第4章-功和能習(xí)題解答Word版

1、第4章 功和能 4-1 如圖，質(zhì)量為的小球由長為的輕質(zhì)細(xì)繩懸掛在天花板上點，求小球沿圓弧從最低位置a運動到細(xì)繩與豎直方向夾角為的過程中重力所做的功。（不考慮空氣阻力）。解 方法一，建立如解用圖1所示的直角坐標(biāo)系，重力,位移 細(xì)繩與豎直方向夾角為 *方法二，如解用圖2 ，設(shè)質(zhì)點位置與豎直方向夾角為，重力與位移的夾角為（）式中是位移所對應(yīng)的圓弧，細(xì)繩與豎直方向夾角為習(xí)題4-1圖習(xí)題4-1解用圖1習(xí)題4-1解用圖24-2 如圖，一根長為，質(zhì)量為的勻質(zhì)木桿，其一端掛在一個光滑的水平軸上而靜止在豎直位置?，F(xiàn)將細(xì)桿在拉力的作用下，緩慢地從豎直位置拉到木桿與豎直方向成角的位置。求在此過程中重力矩所作的功（不

2、考慮空氣阻力）。解 如圖，設(shè)剛體與豎直方向夾角為，此時重力矩 重力矩做的功 習(xí)題4-2圖習(xí)題4-2解用圖4-3 質(zhì)量為的質(zhì)點在變力的作用下沿空間曲線運動，其位矢。求力的功率。解 4-4 質(zhì)量的質(zhì)點在力作用下沿軸運動，其運動方程為，求力在最初2.0秒內(nèi)所做的功。解 方法一 力在最初2.0秒內(nèi)所做的功方法二 ，應(yīng)用動能定理4-5 質(zhì)量為的物體沿軸無摩擦地運動，設(shè)時，物體位于原點，速率為零。如果物體在沿著軸方向的作用力的作用下運動了3米，計算物體處于3米處的速度和加速度各為多少？解 力在3米內(nèi)做的功 根據(jù)質(zhì)點的動能定理得 質(zhì)點處于3米處的力，加速度 4-6 質(zhì)量為的物體在阻尼介質(zhì)中以低速作直線運動時

3、，阻力近似為速度的線性函數(shù)，式中是正常數(shù)。試證明物體以初速度開始運動到靜止的過程中阻力所做的功正好等于物體損失的動能。證 物體開始時速度為后來靜止，則在此過程中損失的動能 阻尼力所做的功 由牛頓第二定律得 或 代入功的表達(dá)式積分得 4-7 質(zhì)量分布均勻的柔軟繩子，一部分置于光滑水平桌面，另一部分子沿桌邊下垂，繩全長為。開始時下垂部分為，繩初速度為零，試用動能定理求整個繩全部離開桌面時的速度（設(shè)繩不伸長）。解 以整個繩子為研究對象，下垂部分為時，繩子所受合力為。若在此力作用下，繩子下移了，則合力做的元功 整個繩全部離開桌面時合力所做的功 由動能定理可得 4-8 鐵錘將一鐵釘擊入木板，設(shè)木板對鐵釘

4、的阻力與鐵釘進(jìn)入木板內(nèi)的深度成正比。在鐵錘擊第一次時，能將小釘擊入木板內(nèi)，問擊第二次時能擊入多深？假定鐵錘兩次打擊時的速度相同。解 由于鐵錘質(zhì)量遠(yuǎn)大于釘?shù)馁|(zhì)量，因此可以認(rèn)為擊釘后鐵錘和釘具有相同的速度，即鐵錘打擊鐵釘時的速度。鐵錘能將小釘擊入木板內(nèi)，是由于鐵錘的動能全部轉(zhuǎn)化為鐵釘克服阻力所作的功，所以可將鐵錘和小釘視作整體，作為研究對象。阻力對它所作的功即為其動能的變化。設(shè)木板對鐵釘?shù)淖枇?，第一次擊入深度為，則阻力的功 設(shè)第二次打擊釘后深度達(dá)，則阻力所做的功鐵錘兩次打擊時的速度相同，解得 習(xí)題4-9圖第二次擊入深度為 4-9 質(zhì)量為的小球系在繩子的一端，繩穿過水平面上一小孔，使小球限制在一光

