幾何畫板生成橢圓曲線八法

1、幾何畫板生成橢圓曲線八法浙江省上虞市春暉中學(xué) 張黎慶 312353 軟件幾何畫板可提供曲線的動(dòng)態(tài)變化過程，便于我們觀察與驗(yàn)證曲線，如果能制作出富于表現(xiàn)力的曲線動(dòng)態(tài)效果的課件，可幫助學(xué)生理解抽象曲線的變化規(guī)律解、增強(qiáng)想象能力。下面介紹繪制橢圓曲線的八種方法與同行們商榷。一、定義法（到兩定點(diǎn)的距離和等于定長(zhǎng)）選取“線段”工具，在繪圖板中作一線段AB（線段AB的長(zhǎng)度為橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a）。用“點(diǎn)”工具在線段上任取一點(diǎn)C，按住shift鍵先后選中A，C點(diǎn)，選擇“變換”“標(biāo)記向量 "AC"”。再用“點(diǎn)”工具再用點(diǎn)工具任取一點(diǎn)D，選中點(diǎn)D，選擇“變換”“平移”，選中“按標(biāo)記的向量”，然后

2、確定，會(huì)得到點(diǎn)D'。 按住shift鍵，先后選中點(diǎn)D和D'，選擇“作圖”“以圓心和圓周上的點(diǎn)畫圓”，選中點(diǎn)D'，按Ctrl+H鍵將其隱藏。按住shift鍵，先后選中B，C點(diǎn)，選擇“變換”“標(biāo)記向量 "BC"”。用點(diǎn)工具另作一點(diǎn)E，使其與D點(diǎn)的距離小于線段AB的長(zhǎng)（線段DE的長(zhǎng)為2c），選中點(diǎn)E，選擇“變換”“平移”，選中“按標(biāo)記的向量”，然后確定，會(huì)得到點(diǎn)E'。圖1按住shift鍵，先后選中點(diǎn)E和E'，選擇“作圖”“以圓心和圓周上的點(diǎn)畫圓”，選中點(diǎn)E'，按Ctrl+H鍵將其隱藏。按住shift鍵，選中兩個(gè)圓的圓周，選擇“作圖”

3、“交點(diǎn)”（或按Ctrl+I鍵），作出交點(diǎn)F和G。以下可以分兩個(gè)方向進(jìn)行：1.按住shift鍵，先后選中點(diǎn)F和點(diǎn)C，選擇“作圖”“軌跡”，作出橢圓的上半部分；同理先后選中點(diǎn)G和點(diǎn)C，作出橢圓的下半部分（如圖1）。2.按住shift鍵，先后選中點(diǎn)F，選擇“顯示”“追蹤點(diǎn)”，同樣選中點(diǎn)G和點(diǎn)C，選擇“顯示”“追蹤點(diǎn)”。按住shift鍵，先后選中點(diǎn)C和線段AB，選擇“編輯”“操作類按鈕”“動(dòng)畫”，彈出“匹配路徑”對(duì)話框，選擇“雙向”、“沿著線段j”、“慢慢地”，按“動(dòng)畫”按鈕完成設(shè)置。這時(shí)，繪圖板上會(huì)出現(xiàn)一個(gè)“動(dòng)畫”按鈕，雙擊“動(dòng)畫”按鈕，就會(huì)自動(dòng)畫出橢圓。完成，存盤退出。二、準(zhǔn)線法（到定點(diǎn)的距離與到

4、定直線的距離之比為常數(shù)e）打開一個(gè)新的繪圖板，選擇“圖表”“建立坐標(biāo)軸”。用“線段”工具作線段CD，在線段CD上任取一點(diǎn)E。同時(shí)選中點(diǎn)C和點(diǎn)E，選擇“度量”“距離”，量出CE的長(zhǎng)。同樣量出CD的長(zhǎng)。按住shift鍵，選中量出的CE和CD的距離，按鼠標(biāo)右鍵彈出對(duì)話框，選擇“度量”“計(jì)算”。在打開的計(jì)算器中選擇“數(shù)值”“距離（C到E）”。選擇“/”“距離（C到D）”“確定”。在繪圖板上就會(huì)出現(xiàn)CE和CD的比值。用“文本工具”雙擊該值，彈出“度量值格式”對(duì)話框，選擇“T文本格式”。 將“距離（C到E）/距離（C到D）”改成“e”，確定，完成改變。選中點(diǎn)B，按Ctrl+H鍵隱藏，在X軸上取點(diǎn)F（F為橢

