圓錐曲線中地取值范圍最值問(wèn)題

1、5,63圓錐曲線中的最值取值范圍問(wèn)題x290.已知F1,F2分別是雙曲線 a2爲(wèi)=l ( a>0 , b>0 )的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線上的一b點(diǎn)，若F1PF2 90°,且F1PF2的三邊長(zhǎng)成等差數(shù)列又一橢圓的中心在原點(diǎn)，短軸的一個(gè)端點(diǎn)到其右焦點(diǎn)的距離為-,3，雙曲線與該橢圓離心率之積為(I)求橢圓的方程;(n)設(shè)直線l與橢圓交于a, B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線I的距離為，求AOB面積的最大值.90.解：設(shè)|PFi | m,| PF2 I n,不妨P在第一象限，則由已知得m n 2a,2m n2(2c)2,5a226ac c 0,e2 6e50,n 2c2m.1f-解得e5

2、或 e 1(舍去)。設(shè)橢圓離心率為e ,則 5e5、6e- 63322可設(shè)橢圓的方程為x y221,半焦距為c.abc6a3，a3,2b2c23,解之得b 1,橢的方程為xy2 1b 2 c2 a2.c 、2.(n)當(dāng) AB x 軸時(shí)，| AB |.3.當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線 AB的方程為y kx m,A(Xi,yi),B(X2,y2),由已知I m|3,得m23心2-(k1),把 ykx m代入橢圓方程，整理得1 k2 24(3k21)x26kmx3m230,x1x26km x x 3(m21)2, x1 x223k 13k 12 2 2| AB| (1 k )(X2 xj12(m21

3、)3k2 112(1 k2)(3k21 m2)3(k21)(9k2 1)(3k2(3k2 1)22312k3 2 29k2 6k2112-1(k 0)9k2-y 6k24.2 3 62當(dāng)且僅當(dāng)9k21產(chǎn)即k子時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)|AB| 2.當(dāng)k 0時(shí)AB |、3綜上所述：|AB|max 2 ,此時(shí)AOB面積取最大值S - | AB |max285.已知曲線C的方程為x 2y，F(xiàn)為焦點(diǎn)。（1 ）過(guò)曲線上 C 一點(diǎn)P（x0, y0）（ X0 0）的切線I與y軸交于A，試探究|AF|與|PF|之 間的關(guān)系；（2）若在（1 ）的條件下P點(diǎn)的橫坐標(biāo)X。 2，點(diǎn)N在y軸上，且|PN|等于點(diǎn)P至煩線 2y 1

4、 0的距離，圓 M能覆蓋三角形 APN，當(dāng)圓M的面積最小時(shí)，求圓 M的方程。85.(立)由F m對(duì)番乍笛.柱尸處切S6方程：廠丁° =期"電).將j( =0準(zhǔn)人. 得 x，° /fl _x9 r 1 域=-Jc(ft> >0)蕊”權(quán) f 蚩際M諾"又加-f Vb芝斗*升，.1“門=IPFL一臨分d)JKI)易知-” m 的“；為(隊(duì)畀叩*)用y茂三勲總 的 的外攙嚴(yán)時(shí)jbie師小股此踴妁*程為詔<y+壓4坊甘“(嚴(yán)+尸川八叮 出點(diǎn)用的蜜怵為(0*£)吋.婭4- 4占£ + F =0424-lE*F=0-5.-Y 了三

5、十【(4 *4 護(hù)+邛H"此時(shí)所取的出的方軽為-I -0刖的M為(。召)時(shí)如101 f b _?此時(shí)所求的闔討方U + 4 +2/j+2>；4 r=a程A? + y +>- y-7aC總分煤上鬪歸方睥為;C* 亠 4$mJ* "- ；y7 =0 N分2 274.已知橢圓 G : 2 y 1(a ba b10)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為-，歸2分別為其左右焦點(diǎn).一動(dòng)圓過(guò)點(diǎn) F2，且與直線x 1相切.(I ) ( i )求橢圓Ci的方程；(ii)求動(dòng)圓圓心軌跡 C的方程；(n )在曲線C上有四個(gè)不同的點(diǎn) M ,N, P,Q ,滿足MF2與NF2共線，PF2與QF2共線，

