整式的乘法與因式分解知識點72861

1、整式乘除與因式分解單項式：表示數與字母的乘積的代數式，叫做單項式，單獨的一個數或一個字母也是單項式 多項式：幾個單項式的和叫做多項式一知識點（重點）1幕的運算性質：am a= am+n （m、n為正整數）同底數幕相乘，底數不變，指數相加.m n2. a = amn（m、n為正整數）幕的乘方，底數不變，指數相乘.3. （abf=anbn（n為正整數）積的乘方等于各因式乘方的積.4. aman = am_n （a0, m、n都是正整數，且mn）同底數幕相除，底數不變，指數相減.5. 零指數幕的概念：a0二1 （a 0）任何一個不等于零的數的零指數幕都等于 I.16. 負指數幕的概念：ap二ap （

2、a0, p是正整數）任何一個不等于零的數的-p （p是正整數）指數幕，等于這個數的 p指數幕的倒數.也可表示為:mJIn 丿(mM0, nM0,p為正整數）3 / 47. 單項式的乘法法則:單項式相乘，把系數、同底數幕分別相乘，作為積的因式；對于只在一個單項式里含有的字母，則連 同它的指數作為積的一個因式.8. 單項式與多項式的乘法法則：單項式與多項式相乘，用單項式和多項式的每一項分別相乘，再把所得的積相加.9. 多項式與多項式的乘法法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項與另一個多項式的每一項相乘，再把所得的積相加.10. 單項式的除法法則：單項式相除，把系數、同底數幕分別相除，作為

3、商的因式：對于只在被除式 里含有的字母，則連同它的指數作為商的一個因式.11. 多項式除以單項式的法則：多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加.易錯點：在幕的運算中，由于法則掌握不準出現錯誤；有關多項式的乘法計算出現錯誤；誤用同底數幕的除法法則；用單項式除以單項式法則或多項式除以單項式法則出錯；乘除混合運算順序出錯12. 乘法公式：平方差公式：（a+ b） （a-b）= a2 b2文字語言敘述：兩個數的和與這兩個數的差相乘，等于這兩個數的平方差.完全平方公式：（a+ b） 2 = a2+ 2ab+ b2 （a b） 2 = a2 2ab+ b22 倍.文字語言

4、敘述：兩個數的和（或差）的平方等于這兩個數的平方和加上（或減去）這兩個數的積的易錯點：錯誤的運用平方差公式和完全平方公式。13. 因式分解（難點）因式分解的定義把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解.掌握其定義應注意以下幾點：（1）分解對象是多項式，分解結果必須是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個要素缺一不可；（2）因式分解必須是恒等變形；（3）因式分解必須分解到每個因式都不能分解為止.弄清因式分解與整式乘法的內在的關系.因式分解與整式乘法是互逆變形，因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為和差的形式.二、熟練掌握因式分解的常用方法.1、提公因式法

5、（1）掌握提公因式法的概念；（2）提公因式法的關鍵是找出公因式，公因式的構成一般情況下有三部分：系數一各項系數的最大公約數；字母各項含有的相同字母；指數 相同字母的最低次數；（3）提公因式法的步驟：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并確定另一因式需注意的是， 提取完公因式后，另一個因式的項數與原多項式的項數一致，這一點可用來檢驗是否漏項.（4）注意點：提取公因式后各因式應該是最簡形式，即分解到“底”；如果多項式的第一項的系 數是負的，一般要提出“一”號，使括號內的第一項的系數是正的.2、公式法運用公式法分解因式的實質是把整式中的乘法公式反過來使用；常用的公式：平方差公式：a2 b2=（ a

6、+ b） （a b）完全平方公式：a2 + 2ab+ b2=（ a+ b） 2 a2 2ab+ b2=（ a b） 2易錯點：用提公因式法分解因式時易出現漏項，丟系數或符號錯誤；分解因式不徹底。中考考點解讀：整式的乘除是初中數學的基礎，是中考的一個重點內容其考點主要涉及以下幾個方面：考點1、幕的有關運算例1. （2009年湘西）在下列運算中，計算正確的是（）（A） a3 a2 =a6 （B） （a2）3 二 a5 （C） a8 a2 = a4 （ D） （ab2）2 二 a2b4分析:幕的運算包括同底數幕的乘法運算、幕的乘方、積的乘方和同底數幕的除法運算幕的運算是整式乘除運算的基礎，準確解決幕

