江蘇省蘇北三市(連云港、徐州、宿遷)2017屆高三數(shù)學第三次模擬考試試題(含解析)

1、江蘇省蘇北三市（連云港、徐州、宿遷）2017 屆高三數(shù)學第三次模擬考試試題（含解析）參考公式：樣本數(shù)據(jù).的方差，其中.二.1 = 11n i = I1棱錐的體積，其中.是棱錐的底面積，是高一、填空題：本大題共 14 小題，每小題 5 分，共計 70 分請把答案填寫在答題卡相應位置.上.1.已知集合-:-i巴，J .：.,；,則集合A U A 中元素的個數(shù)為_.【答案】【解析】由于 Ell；.h ,所以集合.二.I I 中元素的個數(shù)為 5.【點睛】根據(jù)集合的交、并、補定義：W:L、，二L -，匚,求出. I . I ,可得集合.； I 中元素的個數(shù).2.設扛 b E R ,上二 a + bi （

2、i 為虛數(shù)單位），則 I的值為_ .l-i【答案】1【解析】由于.：- ：I，- * ,有一丨-.:，得I .-.3._在平面直角坐標系 xOy 中，雙曲線二 1 的離心率是 _ .43【答案】【解析】! :.二.：；, I - - , .I.4. 現(xiàn)有三張識字卡片，分別寫有“中”、“國”、“夢”這三個字.將這三張卡片隨機排序，則能組成“中國夢”的概率是.【答案】【解析】把這三張卡片排序有“中” “國”“夢”，“中”“夢”“國”，“夢”“中”“夢”“中”“國”；“夢”“國”“中”；國”“中”“夢”； “國”【點睛】本題為古典概型，三個字排列可采用列舉法，把所有情況按順序一、一列舉出來,共計 6

3、 種，能組成“中國夢”的只有 1 種，概率為-3 -寫出基本事件種數(shù)，再找出符合要求的基本事件種數(shù)，再利用概率公式率值.5._ 如圖是一個算法的流程圖，則輸出的的值為 _ .【答案】【解析】試題分析：由 I” 、.，#：得!.,再由題意知 I . .考點：算法流程圖的識讀和理解.6.已知一組數(shù)據(jù)，則該組數(shù)據(jù)的方差是【答案】（或.）【解析】X =6+9+B 4 4）=仏世=+（6-6）2+ （Df / + 的一）+（4-s/j = 7y 2,【答案】.；（或L）【解析】本題為線性規(guī)劃，畫出一元二次不等式組所表示的可行域，目標函數(shù)為斜率型目標函數(shù)，表示可行域內(nèi)任一點與坐標原點.連線的斜率，得出最優(yōu)

4、解為【點睛】線性規(guī)劃問題為高考熱點問題，線性規(guī)劃考查方法有兩種，一為直接考查，目標m-,則的取值范圍是4 -J I _ ，求出概fl-4 -函數(shù)有截距型、斜率型、距離型（兩點間距離和點到直線距離）等，二為線性規(guī)劃的逆向思維型，給出最優(yōu)解或最優(yōu)解的個數(shù)反求參數(shù)的范圍或參數(shù)的值8.若函數(shù)、：，“.：i I -:的圖象過點，則函數(shù)| ：.在|上的單調(diào)減區(qū)間是_ .【答案】，匚二（或）圧7L12*【解析】函數(shù) I I 的圖象過點，則 代二恵（5巽、把*、*託、, , .I“；匕工 汨，：-*：,有于:.，s、在為減函數(shù)，所以：，解得. .- .Ed*占I &IE【點睛】根據(jù)函數(shù)圖象過已知點，求出皿旳，

5、借助 e 的范圍求岀出的值*求三角函數(shù)在某一區(qū)間上的最值及單調(diào)區(qū)間時，務必要注黑?范圍優(yōu)先原則”,根據(jù)兀的范圍研究g +出的范圍*有時還要關注A的符號，因此當自變暈有范圍限制時,解題更要丿卜卜失誤.9.在公比為且各項均為正數(shù)的等比數(shù)列 中， 為的前項和.若，且3S5= SE+ 2,則的值為【答案】5-12【解析】m2，” a十 Zq - ，1-1io.如圖，在正三棱柱 m 中，已知- 一、點在棱上，則三棱錐的體積為_.-5 -B【答案】【解析】由已知一上,一三：廠-三,由于，平面， ，所以IL朋MVP-AI1 =VC-ARAL=VA（-ARC二3SAABCAA1=3T3 =T【點睛】求三棱錐的