6、且PF2 MF2 0,求四邊形PMQN面積的最小值.2a474.解：(I )( i )由已知可得c 1e a 22 x2則所求橢圓方程C1 :y 143b2(i )由已知可得動(dòng)圓圓心軌跡為拋物線，且拋物線C的焦點(diǎn)為(1,0)，準(zhǔn)線方程2為x 1，則動(dòng)圓圓心軌跡方程為 C : y 4x.(n )由題設(shè)知直線 MN , PQ的斜率均存在且不為零設(shè)直線MN的斜率為k(k 0), M (X1,yJ,N(X2, y2)，則直線MN的方程為: y k(x 1)2聯(lián)立C : y 4x 消去由拋物線定義可知：y可得k2x22(2k24)xk2| MN | | MF2 | NF2 |X1X22k244 k22同

7、理可得| PQ | 4 4k21又 Spmqn | MN | | PQ |2(當(dāng)且僅當(dāng)k12(41時(shí)取到等號(hào)所以四邊形PMQN面積的最小值為32.4R44k2)8(2k21卩)3269.如圖，已知直線 l : yuuu uuu坐標(biāo)原點(diǎn)，OA OB ( 4, 12)。(I)求直線l和拋物線C的方程;kx 2與拋物線C：x22py(p(n)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P從A到B運(yùn)動(dòng)時(shí)，求 ABP面積最大值.69.解：(I)由kx 2,得,x2py22 pkx 4p0,0)交于A，B兩點(diǎn)，0為則 X-1 x2uuu 因?yàn)镺A2 pk, y1y2 k X1X2, y1y2uju OBX12pk4,所以2解得2pk4

8、12.設(shè) A x1,y1,B X2,y2P k1,2.X242pk,2pk22pk24,4 =4,2x 2,拋物線 APB面積最大,y'x，所以x 2X02, y°1 22X。2,所以 P( 2, 2)此時(shí)P到直線l的距離d2(2) ( 2)244.52y.l平行時(shí),所以直線I的方程為y(n)方法1 ：設(shè)P(x°, y°),依題意，拋物線過(guò)C的方程為x2P的切線與朋2 ( 1)255由 y2 2x 2,得，x2 4x 40,x22y,| AB| .1 k2 ；(為 X2)2 4X1 X21 2( 4)2 4( 4) 4 104怖也公BP的面積最大值為匚 8

9、22(n)方法 2: 由 y2 2x 2,x2得，x 4x 2y,4 0,|AB| 1 k2 O X2)2 4 設(shè) P(t, t2),(2因?yàn)锳B為定值，當(dāng)2 2.2P到直線X2I的距離.1 22 / 4)2 4( 4)4102.2)d最大時(shí)， ABP的面積最大,2t Ad 22 ( 1)2(t 2)2因?yàn)?2.2厶2，所以當(dāng)t 2時(shí)，d*普，此時(shí)P( 2, 2).公BP的面積最大值為2x66.橢圓一2a2b 1(abC為橢圓的右項(xiàng)點(diǎn)， OA(I)求橢圓的方程;(II)若橢圓上兩點(diǎn)66.解：(I)根據(jù)題意,解得t2,2a b2 72 abOAb 1,a4.104、. 52b 0)的長(zhǎng)軸為短軸的

10、-.3倍,直線y x與橢圓交于A、B兩點(diǎn),E、F使OE OF OA, (0,2),求 OEF面積的最大值、3b,C(a,0),設(shè) A(t,t),則tt2 t20亍 b 1.4b2,即t33(Tb,),OC(a,0),OA OC2橢圓方程為y23(n)設(shè) E(xyj F(X2,y2), EF 中點(diǎn)為 M(x°,y°),OE OF OA,2x0XiX22y0yiy22.32由-得2Xi2X232 yi2y20,直線EF的方程為.34i(X并整理得，4y2231 0,E,F在橢圓上，則kEF,34yi y2XiX2),即X3yyiy22Xi32X2,yi y2|EF| ,(Xi

