微積分基本定理

1、1.6.1微積分基本定理教材分析本節(jié)內(nèi)容選自數(shù)學(xué)選修 2-2第一章第六節(jié)，是在學(xué)習(xí)了定積分的概念知識(shí)后，對(duì)求解定積分值的再學(xué)習(xí)，可以看作是對(duì)前面學(xué)習(xí)過的內(nèi)容的應(yīng)用，要求用牛頓萊布尼茨公式求解定積分的值此外，本節(jié)又是定積分應(yīng)用的起始課，對(duì)后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)起著奠基的作用，本課題的重點(diǎn)通過探究變速直線運(yùn)動(dòng)物體的速度與位移的 關(guān)系，使學(xué)生直觀了解微積分基本定理的含義，并能正確運(yùn)用基本定理計(jì)算簡(jiǎn)單的定積分，難點(diǎn)是微積分基 本定理的含義及其應(yīng)用通過探究公式的由來過程，可以很好地培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，要求 學(xué)生有意識(shí)地運(yùn)用特殊與一般思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想，在解決新問題的過程中，又要自覺的

2、運(yùn) 用化歸與轉(zhuǎn)化思想，體現(xiàn)解決數(shù)學(xué)問題的一般思路與方法課時(shí)分配本節(jié)內(nèi)容用2課時(shí)的時(shí)間完成，本節(jié)課為第一課時(shí)主要講解牛頓萊布尼茨公式的證明及運(yùn)用公式解決簡(jiǎn) 單的求解定積分的問題教學(xué)目標(biāo)重點(diǎn)：微積分基本定理的含義，并能正確運(yùn)用基本定理計(jì)算簡(jiǎn)單的定積分難點(diǎn)：微積分基本定理的含義及其應(yīng)用.知識(shí)點(diǎn)：牛頓-萊布尼茨公式.能力點(diǎn)：如何探尋牛頓-萊布尼茨公式的證明思路，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用教育點(diǎn)：經(jīng)歷由特殊到一般的研究數(shù)學(xué)問題的過程，體會(huì)探究的樂趣，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情自主探究點(diǎn)：如何運(yùn)用變速直線運(yùn)動(dòng)物體的速度與位移的關(guān)系推導(dǎo)出牛頓-萊布尼茨公式.考試點(diǎn)：通過變速運(yùn)動(dòng)的速度與位移間的關(guān)系探尋牛頓-萊布尼茨公

3、式、用公式求定積分問題.易錯(cuò)易混點(diǎn)：當(dāng)定積分的被積函數(shù)較復(fù)雜在計(jì)算時(shí)學(xué)生容易在“符號(hào)”上出問題 拓展點(diǎn)：在求解復(fù)合函數(shù)在給定區(qū)間上的積分值時(shí)有哪些技巧可尋教具準(zhǔn)備多媒體課件課堂模式學(xué)案導(dǎo)學(xué)一、引入新課前面，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了微積分學(xué)中兩個(gè)最基本和最重要的概念一一導(dǎo)數(shù)和定積分，那么這兩個(gè)概念之間有1 3分的值，但是過程卻比較麻煩.而對(duì)于有些定積分，例如2 1-dx,1 x當(dāng)我們?cè)儆枚x去求解時(shí)，會(huì)出現(xiàn)什么情況呢？2 1 ndx = lim1 xn 心 i=11 1n：limn 心i =11那么ni n =ni值，我們通過分割、近似代替、求和、取極限的“四步曲”來計(jì)算此定積沒有內(nèi)在的聯(lián)系呢？我們可以直

4、接利用定積分的定義來計(jì)算J。x3dx的n該和式的極限值是多少呢？我們可以借助于定積分的幾何意義來看一下：由定積分的幾何意義結(jié)合圖像可知該定積分的值不為零，那么該如何計(jì)算該定積分的值呢？有沒有比定義更簡(jiǎn)潔、有效的方法求定積分呢？接下來我們就從導(dǎo)數(shù)與定積分的內(nèi)在聯(lián)系出發(fā)去探尋一種求解定積分的值的更簡(jiǎn)潔有效的方法2 1【設(shè)計(jì)說明】 在計(jì)算定積分丄dx的值時(shí)，讓學(xué)生自己先按照定義去求，讓學(xué)生回顧一下定積分的定義及1 x前面所學(xué)過的“四步曲”.【設(shè)計(jì)意圖】通過以上應(yīng)用定義求解定積分的過程出現(xiàn)定義法失效的情況，激發(fā)學(xué)生去探尋其他的求解定積分的方法二、探究新知探究：如下圖所示，一個(gè)做變速直線運(yùn)動(dòng)的物體的運(yùn)動(dòng)