6、體積要注意利用體積轉(zhuǎn)化，以方便計算體積轉(zhuǎn)化方法有平行轉(zhuǎn)化法、比例轉(zhuǎn)化法、對稱轉(zhuǎn)化法用上述方法交換頂點的位置，此外還經(jīng)常利用底面的關系交換底 面，利用圖形特點靈活轉(zhuǎn)化，達到看圖清楚，計算簡單的目的11.如圖，已知正方形 工 1：啲邊長為，平行于軸，頂點，和分別在函數(shù)：- . 比=21 心&和和=1O 氐 A 1）的圖象上，則實數(shù)的值為 _ .【答案】【解析】由于頂點，和分別在函數(shù)冷-匸乜.：、，乜 n 魯專和（:）的圖象上，設 .i I . I ： ,:：、.宀： I H ：、 I ,由于時平行于軸，貝也：I : .： -有-A |：-：.-.、. _ 二，解得 ，又 HH：-.：- ：,、-二

7、則“二：二.二 J.【點睛】由于正方形三個頂點在對數(shù)函數(shù)圖像上，且平行于軸，則軸，因此可以巧設出三點的坐標，利用兩點縱坐標相等，橫坐標之差的絕對值為邊長 2,以及：.兩點橫坐標相等，縱坐標之差的絕對值為邊長2,解答出本題.12.已知對于任意的:.、！ ： ： . 乜,都有-.：、：，則實數(shù)的取值范圍是_.-6 -【答案】.（或）【解析】利用一元二次方程根的分布去解決，設當 | | ； :| |.，時，即| !時，；.；：對、.f 恒成立；當汁二 1 時，I：，不合題意；當. I 時，i；：l:符合題意；A 0a 4當時，;，即，即：f（5） 0a 5綜上所述：實數(shù)的取值范圍是.【點睛】有關一元

8、二次方程的根的分布問題，要結合一元二次方程和二次函數(shù)的圖象去作，要求函數(shù)值在某區(qū)間為正，需要分別對判別式大于零、等于零和小于零進行分類研究，注意控制判別式、對稱軸及特殊點的函數(shù)值的大小，列不等式組解題13.在平面直角坐標系中，圓 2 -若圓存在以為中點的弦：，且人 R 二 2G0 ,則實數(shù)的取值范圍是 _【答案】一.，.（或一）【解析】由于圓存在以為中點的弦：，且住=門囂，所以 3 丨卅，如圖，過點作圓的兩條切線，切點分別為- I:,圓上要存在滿足題意的點，只需i；I - ：.：,即/ .：,連接，：匕.:山，由于二 T_X：, 丨川 I -：.”|CE|贏Q 血 rr-:，解得七匚- 応.【

9、點睛】已知圓的圓心在直線上，半徑為，若圓存在以為中點的弦：，且AR = 2G0，說明 0A 丄 OR,就是說圓上存在兩點 A - R,使得 0A 丄 0B.過點作圓的兩條切 線，切點分別為：:- 11,圓上要存在滿足題意的點，只需山-,即.i：.j.-:則只需=列出不等式解出的范圍-7 -14._ 已知 低三個內(nèi)角，的對應邊分別為，且 =,亡二 2 當丘-忌取得最大 值時，的值為-8 -【答案】【解析】設的外接圓半徑為y.二.sinC 3hh.2. 恥用 .24諂AC - AB - -cosAsin( - AJ = -cosAt cosA + sinA) - 4cos A +s inAcosA

10、【點睛】已知三角形的一邊及其所對的角，可以求出三角形外接圓的半徑，利于應用正弦定理“邊化角”“角化邊”，也利于應用余弦定理具備這樣的條件時要靈活選擇解題路線,本題采用先“邊化角”后減元的策略，化為關于角的三角函數(shù)式，根據(jù)角的范圍研究三角函 數(shù)的最值，從角的角度去求最值，由于答案更加準確，所以成為一種通法，被更多的人采用二、解答題：本大題共 6 小題，共計 90 分請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字 說明、證明過程或計算步驟.15.如圖，在中，已知點在邊：上，沁-觀冊，嵌=?,：、 -,13(1) 求 M 戒的值;(2) 求的長.【答案】(1) (2)【解析】試題分析：根據(jù)平方關系由:：

