圓錐曲線的知識(shí)點(diǎn)歸納與解題方法技巧

1、圓錐曲線解題方法技巧第一、知識(shí)儲(chǔ)備:1. 直線方程的形式(1)直線方程的形式有五件:點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、斜截式、截距式、一般式。(2 )與直線相關(guān)的重要內(nèi)容傾斜角與斜率k tan0,)k上X2Xi點(diǎn)P(x,y)到直線AxBy0的距離Axo By。C.A2_B2L ： y夾角公式：直線12: yk1xk2xb1b2夾角為則tan(3 )弦長公式直線ykx b上兩點(diǎn)A(Xi,yJ, B(X2,y2)間的距離1(X2X1)2(y2 %)21 k21 . _I 1ABJ1 6y1y2XiX23.(1 k2)(xi X2)2 4x1X2(4)兩條直線的位置關(guān)系11 : y k,x b.(I)1l2: y k

2、2x b2 l1 l2kik2=-1 l1 /I2 k1k2且b1b2(n)Zx B1y C1 012: Ax Dy C2 0 i1 i2a a2 b1b2 0壬 (A2B2C2AA B2 - A2 B =0且 AC 2 - A?Ci 0 或A兩平行線距離公式li: ykx bi距離d1I2: ykx b2,i k2li : AxBy Ci 0距離d1 CiC2 1l2 : AxBy C20.A2 B22、圓錐1曲線方程及性質(zhì)i.圓錐曲線的兩定義:第一定義中要重視“括號(hào)”內(nèi)的限制條件：橢圓中，與兩個(gè)定點(diǎn)Fi , F2的距離的和等于常數(shù)2a，且此常數(shù)2a一定要大于FiF2，當(dāng)常數(shù)等于| F1F2

3、時(shí)，軌跡是線段Fi F?， 當(dāng)常數(shù)小于F1F2時(shí)，無軌跡；雙曲線中，與兩定點(diǎn) Fi，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于常 數(shù)2a，且此常數(shù)2a 一定要小于|FiF2 |，定義中的“絕對(duì)值”與2a 鬥卩2|，則軌跡不存在。 若去掉定義中的絕對(duì)值則軌跡僅表示雙曲線的一支。如方程y2 (X67y2 8表示的曲線是 (答：雙曲線的左支)2. 圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(標(biāo)準(zhǔn)方程是指中心(頂點(diǎn))在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸時(shí)的標(biāo)準(zhǔn) 位置的方程)：2 2 2 2(i) 橢圓：焦點(diǎn)在 x軸上時(shí) 務(wù) _yy i ( a b 0)，焦點(diǎn)在y軸上時(shí) 務(wù)=i a ba b22(a b 0)。方程Ax By C表示橢圓的充要條件是什么？(

4、 ABC工0，且A，B，C同號(hào)，A為3)。橢圓的方程的形式有幾種？(三種形式)2 2標(biāo)準(zhǔn)方程：i(m 0,n0且m n)m n距離式方程： (x c)2 y2.(x c)2 y2 2a參數(shù)方程： x a cos , y bsinx2 y2的最小值是 (答:若x, y R，且3x2 2y26，則x y的最大值是2 2 2 2（2 ）雙曲線：焦點(diǎn)在x軸上：篤 再 =1，焦點(diǎn)在y軸上：爲(wèi) 篤=1（ a 0,b 0 ）。a ba b方程Ax2 By2 C表示雙曲線的充要條件是什么？ （ ABC卻，且A , B異號(hào)）。如設(shè)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)0，焦點(diǎn)F!、F2在坐標(biāo)軸上，離心率e 2的雙曲線C過點(diǎn)P（4,折0

5、），則C的方程為（答: x2 y2 6）（3）拋物線：開口向右時(shí) y 2px（p 0），開口向左時(shí)y 2px（p 0），開口向 上時(shí) x 2py（p 0），開口 向下時(shí) x 2py（p 0）。3. 圓錐曲線焦點(diǎn)位置的判斷（首先化成標(biāo)準(zhǔn)方程，然后再判斷）：（1 ）橢圓：由x 2, y 2分母的大小決定，焦點(diǎn)在分母大的坐標(biāo)軸上。2 2如已知方程一 1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是_（答:m 12 m3 （,1） g）2（2）雙曲線：由x2,y 2項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)決定，焦點(diǎn)在系數(shù)為正的坐標(biāo)軸上；（3）拋物線：焦點(diǎn)在一次項(xiàng)的坐標(biāo)軸上，一次項(xiàng)的符號(hào)決定開口方向。提醒：在橢圓中，a最大，a2 b2

