）是方程 M x, y dx N x, y dy 0的通解。所以 jMdxi Ndy oi 1,2為恰當(dāng)方程N(yùn) ， i 1,2xF面只需證的全微分沿方程恒為零2事實(shí)上:即當(dāng)c時,2求解下列方程1、xy 31c是方程的解。證畢!習(xí)題，則xt3t2，從而ypdxt3 tt23t2 dt c -1222t于是求得方程參數(shù)形式得通解為2、y3x3 1t3 t2

33、3t222t解：令dydxp tx，則tx3x3txt3 1tt2從而ypdx ct2?dt22t5 it252t2于是求得方程參數(shù)形式得通解為2 -t51 -t 23、y解：令史 y p，則 yp2ep，dx52從而 x6、y2 yd p2ep cP= 2ep peP dp c1 p ep c ,于是求得方程參數(shù)形式的通解為1 p ep c2 py ea 2 sin2c2aco$于是求得方程參數(shù)形式的通解為于是求得方程參數(shù)形式的通解為xsin t11ytsin 2t c244、y 1 y22a,a為常數(shù)解：令魚dxy tg，則y2a2a2 21 tgsec從而x1dy p1ctg-d 2a

34、cosca 2sin 2c，另外,y=0也是方程的解.x2 a cos2 ,5、x2y2 1解：令魚 y p cost，則 x . 1 cos21 sint， dx從而 y costd si nt c1 1111 sin 2t c，24解：令2yt，yt所以dxdy2 yt2 dt從而x丄 dt c 1 C , t2t于是求得方程參數(shù)形式的通解為因此方程的通解為y習(xí)題2. ydx xdy x2 ydy解：兩邊同除以x2，得:解：兩邊同除以令y ux則dydxdux一dx即dx dxdux -dxu1、u得到11 n y 2，20也是方程的解。21n yxy 1 ydx xdy 0解:ydx x

35、dyxydx 0得到d -1 2 xy2即卷x2c另外ycy 26.2 y 3 x另外y 0也是方程的解。12.解：令yx 則：巴 dx 即x竺 dx du1得到另外10.解:而dx1uxdx2 xdux -dx20也是方程的解。1 dx令史dx1 P2P2dydxp故兩邊積分得到因此原方程的解為1 P2Py 1 p2ln P c。ey理dxxe解:dydxxxedudxdydx即型 xdxue故方程的解為14.直 x y 1 dx8.巴 dx解：令x y 1 u則 1dx dx求得：In u 1 x c那么巴理1 u dx dx故方程的解為In x y 1 x c或可寫為xx ce16 .

36、x 1 屯 1 2e y dx解：令e y uIn u即方程的解為2x c18. 4x2y2dx2x3ydy解：將方程變形后得同除以x2得：x2主dy3 x2y令z x3則dzdy3z2y即原方程的解為x33cy24x 0解：方程可化為2y(dY)x(dV)2 4x,y dx dx4x2(f 勺(1p(p2 4)dxxp -, ycxp2 4x x 尹 筠乎時p dx 2 x(p22冷4xc2x4) dp2x2c220.y2 1c(乎)2dx空,兩邊對x求導(dǎo)得p ppx dp2 dx2x dpp2 dx)dxp0 p24-,2yc(f4或pdx xdp 0,當(dāng) p20,(p34 p)dx4.x

37、p2 4x)dp2x,當(dāng) pdxxdp解：令業(yè)p dxdx2 ccosxsin,則 y212 . sec d(sin )21,y 1 ,dxcosdypdy sin1 sin2sin cosdcosc tgc 所以方程的解為y(x c)21,另外由p21也是解x21 .(1 ey)dx ey (1 )dyy解：令-z則xyz,空dyzze z z e1dxdyy(z 1)ezy竺方程為(1 dy)dx (z1)ezdy,In z2x ,22. -3 dxy解:2xydx叢2x,y2xy 3dx23.ydx解：ydxIn y, y(z2 2y 3x dy y(y2(y 2(1 xxdy所以方程的

38、解為24. y x(x y解：方程可化為25.dxdye衣解：令業(yè)dx所以方程的解為ez)c,y(- yzz e1 ezxe')，dz 1z-dz edyyxc所以方程的解為x yey23x )dyM6x,3x2)d 廠)dy yy2)dy(1x2xy20,d篤y08x2xyd -y所以方程有積分因子 ey0所以方程的解為2 x-3y-dy y3cy)dy,兩邊同除以y2得ydx xdy2y彳 21 y x dy,d- y y2yyyxdy ( ydx xdyy。即(x 1)y(y c),另外y 0也是解。x2xxdx, darctg yxdx所以方程的解為x arctgy2xc.2t

39、,xpdx 得 yt2t(1 et)dtcettt.te t e c解：令exy u，則yIn u25.dxdye不x 0解：令et 由 dy pdx得 yt(1 et)dtc -ettetc2所以方程的解為：xy t(1 et)dtc 丄 ett226.(2xy(x2y2)dy解:衛(wèi)yd3exx2y2xx 3de yxy20所以方程的解為：3exx2y1所以方程有積分因子ex方程兩邊同乘ex得27 dy 2x 3y 4dx 4x 6y 5兩邊積分得du2 3眇2 3 u 4，則dxdx2u 5du7u22dx2u5917 ,1二一dx，14l221 247解：令 u 2x 3y，9ln 2x

40、 3y2272u 57u 22dx，14(3y -x) c2即為方程的通解。另外，7u 22 0，即2x 3y 22 0也是方程的解。 728.y 2x2y( y2 x2)dx解：兩邊同除以x，方程可化為：令1 u，則x即兩邊積分得即2x3(u3 u)，dxAcex4cy e為方程的解。29.理上exy dx xx那么即兩邊積分得即為方程的解。dydxx du , In u u dx2 ? x1 duInu In u2 2 uux dxxxdu2xdxu12_ xy亠xec2332xy3 2x)dx (3x2y2 6y5 3y2)dy 0dy 4x3 2xy3 2x dx 3x2y2 6y5

41、3y2兩邊積分得4 x2 6x y3y23x y c即4 x6x c(x2i)(y3 1)為方程的解。31. y2(xdx ydy)x(ydx xdy)0解：方程可化為y2xdxy3dyxydxx dy 0解:方程可化為(4x3兩邊同除以 y2，得xdx ydx x(ydx ? xdy) 。y即d (x2 y2)02dy令 x cos ， y sin ，貝卩即,d sind 2 sin-0兩邊積分得1csin將1代入得，csinyy即2 2(y 1)2 2c y故z22、(2八 2(x y )(y1)2 2c y32.dydx1 xy31 x3y解：方程可化為兩邊同加上1,得dy 1 xy3dx 1 x3yd(x y) xy(x2 y2)dx1 x3y(*)再由d(xy) xdy ydx，可知d(xy)dxxdydx(x y)(x2y2 1)1x3y(*將(