5、圓的一個(gè)焦點(diǎn)）。作線段GH，在其上取點(diǎn)I。用上面的方法量出GI的距離，并將其距離名稱改為c。選中c和e的值，打開計(jì)算器，將c除以e的值求出，并將其名改為a。選中a的計(jì)算值，選擇“圖表”“繪制度量值”，彈出“繪制度量值”對(duì)話框。選擇“H在橫(x)軸”，確定，作出垂直于x軸的一條直線。選中c的度量值，選擇“變換”“標(biāo)記距離”，選中F點(diǎn)，選擇“變換”“平移”，彈出“平移”對(duì)話框，選擇“按標(biāo)記的距離”，確定，作出點(diǎn)F平移后的點(diǎn)F'。圖2先后選中點(diǎn)F和點(diǎn)F'，選擇“作圖”“以圓心和圓周上的點(diǎn)畫圓”。選中該圓周和上面作出的垂直于x軸的直線，按Ctrl+I繪出交點(diǎn)J和K。 選中點(diǎn)J和點(diǎn)K，選

6、擇“顯示”“追蹤點(diǎn)”。選中點(diǎn)I和線段GH，選擇“編輯”“操作類按鈕”“動(dòng)畫”，彈出“匹配路徑”對(duì)話框，選擇“雙向”、“沿著線段n”、“慢慢地”，按“動(dòng)畫”按鈕完成設(shè)置。這時(shí)，繪圖板上會(huì)出現(xiàn)一個(gè)“動(dòng)畫”按鈕，雙擊“動(dòng)畫”按鈕，就會(huì)自動(dòng)畫出橢圓（如圖2）選中CE、CD、e、c和a的值，按Ctrl+H隱藏。完成，存盤退出。三、同心圓法。選擇“文件”“新繪圖”，選擇“圖表”“建立坐標(biāo)軸”，用“圓”工具作兩圓心為原點(diǎn)的同心圓（外圓半徑長(zhǎng)就是最終橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a，內(nèi)圓半徑長(zhǎng)就是最終橢圓的短半軸長(zhǎng)b），選中點(diǎn)B和圓周上的點(diǎn)C和D，按Ctrl+H鍵隱藏。圖3選擇“顯示”“線型”“虛線”，在外圓圓周上任取一點(diǎn)E

7、，按住shift鍵，同時(shí)選中點(diǎn)A和點(diǎn)E，按Ctrl+L作出線段AE，同時(shí)選中線段AE和內(nèi)圓圓周，按Ctrl+I鍵作出交點(diǎn)F。按住shift鍵，同時(shí)選中點(diǎn)E和縱坐標(biāo)軸，選擇“作圖”“平行線”，作出一直線，再同時(shí)選中點(diǎn)F和橫坐標(biāo)軸，選擇“作圖”“平行線”，作出另一直線。同時(shí)選中這兩條直線，按Ctrl+I鍵作出交點(diǎn)G。以下可以分兩個(gè)方向進(jìn)行：1.選擇“顯示”“線型”“細(xì)線”，同時(shí)選中交點(diǎn)G和外圓圓周上的點(diǎn)E，選擇“作圖”“軌跡”就作出了橢圓（如圖3）。 完成，存盤退出。選擇“顯示”“線型”“細(xì)線”，選中點(diǎn)G，選擇“顯示”“追蹤點(diǎn)”。按住shift鍵，同時(shí)選中外圓圓周上的點(diǎn)E和外圓圓周，選擇“編輯”“

8、操作類按鈕”“動(dòng)畫”，彈出“匹配路徑”對(duì)話框，選擇“單向”、“繞圓c2”、“快速地”，按下“動(dòng)畫”按鈕確定。這時(shí)，繪圖板上會(huì)出現(xiàn)一個(gè)“動(dòng)畫”按鈕，雙擊“動(dòng)畫”按鈕，就會(huì)自動(dòng)畫出橢圓。完成，存盤退出。四、單圓法（1）打開一個(gè)新的繪圖板，選取“圓”工具作一圓（圓的半徑長(zhǎng)即2a），選中圓周上的點(diǎn)B，按Ctrl+H隱藏。在圓的內(nèi)部任選一點(diǎn)C（A，C即橢圓的交點(diǎn)）。在圓周上任取一點(diǎn)D，同時(shí)選中點(diǎn)C和點(diǎn)D，按Ctrl+L鍵作線段CD。選中線段CD，按Ctrl+M作出CD的中點(diǎn)E，再同時(shí)選中點(diǎn)E和線段CD，選擇“作圖”“垂線”，作出垂線k。同時(shí)選中點(diǎn)A和點(diǎn)D，按Ctrl+L鍵作線段AD。再同時(shí)選中垂線k和線