6、c2，在雙曲線中，c最大，c2 a2 b2。4. 圓錐曲線的幾何性質(zhì)：2 2x y（1）橢圓（以二 J 1 （ a b 0）為例）：范圍：a x a, b y b :a b焦點(diǎn)：兩個(gè)焦點(diǎn)（c,0）:對(duì)稱性：兩條對(duì)稱軸x 0, y 0，個(gè)對(duì)稱中心（0,0），四 a2個(gè)頂點(diǎn)（a,0）,（0, b），其中長軸長為2 a，短軸長為2 b ;準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線x ；c離心率：e -，橢圓 0 e 1， e越小，橢圓越圓；e越大，橢圓越扁。a如（1）若橢圓1的離心率e，則m的值是 （答：3或25 ）；5 m53（2）以橢圓上一點(diǎn)和橢圓兩焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積最大值為1時(shí)，則橢圓長軸的最小值為_ （答：2-2

7、 ）（2）雙曲線（以七1 （ a 0,b 0 ）為例）：范圍：x a或x a, y R : a2 b2焦點(diǎn)：兩個(gè)焦點(diǎn)（c,0）:對(duì)稱性：兩條對(duì)稱軸x 0,y 0，一個(gè)對(duì)稱中心（0,0），兩個(gè)頂點(diǎn)（a,0），其中實(shí)軸長為2a，虛軸長為2b，特別地，當(dāng)實(shí)軸和虛軸的長相等時(shí)，稱為等軸雙曲線，其方程可設(shè)為x2 y2 k,k 0 ;準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線2x ；離心率：e C，雙曲線e 1，等軸雙曲線e .2，e越小，開caK口越小，e越大，開口越大；兩條漸近線：y x。雙曲線的方程的形式有兩a種2 2標(biāo)準(zhǔn)方程：1（m n 0）m n距離式方程：I-. （x c）2 y2、.、（x c）2 y21 2a（3）拋

8、物線（以y2 2px（p 0）為例）:范圍：x 0,y R；焦點(diǎn)：一個(gè)焦點(diǎn)（號(hào),0）， 其中p的幾何意義是：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；對(duì)稱性：一條對(duì)稱軸y 0，沒有對(duì)稱中心，只有一個(gè)頂點(diǎn)（0,0）;準(zhǔn)線：一條準(zhǔn)線x 衛(wèi)；離心率：e -，拋物線 e 1。2 a如設(shè)a 0,a R，則拋物線y 4ax2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（答：（0,丄）；16a2 25、 點(diǎn)P（x0,y。）和橢圓務(wù)當(dāng) 1（ a 0 ）的關(guān)系：（1 ）點(diǎn)P（x,y）在橢圓外a 2 2 2 2第卑1 ； （2）點(diǎn)P（x0,y。）在橢圓上卑 卑 二1 ； （3 ）點(diǎn)P（x,y）在橢圓內(nèi)a a 2 2X。 y。1 2 1a 6. 記住焦半徑公式：（1）橢

9、圓焦點(diǎn)在x軸上時(shí)為a ex0；焦點(diǎn)在y軸上時(shí)為a ey，可簡(jiǎn)記為“左加右減，上 加下減”。（2）雙曲線焦點(diǎn)在x軸上時(shí)為e|x| a（3）拋物線焦點(diǎn)在x軸上時(shí)為| x11 ,焦點(diǎn)在y軸上時(shí)為| % |衛(wèi)2 27. 橢圓和雙曲線的基本量三角形你清楚嗎？ _第二、方法儲(chǔ)備1、點(diǎn)差法（中點(diǎn)弦問題）2 2設(shè)Axyi、B X2, y2 , M a,b為橢圓1的弦AB中點(diǎn)則有432 2 2 2 2222乞生1,亙竺1；兩式相減得上L 土紅0434343xi X2 xi X2yi y2 yi y2| _ 3a Kab =434b2、聯(lián)立消元法：你會(huì)解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一類的問題嗎？經(jīng)典套路是什么？如果有