11、X2)2(yiy2)2i0 | yiy2yi2i,XiX2yiy22,代入3y2 ii0 3 24( 2°io.4223原點(diǎn)0(0,0)到直線EF的距離為h, S.i0OEF2|EF|h3224_4).34、2時(shí)等號(hào)成立,所以O(shè)EF面積的最大值為263.已知橢圓C： X2 L4i，過(guò)點(diǎn)M(0, i)的直線l與橢圓C相交于兩點(diǎn)A、B.(I)若I與X軸相交于點(diǎn)P,且P為AM的中點(diǎn)，求直線I的方程;1 uuu(n)設(shè)點(diǎn) N(0,)，求 | NA2uuuNB |的最大值.63.(I)解：設(shè) A(Xi, yi),因?yàn)镻為AM的中點(diǎn)，且P的縱坐標(biāo)為0 , M的縱坐標(biāo)為又因?yàn)辄c(diǎn)A(xi, yi)在

12、橢圓C上，所以2Xi2y i，即 X24丄i，解得Xi乜,42i,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（一321）或（舟，1）,所以直線I的方程為4、3x 3y 34 . 3x 3y 3 0.(n)設(shè) A(xi, yi),uuuB(X2, y2)，則 NA(xi,yiuuu uju所以 NA NB (x1X2,yi y2 1)，uuu 則I NAAuuuNB|uuu1NB (X2，y2 2)，,(X1 X2)2 (y1 y21)2當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，其方程為uuu NB|muA(0,2), B(0, 2)，此時(shí) | NA當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y kx由題設(shè)可得A、B的坐標(biāo)是方程組kx 12乂 14

13、的解，消去y得（4 k2）x22kx所以 (2k)12(4 k )0,則 yiy2(kx11) (kx21)2k2 ，4 k84 k2X1X2uuu 所以|NAuuu 2 2k 2NB| E2存1)11,um uu當(dāng)k 0時(shí)，等號(hào)成立，即此時(shí)|NA NB |取得最大值1.uiu unr綜上，當(dāng)直線 AB的方程為X 0或y 1時(shí)，|NA NB |有最大值1.與x軸交于點(diǎn)50.已知點(diǎn)A是拋物線y2 = 2px （p>0 ）上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線 IK，已知丨AK | = - 2 | AF 三角形 AFK的面積等于8 .（1 ）求p的值;（2）過(guò)該拋物線的焦點(diǎn)作兩條互相垂直的直線 l1

14、 , l2，與拋物線相交得兩條弦，兩條弦的中點(diǎn)分別為G , H.求| GH |的最小值.50.解：（I）設(shè) A x0, y0 ,因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)F扌,0 ,準(zhǔn)線】的方程為：x即訓(xùn),作AM l于M，則AM x0衛(wèi) AF2又 AK 2 AFKMXo 2又 Q S AFKAM2(2)由 yXo得AK2pxo,V2|AM，即AKM為等腰直角三角形，P2,Xo12KF |yoXo,Xo2 于是 a2，p .2，而點(diǎn)A在拋物線上,1 p222 P P 8, P 4.故所求拋物線的方程為 y 8x .6分8x，得F(2,0)，顯然直線h , l2的斜率都存在且都不為 0.設(shè)li的方程為y k(x 2)，則1

15、2的方程為y1k(X 2).48.橢圓的中心為原點(diǎn) O，焦點(diǎn)在y軸上，離心率e/，過(guò)P(o,1)的直線1與橢圓交于A、3uuu uuuB兩點(diǎn)，且AP 2PB，求AOB面積的最大值及取得最大值時(shí)橢圓的方程.48.解：設(shè)橢圓的方程為2 y 2 ax21(ab 0),直線1的方程為ykxA(Xi,yJ、B(X2, y2).63c2,b則橢圓方程可化為2y3b221即3x3b2，3x 聯(lián)立y2ykx3b2有 X1X2所以S AOB當(dāng)且僅當(dāng)由X22k得(3k2)x22kx 13b2,而由已知AP|OP | | X1 X2、3時(shí)取等號(hào)2PB 有 x132|X21 33|k|k22X2，代入得3|k|2、3