9、段AD，按Ctrl+I鍵作出交點(diǎn)F，想一想，點(diǎn)F到點(diǎn)A和點(diǎn)C的距離是不是定值。圖4選中點(diǎn)F，按Ctrl+T鍵追蹤點(diǎn)F。選中點(diǎn)D和圓周，選擇“編輯”“操作類按鈕”“動(dòng)畫”，彈出“匹配路徑”對(duì)話框，選擇“單向”、“繞圓c1”、“正常地”，按“動(dòng)畫”按鈕完成設(shè)置。這時(shí)，繪圖板上會(huì)出現(xiàn)一個(gè)“動(dòng)畫”按鈕，雙擊“動(dòng)畫”按鈕，就會(huì)自動(dòng)畫出橢圓（如圖4）。另外您也可以同時(shí)選中點(diǎn)F和點(diǎn)D，選擇“作圖”“軌跡”也可以作出該橢圓。完成，存盤退出五、單圓法（2）打開一個(gè)新的繪圖板，選擇“圖表”“建立坐標(biāo)軸”，選中點(diǎn)B，按Ctrl+H鍵隱藏。用“圓”工具作一圓，圓心為原點(diǎn)A，圓周上的控制點(diǎn)為C，選中點(diǎn)C，按Ctrl+H

10、鍵隱藏。選中圓周和縱坐標(biāo)軸，按Ctrl+I鍵作出交點(diǎn)D、E，在圓周上任取一點(diǎn)F。選擇工具箱里的“直線”工具（按下“線段”工具按鈕，向右拖動(dòng)鼠標(biāo)，就會(huì)看到“直線”工具按鈕），同時(shí)選中點(diǎn)E和點(diǎn)F，按Ctrl+L鍵作出過點(diǎn)E、F的直線。選中點(diǎn)F和縱坐標(biāo)軸，選擇“作圖”“平行線”，作出平行于y軸的直線。選中該直線和橫坐標(biāo)軸，按Ctrl+I鍵作出交點(diǎn)G。圖5同時(shí)選中點(diǎn)D和點(diǎn)G，按Ctrl+L鍵作出過點(diǎn)D、G的直線。同時(shí)選中直線EF和直線DG，按Ctrl+I鍵作出交點(diǎn)H。選中點(diǎn)H，選擇“顯示”“追蹤點(diǎn)”。同時(shí)選中點(diǎn)F和它所在的圓周，選擇“編輯”“操作類按鈕”“動(dòng)畫”，彈出“匹配路徑”對(duì)話框，設(shè)定為“單向”

11、、“繞圓c1”、“正常地”，按“動(dòng)畫”按鈕確定，這時(shí)繪圖板上會(huì)出現(xiàn)“動(dòng)畫”按鈕 此時(shí)雙擊“動(dòng)畫”按鈕就會(huì)自動(dòng)畫出橢圓（如圖5）。完成，存盤退出。六、三角形法。打開一個(gè)新的繪圖板，選擇“圖表”“建立坐標(biāo)軸”，選中點(diǎn)B，按Ctrl+H隱藏。選取“線段”工具，作一任意長(zhǎng)度的線段CD。在縱坐標(biāo)軸上任取兩點(diǎn)E、F，使得該兩點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)A的距離都大于線段CD的長(zhǎng)。選中點(diǎn)E、F，按Ctrl+L鍵作出線段EF。在縱坐標(biāo)軸上取一點(diǎn)G，使得線段AG的長(zhǎng)小于CD。選中點(diǎn)G和線段CD，選擇“作圖”“以圓心和半徑畫圓”。選中該圓周和橫坐標(biāo)軸，按Ctrl+I鍵作出交點(diǎn)H和I。選中H點(diǎn)，按Ctrl+H鍵隱藏。選中點(diǎn)I和線段