5、規(guī)律是s = s(t)，并且s(t)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)由導(dǎo)數(shù)的概念可知，它在任意時(shí)刻t的速度v(t)二s(t).設(shè)這個(gè)物體在時(shí)間段a,b內(nèi)的位移為 s，你能分別用s(t), v(t)表示 s 嗎?然，物體的位移 s是函數(shù)S二s(t)在t =b處與t二a處的函數(shù)值之差，即 S二s(b) -s(a).另一方面，我們還可以利用定積分，由v(t)求位移S.用分點(diǎn)a二to匕III : t：ti ： llltn二b將區(qū)間a,b等分成n個(gè)小區(qū)間：bato,ti,ti,t2J|l,tM,tiJ|l,tnj,tn, 每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度均為：At =tj -tj =.當(dāng)也t很小時(shí)，n在ti4,ti上v(t)的變化很小，可

6、以認(rèn)為物體近似的以速度v魚4)做勻速運(yùn)動(dòng)，物體所做的位移為：b a 'Sihi =v(ti 4)逬=s (ti 4)s (ti4).n由幾何意義上看(如上右圖)，設(shè)曲線S二s(t)上與ti4對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為P, PD是P點(diǎn)處的切線，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，切線 PD的斜率等于s(ty)，于是：h = tanDPC心= s(tg)結(jié)合上圖，可得物體總位移：nnnns =送心s比送h =送v(ty)&=W y (ti pt.可以發(fā)現(xiàn)，n越大，即心t越小，區(qū)間a,b的分割就越i =ii 1i 1i 14 / 6nnn_：:時(shí)兩者之差趨向于 0.由定積分的細(xì)，v v(tiA) i y'(

7、tj)與s的近似程度就越好，并且當(dāng)i 1i 4定義有：S=limbav(tiJ =limbv(t)dt 二 by'(t)dt . n 廠 i4 nn y naabb '結(jié)合有：S v(t)dt y (t)dt 二 y(b) - y(a).a- a上式表明，如果做變速直線運(yùn)動(dòng)的物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是s = s(t)，那么v(t) = s(t)在區(qū)間a,b上的定積分就是物體的位移y(b)-y(a).'b一般地，如果f(x)是區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)，并且F(x)二f(x)，那么 f (x)dx = F (b) - F (a) 這個(gè)a結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫牛頓-萊布尼茨公式.b

8、bb為了方便，我們常常把 F(b)F(a)記成 F(x).a，即f (x)dx = F (x),a = F (b) F (a).b'微積分基本定理表明，計(jì)算定積分f (x)dx的關(guān)鍵是找到滿足 F (x) = f (x)的函數(shù)F (x).通常，我們可La以運(yùn)用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則從反方向上求出F (x).【設(shè)計(jì)意圖】給學(xué)生充分的感性材料,揭示公式的發(fā)現(xiàn)過程，通過學(xué)生發(fā)現(xiàn)若干特例的共性，培養(yǎng)學(xué)生歸 納、概括、提出數(shù)學(xué)問題的能力(一般性探究)避免直接將公式拋給學(xué)生.三、理解新知分析公式f f (x)dx = F (x)： = F(b) -F(a)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，得到：求解定

9、積分的關(guān)鍵是找到被積函數(shù)的一 個(gè)原函數(shù).【設(shè)計(jì)意圖】為準(zhǔn)確地運(yùn)用新知，作必要的鋪墊.四、運(yùn)用新知例1 .計(jì)算下列定積分：(1)3x ；(2)解：(1)因?yàn)?In x)二31 (2xx12)dx.x2 1 2 所以 dx = ln x 1 = ln 2 -1n1 1 x=1 n2.2 ' 1 '(2)因?yàn)?x ) =2x,()=12 ，x x33 1dxx3 1 3122十(9-1)(廠帖x33【設(shè)計(jì)意圖】 本例為課本上兩個(gè)例題，屬于公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，讓學(xué)生感受一下牛頓 在求解定積分時(shí)的應(yīng)用.3所以1 (2x1嚴(yán) 12xdx1-萊布尼茨公式5 / 6552232【變式練習(xí)】 計(jì)算：

10、(1) o 4xdx, (2) o (x2-2x)dx , (3)十 C.x-1)dx , (4) (3x-2x 1)dx ,212 1(5) (x )dx , (6)2dx .片X舟X【設(shè)計(jì)意圖】 給學(xué)生留有充分的練習(xí)時(shí)間，讓學(xué)生親自體會(huì)牛頓-萊布尼茨公式在求解定積分時(shí)的應(yīng)用例2 .計(jì)算下列定積分：n2 兀2nsin xdx, sin xdx, sin xdx.0 0由計(jì)算結(jié)果你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？試?yán)们吿菪蔚拿娣e表示所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論解：因?yàn)?一cosx) =sinx,所以o sinxdx = (-cosx) |0 = (-cos二)-(-cosO) = 2 ,2 二2-sinxdx=(-cos

