噪聲信號特征量分布函數(shù)相似特性的研究

1、中國科技論文在線噪聲信號特征量分布函數(shù)相似特性的研究 林穎璐，閆振綱，楊娟，王春勇，卞保民作者簡介：林穎璐（1989），女，研究生，主要研究方向：顆粒檢測光電傳感器通信聯(lián)系人：卞保民（1956），男，教授，主要研究方向：激光塵埃粒子計(jì)數(shù)技術(shù)及儀器. E-mail: bianbaomin_561.51.5Department of Information Physics and Engineering, Nanjing University of Science and Technology;Department of Information Physics and Engineering, N

2、anjing University of Science and Technology;Department of Information Physics and Engineering, Nanjing University of Science and Technology;Department of Information Physics and Engineering, Nanjing University of Science and Technology;Department of Information Physics and Engineering, Nanjing Unive

3、rsity of Science and Technology南京理工大學(xué)信息物理與工程系;南京理工大學(xué)信息物理與工程系;南京理工大學(xué)信息物理與工程系;南京理工大學(xué)信息物理與工程系;南京理工大學(xué)信息物理與工程系210094;21009413605198370;1385152428102584315019;02584315019南京理工大學(xué)理學(xué)院;南京理工大學(xué)理學(xué)院linyinglu;Zhenhuali;yangjun;chunyngwang;bianbaomin_56林穎璐（1989），女，研究生，主要研究方向：顆粒檢測光電傳感器;卞保民（1956），男，教授，主要研究方向：激光塵埃粒子計(jì)數(shù)技

4、術(shù)及儀器林穎璐;閆振綱;楊娟;王春勇;卞保民Lin Yinglu;Yan Zhengang;Yang Juan;Wang chunyong;BIAN Baomin卞保民1.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51*|*期刊*|*Li Y H，Chen C X，Liu Y Z，Jiang C，Zou Z Y，Ou Y，Li Z A 2008 Chin. PHYS.LETT. 25 4093<CR>2*|*期刊*|*陳春霞、杜磊、何亮、胡瑾、黃小君、衛(wèi)濤 2007 物理學(xué)報(bào) 56 6674<CR>3*|*期刊*|*Yang S, Li Z S,

5、 Wang X L 2002 Acoustical Society of America 112 172<CR>4*|*期刊*|*Abbas Golestani, M. R. Jahed Motlagh, K. Ahmadian, Amir H. Omidvarnia, Nasser Mozayani 2009 American Institute of Physics 19 013137<CR>5*|*專著*|*趙健、雷蕾、蒲小勤 2008 分形理論及其在信號處理中的應(yīng)用 (北京：清華大學(xué)出版社) 第7頁<CR>6*|*期刊*|*Felix J. Herr

6、mann, C. Stark 69th Annual Meeting of the Society of Exploration Geophysicists, Expanded Abstracts, Tulsa, 1999<CR>7*|*期刊*|*Madalena Costa, Ary L. Goldberger, C. K. Peng 2002 Phys. Rev. Lett. 89 068102<CR>8*|*期刊*|*Pablo Torío，Manuel G. Sánchez 2007 IEEE TRANSACTIONS ON VEHICULA

7、R TECHNOLOGY 56 2844<CR>9*|*期刊*|*Pablo Torío，Manuel G. Sánchez 2005 IEEE TRANSACTIONS ON VEHICULAR TECHNOLOGY 47 559<CR>10*|*期刊*|*楊娟、卞保民、彭剛、李振華 2011 物理學(xué)報(bào) 60 010508<CR>11*|*期刊*|*疏學(xué)明、方俊、申世飛、劉勇進(jìn)、袁宏永、范維澄 2006 物理學(xué)報(bào) 55 4466<CR>12*|*期刊*|*M. Xu and R. R. Alfano 2005 OPTICS

8、LETTERS 30 3051<CR>13*|*期刊*|*Stéphane Chamot, Elena Migacheva, Olivier Seydoux, Pierre Marquet, Christian Depeursinge 2010 Optical Society of America 18 23664<CR>14*|*期刊*|*楊娟、卞保民、彭剛、李振華 2010 物理學(xué)報(bào) 59 7713|1|林穎璐|Lin Yinglu|南京理工大學(xué)信息物理與工程系|Department of Information Physics and Engineeri