5、滑水平面上運動，先使小球以速度繞小孔做半徑為的圓周運動，然后緩慢向下拉繩使圓周半徑減小為，求力所做的功。解 小球在運動過程中，除受重力、支持力這一對平衡力外，還受繩子的拉力作用，拉力對小孔的力矩為零,滿足角動量守恒條件，設(shè)小球速度的大小變?yōu)?，則 或 根據(jù)動能定理得力所做的功習(xí)題4-10圖4-10 如圖，長為、質(zhì)量為的勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置，其下端與一固定鉸鏈相連并繞其無摩擦地轉(zhuǎn)動，此桿因受到微小擾動在重力作用下由靜止開始繞點轉(zhuǎn)動。以點為重力勢能零點，當(dāng)角為何值時剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能等于其重力勢能。解 經(jīng)分析知，剛體在繞鉸鏈點定軸轉(zhuǎn)動的過程中，只有重力做功，滿足機(jī)械能守恒的條件,取點為勢能零點。剛體處于

6、豎直位置，處在如圖所示位置時的角速度為， 剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能等于重力勢能有，即解得 習(xí)題4-11圖4-11 長為、質(zhì)量為的勻質(zhì)木桿，一端掛在光滑的水平軸上，開始時靜止于豎直位置，現(xiàn)有一粒質(zhì)量為的子彈以水平速度從桿的中點穿過，穿出速度為，如圖所示，求桿的最大擺角。解 選子彈和木桿組成的系統(tǒng)為研究對象，子彈和木桿相互作用過程角動量守恒。開始時，系統(tǒng)相對于點的角動量設(shè)相互作用后，木桿轉(zhuǎn)動的角速度為，則系統(tǒng)的角動量 得到 解得 （1）木桿在擺動過程中(圖示位置),所受重力矩為，負(fù)號表示與轉(zhuǎn)動方向相反，所做的功應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理得 將式（1）代入上式，求得最大擺角 習(xí)題4-12圖4-12 如圖，

7、質(zhì)量為、長為、初始角速度為的勻質(zhì)細(xì)桿，可繞光滑垂直軸在粗糙的水平桌面內(nèi)定軸轉(zhuǎn)動，設(shè)細(xì)桿與水平桌面間的摩擦系數(shù)為，求細(xì)桿在停止轉(zhuǎn)動前所轉(zhuǎn)過的角度。解 取為正向，由習(xí)題3-12的結(jié)果知整個細(xì)桿所受的摩擦力矩為“”表示力矩使桿減速。根據(jù)剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理得 解得 習(xí)題4-13圖4-13 如圖，一半徑為、質(zhì)量為的勻質(zhì)圓盤，平放在粗糙的水平桌面上。設(shè)盤與桌面間的摩擦系數(shù)為，令圓盤最初以角速度繞通過中心且垂直盤面的軸旋轉(zhuǎn)，求圓盤在停止轉(zhuǎn)動前所轉(zhuǎn)過的角度。解 取為正向，由習(xí)題3-13的結(jié)果知整個圓盤所受的摩擦力矩為“”表示力矩使盤減速。根據(jù)剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理得解得 習(xí)題4-14圖4-14 質(zhì)量為、長

8、為的勻質(zhì)細(xì)桿，可繞光滑端點自由轉(zhuǎn)動，質(zhì)量為的小球和細(xì)桿均在摩擦系數(shù)為的水平面上。初速度為的小球與細(xì)桿另一端垂直相碰，設(shè)碰撞后小球彈回的速度為。求細(xì)桿從靜止開始轉(zhuǎn)動到轉(zhuǎn)動停止時所轉(zhuǎn)過的角度。解 取細(xì)桿逆時針轉(zhuǎn)動的角動量正方向，設(shè)碰撞后細(xì)桿獲得角速度為。由相碰的過程角動量守恒得 解得 由習(xí)題3-12的結(jié)果知整個細(xì)桿所受的摩擦力矩為“”表示力矩使桿減速。設(shè)細(xì)桿轉(zhuǎn)過的角度為，則剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理得 解得 4-15 質(zhì)點沿軸運動，勢能為，總能量為恒定不變。開始時質(zhì)點靜止于原點，試證明質(zhì)點到達(dá)坐標(biāo)處所經(jīng)歷的時間。證明 機(jī)械運動的總能量為，得 或 對上式分離變量后積分，并注意到時，則質(zhì)點到達(dá)坐標(biāo)處所經(jīng)歷