11、x)| = (_cos2二)-(-cos二)-2 ,2 二20 sinxdx =(_cosx) |0 = (_cos2二)-(_cosO) = 0 .可以發(fā)現(xiàn)，定積分的值可能取正值也可能取負(fù)值，還可能是0:(I )當(dāng)對(duì)應(yīng)的曲邊梯形位于 x軸上方時(shí)(圖1.6-3 )，定積分的值取正值，且等于曲邊梯形的面積；圖 1 . 6 - 3(2 )當(dāng)對(duì)應(yīng)的曲邊梯形位于 x軸下方時(shí)(圖1 . 6- 4 ) 面積的相反數(shù)；，定積分的值取負(fù)值，且等于曲邊梯形的圖9 / 60 （圖1(3)當(dāng)位于x軸上方的曲邊梯形面積等于位于 x軸下方的曲邊梯形面積時(shí)，定積分的值為6- 5 )，且等于位于x軸上方的曲邊梯形面積減去位

12、于 x軸下方的曲邊梯形面積.【設(shè)計(jì)意圖】本例可以作為當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)時(shí)求解定積分的一種技巧，可讓學(xué)生從定積分的幾何意義的角度去求解定積分的值JT03H【變式練習(xí)】 計(jì)算：(1) cosxdx, (2)sin xdx, (3)sinxdx.P5$0【設(shè)計(jì)意圖】 考查學(xué)生用定積分的幾何意義求解定積分的值例3汽車以每小時(shí) 32公里速度行駛，到某處需要減速停車.設(shè)汽車以等減速度 a = 1.8m/S2剎車，問從開始剎車到停車，汽車走了多少距離？解：首先要求出從剎車開始到停車經(jīng)過了多少時(shí)間當(dāng)t = 0時(shí)，汽車速度32000一v0=32km/hm/ s : 8.88m/ s,剎車后汽車減速行駛，其速度

13、為v(t)= v0 - at=8.88-1.8t當(dāng)汽3600車停住時(shí),速度v(t)=0 ,故從v(t)=8.88-1.8t=0解得t=§魚:4.93秒1.8于是在這段時(shí)間內(nèi)，汽車所走過的距離是4.934.934.9312s= (° v(t)dt = I (8.881.8t)dt = (8.881.8 漢一t2)壯 21.90 米，即在剎車后，汽車需走過2 021.90米才能停住.【設(shè)計(jì)意圖】 定積分的簡(jiǎn)單實(shí)際應(yīng)用，也是對(duì)微積分基本定理的應(yīng)用五、課堂小結(jié)教師提問：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)，涉及到哪些數(shù)學(xué)思想方法？bb學(xué)生作答：1 知識(shí)：a f(x)dx = F(x)a =F(

14、b) -F(a) 2 思想：數(shù)形結(jié)合的思想、特殊與一般的思想.教師總結(jié)：本節(jié)課借助于變速運(yùn)動(dòng)物體的速度與路程的關(guān)系以及圖形得出了特殊情況下的牛頓-萊布尼茲公式成立，進(jìn)而推廣到了一般的函數(shù)，得出了微積分基本定理，得到了一種求定積分的簡(jiǎn)便方法，運(yùn)用這種 方法的關(guān)鍵是找到被積函數(shù)的原函數(shù)，這就要求大家前面的求導(dǎo)數(shù)的知識(shí)比較熟練，希望，不明白的同學(xué)，回頭來多復(fù)習(xí)！微積分基本定理揭示了導(dǎo)數(shù)和定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系，同時(shí)它也提供了計(jì)算定積分的一種有效方法微積分基本定理是微積分學(xué)中最重要的定理，它使微積分學(xué)蓬勃發(fā)展起來，成為一門影響深遠(yuǎn)的學(xué)科，可以毫不夸張地說，微積分基本定理是微積分中最重要、最輝煌的成果.【

15、設(shè)計(jì)意圖】力口強(qiáng)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)，做到“授人以漁”六、布置作業(yè)1閱讀教材P51 54;2. 書面作業(yè)必做題：P55習(xí)題1.6 A組 1 B組1, 2x選做題：1、求函數(shù)F(x) t(t-4)dt在-1,5上的最大值與最小值.2、計(jì)算 Jx2 xdx .2課外思考：求由拋物線y =4ax與過焦點(diǎn)的弦所圍成的圖形的面積的最小值.【設(shè)計(jì)意圖】 設(shè)計(jì)作業(yè)1,2，是引導(dǎo)學(xué)生先復(fù)習(xí)，再作業(yè)，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.書面作業(yè)的布置，是為了讓學(xué)生能夠運(yùn)用牛頓-萊布尼茨公式，解決簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題；課外思考的安排，是讓學(xué)生理解公式的應(yīng) 用，從而讓學(xué)生深刻地體會(huì)到微積分基本定理的主線作用，培養(yǎng)學(xué)生用整體的觀點(diǎn)看問題，起到承上啟下的作用.七、教后反思1. 本教案的亮點(diǎn)是變式訓(xùn)練.在例1的教學(xué)中