16、|k |X22kX將x、33代入(*)式得b2%/3所以 AOB面積的最大值為蟲(chóng)，取得最大值時(shí)橢圓的方程為'252x- 1346.已知橢圓C1:2MN是圓C2:xI恰好與圓2xa(y2 爲(wèi) 1( a b 0)的右焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為A，b23)2 1的一條直徑，若與AF平行且在y軸上的截距為32的直線P為C1上任一點(diǎn),(1)(2)C2相切。已知橢圓luuu UULT若PM PN的最大值為49，求橢圓Ci的離心率;46.解:由題意可知直線I的方程為bxc2 : x2(y3)21相切，所以d3cC1的方程.cy (3. 2)c0,因?yàn)橹本€與圓3c ' 2c a_. 2222=1，既

17、a 2c ,b22 c2從而J2e2(2 )設(shè)p(x,y),則2c20)又PMPN (PC2 C2M ) (PC2C2N)22PC2c2nx2(3y)2 1 (y 3)2 2c17( cy c)3時(shí),(PM PN) max 172c249,解得 c 4,此時(shí)橢圓方程為2x322' 116當(dāng) 0 c 3時(shí),(PMPN)max(C 3)217 2249,解得 c 523 但c 5.233,故舍去。綜上所述，橢圓的方程為22x y32162占 1(a b b2心、以橢圓C1的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切.(I) 求橢圓C1的方程；(II) 設(shè)橢圓G的左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)F2，直線I1過(guò)點(diǎn)F1且垂直

18、于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線I2垂直I1于點(diǎn)P，線段PF2垂直平分線交I2于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡C2的方程；uur2x25.已知橢圓G :2a0)的離心率為-，直線I: y x 2與以原點(diǎn)為圓3uuu mn(III )設(shè)C2與x軸交于點(diǎn)Q，不同的兩點(diǎn)R, S在C2上，且滿足QR RS 0,求QS的取值范圍25.解：4, e2 g2 .2a b2ci223,2a 3b/直線0與圓x2b2相切， 3<2b, b.2,b22/.a2Ci的方程是(n)T MP=MF 2,動(dòng)點(diǎn)M到定直線li : x i的距離等于它到定點(diǎn)Fi(1, 0)的距離,動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是li準(zhǔn)線，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的拋物線點(diǎn)M的軌跡C2的方程為

19、4x27 iy(川)Q(0,0)，設(shè) RLL,yi),S2，y2)442/2 2、.yi (y2 yi)/yi(y2i6QR RS 0yiy2, yi2y2yi2 器 322 yiQRyi)2 25632642yi(r，yi)，RS42(里2yiL2yi)y2(yi16yi22562yi廠，yiyi|QS| (：)2 y當(dāng)且僅當(dāng)i6, yi4時(shí)等號(hào)成立4、(廠8廠64,又2y2642V2 64, V28時(shí)，|QS|min8-. 5,故|QS|的取值范圍是8-5,2 222x V0)有8. 8已知點(diǎn) P (4, 4)，圓 C: (x m) y 5 (m 3)與橢圓 E：二七 i(a b a b一

20、個(gè)公共點(diǎn)A (3 , i ), Fi、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線PFi與圓C相切.(I)求m的值與橢圓E的方程；UU UJIT(H)設(shè)Q為橢圓E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求 AP AQ的取值范圍.【解】(I)點(diǎn)A代入圓C方程，2得(3 m) i 5 . vm v 3 , /m = i .圓C： (x i)2 v2 5 .設(shè)直線PFi的斜率為k,則 PFi: v k(x 4)4，即 kx y 4k 4 0 .直線 PF1 與圓 C 相切， |k 0 4k 4|.5 .111解得k ,或k -.221136當(dāng)k =時(shí)，直線PF1與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為 36，不合題意，舍去.2111當(dāng)k =丄時(shí)，直線PF1