9、ng, Nanjing University of Science and Technology|林穎璐（1989），女，研究生，主要研究方向：顆粒檢測光電傳感器|南京理工大學(xué)理學(xué)院|210094|linyinglu|02584315019lt;CR>|2|閆振綱|Yan Zhengang|南京理工大學(xué)信息物理與工程系|Department of Information Physics and Engineering, Nanjing University of Science and Technology|Zhenhuali|<CR>|3|楊娟|Y

10、ang Juan|南京理工大學(xué)信息物理與工程系|Department of Information Physics and Engineering, Nanjing University of Science and Technology|yangjun|<CR>|4|王春勇|Wang chunyong|南京理工大學(xué)信息物理與工程系|Department of Information Physics and Engineering, Nanjing University of Science and Technology|chunyngwang|<CR>*|5|卞保民|

11、BIAN Baomin|南京理工大學(xué)信息物理與工程系|Department of Information Physics and Engineering, Nanjing University of Science and Technology|卞保民（1956），男，教授，主要研究方向：激光塵埃粒子計(jì)數(shù)技術(shù)及儀器|南京理工大學(xué)理學(xué)院|210094|bianbaomin_56|02584315019聲信號特征量分布函數(shù)相似特性的研究|The similarity between the distribution functions of characteristic

12、quantities for noise signal|- 11 -（南京理工大學(xué)信息物理與工程系）摘要：應(yīng)用高速數(shù)據(jù)采集卡，記錄懸浮顆粒計(jì)數(shù)光電傳感器本底噪聲信號序列值，研究噪聲信號獨(dú)立特征量，如：信號幅度極值、上升沿幅值、下降沿幅值、極值時(shí)序間隔，以及特征量乘積值等統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律。結(jié)果表明，上述獨(dú)立特征量均能夠與以自然數(shù)l為自變量的對數(shù)正態(tài)分布函數(shù)高精度吻合，噪聲信號特征量統(tǒng)計(jì)分布呈現(xiàn)出高度相似特征?；谶@種統(tǒng)計(jì)相似性，還可推出噪聲信號不同特征量對應(yīng)的統(tǒng)計(jì)自變量之間的冪函數(shù)變換關(guān)系。噪聲信號特征量統(tǒng)計(jì)分布函數(shù)相似性可理解為噪聲信號集合統(tǒng)計(jì)分形特性的一種表現(xiàn)。關(guān)鍵詞：分形1；噪聲信號特征量2；

13、統(tǒng)計(jì)相似性3；對數(shù)正態(tài)分布4；中圖分類號：N93The similarity between the distribution functions of characteristic quantities for noise signalLin Yinglu, Yan Zhengang, Yang Juan, Wang chunyong, BIAN Baomin(Department of Information Physics and Engineering, Nanjing University of Science and Technology)Abstract: For studyin

14、g the statistical properties of characteristic quantities in noise signal, such as the amplitude of extreme, the amplitude of the rising edge and falling edge, the interval between extreme points and the product value of the quantities，the background noise signal sequence value of photoelectric sens

15、or in suspended particles counter are recorded by using the high-speed data acquisition card. The results show that, the statistical distribution of these characteristic quantities match well with the form of the lognormal distribution while using natural number l as the independent variable. The st

16、atistical distributions of characteristic quantities show a high degree of similar characteristics. Based on this statistical similarity can introduce the transform relationship between the independent variables corresponding to different characteristic quantities by power function. The similarity b

17、etween statistical distribution functions of characteristic quantities can be understood as a kind of performance of statistical fractal characteristics for noise signal collections.Key words: fractal1；characteristic quantity in noise signal2； statistical similarity3; log-normal distributiongeneral4

18、0 引言隨著分形概念提出和研究的不斷深入，眾多研究人員在隨機(jī)噪聲信號的分析中引入分形理論，并取得了許多研究成果?；诜中魏妥韵嗨评碚?，大量研究結(jié)果發(fā)現(xiàn)，中子輻射光耦合器噪聲信號、金屬互連電遷移噪聲信號、船舶輻射噪聲信號等均具有明顯的分形特性1,2,3，并可以利用分形維數(shù)，研究分辨確定性信號與隨機(jī)信號的方法4。這說明，分形與信號之間存在著一種自然聯(lián)系，而正是這種聯(lián)系，奠定了分形理論用于信號處理的基礎(chǔ)，開辟了信號應(yīng)用的新領(lǐng)域5。隨機(jī)噪聲特性的分析，還存在許多其它常用方法。在對地震回波的分析中，美國MIT的科學(xué)家Felix. J. Herrmann提出了單尺度子波的信號分析方法 6，Madalena