11、述或求出- ： ，利用，：. II：求出 iJI. I，根據(jù)三角形內(nèi)角和關系利用和角公式求出，利用正弦定理求出：，根據(jù)曲-；述監(jiān)，計算，最后 利用余弦定理求出：工.AC ABbccosA =2bcosA= 2-T-sinBcosA=2(1 + cos2A) + sin2A二sinSA + 2cos2A + 2UL?(|sin2A +cos2A).，i;取得最大值為，此時.A.v 中，i -33ST .即Jb7 3T-9 -試題解析：(1)在二遼込:中，：“-,;.(：1；門A所以: -.: :同理可得，:L J所以. I-:=sinAi?in2CACR - cosAros.ZACB312451

12、6-n - - x =.5135IB65BC13 L2(2)在中，由正弦定理得，二二 二二心5又總:：i 制惡，所以- If -匚4在中，由余弦定理得，(；-V：JJ 22二|5+ 13- 2X5K13X = 9屁.【點睛】湊角求值是高考常見題型，湊角求知要“先備料”后代入求值，第二步利用正弦定 理和余弦定理解三角形問題，要靈活使用正、余弦定理，有時還要用到面積公式，注意邊角 互化16.如圖，在四棱錐m 處中，底面汕:I是矩形，點在棱上(異于點，)，平面與棱小交于占J八、(1)求證： II(2)若平面I，.平面匯爐，求證：.11【答案】(1) (2)【解析】試題分析：禾 U 用線面平行的判定定

13、理由 汕說明農(nóng).打平面，再由線面平行的性質(zhì)定理，說明線線平行；由面面垂直的性質(zhì)定理，平面內(nèi)一條直線垂直交線，說明線面垂直，利用線面垂直的判定定理說明線面垂直(1)因為是矩形，所以|又因為 .平面I.C,平面 Hi.,所以廠|平面.又因為平面如二，平面 磁汪 ji 平面.訂匸 II所以- II(2)因為 是矩形，所以：_ :二-10 -又因為平面_平面.-.I,: IJ,平面平面，平面沁遼，所以叮 I 平面片 I: 又.1 -平面八，所以：I .紀又由（1）知；.11 ,所以：.|【點睛】證明垂直問題時，從線線垂直入手，進而達到線面垂直，最終證明面面垂直，而面 面垂直的性質(zhì)定理顯得更加重要，使用

14、面面垂直的性質(zhì)定理時，一定要抓住交線，面面垂直 性質(zhì)定理的使用非常重要，要引起重視 .17.如圖，在平面直角坐標系中，已知橢圓.丄：一的左、右頂點分別為，過右焦點43的直線與橢圓交于，兩點（點在軸上方）（1） 若逼 II，求直線的方程;（2） 設直線：，-的斜率分別為，.是否存在常數(shù)，使得； ?若存在，求出 的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1） （2）【解析】試題分析：設直線的方程，聯(lián)立方程組，利用向量關系找出兩交點的縱坐標關系,解方程求出直線方程；利用第一步的根與系數(shù)關系，借助已知的斜率關系求出的值試題解析：（1）因為，所以 -.,所以的坐標為丨.；“，設，直線的方程為注 I代入橢圓方

15、程，得；-+ nT 3m-時+flih ，兀二4 + 3md+ 3ITI3mi -+-3n+ 聞心，4 +4 *解得，故直線的方程為-U-&n- 9(2)由(知，,所以:一】-. I -4 +3m v則.- J)九啊+3)-11 -所以卻叫+氏)-打+ y3) + 3ya-12 -故存在常數(shù). ，使得=二;，.3丄 活【點睛】求直線方程首先要設出方程，根據(jù)題目所提供的坐標關系，求出直線方程中的待定系數(shù)，得出直線方程；第二步存在性問題解題思路是首先假設.存在，利用所求的，結合已知條件！= -，得出坐標關系，再把 r *，刊可代入求出符合題意，則存在， 否則不存在18.某景區(qū)修建一棟復古建筑，其窗

