整式的乘法與因式分解知識(shí)點(diǎn)72861

1、整式乘除與因式分解單項(xiàng)式：表示數(shù)與字母的乘積的代數(shù)式，叫做單項(xiàng)式，單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式 多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式一知識(shí)點(diǎn)（重點(diǎn)）1幕的運(yùn)算性質(zhì)：am a= am+n （m、n為正整數(shù)）同底數(shù)幕相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.m n2. a = amn（m、n為正整數(shù)）幕的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.3. （abf=anbn（n為正整數(shù)）積的乘方等于各因式乘方的積.4. aman = am_n （a0, m、n都是正整數(shù)，且mn）同底數(shù)幕相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.5. 零指數(shù)幕的概念：a0二1 （a 0）任何一個(gè)不等于零的數(shù)的零指數(shù)幕都等于 I.16. 負(fù)指數(shù)幕的概念：ap二ap （

2、a0, p是正整數(shù)）任何一個(gè)不等于零的數(shù)的-p （p是正整數(shù)）指數(shù)幕，等于這個(gè)數(shù)的 p指數(shù)幕的倒數(shù).也可表示為:mJIn 丿(mM0, nM0,p為正整數(shù)）3 / 47. 單項(xiàng)式的乘法法則:單項(xiàng)式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)幕分別相乘，作為積的因式；對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連 同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式.8. 單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則：?jiǎn)雾?xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，用單項(xiàng)式和多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別相乘，再把所得的積相加.9. 多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)與另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)相乘，再把所得的積相加.10. 單項(xiàng)式的除法法則：?jiǎn)雾?xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)幕分別相除，作為

3、商的因式：對(duì)于只在被除式 里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式.11. 多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則：多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加.易錯(cuò)點(diǎn)：在幕的運(yùn)算中，由于法則掌握不準(zhǔn)出現(xiàn)錯(cuò)誤；有關(guān)多項(xiàng)式的乘法計(jì)算出現(xiàn)錯(cuò)誤；誤用同底數(shù)幕的除法法則；用單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則或多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則出錯(cuò)；乘除混合運(yùn)算順序出錯(cuò)12. 乘法公式：平方差公式：（a+ b） （a-b）= a2 b2文字語(yǔ)言敘述：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差相乘，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.完全平方公式：（a+ b） 2 = a2+ 2ab+ b2 （a b） 2 = a2 2ab+ b22 倍.文字語(yǔ)言

4、敘述：兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方等于這兩個(gè)數(shù)的平方和加上（或減去）這兩個(gè)數(shù)的積的易錯(cuò)點(diǎn)：錯(cuò)誤的運(yùn)用平方差公式和完全平方公式。13. 因式分解（難點(diǎn)）因式分解的定義把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解.掌握其定義應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）分解對(duì)象是多項(xiàng)式，分解結(jié)果必須是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個(gè)要素缺一不可；（2）因式分解必須是恒等變形；（3）因式分解必須分解到每個(gè)因式都不能分解為止.弄清因式分解與整式乘法的內(nèi)在的關(guān)系.因式分解與整式乘法是互逆變形，因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為和差的形式.二、熟練掌握因式分解的常用方法.1、提公因式法

5、（1）掌握提公因式法的概念；（2）提公因式法的關(guān)鍵是找出公因式，公因式的構(gòu)成一般情況下有三部分：系數(shù)一各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；字母各項(xiàng)含有的相同字母；指數(shù) 相同字母的最低次數(shù)；（3）提公因式法的步驟：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并確定另一因式需注意的是， 提取完公因式后，另一個(gè)因式的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)一致，這一點(diǎn)可用來(lái)檢驗(yàn)是否漏項(xiàng).（4）注意點(diǎn)：提取公因式后各因式應(yīng)該是最簡(jiǎn)形式，即分解到“底”；如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)的系 數(shù)是負(fù)的，一般要提出“一”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)是正的.2、公式法運(yùn)用公式法分解因式的實(shí)質(zhì)是把整式中的乘法公式反過(guò)來(lái)使用；常用的公式：平方差公式：a2 b2=（ a

6、+ b） （a b）完全平方公式：a2 + 2ab+ b2=（ a+ b） 2 a2 2ab+ b2=（ a b） 2易錯(cuò)點(diǎn)：用提公因式法分解因式時(shí)易出現(xiàn)漏項(xiàng)，丟系數(shù)或符號(hào)錯(cuò)誤；分解因式不徹底。中考考點(diǎn)解讀：整式的乘除是初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是中考的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容其考點(diǎn)主要涉及以下幾個(gè)方面：考點(diǎn)1、幕的有關(guān)運(yùn)算例1. （2009年湘西）在下列運(yùn)算中，計(jì)算正確的是（）（A） a3 a2 =a6 （B） （a2）3 二 a5 （C） a8 a2 = a4 （ D） （ab2）2 二 a2b4分析:幕的運(yùn)算包括同底數(shù)幕的乘法運(yùn)算、幕的乘方、積的乘方和同底數(shù)幕的除法運(yùn)算幕的運(yùn)算是整式乘除運(yùn)算的基礎(chǔ)，準(zhǔn)確解決幕