19、 Costa等人提出的多尺度熵方法對生理時(shí)間序列的無規(guī)則程度給予了描述7，這些方法均可用于建立電子噪聲的分析模型。在對脈沖噪聲的研究中，Pablo Torío和Manuel G. Sánchez提出了同時(shí)采用水平及垂直兩個(gè)極軸對脈沖進(jìn)行分析的方法，并給出了脈沖的幅度分布及累計(jì)幅度分布均服從對數(shù)正態(tài)分布的實(shí)驗(yàn)結(jié)果8,9。楊娟等人在懸浮顆粒散射光脈沖信號幅度、寬度隨機(jī)性分布特征研究時(shí)也發(fā)現(xiàn)，對應(yīng)的計(jì)數(shù)分布服從以自然數(shù)為自變量的對數(shù)正態(tài)分布形式，認(rèn)為這種現(xiàn)象是隨機(jī)信號具有統(tǒng)計(jì)分形特征的表現(xiàn)10。以上研究結(jié)果表明，利用分形及自相似理論對隨機(jī)噪聲信號的時(shí)域特性進(jìn)行分析，對研究隨機(jī)信號

20、內(nèi)部結(jié)構(gòu)的統(tǒng)計(jì)特性具有重要意義。本文應(yīng)用PCI-9812高速數(shù)據(jù)采集卡，對懸浮顆粒光散射計(jì)數(shù)光電傳感器本底噪聲信號幅度值進(jìn)行記錄，并對信號時(shí)序大樣本記錄值進(jìn)行詳細(xì)的統(tǒng)計(jì)分析研究。以信號極大值、極小值為基本標(biāo)志，計(jì)算極值幅度和、上升沿幅值、下降沿幅值、極值時(shí)間間隔、極值時(shí)間間隔與對應(yīng)下降沿幅值乘積等信號特征量的統(tǒng)計(jì)分布。結(jié)果表明，上述噪聲信號特征量的統(tǒng)計(jì)結(jié)果均以很高的精度服從以自然數(shù)為自變量的對數(shù)正態(tài)分布。基于統(tǒng)計(jì)概率分布等價(jià)條件，可進(jìn)一步推導(dǎo)特征量統(tǒng)計(jì)函數(shù)對應(yīng)自變量之間存在非線性變換關(guān)系。這種普遍的冪函數(shù)變換關(guān)系表明，隨機(jī)噪聲信號可作為統(tǒng)計(jì)分形的典型系統(tǒng)。相似變換反映了噪聲信號特征量群的統(tǒng)計(jì)分

21、布具有相同的本質(zhì)特性，等價(jià)于以無量綱量為自變量的高斯分布。1 光電傳感器本底噪聲信號、信號特征量及其統(tǒng)計(jì)分布函數(shù)使用PCI-9812高速數(shù)據(jù)采集卡將懸浮顆粒計(jì)數(shù)光電傳感器的噪聲信號輸入計(jì)算機(jī)存儲，參見圖1，而后進(jìn)行數(shù)據(jù)計(jì)算分析處理。高速數(shù)據(jù)采集卡計(jì)算機(jī)計(jì)數(shù)光電傳感器示波器圖1 光電傳感器本底噪聲信號測量系統(tǒng)示意簡圖噪聲信號具有隨機(jī)信號的基本特征，信號幅值觀測值對應(yīng)于以時(shí)序?yàn)樽宰兞康暮瘮?shù)，參見圖2。圖2 光電傳感器本底噪聲信號特征量示意圖任意信號的測量結(jié)果能夠用個(gè)元素的集合描述，。元素的下標(biāo)“”代表時(shí)序自然數(shù)，為測量系統(tǒng)數(shù)據(jù)記錄時(shí)序的分辨率。取信號幅度分辨率為，可定義，將變換成集合，對，有。為自