12、CD，選擇“作圖”“以圓心和半徑畫圓”。選中兩個(gè)圓周，按Ctrl+I鍵作出交點(diǎn)K和J。選中點(diǎn)J，按Ctrl+H鍵隱藏。同時(shí)選中點(diǎn)G、I和K，按Ctrl+L鍵作出三角形。雙擊坐標(biāo)原點(diǎn)A，將其標(biāo)記為中心（也可按Ctrl+F鍵，還可選擇“變換”“標(biāo)記中心 "A"”來完成該操作）。選中點(diǎn)K，選擇“變換”“旋轉(zhuǎn)”，彈出旋轉(zhuǎn)對(duì)話框。對(duì)話框中應(yīng)該顯示“關(guān)于中心原點(diǎn)A”，否則就是中心設(shè)得不正確。將框中的度數(shù)改為180，確定，就會(huì)的到點(diǎn)K'。同時(shí)選中點(diǎn)K和K'，選擇“顯示”“追蹤點(diǎn)”。圖6再同時(shí)選中點(diǎn)G和線段EF（選EF時(shí)需要注意：在線段EF上單擊是選中縱坐標(biāo)軸，而非線段EF

13、，再單擊才是選中線段EF，然后需要單擊縱坐標(biāo)軸上線段EF以外的地方來取消對(duì)縱坐標(biāo)軸的選中，上述操作都需要按住shift鍵）。選擇“編輯”“操作類按鈕”“動(dòng)畫”，彈出匹配路徑對(duì)話框，設(shè)置為“雙向”、“沿著線段k”、“慢慢地”，按“動(dòng)畫”按鈕完成設(shè)置。此時(shí)雙擊“動(dòng)畫”按鈕就會(huì)自動(dòng)畫出橢圓（如圖6）。 完成，存盤退出。另外，有兩點(diǎn)需要注意：1.只要是相交的兩條直線就可以作出橢圓，不一定要選擇坐標(biāo)系的x軸和y軸。2.三角形GIK只要是固定形狀不變就可以了，不一定要選擇正三角形，選正三角形只是為了作圖的方便七、包絡(luò)線法。圖7打開一個(gè)新的繪圖板，用“圓”工具作一圓，圓心為A。在圓內(nèi)部任取一點(diǎn)C，在圓周上任

14、取一點(diǎn)D，連接AC和CD。選中線段CD，按Ctrl+M鍵作出線段CD的中點(diǎn)E，選中點(diǎn)E和線段CD。選擇“作圖”“垂線”作出一垂線。選中該垂線，選擇“顯示”“追蹤直線”。同時(shí)選中點(diǎn)D和它所在的圓周，選擇“編輯”“操作類按鈕”“動(dòng)畫”，彈出“匹配路徑”對(duì)話框，設(shè)定為“單向”、“繞圓c1”、“慢慢地”，按“動(dòng)畫”按鈕確定，這時(shí)繪圖板上會(huì)出現(xiàn)“動(dòng)畫”按鈕。此時(shí)雙擊“動(dòng)畫”按鈕就會(huì)自動(dòng)畫出橢圓（如圖7）。 完成，存盤退出。八、切線法。打開一個(gè)新的繪圖板，選擇“圖表”“建立坐標(biāo)軸”，選中點(diǎn)B，按Ctrl+H鍵隱藏。用“圓”工具作一圓，圓心為原點(diǎn)A，圓周上的控制點(diǎn)為C，選中點(diǎn)C，按Ctrl+H鍵隱藏。選中圓周和橫坐標(biāo)軸，按Ctrl+I鍵作出交點(diǎn)D、E。選中點(diǎn)D和橫坐標(biāo)軸，選擇“作圖”“垂線”，作出垂線j，同樣的方法作出過E點(diǎn)垂直于橫坐標(biāo)軸的直線k。圖8在圓周上任去一點(diǎn)F，同時(shí)選中點(diǎn)F和點(diǎn)A，按Ctrl+L鍵作出線段FA。再同時(shí)選中點(diǎn)F和線段FA，選擇“作圖”“垂線”作出該圓的切線。選中該切線和垂線j，按Ctrl+I鍵作出交點(diǎn)G，同樣的方法作出該切線和垂線k的交點(diǎn)H。連接點(diǎn)G和點(diǎn)E（同時(shí)選中兩點(diǎn)，按Ctrl+L鍵），