計算不定積分應(yīng)該注意幾個問題

1、菏澤學(xué)院本科生畢業(yè)論文目 錄摘要1關(guān)鍵詞1Abstract1Keywords1引言11 基本概念、定理及公式22 直接積分法易犯錯誤舉例剖析32.1 運(yùn)算中漏掉“”、“”32.2 自創(chuàng)運(yùn)算法則致誤32.3 對公式 的錯誤運(yùn)用42.4 對公式 的錯誤運(yùn)用43 第一換元積分法應(yīng)注意問題53.1 牢記湊微分公式53.2 注意解的不同表示方法64 第二換元積分法中易犯錯誤剖析65 分部積分法應(yīng)注意事項86 計算某類特殊積分注意事項96.1 有理函數(shù)的不定積分96.2 分段函數(shù)的不定積分10參考文獻(xiàn)12致謝132本科生畢業(yè)論文計算不定積分應(yīng)該注意的幾個問題摘要 不定積分是一個非?；厩矣质种匾母拍?，

2、我們應(yīng)當(dāng)靈活地使用各種技巧和被積函數(shù)的類型和特點(diǎn)來計算不定積分，由此積分法成為數(shù)學(xué)教學(xué)中富有探索性的一個領(lǐng)域.文章歸納整理了我們在使用各種方法計算不定積分時容易出現(xiàn)的問題，并對這些問題進(jìn)行了分析和探討.例如：直接積分法、第一換元積分法、第二換元積分法、分部積分法以及特殊積分法.關(guān)鍵詞 不定積分 直接積分法 換元積分法 分部積分法 特殊積分法 Indefinite Integral Calculation Should Be Noted That Several IssuesAbstract Indefinite integral is a concept which is basic and

3、important,we shoud use various techniques flexibily and the type of product function and features to calculate the indefinite integral, Integration becomes into an area of mathematics teaching which is rich in exploration.This paper collates and analyzes the error-prone issues which we use various m

4、ethods to calculate the indefinite integral, these issues are analyzed and discussed.such as: direct integration method, integration by first substitution, integration by second substitution,division integral method,and special integral method. Key words Indefinite integral Direct integral method In

5、tegration by substitution Division integral method Special integral method引言 不定積分是求導(dǎo)的逆運(yùn)算，對不定積分的理解和掌握不僅涉及到微積分本身的學(xué)習(xí)，而且影響到學(xué)習(xí)線積分、面積分及重積分等后繼內(nèi)容學(xué)習(xí)，我們在初學(xué)這些內(nèi)容時容易出現(xiàn)一些普遍的錯誤，下面我們將對這些錯誤進(jìn)行剖析，以便更好的掌握這部分知識.1 基本概念、定理及公式定義1 設(shè)函數(shù)與在區(qū)間上有定義.若則稱為在區(qū)間上的一個原函數(shù).定義2 函數(shù)在區(qū)間上的全體原函數(shù)稱為在上的不定積分,記作其中稱為積分號,為被積函數(shù),為被積表達(dá)式,為積分變量. 注意 函數(shù)不定積分是一

6、個函數(shù)族,求函數(shù)的不定積分或原函數(shù)時,注意被積函數(shù)的定義域是很重要的因素,要引起足夠的重視.定理1 若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則在上存在原函數(shù)，即.定理2 設(shè)是在區(qū)間上的一個原函數(shù)，則 也是在上的原函數(shù)，其中為任意常量函數(shù)； 在上的任意兩個原函數(shù)之間，只可能相差一個常數(shù).定理3 若函數(shù)與在區(qū)間上都存在原函數(shù)，、為兩個任意常數(shù)，則上也存在原函數(shù)，且 常用基本積分公式:. . .(5) . . . . 2 直接積分法易犯錯誤舉例剖析直接積分法是根據(jù)基本積分公式利用不定積分基本運(yùn)算法則或通過簡單代數(shù)、三角恒等變形后再利用基本積分公式的一種方法，這是一種最基本最簡單最直接積分方法，這也是我們初學(xué)不定積分應(yīng)該