22、然數(shù)，即序列自然數(shù)集合能夠作為的映射。且有，。依相鄰時(shí)序信號記錄值變化的單調(diào)性，定義隨機(jī)信號的兩個(gè)基本特征量序列：極大值序列，極小值序列，參見圖2中的參量符號。在基本特征量基礎(chǔ)上可定義具有相對獨(dú)立性的其它特征量，如相鄰一對極值幅度、，極值寬度、。還可定義復(fù)合特征量，如“極值幅寬積”、等等。、以及上述所有獨(dú)立特征量時(shí)序記錄值均為隨機(jī)量集合。任何集合都能夠依數(shù)值大小進(jìn)行重新排序，這種排序結(jié)果的一種形式即集合的統(tǒng)計(jì)分布。函數(shù)的數(shù)值定義為 （1）代表元素總數(shù)，代表中觀測值滿足的元素?cái)?shù)。在分檔數(shù)為有限值的條件下，函數(shù)的數(shù)值隨總樣本量的增大趨于穩(wěn)定；而在有限觀測值域的條件下，取統(tǒng)計(jì)模型，幾何直方圖將對應(yīng)于

23、連續(xù)性概率密度函數(shù)的一種映射形式 （2）代表集合統(tǒng)計(jì)模型中觀測值滿足的元素?cái)?shù)。由確定實(shí)驗(yàn)條件下噪聲信號集合衍生出來的信號特征量集合都具有隨機(jī)性，它們的統(tǒng)計(jì)分布函數(shù)之間必然存在密切的相互關(guān)聯(lián)性。2 隨機(jī)噪聲信號特征量統(tǒng)計(jì)分布的測定在本文的測試條件下，信號幅度最多可分布在4096個(gè)序列相鄰的等間隔通道內(nèi)，信號采樣率可達(dá)。集合元素樣本總量超過100萬。（1）隨機(jī)噪聲記錄值的統(tǒng)計(jì)分布光電傳感器噪聲信號序列記錄值的統(tǒng)計(jì)結(jié)果參見圖3。圖3中序列點(diǎn)代表測量值的統(tǒng)計(jì)，連續(xù)曲線代表以統(tǒng)計(jì)分布極大值為對稱中心的水平鏡像曲線。兩種形式差異表明集合的統(tǒng)計(jì)分布具有不對稱性。圖3 幅值計(jì)數(shù)分布對稱性對比 圖4 幅值計(jì)數(shù)分

24、布擬合曲線圖圖4給出以自然數(shù)為自變量的對數(shù)正態(tài)分布函數(shù)進(jìn)行擬合的結(jié)果，容易看出，的統(tǒng)計(jì)分布以極高的精準(zhǔn)度與函數(shù)吻合。函數(shù)的具體形式見（3）式（3）取函數(shù)為連續(xù)形式時(shí)，即設(shè)，則有，。圖4中的統(tǒng)計(jì)函數(shù)考慮條件，取歸一化系數(shù)，其余參數(shù)見表1。表1 圖4中噪聲信號幅度統(tǒng)計(jì)分布函數(shù)的相關(guān)參數(shù)測量對象測量數(shù)據(jù)擬合數(shù)據(jù)總樣本量N統(tǒng)計(jì)參量統(tǒng)計(jì)參量統(tǒng)計(jì)參量統(tǒng)計(jì)參量7894683974.130.1091978.330.1088（2）隨機(jī)噪聲信號幅度極值、的統(tǒng)計(jì)分布取隨機(jī)噪聲的幅值、進(jìn)行統(tǒng)計(jì)計(jì)算，對應(yīng)的分布曲線分別參見圖5、圖6，擬合曲線的計(jì)算參數(shù)參見表2，歸一化系數(shù)均為。特征值、的統(tǒng)計(jì)結(jié)果與模型曲線吻合得很好。圖