16、戶設計如圖所示.圓的圓心與矩形|：ii對角線的交點重合，且圓與矩形上下兩邊相切(為上切點)，與左右兩邊相交(，為其中兩個交點)，圖中陰影 部分為不透光區(qū)域，其余部分為透光區(qū)域已知圓的半徑為im 且設，AD 2透光區(qū)域的面積為.(1)求關于的函數(shù)關系式，并求出定義域；(2)根據(jù)設計要求，透光區(qū)域與矩形窗面的面積比值越大越好當該比值最大時，求邊： 的 長度.&【答案】(1) (2)【解析】試題分析：根據(jù)題意表示出所需的線段長度，再分別求三角形和扇形面積，從而表示出總面積，再根據(jù)題意要求求出函數(shù)的定義域；根據(jù)題意表示出“透光比”函數(shù)，借助求導，研究函數(shù)單調(diào)性求出最大值.試題解析:(1)過點作 X 我

17、：于點，則/?1 :I-所以：!. - II.:- -I-:-.所以-,因為-，所以，所以定義域為I .(2)矩形窗面的面積為飛-汕心一上X H；? -則透光區(qū)域與矩形窗面的面積比值為10 分 2s me設“，.32“ 壬亠、1- simi? -0 sinO - cos & - sin &sin (? cos & - cos &-13 -則 I2sin &2sin&cos (sin2 - & )2siti 9因為，所以-沐心： 0,冃即川電2, -碼 0,即 % (2 - d) * d - 1 =ii , .所以，得證.證法二:設揀的公差為，假設存在自1 然數(shù)5 A 2,使得則 i :1)2

18、b(+ (nm.即- | - .! | 0 恒成立.這與“對任意的，都有 J.,矛盾!所以 i；-：.、.一： -(3)由（1）知,因為為等比數(shù)列，且 -）1:”廠號所以 是以為首項，為公比的等比數(shù)列.所以 .則一- - - -因為 j E 訊_，所以：+26n - 2n + 2-,片* 2Tn所以1而，所以，即: .，時，（* ）式成立;當時，設| ： J!,-f(n) - 3nn+ |)2+1) = 2(3n-16 -故滿足條件的的值為和.【點睛】等差數(shù)列和等比數(shù)列是高考的重點，要掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式與前項和公式，另外注意利用這個公式，從到，從 至，轉(zhuǎn)化20.已知函數(shù)宀| ;

19、i：L(1) 當 .時，求函數(shù)| ： .的單調(diào)增區(qū)間；(2)設函數(shù):?,若函數(shù):.-I-I/.-門的最小值是子，求的值；(3)若函數(shù).，的定義域都是.，對于函數(shù)|：.的圖象上的任意一點，在函數(shù)的圖象上都存在一點，使得，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，為坐標原點.求的取值范圍.【答案】(1) (2)【解析】試題分析：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可利用求導完成，求函數(shù)的最值可通過求導研究函數(shù)的單調(diào)性求出極值，并與區(qū)間端點函數(shù)值比較得出最值；解決C：/- I ?：:問題，先求出 斜率的取值范圍，根據(jù)垂直關系得出：斜率的取值范圍，轉(zhuǎn)化為恒成立問題，借助恒成立思想解題.試題解析：(1)當 II. - I 時，U 二.-JH,

20、 I :I .X IxX因為：在:-上單調(diào)增，且,所以當 .時二；當時，曠心.所以函數(shù) I:.的單調(diào)增區(qū)間是(2). . -/：,則 I -】11_1，令：?二狀得：一，XX*當時，,函數(shù)在:、匚上單調(diào)減；當時，函數(shù).：.在 y - ?=上單調(diào)增.所以 I ：八訂).， 當：“1 ，即時，函數(shù)-i：m：，的最小值-芒；-,7.1|：-沙，-17 -即 Il I-：，解得 J I 或. I -.(舍)，所以：-* ；當-!：, | ； ；，即時，VHy函數(shù) - 的最小值一 I ,:,解得.I -.(舍). 綜上所述，的值為.(3)由題意知，匸”-丄， .K70盂考慮函數(shù)，因為廠：二：“ 在| I