7、的有關(guān)運(yùn)算的關(guān)鍵是熟練理解各種運(yùn)算的法則解：根據(jù)同底數(shù)幕的乘法運(yùn)算法則知 a3 aa3 2 - a5，所以（A）錯(cuò)；根據(jù)幕的乘方運(yùn)算法則知 （a2）3 = a2 3 = a6，所以（B）錯(cuò)；根據(jù)同底數(shù)幕的除法法則知 a8 “ a2二a =a6，所以（C）錯(cuò)；故選（D）.例2. ( 2009年齊齊哈爾)已知10 =2 , 10“=3，則103檔=.分析：本題主要考查幕的運(yùn)算性質(zhì)的靈活應(yīng)用，可先逆用同底數(shù)幕的乘法法則am a二am n，將指數(shù)相加化為幕相乘的形式,再逆用幕的乘方的法則(am)n=amn,將指數(shù)相乘轉(zhuǎn)化為幕的乘方的形式，然后代入求值即可.解：103m2n=103m 102n=(10m

8、)3 (10n)2 =23 32 = 72.考點(diǎn)2、整式的乘法運(yùn)算例 3.(2009 年賀州)計(jì)算：(_2a) (la3 -1)=.4分析:本題主要考查單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算計(jì)算時(shí)按照法則將其轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，注意符號(hào)的變化111解：(2a) ( a31) = (2a)a3(2a) 1 = a4 2a .442考點(diǎn)3、乘法公式2例4. (2009年山西省)計(jì)算：x 3-x-1 x-2分析:運(yùn)用多項(xiàng)式的乘法法則以及乘法公式進(jìn)行運(yùn)算，然后合并同類(lèi)項(xiàng)2 2 2 2 2解：x 3 x -1 x - 2 =x 6x 9-(x -2x-x 2) = x 6x 9-x 2x x-2 = 9x

9、 7.3例5. (2009年寧夏)已知：a b , ab =1，化簡(jiǎn)(a-2)(b-2)的結(jié)果是.2本題主要考查多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算首先按照法則進(jìn)行計(jì)算，然后靈活變形，使其出現(xiàn)(a b )與ab，以便求值.3解: (a -2)(b 2) =ab _2a -2b +4=ab_2(a+b) +4=1 _2 匯上 + 4 = 22考點(diǎn)4、利用整式運(yùn)算求代數(shù)式的值1例 6. (2009 年長(zhǎng)沙)先化簡(jiǎn)，再求值：(a - b)(a-b) (a b)2 -2a2，其中 a = 3, b = -.3分析：本題是一道綜合計(jì)算題，主要在于乘法公式的應(yīng)用.解：(a b)(ab) (a b)22a2 二 a2b

10、2 a2 2ab b22a2 二 2ab1( 1當(dāng) a = 3, b =時(shí)，2ab=2H3H._ = _23I 3丿.考點(diǎn)5、整式的除法運(yùn)算例 7. (2009 年廈門(mén))計(jì)算：(2x- y)(2x+ y) + y(y 6x) 2c分析:本題的一道綜合計(jì)算題，首先要先算中括號(hào)內(nèi)的，注意乘法公式的使用，然后再進(jìn)行整式的除法運(yùn)算.2 2 2 2解：(2x y)( 2x+ y) + y(y 6x)乞x = (4x y + y 6xy) -2x = (4x 6xy) -2x = 2x 3y.考點(diǎn)6、定義新運(yùn)算例8. (2009年定西)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義運(yùn)算”，其法則為：b = a2，求方程(43)x =

11、24的解.分析:本題求解的關(guān)鍵是讀懂新的運(yùn)算法則，觀察已知的等式a二b =a2 -b2可知，在本題中“-”定義的是平方差運(yùn)算，即用“二”前邊的數(shù)的平方減去“二”后邊的數(shù)的平方.5 / 4解： a 二 b =a2-b2 , /. (4 二 3)二 x = (42 32)二 x = 7 二 x = 72 x2. 72 -x2 = 24 .:. x2 =25 . :. x= 5 .考點(diǎn)7、乘法公式例3 (1) (2009年白銀市)當(dāng)x =3、y =1時(shí)，代數(shù)式(x y)(x-y) y2的值是.(2) (2009年十堰市)已知：a+b=3, ab=2,求a2+b2的值.解析：?jiǎn)栴}(1)主要是對(duì)乘法的平方差公式的考查原式=x 2- y 2 +y 2= x 2 = 3 2=9.問(wèn)題(2)考查了完全平方公式的變形應(yīng)用， (a+b)2 =a2+2ab+b2，: a2 +b2 =(a + b)2 2ab = 32 2x 2 = 5說(shuō)明：乘法公式應(yīng)用極為廣泛，理解公式的本質(zhì)，把握公式的特征，熟練靈活地使用乘法公式，可以使運(yùn)算變得簡(jiǎn) 單快捷，事半功倍.考點(diǎn)8、因式分解例4 (1) (2009年本溪市)分解因式：xy2 - 9x =.(2) (2009年錦州市)分解因式：a2b-2ab2+b3=.解析：因式分解的一般步驟是：若多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，就