25、5 極大值統(tǒng)計(jì)分布 圖6 極小值統(tǒng)計(jì)分布表2 噪聲信號幅度極值、統(tǒng)計(jì)分布函數(shù)的相關(guān)參數(shù)測量對象測量數(shù)據(jù)擬合數(shù)據(jù)總樣本量N統(tǒng)計(jì)參量統(tǒng)計(jì)參量統(tǒng)計(jì)參量統(tǒng)計(jì)參量1047575992.630.1065996.280.106310475751079.740.09381082.450.0936（3）隨機(jī)噪聲特征量、的統(tǒng)計(jì)分布取隨機(jī)噪聲特征量、進(jìn)行統(tǒng)計(jì)計(jì)算，對應(yīng)的計(jì)數(shù)分布曲線分別參見圖7、圖8，擬合曲線的計(jì)算參數(shù)參見表3。擬合曲線選用的歸一化系數(shù)分別為、。、統(tǒng)計(jì)結(jié)果與模型曲線高精度吻合。圖7 極值幅度統(tǒng)計(jì)曲線 圖8 極值間隔統(tǒng)計(jì)曲線表3 噪聲信號特征量、統(tǒng)計(jì)分布函數(shù)的相關(guān)參數(shù)測量對象測量數(shù)據(jù)擬合數(shù)據(jù)總樣本量N

26、統(tǒng)計(jì)參量統(tǒng)計(jì)參量統(tǒng)計(jì)參量統(tǒng)計(jì)參量104757438.431.385427.172.2210104757548.760.194248.870.1970其中的統(tǒng)計(jì)分布為單調(diào)結(jié)構(gòu)，模型計(jì)算參數(shù)滿足。對于這種離散度比較大的隨機(jī)分布，也不少研究者用冪函數(shù)形式代替上述統(tǒng)計(jì)函數(shù)1113。（4）隨機(jī)噪聲復(fù)合特征量的統(tǒng)計(jì)分布復(fù)合特征量定義為兩個(gè)獨(dú)立特征量、的乘積。的統(tǒng)計(jì)分布也具有單調(diào)結(jié)構(gòu)，參見圖9。擬合曲線計(jì)算參數(shù)參見表4，對應(yīng)的歸一化系數(shù)為。圖9 信號復(fù)合特征量統(tǒng)計(jì)分布表4 噪聲信號復(fù)合特征量統(tǒng)計(jì)分布函數(shù)的相關(guān)參數(shù)測量對象測量數(shù)據(jù)擬合數(shù)據(jù)總樣本量N統(tǒng)計(jì)參量統(tǒng)計(jì)參量統(tǒng)計(jì)參量統(tǒng)計(jì)參量10475748.071.47

27、485.003.0000上述不同特征量的統(tǒng)計(jì)分布明顯不滿足中心對稱性，理論上用正態(tài)分布函數(shù)描述并不合適。但是，計(jì)算結(jié)果表明，無論它們表現(xiàn)為單調(diào)形式或單峰形式，都能夠用同一數(shù)學(xué)模型描述。我們認(rèn)為，這與噪聲信號特征參數(shù)隨機(jī)特性共同本質(zhì)的反映，也表明對數(shù)正態(tài)分布函數(shù)可能更具有普遍意義14。3 噪聲信號觀測特征量的值域與分布函數(shù)歸一化系數(shù)上述測試數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)計(jì)算結(jié)果表明，噪聲信號觀測特征參數(shù)集合均以很高的精準(zhǔn)程度服從以自然數(shù)為自變量的對數(shù)正態(tài)分布。在（3）式代表的統(tǒng)計(jì)模型中，任意特征量（、等）對應(yīng)觀測值的有效數(shù)位數(shù)一定隨觀測分辨率減小而增加，而各自的高位數(shù)值具有良好的穩(wěn)定性。與統(tǒng)計(jì)特征參數(shù)對應(yīng)的，雖然形

28、式上，與之對應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特征值趨于常數(shù)。且，可見在統(tǒng)計(jì)模型中自變量具有連續(xù)變量的性質(zhì)（提請注意為自然數(shù)）。以下計(jì)算可證明，統(tǒng)計(jì)函數(shù)的歸化系數(shù)與值域有關(guān)。由（1）、（2）、（3）式可得連續(xù)性統(tǒng)計(jì)函數(shù)的歸一化形式(4)令，由正態(tài)分布積分表可查出下列積分的數(shù)值 (5)則可得歸一化系數(shù) (6)若取簡化模型，近似有。可見在一般意義上，數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)模型定義域可作為隨機(jī)觀測特征量值域的同構(gòu)映射，數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)函數(shù)可作為隨機(jī)觀測量統(tǒng)計(jì)分布同構(gòu)映射，但與特征量值域有關(guān)的歸一化系數(shù)恰恰表明兩個(gè)統(tǒng)計(jì)分布并不完全等價(jià)。4 噪聲信號觀測特征量分布函數(shù)相似性的物理本質(zhì)統(tǒng)計(jì)模型取、條件時(shí)，連續(xù)自變量分布與分布直方圖趨于幾何相似。此時(shí)，由