21、 , | 上恒成立，XK所以函數(shù).；一在.上單調(diào)增，故 二一 - -I所以.，即在.上恒成立，X即. , .|:. .、I ,:在 I I ,上恒成立.設- I .-,則一 J 一 |仆-在 11 .-I 上恒成立，所以 在 上單調(diào)減，所以：設:;,貝 U |：I ：、：-. I ： I ： :在 | i,； | 上恒成立，所以U 在 I 1. 、I 上單調(diào)增，所以：ii T- 1 - 綜上所述，的取值范圍為|.【點睛】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值和最值是高考常見基礎題，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可利用求導 完成，求函數(shù)的最值可通過求導研究函數(shù)的單調(diào)性求出極值，并與區(qū)間端點函數(shù)值比較得出 最值；恒成立為題為高

22、考熱點，已經(jīng)連續(xù)命題許多年，必須重視本題包括 21、22、23、24 四小題，請選定其中兩題，并在相應的答題區(qū)域內(nèi)作答.若多做, 則按作答的前兩題評分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.21.如圖，圓的弦 ，:交于點，且為弧的中點，點在弧 上.若，求 的 度數(shù).【答案】45【解析】試題分析：同弧或等弧所對的圓周角相等，利用等量代換，借助角與角的關系 求出所求的角試題解析：連結汕，】;.-18 -因為為弧.的中點，所以 用：厶腫而.；I: _-.1: ,所以：.- . -,即、一U：,又因為 小 mi:所以 -I：；. _：.ur, - . 一,、：故O二匸【點睛】平面幾何選講部分要注意

23、與圓有關的定理，特別是涉及到角的關系的定理，尋求角的相等，邊與邊的關系，大多利用全等三角形或相似三角形解題.22.已知矩陣 ，若.- l-，求矩陣的特征值.【答案】矩陣的特征值為，,.【解析】試題分析：根據(jù)矩陣運算解出.-，寫出矩陣的特征多項式，計算后令寧”求出特征值試題解析：因為 I. .：, I .,所以解得|所以:和所以矩陣的特征多項式為- : , - : / ： . - / : .,令:二；.二，解得矩陣的特征值為-，.【點睛】矩陣為選修內(nèi)容，根據(jù)矩陣運算解出.-，寫出矩陣的特征多項式，計算后令仲）=0,求出特征值 A .23.在極坐標系中，已知點；;巴擰；，點在直線 I.-上.當線段

24、 最短時，求點的極坐標.【答案】點的極坐標為；.4v【解析】試題分析：利用極坐標與直角坐標互化公式-:-，把化-19 -為直角坐標，再把的方程化為直角坐標方程，要使：述最短，過點作直線的垂線，垂足為，寫出垂線方程，解方程組求出交點坐標，再化為極坐標試題解析：以極點為原點，極軸為軸正半軸，建立平面直角坐標系，則點/.-.i.-:的直角坐標為；/；：,直線的直角坐標方程為遼十-二.濁最短時，點為直線:- -與直線的交占八、解得所以點的直角坐標為- f 匯所以點的極坐標為：. 4【點睛】極坐標為選修內(nèi)容，掌握極坐標與直角坐標互化公式，掌握點和方程的互化，結合 解析幾何知識解題.24.已知，為正實數(shù)，

25、且.求證：.【答案】詳見解析【解析】試題分析：根據(jù)|實施等轉(zhuǎn)不等，得出，再根據(jù)三個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于幾何平均數(shù)，證明出結論試題解析：因為：- .: . ,所以 J.r ,所以 I. -： il當且僅當.:. :時，取“”.【點睛】不等式選講為選修內(nèi)容，注意利用均值不等式、柯西不等式、排序不等式進行證明，另外注意選用證明方法，如綜合法、分析法、反證法，與正整數(shù)有關的命題有時還采用數(shù)學 歸納法【必做題】第 25 題、第 26 題，每題 10 分，共計 20 分請在答題卡指定區(qū)域.內(nèi)作答，解答 時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.25.在平面直角坐標系中，點，直線與動直線的交點為，線段：的中垂線與動直線|：的交點為.(1) 求動點的軌跡的方程；(2)過動點作曲線的兩條切線，切點分別為， ， 求證： 厶毗門的大小為定值.-20 -=1a*F*掃【答案】(1)曲線的方程為( 2 )詳見解析【解析】 試題分析： 根據(jù)題意動點到定點距離等于到定直線距離,符合拋物線定義,寫出 拋物線方程.第二步設出育線方程,聯(lián)立方程組，根據(jù)根與系數(shù)關系可得k泊=-1,可知ZAMB =90“為定值.試題解析：(1