10、兩個(gè)參數(shù)怎么辦？設(shè)直線的方程，并且與曲線的方程聯(lián)立，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)二次方程，使用判別式 0,以及根與系數(shù)的關(guān)系，代入弦長公式，設(shè)曲線上的兩點(diǎn)A(Xi,yJB(X2,y2)，將這兩點(diǎn)代入曲線方程得到 覆兩個(gè)式子，然后 怙 整體消元； 若有兩個(gè)字母未知數(shù)，貝U要找到它們的聯(lián)系，消去一個(gè)，比如直線過焦點(diǎn)，貝冋以 利用三點(diǎn)A、B、F共線解決之。若有向量的關(guān)系，則尋找坐標(biāo)之間的關(guān)系，根與 系數(shù)的關(guān)系結(jié)合消元處理。一旦設(shè)直線為 y Kx b，就意味著K存在。例i、已知三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在橢圓4x2 5y280上，且點(diǎn)A是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)(點(diǎn)A在y軸正半軸上)(i )若三角形ABC的重心是

11、橢圓的右焦點(diǎn)，試求直線 BC的方程；(2)若角A為90，AD垂直BC于D，試求點(diǎn)D的軌跡方程分析：第一問抓住“重心”，利用點(diǎn)差法及重心坐標(biāo)公式可求出中點(diǎn)弦 BC的斜率，從 而寫出直線BC的方程。第二問抓住角A為900可得出AB丄AC，從而得 XiX2 yiy2 i4(yi y?) i6 0，然后利用聯(lián)立消元法及交軌法求出點(diǎn) D的軌跡方程；22 2 2解：(i )設(shè) B ( xi,yi) ,C(X2,y2 ),BC 中點(diǎn)為(X0,y0),F(2,0)則有魚 上 i半里 i20 i620 i6兩式作差有(Xi X2)(Xi X2)(yi y2)(yi y2)0 盤堂 020i654F(2,0)為三

12、角形重心，所以由X232，得 Xo3，由址30得y。2，代入(1 )得k 65直線BC的方程為6x5y 2802)由 AB 丄 AC 得 X1X2yy 14( yi y2) 16 0設(shè)直線BC方程為ykx b,代入 4x2 5y280 ,得(45k2)x2 10bkx 5b2800X1X210kbK，X1X225b 804 5k2y1y28k4 5k2,y1 y24b280k24 5k2代入(2)式得9b232b 164 5k24(舍)或b直線過定點(diǎn)(0，49)，設(shè) D(X,y)，則1，即 9y2 9X232y 160所以所求點(diǎn)D的軌跡方程是X2 (y 鳥2 (20)2(y 4)。994、設(shè)而

13、不求法例2、如圖，已知梯形ABCD中AB 2CD，點(diǎn)E分有向線段AC所成的比2 3為，雙曲線過C、D、E三點(diǎn)，且以A、B為焦點(diǎn)當(dāng)-時(shí)，求雙曲3 4線離心率e的取值范圍 分析：本小題主要考查坐標(biāo)法、定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式、雙曲線的概念和性質(zhì)，推理、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力。建立直角坐標(biāo)系xOy，如圖，若設(shè)2 2 2 2C ,h，代入每 1，求得h L，進(jìn)而求得Xe L , yE L ,再代入一2 占 1，2a ba b建立目標(biāo)函數(shù)f(a,b,c, ) 0，整理f (e, )0，此運(yùn)算量可見是難上加難.我們對(duì)h可米取設(shè)而不求的解題策略，建立目標(biāo)函數(shù)f(a,b, c, )0,整理f(e,

14、)0,化繁為簡(jiǎn).解法一：如圖，以AB為垂直平分線為y軸，直線AB為x軸，建立直角坐標(biāo)系xOy , 則CD丄y軸因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)C、D，且以A、B為焦點(diǎn)，由雙曲線的對(duì)稱性知 C、D 關(guān)于y軸對(duì)稱依題意，記A c, 0，C 2 ,h ，Ex0,y0，其中的半焦距，h是梯形的高，由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得cc -x 2 x。i2設(shè)雙曲線的方程為篤acX由點(diǎn)C、E在雙曲線上，將點(diǎn)C、E的坐標(biāo)和e c代入雙曲線方程得ae2h24 b2e2h2由式得h2b21 b2將式代入式，整理得故2由題設(shè)23解得2 e4413241e213 ,233-得,143e224.7 e 10所以雙曲線的離心率的取值范圍為7, .