9、的時間為4-16 一雙原子分子的勢能函數(shù)為，式中為兩個原子間的距離。試證明：(1) 為分子勢能極小時的原子間距；(2)分子勢能的極小值為；(3) 當(dāng)時，原子間距為。證明 （1） 令，得 （2）將代入勢能函數(shù)，得分子勢能極小值 （3）解方程 ，得 4-17質(zhì)量為的地球衛(wèi)星，在地球上空高度為3倍于地球半徑的圓軌道上運動。試用衛(wèi)星的質(zhì)量、地球的半徑、萬有引力常量和地球的質(zhì)量來表示：(1) 衛(wèi)星的動能；(2) 衛(wèi)星的引力勢能；(3) 衛(wèi)星的總能量；（4）衛(wèi)星對地心角動量的大小。解 （1）萬有引力提供向心力，有，即，衛(wèi)星的動能（2）衛(wèi)星的勢能 （3）衛(wèi)星的總能量 （4）衛(wèi)星對地心角動量的大小 習(xí)題4-1

10、8圖4-18 如圖，發(fā)射一宇宙飛船去考察一質(zhì)量為、半徑為的行星，當(dāng)飛船靜止于空間且距行星為時，以速度發(fā)射一質(zhì)量為的儀器，要使儀器恰好掠著行星表面著陸，角應(yīng)是多少？著陸滑行初速度大小為多少？解 儀器處于行星的引力場中，儀器所受引力對行星中心的力矩為零，所以儀器對行星中心的角動動量守恒。又因為行星與儀器間的引力是保守力，所以行星與儀器組成的系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。于是，解得 4-19 試用機(jī)械能守恒定律重解習(xí)題4-7。解 選繩和地球為系統(tǒng)，系統(tǒng)無外力和非保守力作功，機(jī)械能守恒。選桌面為重力勢能零點，由機(jī)械能守恒定律，初態(tài)與末態(tài)機(jī)械能相等，有得 習(xí)題4-20圖習(xí)題4-20解用圖4-20如圖，勁度系數(shù)為的輕

11、彈簧水平放置，一端固定、另端系一質(zhì)量為的物體，物體與水平面間的摩擦系數(shù)為。開始時，彈簧處于原長，現(xiàn)以拉力將物體從平衡位置開始向右拉動，求彈簧的最大彈性勢能。解 分析物體受力知,物體受重力、支持力、拉力、摩擦力和彈簧彈性力。物體向右先作加速運動（），后作減速運動（），直至物體的速度為零，之后物體又將向左加速運動。當(dāng)物體向右運動速度為零時，彈簧伸長量最大，彈性勢能最大。方法一：質(zhì)點的動能定理 物體動能的變化 外力的功如下： 水平恒力F的功為、摩擦力的功、彈簧彈性力的功等于彈性勢能的增量 由動能定理得 解得 彈簧的彈性勢能 方法二：功能原理 起初物體和彈簧組成系統(tǒng)的機(jī)械能為零，即，后來系統(tǒng)的機(jī)械能為 外力的功如下： 水平恒力F的功為、摩擦力的功由功能原理得 可得與方法（1）同樣結(jié)果。習(xí)題4-21圖4-21 如圖，滑輪轉(zhuǎn)動慣量為，半徑為,物體質(zhì)量為，由繩與勁度系數(shù)的彈簧相連，若繩與滑輪間無相對滑動，滑輪軸上的摩擦忽略不計，求：（1）當(dāng)繩拉直，彈簧無伸長時，使物體由靜止而下落的最大距離；（2）物體的最大速率。（