7、掌握的最基本的計算方法，下面我們將對一些經(jīng)常出現(xiàn)錯誤的地方具體舉例剖析一下.2.1 運(yùn)算中漏掉“”、“”例1 求.錯解 .例2 求.錯解 .剖析 發(fā)生這類錯誤，有三種可能的情形：1）不定積分概念不清楚以及對“”意義不清楚；2）對“”出現(xiàn)的意義不明確，這應(yīng)該指的是函數(shù)的所有原函數(shù)才對并不單獨(dú)指某一個原函數(shù)；3）粗心大意.為減少這類錯誤的發(fā)生，我們再學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時，應(yīng)該注意強(qiáng)調(diào)函數(shù)的不定積分指的是該函數(shù)的所有原函數(shù)以及利用一切可能的機(jī)會強(qiáng)調(diào)符號“”的意義及有關(guān)的運(yùn)算法則，通過一定量的訓(xùn)練讓我們能夠正確的進(jìn)行一些基礎(chǔ)運(yùn)算，為后邊的內(nèi)容打下一個堅實(shí)的基礎(chǔ).2.2 自創(chuàng)運(yùn)算法則致誤例3 求 .錯解 .

8、例4 求.錯解 .剖析 發(fā)生這類錯誤主要是我們根據(jù)思維定勢自創(chuàng)運(yùn)算法則造成，我們受之前的極限四則運(yùn)算法則及導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則的影響，在解題過程中常常不自覺地將這一思維定勢遷移到不定積分中認(rèn)為不定積分也具有四則運(yùn)算法則，且很容易自創(chuàng)如下錯誤法則 （1）； （2）.我們在解題過程中錯誤的運(yùn)用這兩個運(yùn)算法則導(dǎo)致很多不該犯的錯誤就是沒有搞清楚實(shí)際上不定積分有加減運(yùn)算法則但沒有乘法運(yùn)算法則也沒有除法運(yùn)算法則，因此我們在計算不定積分時首先應(yīng)熟記運(yùn)算法則，不要無中生有以致不該出現(xiàn)的誤解.2.3 對公式 的錯誤運(yùn)用例5 求.錯解 .例6 求.錯解 .剖析 這種錯誤主要是源于對公式的特征識別有誤，要想真正掌握基本

9、積分公式，我們再聽積分基本公式的推導(dǎo)時要辨別各種公式的模式特點(diǎn)，在做例題時，仔細(xì)分析題目，有意識的培養(yǎng)自己識別所解問題是否符合公式模式，對不符合公式模式的尋找其他的解題途徑，從理論上和心理上為正確運(yùn)用公式奠定基礎(chǔ).2.4 對公式 的錯誤運(yùn)用例7 求 .錯解 .例8 求.錯解 由 .剖析 這類錯誤主要是對冪函數(shù)積分公式的模式識別有誤，從題目形式上來看，第一個例題不能直接用冪函數(shù)積分公式，只有當(dāng)被積表達(dá)式化為形式時才能用，但第二個例題正好符合公式，錯誤主要是沒有真正掌握換元思想，下面我們將會介紹換元和公式的結(jié)合. 總結(jié) 以上主要列舉了用直接積分法計算不定積分時我們經(jīng)常出現(xiàn)錯誤的地方，其實(shí)類似這類錯

10、誤還有很多，如：像這類系數(shù)問題、符號問題也是不定積分中常見的錯誤，問題出在函數(shù)的微分運(yùn)算上，在這里就不再一一列舉，以上所列舉的幾種類型主要是提醒我們在初學(xué)計算不定積分時，必須熟悉基本積分公式、基本運(yùn)算性質(zhì)、基本積分方法、一定的解題策略，并能對被積函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)或三角的恒等變形，或?qū)Ρ环e表達(dá)式進(jìn)行湊微分、變量置換等變形后化成能用公式直接代入的形式，因此在初學(xué)計算不定積分時要細(xì)心認(rèn)真，掌握最基本的為下面計算更加復(fù)雜的積分奠定一個良好的基礎(chǔ).3 第一換元積分法應(yīng)注意問題第一換元積分法 若函數(shù)，且，有，則函數(shù)存在原函數(shù)，即 第一換元積分法即如何湊成微分形式，然后利用基本積分公式，它是不定積分的基本