15、10分析：考慮|AE , AC為焦半徑，可用焦半徑公式,| AE , AC用E,C的橫坐標(biāo)表示，回避h的計(jì)算，達(dá)到設(shè)而不求的解題策略.解法二：建系同解法一,AEexE , ACa ex：，cC 22 cxE2，又1 2 1AEAC，代入整理1 A，由題設(shè)I得2 1丄？解得，31 e224,7 e J0所以雙曲線的離心率的取值范圍為5、判別式法2 2例3已知雙曲線c：y-12 2，直線I過點(diǎn)A 2,0，斜率為k，當(dāng)0 k 1時(shí),雙曲線的上支上有且僅有一點(diǎn)B到直線I的距離為.2，試求k的值及此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)。分析1:解析幾何是用代數(shù)方法來研究幾何圖形的一門學(xué)科，因此，數(shù)形結(jié)合必然是研究解析幾何問題的

16、重要手段從“有且僅有”這個(gè)微觀入手，對(duì)照草圖，不難想到: 過點(diǎn)B作與I平行的直線，必與雙曲線 C相切.而相切的代數(shù)表現(xiàn)形式是所構(gòu)造方程的 判別式 0.由此出發(fā)，可設(shè)計(jì)如下解題思路：I : y k(x 2)0 k 1直線i在i的上方且到直線I的距離為J2VI: y kx 2k22 2k把直線I的方程代入雙曲線方程，消去 y,令判別式0V解得k的值解題過程略.分析2:如果從代數(shù)推理的角度去思考，就應(yīng)當(dāng)把距離用代數(shù)式表達(dá)，即所謂“有且僅有一點(diǎn)B到直線I的距離為Q”，相當(dāng)于化歸的方程有唯一解.據(jù)此設(shè)計(jì)出如下解題思路:簡(jiǎn)解：設(shè)點(diǎn)M (x, x)求解轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問題為雙曲線C上支上任一點(diǎn)，則點(diǎn)M

17、到直線I的距離為:k2 1于是，問題即可轉(zhuǎn)化為如上關(guān)于x的方程.由于0 k 1，所以2 x2kx，從而有kx 轉(zhuǎn)化為 DFH面積最大轉(zhuǎn)化為點(diǎn)D的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值最大最大D為橢圓短軸端點(diǎn)得出D點(diǎn)坐標(biāo)為0,3解題過程：(I)設(shè)橢圓方程為mx2 ny2 1 m0,n0 將 A( 2,0)、B(2,0)、3C(1,2)代入橢圓E的方程，得4m 1, 19 解得m -，n mn144橢圓E的方程-3 41R 6點(diǎn)石成金：S 的內(nèi)切圓寸的周長r的內(nèi)切圓例8、已知定點(diǎn)C( 1,0)及橢圓x23y25，過點(diǎn)C的動(dòng)直線與橢圓相交于A, B兩占八、(I)若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是11，求直線AB的方程;(U)在x軸上

18、是否存在點(diǎn)M，使MA MB為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由思維流程:(I)解：依題意，直線 AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y k(x 1),將 y k(x 1)代入 x2 3y2消去y整理得(3k21)x26k2x 3k250.設(shè)人(咅，)，B(X2，曲,則x1 x236k4 4(3k2 1)(3k26k23k2 1.5)0,(1)由線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是3k23k211,解得k2-2 ,符合題意。3所以直線AB的方程為x3y,3y 1 0.(U)解：假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)M (m,0)，使 MAMB為常數(shù).當(dāng)直線AB與x軸不垂直時(shí)，由(I)知X1X26k23k2X1X23

19、k253k2uur 所以MAuuirMB(X1 m)(X2 m) yy (咅 m)(X2m) k2(X,1)(X2 1)2(k1)x.| x22 2(km)(x.| x2) km2.將unr uuir MA MB(6 m1)k2 525m3k2 11214(2m -)(3k2 1) 2m323 m23k2 1m22m6m3(3k2141)注意到MAMB是與k無關(guān)的常數(shù)， 從而有6m 14 0, muuur 此時(shí)MAuurMB當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，此時(shí)點(diǎn) A B的坐標(biāo)分別為1,，當(dāng)iuu uur 4 亦有MA MB - 9綜上，在X軸上存在定點(diǎn)M7,03，使MA MB為常數(shù).luu uur點(diǎn)石