7、的有關運算的關鍵是熟練理解各種運算的法則解：根據同底數幕的乘法運算法則知 a3 aa3 2 - a5，所以（A）錯；根據幕的乘方運算法則知 （a2）3 = a2 3 = a6，所以（B）錯；根據同底數幕的除法法則知 a8 “ a2二a =a6，所以（C）錯；故選（D）.例2. ( 2009年齊齊哈爾)已知10 =2 , 10“=3，則103檔=.分析：本題主要考查幕的運算性質的靈活應用，可先逆用同底數幕的乘法法則am a二am n，將指數相加化為幕相乘的形式,再逆用幕的乘方的法則(am)n=amn,將指數相乘轉化為幕的乘方的形式，然后代入求值即可.解：103m2n=103m 102n=(10m

8、)3 (10n)2 =23 32 = 72.考點2、整式的乘法運算例 3.(2009 年賀州)計算：(_2a) (la3 -1)=.4分析:本題主要考查單項式與多項式的乘法運算計算時按照法則將其轉化為單項式與單項式的乘法運算，注意符號的變化111解：(2a) ( a31) = (2a)a3(2a) 1 = a4 2a .442考點3、乘法公式2例4. (2009年山西省)計算：x 3-x-1 x-2分析:運用多項式的乘法法則以及乘法公式進行運算，然后合并同類項2 2 2 2 2解：x 3 x -1 x - 2 =x 6x 9-(x -2x-x 2) = x 6x 9-x 2x x-2 = 9x

9、 7.3例5. (2009年寧夏)已知：a b , ab =1，化簡(a-2)(b-2)的結果是.2本題主要考查多項式與多項式的乘法運算首先按照法則進行計算，然后靈活變形，使其出現(a b )與ab，以便求值.3解: (a -2)(b 2) =ab _2a -2b +4=ab_2(a+b) +4=1 _2 匯上 + 4 = 22考點4、利用整式運算求代數式的值1例 6. (2009 年長沙)先化簡，再求值：(a - b)(a-b) (a b)2 -2a2，其中 a = 3, b = -.3分析：本題是一道綜合計算題，主要在于乘法公式的應用.解：(a b)(ab) (a b)22a2 二 a2b

10、2 a2 2ab b22a2 二 2ab1( 1當 a = 3, b =時，2ab=2H3H._ = _23I 3丿.考點5、整式的除法運算例 7. (2009 年廈門)計算：(2x- y)(2x+ y) + y(y 6x) 2c分析:本題的一道綜合計算題，首先要先算中括號內的，注意乘法公式的使用，然后再進行整式的除法運算.2 2 2 2解：(2x y)( 2x+ y) + y(y 6x)乞x = (4x y + y 6xy) -2x = (4x 6xy) -2x = 2x 3y.考點6、定義新運算例8. (2009年定西)在實數范圍內定義運算”，其法則為：b = a2，求方程(43)x =

11、24的解.分析:本題求解的關鍵是讀懂新的運算法則，觀察已知的等式a二b =a2 -b2可知，在本題中“-”定義的是平方差運算，即用“二”前邊的數的平方減去“二”后邊的數的平方.5 / 4解： a 二 b =a2-b2 , /. (4 二 3)二 x = (42 32)二 x = 7 二 x = 72 x2. 72 -x2 = 24 .:. x2 =25 . :. x= 5 .考點7、乘法公式例3 (1) (2009年白銀市)當x =3、y =1時，代數式(x y)(x-y) y2的值是.(2) (2009年十堰市)已知：a+b=3, ab=2,求a2+b2的值.解析：問題(1)主要是對乘法的平方差公式的考查原式=x 2- y 2 +y 2= x 2 = 3 2=9.問題(2)考查了完全平方公式的變形應用， (a+b)2 =a2+2ab+b2，: a2 +b2 =(a + b)2 2ab = 32 2x 2 = 5說明：乘法公式應用極為廣泛，理解公式的本質，把握公式的特征，熟練靈活地使用乘法公式，可以使運算變得簡 單快捷，事半功倍.考點8、因式分解例4 (1) (2009年本溪市)分解因式：xy2 - 9x =.(2) (2009年錦州市)分解因式：a2b-2ab2+b3=.解析：因式分解的一般步驟是：若多項式的各項有公因式，就