11、方法.但是有些湊微分法需要一定的方法技巧，而且往往要多次嘗試，我們初學(xué)者只有多看多做擴(kuò)寬視野多積累經(jīng)驗才能熟能生巧，下面將對根據(jù)自己所掌握的對利用第一換元積分法計算不定積分需要注意的問題歸納整理，希望對學(xué)習(xí)不定積分有一定的幫助.3.1 牢記湊微分公式在用第一換元積分法求不定積分時，要牢記常用的湊微分公式，只有這樣才能對熟練運(yùn)用第一類換元積分法起到事半功倍的效果.例9 求.解 原式=.分析 由湊微分公式可以看出中間變量可以確定為，即可求解.例10 求.解 .分析 因為，可知中間變量為，其解可根據(jù)上述公式求出.從以上可以看出，熟練掌握湊微分公式，對靈活運(yùn)用第一類換元積分法有較大的作用，但是我們在計

12、算過程中一定要注意保證湊微分過程的準(zhǔn)確性，否則將會帶來很大的麻煩，易導(dǎo)致最后的結(jié)果錯誤.3.2 注意解的不同表示方法我們在用第一類換元積分法求解時，常常遇到方法正確而解有所不同的地方，這時不要懷疑方法的正確性，這主要是因為由于中間變量選定的差異 ，可能造成解的形式有差異，但是這些解經(jīng)過一定的變形后可化成相同形式.例11 求.解法一 原式=.解法二 原式= = = . 解法三 原式= = =.從以上可知三種解法，三個中間變量，得到三種不同形式的解，但最終都可化為一種形式的解，所以再遇到與別人算的解不一樣時不要盲目的認(rèn)為自己的解不對，要仔細(xì)的檢查自己選的中間變量是否正確.總結(jié) 以上主要列舉了用第一

13、換元積分法計算不定積分時最需要注意的兩個問題，還有一些細(xì)節(jié)方面的問題就不再舉例了，參考直接積分法就可以了，此類積分法主要就是確定中間變量，一個積分有可能有很多不同的中間變量，我們一定要注意觀察，用適合自己的方法解決此類問題.4 第二換元積分法中易犯錯誤剖析第二換元積分法 設(shè)函數(shù)，且，函數(shù)在，則函數(shù)在存在原函數(shù)，且 第二類換元積分法一般是先做變量代換，然后再求積分，一共分為四個步驟來完成，即換元、整理、積分、回代，其中第一步是關(guān)鍵步驟，下面講述的一類錯誤主要就是有關(guān)換元過程中忽略一些條件所引起的.例12 求 .錯解 令，則原式可化為 原式= 剖析 從題目中我們可以看出原來被積函數(shù)的定義域是，經(jīng)過

14、變量代換后，對應(yīng)定義域為，因此，但是上述解法卻直接把絕對值去了，這就相當(dāng)于僅考慮了被積函數(shù)在的定義域，從而導(dǎo)致只計算了一半把另一半忽略了.例13 求.錯解 =(令) . 剖析 根據(jù)在化簡過程可以確定被積函數(shù)的定義域 ，因此在去絕對值過程中，只考慮了被積函數(shù)在第一象限而忽略了在第二象限，導(dǎo)致題目漏解.總結(jié) 通過以上兩個例題的分析，指出了用第二換元積分法計算不定積分時最容易出現(xiàn)錯誤的地方，即就是在換元過程中不考慮定義域問題而導(dǎo)致漏解情況，這應(yīng)該引起我們的重視，因此在遇到類似情況時首先就算一下被積函數(shù)的定義域，然后在進(jìn)行下面過程，這樣就很容易避免類似錯誤發(fā)生.5 分部積分法應(yīng)注意事項分部積分法 若與

15、可導(dǎo)，不定積分存在，則也存在，并有 分部積分法是積分學(xué)的一個寶貴方法，他可以解決某些用換元積分法不能計算的積分，該方法主要是根據(jù)兩個函數(shù)乘積的微分法則建立起來的，但是有時需要連續(xù)使用幾次分部積分才能得到結(jié)果，在計算過程中一定得仔細(xì)認(rèn)真.例14 求.錯解 原式= 等式兩邊消去，得 1=0. 剖析 此題錯誤主要是錯在最后一步，不定積分是原函數(shù)加上一個任意常數(shù),因此不定積分不是一個確定的函數(shù)，不可在等式兩邊消去不定積分，若是按上面做法是求不出結(jié)果的，而且消去不定積分得“0=1”更是錯誤的. 注意 有時用分部積分法計算不定積分幾次分部后，又出現(xiàn)原積分，可移項求解，此時要求：（1）移項后的相同不定積分系