20、成金：MA MB(6m 1)k2 53k2 1(2m 丄)(3/ 1) 2m3k2 12小 1 6m 14m 2m233(3k1)例9、已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點(diǎn)M (2,1),平行于OM的直線I在y軸上的截距為m (m #0), I交橢圓于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)。(I)求橢圓的方程;(U)求m的取值范圍;(川)求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形.思維流程:2y_b21(a b 0)2解：(1 )設(shè)橢圓方程為務(wù)aa 2b2則41解得221 bb2橢圓方程為82y-12(n)v直線i平行于om ,且在y軸上的截距為m1又 Kom=2I的方程為:1yx由

21、 22xy8 2m2x122mx 2 m 40直線I與橢圓交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn),(2m)2解得2 m4(2m22,且m4) 0,0(川)設(shè)直線MA、MB的斜率分別為ki,k2，只需證明ki+k2=0即可c 2 ,2m 4設(shè) A(xyj B(X2,y2),且人 x?2m,X1X2y ix222由 x2 2mx 2m40可得X1 X22m,X1X22m2 4而 kik2yiiyi(yi i) (x?2)(y 1)(人2)x12x22(x-i2)(x22)(Xim2i)(X22)(*X2 m i)(xi 2)(x2)(X2 2)xix2 (m 2)(x x2) 4(m i)(Xi 2)(X22)2m

22、24 (m 2)( 2m) 4(m i)2m2(Xi 2)(X22)24 2m 4m 4m 40kik(Xi 2)(X22)：2 0故直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形k20b)的直線到原點(diǎn)的距點(diǎn)石成金：直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形ki2 2例io、已知雙曲線篤篤a b2 :3i的離心率e ，過A(a,0), B(0,3離是(i)求雙曲線的方程;(2)已知直線ykx5( k0)交雙曲線于不同的點(diǎn)C，D且C,D都在以B為圓心的圓上，求k的值.思維流程:，原點(diǎn)到直線 AB :abcaba 2 b 21, a x 3 .故所求雙曲線方程為y21.(2)把y kx 5代入x23

23、y 23中消去y，整理得(12 23k )x 30kx 780.設(shè)C(x1,y1),D(X2,y2),CD 的中點(diǎn)是 E(Xo,y。)，則53k 2X1 X215 ky o kx o 5X。-J21 3k 2k y。 11k BEX0kXokyo k 0,15 k5k即 1 3k 21 3Tk 0,又 k0,k2故所求k= , 7 .點(diǎn)石成金：C, D都在以B為圓心的圓上BC=BDBE 丄 CD;例11、已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為1 .(I) 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(II) 若直線l:y=kx+m與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)(A、B不是左右

24、頂點(diǎn))，且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn).求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).思維流程:2 2解：(I)由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為a b21(a b 0)，由已知得：a c 3, a c 1，a 2, c 1，b2a2c232 2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 1 .4 3(II)設(shè) A(X1，%), B(X2, y2).聯(lián)立y kx m,2 22L工143得(3 4k2)x2 8mkx 4(m2 3)0,則2 2 2 264m k 16(3 4k )(m3) 0,即 3 4 k2 m20,XiX28mk3 4k2X1X224( m3)3 4k2又y23(m2 4k2)3 4k2kAD kBD1，即亠工x1 2 x22y)y2 x1x2 2(x-i x2) 4 0.4 單 4 0.3 4k 3 4k 3 4k2 27m 16mk 4k 0.2(kx1 m)( kx2 m) k x1x2 mk(x.| x2)因?yàn)橐訟B為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn) D(2,0),解得：2k22葉2k, m2，且均滿足3 4k m 0 .當(dāng)m12k時(shí)，1的方程y k(x 2)，直線過點(diǎn)(2,0)，與已知矛盾;當(dāng)m22k22經(jīng)時(shí)，1的方程為y k x 2，直線過定點(diǎn)2,0 .7772所以，直線I過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為 -,0點(diǎn)石成金：以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)CA丄CB;