21、與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為一 4 ,.c= 4. F1 (- 4 , 0 ) , F2 (4 , 0).22 22a = AF1 + AF2 = 5 22 6 2 , a 3. 2 , a2 = 18 , b2= 2 .橢圓 E 的方程為： 1 .18 2UJUUULTUJin UULT(H) AP (1,3)，設(shè) Q (x, y), AQ (x 3, y 1), AP AQ (x 3) 3(y 1) x 3y 6 .2 2x y22221，即 x (3y)18，而 x (3y) > 2|x| |3y| ,.一18 <6xy <18 .18則(x 3y)2 x2 (3y)2 6xy

22、 18 6xy的取值范圍是0,36 . x 3y的取值范圍是6,6.uut ujit AP AQ x 3y 6的取值范圍是12 , 0.2 2x v12. 12.已知直線l:y x 1與曲線C：r 21 (a 0, b 0)交于不同的兩點(diǎn) A, B ,a bO為坐標(biāo)原點(diǎn).(I)若|OA| |OB |，求證：曲線C是一個(gè)圓;(n)若OA OB，當(dāng)a b且a ©,時(shí)，求曲線C的離心率e的取值范圍.2 2口 “2222即：X1% X2 y2【解】(I)證明：設(shè)直線l與曲線C的交點(diǎn)為A(X1,yJ, B(X2,y2) 2 2| OA | |OB | % y12 2 2 2 亠亠、 X1X2y

23、 y1代 B 在 C 上2 2 2 22 . 2 1， 2 . 2 1a ba b2 2兩式相減得：x1x2b2 M2y12)b2即：a2曲線C是一個(gè)圓(n)設(shè)直線|與曲線C的交點(diǎn)為A(Xi,yJ,B(X2,y2),曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓OAOBXiY2X2i 即: yi y2x1x2x i 代入 b2x2aa2b20整理得:(b22、2c22a )x 2a x aa2b2.xiX22a2a2 b2XiX2b2)yiy2又yi y2xi X22 22a (i b)a2 b22a2a22a2,22a (ac2)2c2a2(a22a2i)ia2(1a2b2(Xi i)(X2/.2x-i x21

24、)XiXiX22a4X2xix2 ib22ae22 c 2 a2(a2 i)2a2 i22小2a b 0c2 2a2c20i2a2 i7i5.已知?jiǎng)狱c(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上，且滿足|AB|=2 ，點(diǎn)P在線段AB上，且APtPB(t是不為零的常數(shù)).設(shè)點(diǎn)P的軌跡方程為(i )求點(diǎn)P的軌跡方程C;(2)若t=2，點(diǎn)M、N是C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(M、N不在坐標(biāo)軸上) 6 i0歹三心1 24Q3坐標(biāo)為(一 ,3), 求QMN的面積S的最大值。215.【解】(1 )設(shè) A(a,0), B(0,b), P(x, y)APtPB,即(xat(b:)則a,y)(11tt( x,b y) t)xt ,由

25、題意知ty0,| AB | 2b24即 (12 2t) x點(diǎn)P軌跡方程C為:x24(1 t)2(12y4tZ"V-2小9x 92(2) t=2 時(shí)，C為y416設(shè)M(X1,yJ，則N (心 yj,則 MN2y1.設(shè)直線MN的方程為yx, (x1 0)%點(diǎn)Q到MN距離為3I y1 3x11 h 2I 22y1S qmn22,3-y 3x1 |22y1S2qmn9x；9 29y19X1 %2又9x1'4S QMN9x：9y：1 9x2而149x2 y1164 9x1 y19y129 24y13x1 3y19紬1當(dāng)且僅當(dāng)211分164乎乎，即x1S qmn的最大值為2 - 2如時(shí)，等號(hào)成立12分25.已知橢圓 G :冷 占 1(a b 0)的離心率為3，直線l: y x 2與以原點(diǎn)為圓a b3心、以橢圓C1的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切 .(I) 求橢圓C1的方程；(II) 設(shè)橢圓G的左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)F2，直線11過(guò)點(diǎn)F1且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直uuu0,求QS的線12垂直11于點(diǎn)P