16、數(shù)可合并，但不可為零；（2）移項后等式另一邊要加上“”.例15 求.解 則 從而 .6 計算某類特殊積分注意事項計算不定積分除了以上幾個比較常用的方法外，我們在計算過程中可能會遇到更復(fù)雜的不定積分如：有理函數(shù)的不定積分、分段函數(shù)的不定積分等，這時我們會發(fā)現(xiàn)再用平常的積分方法根本解決不了問題，但是不管再復(fù)雜，我們還是可以按照一定的步驟計算出來，計算這類特殊積分必須熟記它所代表的類型以及所用的解題方法，下面將列舉幾個例子來分析一下.6.1 有理函數(shù)的不定積分有理函數(shù) 由兩個多項式函數(shù)的商所表示的函數(shù)，其一般形式為 ，其中,為非負(fù)整數(shù)，都是常數(shù)，且. 根據(jù)代數(shù)知識，有理真分式必定可以表示成若干個部分

17、分式之和，因而問題歸結(jié)為求那些部分分式的不定積分，因而求此類積分分為以下步驟1）把被積函數(shù)作部分分式分解；2）把所求積分化為部分分式不定積分；3）逐一求每一個分式積分，然后合并起來.下面我們將舉例具體介紹此類不定積分的解題步驟.例16 求.解 第一步：設(shè)有 解得 =4,=-1,=2, 第二步： 第三步：經(jīng)過前兩步做好后可以直接計算得出結(jié)果 . 注意 上述計算不定積分的方法非常通用，但是有時候這種分解會很繁瑣的，而且必須是得知道分母根時才能進(jìn)行這種分解，所以在遇到題目時要靈活，不能死套此做法，要和前面幾種方法結(jié)合起來才是最好的.例17 求解 =6.2 分段函數(shù)的不定積分求分段函數(shù)的不定積分時，應(yīng)

18、先求函數(shù)在各段對應(yīng)區(qū)間內(nèi)的不定積分，然后考查被積函數(shù)在各分段點(diǎn)處的連續(xù)性.例18 令求.錯解 剖析 由于分段函數(shù)在分段點(diǎn)處連續(xù)的原函數(shù)在存在，注意到對每一組確定的,顯然原函數(shù)在連續(xù)，故 ,所以 注意 1）若被積函數(shù)在分段點(diǎn)上連續(xù)，則該分界點(diǎn)相鄰兩分段不定積分中的相關(guān)，根據(jù)原函數(shù)在該點(diǎn)的連續(xù)性，確定出的關(guān)系；2）若被積函數(shù)在分段點(diǎn)上為第一類間斷點(diǎn)，則在包含該點(diǎn)的某區(qū)域內(nèi)，不定積分不存在.故該分點(diǎn)相鄰兩分段內(nèi)求出的不定積分中的是無關(guān)的.例19 令求解 由于為第一類間斷點(diǎn)，則在該點(diǎn)附近原函數(shù)不存在，但為連續(xù)點(diǎn)，從而在不存在原函數(shù)，不定積分只能在與得到 其中與相互獨(dú)立，與相關(guān)，從而，化簡得，則： 以上我們一共介紹了五種方法在計算不定積分過程中需注意的幾個問題，需要指出的是，通常所說的“求不定積分”，是指用初等函數(shù)的形式把它表示出來.在這個意義下，但并不是任何初等函數(shù)的不定積分都能求出來，例如: 等等.最后順便指出我們可以利用現(xiàn)成的積分表來計算有些不定積分，但是作為初學(xué)者，我們首先應(yīng)掌握各種基本的積分方法.參考文獻(xiàn)1 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(上冊)M.3版.北京：高等教育出版社，2001: 176-181.2 唐小丹.不定積分計算中幾類常見錯誤