29、（3）式連續(xù)函數(shù)形式可得 (7)即取無量綱量為特征自變量時(shí)，所有觀測量隨機(jī)集合的分布函數(shù)與高斯函數(shù)相似。故我們認(rèn)為，以自然數(shù)為自變量的對數(shù)正態(tài)分布函數(shù)是噪聲集合觀測特征值共同隨機(jī)性本質(zhì)的反映。根據(jù)微分中值定理，令統(tǒng)計(jì)模型中兩個(gè)特征量對應(yīng)“概率微元”數(shù)值相等 (8)可以證明，（8）式成立對應(yīng)于噪聲特征值統(tǒng)計(jì)分布函數(shù)的形式自變量存在如下非線性變換關(guān)系 (9)顯然，（9）式中兩個(gè)具有獨(dú)立意義的自變量、不可能同時(shí)取自然數(shù)序列，這是非線性變換的一種數(shù)字特征。將（9）式代入（8）式 (10)根據(jù)概率函數(shù)的歸一化定義，與（9）式變換關(guān)系對應(yīng)概率值縮放系數(shù)為。由（9）式中指數(shù)相等條件可得特征量坐標(biāo)變換系數(shù) (

30、11)上述討論表明，噪聲信號特征量統(tǒng)計(jì)分布函數(shù)為一自相似群。利用（11）式的很容易將圖7、圖9中單調(diào)分布曲線變換成單峰形式，即圖10（b）、圖11（b），相應(yīng)的Z值分別為0.00152和0.00385。(a) (b) 圖10 自變量變換前后統(tǒng)計(jì)函數(shù)曲線（圖7）對比(a) ，(b) ，(a)(b)圖11 自變量變換前后統(tǒng)計(jì)函數(shù)曲線（圖9）對比(a) ，(b) ，若直接用對應(yīng)的物理特征量描述（9）式變換形式時(shí)，則有 (12) (13)（9）式可理解為（13）式的一種投影（映射），參見圖12。有限區(qū)間內(nèi)的統(tǒng)計(jì)特征量、映射到坐標(biāo)系中的無限區(qū)域。實(shí)際測量到的統(tǒng)計(jì)直方圖序列，映射成無限數(shù)學(xué)二維空間的連續(xù)函

31、數(shù)。圖12中的曲線與（9）式對應(yīng)，該曲線代表噪聲信號特征量之間的一種統(tǒng)計(jì)約束關(guān)系，可理解為由噪聲信號基本特性量統(tǒng)計(jì)結(jié)果表現(xiàn)出來的測量系統(tǒng)統(tǒng)計(jì)分形特性的反映形式。圖12 噪聲信號基本特性統(tǒng)計(jì)分形特性示意圖5 結(jié)論本文對光電傳感器本底噪聲信號大樣本幅度時(shí)序記錄值，噪聲信號極大值、極小值，相鄰極值幅度差、極值時(shí)間間隔等噪聲信號特征量的統(tǒng)計(jì)分布進(jìn)行詳細(xì)研究，發(fā)現(xiàn)噪聲信號特征量均以很高的精度服從對數(shù)正態(tài)分布規(guī)律。這表明，噪聲信號獨(dú)立特征量的統(tǒng)計(jì)分布具有十分顯著的相似性；基于（5）式的統(tǒng)計(jì)分布等價(jià)概念，能夠給出獨(dú)立特征量的定義域內(nèi)基礎(chǔ)上的不同特征量之間的冪函數(shù)變換關(guān)系。在任意獨(dú)立特征量的定義域內(nèi)，取無量綱參數(shù)為本征自變量，則噪聲信號觀測特征量的統(tǒng)計(jì)分布均可以轉(zhuǎn)換成高斯函數(shù)形式。我們認(rèn)為，這種統(tǒng)一形式是噪聲信號統(tǒng)計(jì)分形本質(zhì)特征的重要表現(xiàn)。參考文獻(xiàn) (References)1 Li Y H，Chen C X，Liu Y Z，Ji